2026年中考自主招生数学复习题（附答案解析）

2026年中考自主招生数学复习题

一.选择题（共11小题）

1.如图，有一块锐角三角形材料，边8c=120/〃〃?，高力0=80〃"〃，要把它加工成正方形零件，使其一边在8c上,

其余两个顶点分别在48,4。上，则这个正方形零件的边长为（）

B.48〃〃〃C.36mmD.24mm

2.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某数学兴趣小组用无人

机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点"处测得潮汐塔顶端A的俯角为

22°,再将无人机沿水平方向飞行73〃?到达点N,测得潮汐塔底端8的俯角为45°（点N,A,8在同一平

面内），则潮汐塔力8的高度为（)(结果精确到1m.参考数据：sin22°^0.37,cos22°比0.93,tan22°^0.40)

A.41wB.42mC.43〃?D.11m

3.如图，过点C（l,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于4，4两点，若反比例函数y=（。＞0）

的图象与△ABC有公共点，则人的取值范围是（）

B.2WkW9C.D.54W9

4.如图1,将RlZXEFG与正方形力灰刀按如图所示的方式摆放，边广G在直线4C上，NEGF=90。，EG=FG=

lOc/7：,AB=\（）cm,RtZXEFG以2c〃派的速度沿着8c方向运动，初始时点G与点8重合，当点尸与点。重合时

停止运动，在运动过程中，当RtZ\"G与正方形/8CQ重叠部分面积为180〃2时，其运动时间为（）

FB(G)CG

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A.10B.20C.1或10D.2或20

5.如图，正方形AZ?。。的对角线交于点O,为正方形为的外接圆，E"为OO直径.若EF=l,则图中阴

影部分的面积为（）

C

Bn'

-111

兀

8乃

氏

--C7-T-一-

A.8-42-8D.-8

16

6.某同学利用数学绘图软件探究函数y=1V图象，在输入一组小b的值后得到如图所示的函数图象（与y

轴无交点），根据你学习函数的经验，这组4,〃的值应满足（）

A.40,b>0B.a<0,b>0C.a>0,b<0D.〃V0,b<0

7.在平面直角坐标系中，将二次函数.y=a/-2at-3a的图象沿x轴翻折.若原函数图象的顶点、与x轴的两交点

和翻折后图象的顶点，组成的四边形为正方形，则〃的值为（）

1111

A.±4B.-C.-2D.±2

8.已知，抛物线丁=』-2利什利2+1（勿为常数），下列判断正确的是（）

A.该抛物线的开口方向向下

B.该抛物线与），轴交点可能在歹轴负半轴上

C.该抛物线与x轴一定有交点

D.点产（m+2,川）、点。（加-2,y2）在该函数图象上，则巾="

9.如图，过点C（I,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于4B两点,若反比例函数歹=（（x>0）

的图象与△48C有公共点，则”的取值范围是（）

k

x

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A.2WZ8B.2WkW9C.2WZ5D.5WZ8

10.如图1,在等腰直角二角形X3C中，ZACB=90°，点。为边,48的中点.动点尸从点*出发，沿边4C»CZ?

方向匀速运动，运动到点8时停止.设点尸的运动路程为x,△XP。的面枳为y,y与x的函数图象如图2所示,

当点尸运动到C4的中点时，的长为（）

图1图2

A.2B.2.5C.2V2D.4

11.已知点4（小，刈）、B（加+4,户）、C（xo,乂））在二次函数y=ad+4ax+cQW0）的图象上，且。为抛物线的

顶点.若）田）与之”，则〃?的取值范围是（）

A.w<-6B.m>-6C.〃iV-4D.m>-4

二.填空题（共14小题）

12.若xi，JQ是一元二次方程/-2026x-2027=0的两个实数根，则巾+4=.

13.如图，已知△048的一边48平行于x轴，且反比例函数经过△。力8顶点8和04上的一点C,若0C=

人

14.如图，将△力。8绕点。逆时针旋转得到△C。。，40AB=75°,若C。恰好经过点4且OC_LO8,04=4,

15.如图所示的扇形048中，408=120°,过点。作OC_LO8,OC交AB于点、P,若OP=2,则阴影部分的面

枳为.

