苏科版八年级数学下册《公式法》每课时导学案汇编（含三个导学案）

9.3公式法(1)导学案

主备人：班级：学生姓名：

学习目标：

1.理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征，会运用平方差公式分解因式.

2.经历把平方差公式反过来探索平方差公式法分解因式的过程，体会它们之间的联系，

发展逆向思维的能力.

学习重点：理解平方差公式的意义，运用平方差公式分解因式

学习难点：灵活运用平方差公式分解因式.

自学要求：认真阅读教材P110-111,回答下列问题：

一、新知体验：

1、情境引入：

前面我们学习了乘法公式

(a+b)(a-b)=a2-b2；(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.

把上述公式反过来，就得到

a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.

逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法.

2、探索新知：

尝试：

填空：

(1)a2-16=a2-()2=(a+)(a-)；(2)64-b2=()2-b2=(+b)(-b).

小结：

(1)适合用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式特点：

①是二次二项式；②两项都能写成平方；③两项符号为异号。

(2)用平方差公式分解因式一般步骤：

①两项都能写成平方的形式，把正的平方项放在前面；②写成两数和乘以两数差的形式；③验

证.

试一试：

(1)下列多项式中，可以用平方差公式分解因式。(填序号)

(T)x2—y2@x2+y2(3)—x2—y2(4)-x2+y2@64—a2(6)4x2—

9y2

(2)分解因式4x2-y2的结果是()

A.(4x+y)(4x-y)B.4(x+y)(x-y)C.(2x+y)(2x-y)D.2(x+y)(x-y)

二、例题讲解

例1、把下列各式分解因式

(1)36—25x2(2)16a2-9b2(3)9(a+b)2—4(a-b)2

例2、如图，有一个圆环形的观景台，己知R=12.5m,r=7.5m,求观景台(阴影部分)的面积S(结果

精确到1m2).

例3、已知k是正整数，求证：(k+2)2收是4的倍数。

三、基础强化：

1、已知5七1能被2()〜30之间的两个整数整除，这两个整数是()

A.22和24B.24和26C.26和28D.25和27

2、若a+b=4,a-b=1,则(a+1F(b-1户的值为.

3、把下列各式分解因式：

(1)X2-25；(2)x2-16y2；(3)a2-^b2；(4)x2y2-z2.

4、把下列各式分解因式：

(1)(X+2)2-9；(2)(x+a)2-(y-b)2;(3)81(a+b)2-4(a-b)2.

5、数学小组在研究式子M'N2时，发现当M,N是具有某种关联关系的两位数时，具有一

定的运算规律：

112-112=00212-122=1x3x99(2)322-232=1x5x99③422-242=2x6x99(?)

根据上述规律解决下列问题：

⑴填空:522_252=x7x99；

(2)若两位数M,十位上的数为a,个位上的数为b,写出你发现的规律,并加以证明；

⑶小智发现某一式子MZN'MrN)的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值。

四、拓展提高：

一个正整数p能写成p=(m+n)(m-n)(m,n均为正整数，且m知)，则称p为“平方差数”,m,n

为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若012+!?最大，则称m,n为p的最佳平方

差变形，此时F(p)=n?+n2.例如:24=(7+5)x(7-5)=(5+l)x(5・l),因为72+52万+12所以7和5是

24的最佳平方差变形，所以F(24)=74.

(I)F(32)=：

⑵若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x.y(l<x<y<7),q为“平方差数''且x+y能被

整除，求F(q)的最小值.

五、总结反思：

1、公式法的概念：

逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法.

2、适合用平方差公式分解因式特点：

①是二次二项式；②两项都能写成平方；③两项符号为异号。

3、用平方差公式分解因式一般步骤：

①两项都能写成平方的形式，把正的平方项放在前面；②写成两数和乘以两数差的形式。③验

证。

六、达标检测：

1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()

A.a2+b2B.-(a2+b2)C.-b2+a2D.-a2-b2

2、若x+y=2,则代数式x2-y2+4y的值等于.卜

3、如图，在RtZiABC中，若斜边c=25,直角边a=24,求直角边\b.

4、已知a>b>0,求证：a2>b2.

解答：

尝试：444,888

试一试：

⑴①④⑤⑥；

(2)C

二、例题讲解：

例1、解:⑴36—25/=6&-(5z>=(6+5*)(6—5%)；

⑵16a2—9^=(4a)2—(36)2=(4a4-3^)(4a—36)j

(3)9(Q+6)’一4(a—AT

=[3(a+W]2—[2(a-d)了

=[3(a+6)+2(a-6)][3(a+6)—2(a—6)]

=(5a+«(a+5W.

例2、%3：S=7tR2—n，=n(R+r)(R—r)・

当R=12.5m,厂=7・5m时，

S=K(12.54-7.5)X(12.5—7.5)=7tX20X5=1007r^314(m2)

例3、解；•・・(%+2》—42-金+2+DS+2—氏)=2(2儿+2)=4凌+1)，

二,A是正整数，

・・・4J+D也是正整数，且是4的倍数.

・・・柒+2>一公是4的倍数.

三、基础强化：

1、B2、12

3、(1)(x+5)(x-5)：(2)(x+4y)(x-4y)；⑶g+gb)(a-；h)：(4)(xy+z)(xy-z)

4、(1)(X+2)2-9=(X+5)(X-1)；

(2)(x+a)2-(y-b)2=(x+a+y-b)(x+a-y+b)；

(3)81(a+b)2-4(a-b)2=[9(a+b