0B

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16.如图，在中，点P为斜边48的中点，点。为4C边上不与端点重合的一动点，连接8。，PQ.若AB

=6,24=30。，则8Q+FQ的最小值为

17.如图，在正方形力88中,£是力。的中点,8月与力。交于点尸，则与四边形CFEQ的面积之匕是

18.国际数学教育大会是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，/CA/E-14于2021年在中国

上海举办，这是国际数学大会第一次在中国举办.大会标识中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中《洛

书》与《河图》为原木，并将其与体现我国早期哲学思想的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，

大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，

有0〜7共8个基本数字.八进制数（3745）8换算成十进制数是3X83+7X82+4X8"5X1=2021表示/CME-14

的举办年份.八进制数（202）8换算成十进制数是.

19.如图，平面直角坐标系的原点O是菱形4EC。的中心，经过尻。两点的反比例函数解析式＞=一］若4C=8,

BD=6,则经过4、C两点的反比例函数解析式是.

20.如图所示，综合实践课上，聪聪用圆心角为120°的扇形纸板，制作了一个底面半径是圆锥形的生日帽.在

不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是d.

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21.勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还缢含了自然界的牛.长与繁衍之美.如

图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造

一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到

第3个图形，…，则第8个图形中共有个正方形.

勾股树第I个图形第2个图形第3个图形

22.如图，在口/lBCD中,AB=6,4D=8,Z5=60°.动点M,N分别在边力。上，.且4“=4V,以MN为

边作等边使点尸始终在口力8。。的内部或边上.当△1口”）的面积最大时，QN的长为.

A_N____________n

23.“中国结”寓意吉祥如意，中间的图案是一些小正方形.如图，将一定数量的“中国结”按某规律放置，得到中

间有规律的小正方形组合，其中部分小正方形涂有颜色：第1个图形共有涂色的小正方形5个，第2个图形共有

涂色的小正方形9个，第3个图形共有涂色的小正方形13个，…，按照这样的规律，第〃个图案中共有涂色的小

正方形的个数是.

24.如图，在矩形48co中，E,产是8C边上的三等分点，连接0G力/相交于点G,连接CG.若48=12,BC

=18,则tan/GC/的值是.

DE1

25.如到，在四边形力5c。中，ZABC=ZADC=90°,4B=BC=10,AC,B。交于点、E,若二；；二=，则8。

BE2

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A

---乂

三.解答题（共13小题）

26.【情境与问题】

在研究二次函数y=2^+l时，小明得到了下表:

X•••-4-3-2-101234•••

尸2—+1•••3319931391933•••

观察上表，自变量x从左到右依次取连续的整数，若保持这•规律不变，继续扩展表格，那么，表格中的数据间

会有什么特殊规律吗？

【探索与发现】

如上表，用一个倒“7”形的套色方框（如图）框住了表格中的四个数，若将套色方框左右移动，可框住另外四

个数.设四个数中，上面的数为3下面三个数从左到右依次为〃（如图）.

（1）写出〃与/间的函数关系式为.

（2）小明发现：号-m为定值.小明的发现正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由.

【联系与拓广】

（3）①/为何值时，的值最大？

②若二次函数），=尔+纵+。化x=2026,2028,2U3U时的函数值分别为p,q,r,且与巳-q=l。，IftiJa

mn

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27.(1)发现：如图1所示，8。是矩形48CO的对角线，作力凡LBO交8。于点凡交8C于点E.求证：AABE

S&BCD；

(2)探究：如图2,点G是矩形/18CO边4c上一点，连接。G,过点。作力;LLQG交4c于点G,级=三，

DC11

AF

探究前的值；

DG

(3)拓展：在矩形48C。中，AB=3,8c=6,点尸为8C边上的三等分点，点£1和尸分别为宜线和8c上

的点，将矩形48c3沿直线上“翻折，点P恰好落在边CO上的点。处，求77的值.

图2

D

C

备用图

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28.我们已经学过完全平方公式：(0=6)2=白2±2"+庐，将它适当变形可以解决很多数学问题.

(1)填空：已矢U"十〃=5,”〃=3,则”2+/=.

(2)“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一.在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数

字游戏，将数字1，2,3,4,5,6填入如图所示的“口”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等.

①如图1所示，两个空白“口”中，从左到右依次应填,；每个圆圈上的三个数字之和

为.

图1

⑦如图2所示.三个“口”中的数字分别记为：瓦a+b-3.请根据图3的对话内容.求a+b的值.

小彬：由填数规则得1W--3W6；

所以4Wa+/?W9

小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S,则a+b的值可以用含S的式子表示.

小彬：对！根据你的发现，可以求出。+力的值.

图3

③在②的结论下，l2+22+32+42+52+62+a2+b2+Ca+b-3)2=126,求时的值.

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29.综合与探究

已如△月，。中，点E在边/18上，点〃在边3c的延K线上，连接叱交AC于点。.

【初探】（1）如图1，若/B=90：AB=BC,AE=CF,过点£作£G〃切7交XC于点G.

①求证：4DGE注ADCF，、

②求证：BE=yllCD；

【再探】（2）如图2,若N8=90°,AB=2BC,AE=2CF,探究CO与题1之间的数量关系；

【深探】（3）如图3,48是半圆0的直径，点C是半圆上一点，点E是上一点，点/在8c延长线上，AB

=8,AE=2,BC=4CF,当点C"从点8运动到点儿请宜:接写出点。的运动路径的长.

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30.2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展.某科

技公司计划采购4、。两款小机器人，用于科普展览.已知购买1台d型机器人与2台，型机器人共需要700元：

购买2台力型机器人与3台B型机器人共需要1200元.

(1)求力型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？

(2)该公司计划采购力、“两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买力型机器人多

少台？

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31.如图，已知屋面力£的倾斜角NE4。为22°,长为3米的真空管力8与水平线/。的夹角为37°，安装热水器

的铁架竖直管Cf的长度为0.6米.(参考数据：s出37。Y，cos37°«1,tan37°«1,sin22°«1,cos22°«

,tan22°«0.4).

(1)真空管上端B到水平线AD的距离；

(2)求安装热水器的铁架水平横管8C的长度.

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32.如图，抛物线y=ad+/>x+e（abc^O）与x轴交于点月（xi，0）,B（x2»0）（0<xi<x2）,与y轴交于点C,顶

点为点。，直线。。与x釉交于点W,点。为坐标原点，不妨约定：若A/为线段08中点，则称该抛物线为“X

一型”抛物线：若M为线段。。中点，则称该抛物线为“y—型”抛物线.根据该约定，完成下列各题.

（1）下列抛物线中是“X-型”抛物线的有：（填序号）；

①-3x+4；②（3）y=x2-4x+3：

（2）若抛物线丁二加+狂匕（HcXO）为“丫一型”抛物线，且直线CO的解析式为y=-2x+c,求生虫的值；

（3）抛物线G：尸f+bx+c为“X—型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“丫

一型”抛物线，试求出抛物线G的解析式.

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33.如图，四边形48co是OO内接四边形，对角线ZC与8。相交于点E,对角线4C平分N84。•点尸在线段

AC±,满足3=8,连接收，FD.

(1)求证：AABEsAACD；

AB+AD

(2)若S&BCD=S^BFD，求F-的值;

CD而%=y,试求出y关于

(3)若NBFD-BCD,。。的半径为I,记。--的函数解析式,

UZi,4i£z

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34.如图，平面直角坐标系中有一矩形A4CQ,顶点/、〃都在坐标轴上，反比例函数y=[(x>0)的图象经过点C

(5,2).

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若8c=2而，将矩形力4。竖直向上平移，当反比例函数y=(Q>0)再次经过矩形的顶点时，求此时点力

的对应点坐标.

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35.综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“对补四边形”进行研究.定义:

某学习小组先对“对补四边形”的角进行探究.

如图1,四边形力国⑦是对补四边形，若乙4：NB：ZC=5：3：4,则/。的度数为：

(2)性质探究

该学习小组就“对补四边形”的边和对角线继续进行探究：

①如图2,四边形N8CO是对补四边形，若对角线力C平分/D4&求证：CD=CB；

②如图3,四边形48C。是对补四边形，AB=AD,连接/C,若//C8=a,求N8CO的度数.(用含a的式子表

示)

(3)拓展应用

如图4,在边长为4的等边中，。是边力4的中点，E是边AC上一动点，将△4EQ沿ED翻折，得到△夫£。,

延长E广交直线8c于点G,若CG=|,请直接写出/G的长.

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36.刘徽是中国历史上杰出的数学家之一，《海岛算经》是他留给后世宝贵的数学遗产.某校数学兴趣小组决定参考

《海岛算经》中的方法测量校园围滞外某建筑物的高度43.因其在墙外，底部不可直接到达，故在校园内的£,

G两点处分别竖立两根高为的标杆和G〃（如图），两标杆间隔EG为28/〃，并且建筑物力8、标杆和

G〃在同一竖直平面内，将测量仪器（仪器高度忽略不计）放在标杆叮右侧3根远的点。处，此时测得点。，F,

力在司一条直线上；将测量仪器放在标杆G"右侧5机远的点C处，测得点C,H,力在同一条直线上.已知点从

E,D,G,C在同一条直线上，AB1BC,EF1BC,GHLBC,求该建筑物的高度力氏

A..

BEDGC

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37.问题探究

(1)如图①，OE是△49c的中位线，点少在。，上，DF=2BF,连接并延K，与CB的延K线相交于点若

BC=4,则线段CM的长为；

(2)如图②，在RtZV48。中，AC.LBC,AC=4,BC=6,0是△/出。内部的一个动点，且满足/尸。=NP8C,

求线段力P的最小值；

问题解决

(3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地48CQ,用于班级种植，斯是两个工具房，分别在48,C。边

上，且b=28E,沿£厂铺设一条运送通道，再从点4铺设一条垂直于叱的小路4M,在点M处修一个肥料存

放点，点C处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点〃处获取肥料，需要沿CM铺设一

条小路，要求CM尽可能的短，已知力8=50m，40=40〃?.请问CM是否存在最小值？若存在，求出CM的最小

值：若不存在，请说明理由.(工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计)

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38.如图，。。是△44。的外接圆，力C恰为。。的直径，/8力。=6。°，点P是布上的一个动点，不与&C重合,

连接/IF,BP,CP,过点〃作AE・BC=AB・BE.

(1)求NE48的度数：

(2)求证：8七是。。的切线：

(3)求证：3AP-MCP=ZMBP.

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2026年中考自主招生数学复习题

参考答案与试题解析

一.选择题（共11小题）

1.如图，有一块锐角三角形材料，边8。=120〃〃〃，高,4。=80〃〃〃，要把它加工成正方形零件，使其一边在8。上,

其余两个顶点分别在48,4C上，则这个正方形零件的边长为（）

A.60〃〃〃B.48〃〃〃C.36mmD.24mm

EHAK

解：•・•正方形E/P”的R7边在4c上，J.EH//BC,:./XAEHs丛ABC,A—=—,设KQ=x,

BCAD

:,EF=GH=KD=x,解得：x=48,・••这个正方形零件的边长是48〃?m.故选：B.

12080

2.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某数学兴趣小组用无人

机测量潮汐塔N8的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120加的点M处测得潮汐塔顶端彳的俯角为

22°,再将无人机沿水平方向飞行73〃?到达点N,测得潮汐塔底端4的俯角为45°（点M,MA,8在同一平

面内），则潮汐塔48的高度为（)(结果精确到1利参考数据：sin22°40.37,cos220*0.93,tan22°^0.40)

A.41wB.42/〃C.43〃?D.17m

解：延长血交MN于点C,则8C_LMN,由题意得，BC=120m,MN=73m,在RtZ\CN8中，NCN5=45°,

:"CNB=4CBN=A5°.：.CN=BC=\20ni.：.MC=MN+CN=73+120=193(/〃),

在中，ZAMC=22°,AJC=MC*tan22°^193X0.4=77.2(w),

：,AB=BC-AC=\20-77.2^43（冽），即潮汐塔力8的高度约为43〃?.故选：C.

3.如图，过点C（l,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=・x+6于48两点，若反比例函数y=（。＞0）

的图象与△48C有公共点，则人的取值范围是（）

B.2WZ9C.5WAW8D.5WAW9

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解：当x=l时，y=-1+6=5,当)，=2时，-x+6=2,解得x=4,・••点/、8的坐标分别为力(4,2)、B(1,5),

根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点。相交时，k=1X2=2最小，

设反比例函数与线段相交于点(x,-x+6)时左值最大，则A=x(-x+6)=-/+6工=-(x-3)2+9,

•・・1WXW4,・••当x=3时，〃值最大为9,因此，4的取值范围是2W&W9.故选：B.

4.如图1,将口△£7P与正方形49C。按如图所示的方式摆放，边EG在直线4。上，Z£GF=90°,EG=FG=

10c〃;，AB=\6cm,RtZ\EFG以2“小的速度沿着方向运动，初始时点G与点8重合，当点产与点C重合时

解:设运动时间为f秒，RtAEFG与正方形ABCD重登部分面积为j"/,则G点运动的距离为23〃，

•：EG=FG=10cm,NEG歹=90°,•••△£PG是等腰直角三角形，NEFG=45°,分三种情况讨论：

当5C/W8时，点尸在8c上，点G在8c上(未到达C),此时完全在正方形/也C。内部，如图

•*-y=WG=1x10x10=50,750^18,・•・此时无解：

当0E/W5时，点"在点4左侧或重合，点、G在BC上,此时重叠部分为直角梯形，其高为8G=2(7〃，下底为

EG=10cm,如图，设EF交4B于点H,则△必H为等腰直角三角形，,：FB=FG-BG=(10-2/)cm,

:・HB=FB=(10-2/)cm,：.y=^(HB+FG)-BG=1(10-2t+10)-2t=-2t2+20t,

令・2产+20/=18,整理得户-10什9=0,解得白=1,々=9,•••0W/W5,/./=1；

当8VW13时.，点G在C右侧，点/在C左侧，此时重叠部分为△/CK(K为E/与C£)的交点)，如图，

VZ^CF=90°,NKFC=45°,.••△R7K是等腰直角三角形，

•・•♦点运动的总距离为初始尸在5左侧10cm处,一点相对于5的位置为(2/-10)cm,

11

：,FC=BC-〈21-10)=16-2什10=(26-2/)cm,：.y=^FC2=^(26-2t)2=2(13-t)2,

令2(13-Q2=18,即(13-/)2=9,解得13-/=3或)3-/=-3,,7=1()或/=16,

V8</<13,.,./=IO,综上所述，当重叠部分面积为18c时，运动时间为1s或10s.故选:C.

5.如图，正方形44CQ的对角线交于点。，。。为正方形/4C。的外接圆，E”为直径.若EF=1,则图中阴

影部分的面积为()

第20页(共42页)

£111

-C7-T--

B.--D.2L-

A.8428168

解：:。。与正方形48CQ均为中心对称图形，且正方形力88的对角线交于点。。。为正方形相C。的外接

圆，止为。。直径，・・・S阴影=S弓形花8=S@形配B-SAJOB，/=1，，04=0B=0E=*EF=±

「正方形/J8CO的对角线交于点0,・•・/力。8=90°,・・・S切影=S切％£8=-So。'=盖几x（办2-4x

11

-X-金・・・图中阴影部分的面积为故选S

2242-5

6.某同学利用数学绘图软件探究函数y=E73T的图象，在输入一组“、力的值后得到如图所示的函数图象（与p

轴无交点），根据你学习函数的经验，这组。，力的值应满足（）

A.a>0,b>0B.a<0,b>0C.a>0,b<0D.«<0,b<0

解：从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数再从y轴左侧图象，判断图象虚线代表的意义可知：

a

设虚线为x=m（显然，〃?V0）,由图中可知，当时、y<0,因为|x|>0,所以—-<0,当时，y>0,

x-b

因为|x|>0,所以」7>0,所以（.「〃）在/〃的左右两侧时，符号是不同的，即力=〃?<0,

x-b

当时，x-b<0,而yVO,所以a>0,故。正确.故选：C.

7.在平面直角坐标系中，将二次函数歹=。/-2如-34的图象沿x轴翻折.若原函数图象的顶点、与x轴的两交点

和翻折后图象的顶点，组成的四边形为正方形，则〃的值为（）

1111

A.±4B.-C.-2D.±2

解：,,y=ax1-2ax-3a=a（x-3）（x+1）,令y=0,解得x=3或x=-l,

・••原函数与x轴两交点为（-1,0）和（3,0）,两交点间距离为3-（-1）=4,即四边形的一条对角线长为4.

对原二次函数配方，得>=。（x-1）2-加，・••原函数顶点坐标为（1,・4〃），・・•图象沿x轴翻折，翻折后顶点

横坐标不变，纵坐标变号，，翻折后顶点坐标为（1,4〃），•••两顶点之间的距离为|4a-（-4a）|=|8a|,即四边

形的另一条对角线长为|8外•・•四个点组成的四边形对角线互相垂直平分，若为正方形则对角线相等，

1

・・.|8°|=4,解得Q=土会故选：D.

8.已知，抛物线丁=/-2必+〃?2+1（,〃为常数），下列判断正确的是（）

A.该抛物线的开口方向向下R.该抛物线与y轴交点可能在y轴负半轴卜

C.该抛物线与x轴一定有交点D.点P（〃什2,ri）,点、Q（利-2,y2）在该函数图象上，则尹=”

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*：y=x2-2mx+m2+l=(x-rn}2+l,二次项系数。=1>0,；・抛物线开口向上，一选项错误.

:当人=()时，y=〃/・••购物线与y轴交点在y轴正半轴，6选项错误.

:判别式4=(-2m)2-4X|XCW2+1)=-4V0,・••抛物线与x轴没有交点，C选项错误.

•・•抛物线对称轴为直线％=〃?，点尸(m+2,/)到对称轴的距离为|(m+2)-刈=2,点。(w-2,")到对称轴

的距离为|(w-2)-〃?|=2,・••两点到对称轴距离相等，对应的函数值相等，即川="，。选项正确，故选：D.

9.如图，过点。(1,2)分别作x轴、歹轴的平行线，交直线y=-x+6于44两点，若反比例函数y=3(x>0)

的图象与^力^。有公共点，则庆的取值范围是()

y

A.2WAW8B.2WAW9C.2WAW5D.5WAW8

解：•・•点C(l,2),5C〃y轴,/C〃x轴，・••当x=l时，y=-1+6=5,当y=2时,…6=2,解得工=4,

••・点/、B的坐标分别为4(4,2),B(I,5),根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，

左=1X2=2最小，设反比例函数与线段48相交于点(，-x+6］时上值最大，则％=x(-x+6)=-.Y2+6X=-

(厂3)2+9,・・・1&W4,・•.当x=3时，々值最大，此时交点坐标为(3,3),因此，%的取值范制是24W9.故

选：B.

10.如图1,在等腰直角三角形中，4C8=90°,点。为边,48的中点.动点P从点4出发，沿边力。一CB

方向匀速运动，运动到点4时停止.设点户的运动路程为x,△HPO的面枳为y,y与x的函数图象如图2所示,

当点尸运动到的中点时，尸。的长为()

解：根据题意动点P从点片出发，沿边4C-C8方向匀速运动过程中，△彳P。的面积先增大，再减小,

当点，运动到点。时，△4P。的面积最大，根据函数图象可得此时△力PO的面积为4,

1

如图，：点。为边力8的中点，等腰直角三角形力BC,・・・SAA8C=2S^DP=8=54C2,可得/1c=4,

当点尸运动到的中点时，如图，•••点。为边力3的中点，・・・OP=44C=2,故选：A.

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11.已知点4(胆，巾)、B(6+4,/)、C(xo,刘)在二次函数y=a，+4at+c(。^0)的图象上，且。为抛物线的

顶点.若川巨yi>j，2，则/〃的取值范围是()

A./»?<-6B.m>-6C.m<-4D.m>-4

解：由对称轴公式x=-/可知其中b=4〃，・•・%=-需=-2,即抛物线对称轴为直线x=-2,

•・・C为顶点，且网说明顶点纵坐标是抛物线的最大值，

••・抛物线开I」向下，〃V(),开口向下时，点离对称轴越近，对应函数值越大，

•・$>W・••点4到对称轴的距离小于点8到对称轴的距离，即向・(-2)|<|(m+4)-(-2)|,

2

整理得加+2|V制+6|,两边平方得</M+2)<(w+6)2,展开得用2+4〃?+4VM2+%7M+36,解得“>-4,

・•.〃?的取值范围是-4.故选：D.

二.填空题(共14小题)

12.若打，X2是一元二次方程F-2026x-2027=()的两个实数根，Mxi+A-7=2026.

解：•・•，=-2027,a=\,b=-2026,，必+必=一，=一=2026.

13.如图，已知△CM6的一边46平行于x轴，且反比例函数y=5经过△046顶点B和O月上的一点C,若OC=

24c且△OBC的面积为与，则k的值为8.

CE0CCE2k

解：作轴，CE_Lx轴，力/_Lx轴，:,AF〃CE,A-T=—.*：OC=2AC,设点8（一，〃），

AF0AAF3n

ob3k2

•・・/6〃x轴，・・・4点的纵坐标为〃，・・・CE=M，•・•点C反比例函数产J・・・C（h，-/?）,

Jx2n3

123kk]0

,**S^OBC=S^OBD+S梯形BCED-S^COE=S梯形BCED，工]（〃+?）--）=丁，解得k=8

14.如图，将△力08绕点。逆时针旋转得到△C。。，NO力4=75°,若CQ恰好经过点/,iLOC1OB,0力=4,

则43=_2历_.

解：由旋转的性质得：OA=OC、NC=/OAB=75°、/AOB=/COD,：,ZOAC=ZC=15°,

A/AOC=\^0-75°-75°=30°.VOCIAB.A/CO/?=90°.：./AOB=/COB-/AOC.=^・30°

=60°,AZ^=180°-ZOAB-ZAOB=\SO°・750・60°=45°,

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如图，作力/_L08于点立

在尸中，ZJ(7F=60°,0,4=4,：,AOAF=W-60°=30°,；・OF=^。力=/x4=2,

：.AF=yjOA2--OF2=V42-22=2V3,在Rt△48尸中，N8=45°,...△48F是等腰直角三角形,

:.BF=AF=2瓜：,AB=V/1F24-BF2=J(2>/3)24-(2>/3)2=2A/6

15.如图所示的扇形043中，408=120°,过点。作。C_LCM,OC交4B于•点、P,若（）P=2,则阴影部分的面

枳为3n-2V3.

解：・・・0C_L08,：./BOC=90°,VZJO^=120°,OA=OB,：,ZPBO=30°,

・・・O8=OQ+tan3（）°=28，，阴影部分的面积为胆妻孕-一：x2gx2=3n-2巡.

3602

16.如图，在心△“b。中，点〃为斜边48的中点，点。为“。边上不与端点重合的一动点，连接30,PQ.若4B

解：在Rl△4BC中，点?为斜边力6的中点，点。为4C边上不与端点重合的一动点，贝IJ：

延长8c到点。，使CO=8C,连接PD,交力C于点。，连接“，如图所示：VZJC5=90°,：,ACVBD,

•・・。。=3。，.••力。垂直平分40,・・・80=。0,・・・80+尸0=00+尸。，;两点之间线段最短，，此时P0+Q0最小,

即匹+P。最小，•••在Rt△48。中，乙4=30°,48=6,：.BC=^AB=3,:.CD=BC=3,,・•点P为斜边力8

的中点，；・CP=BP=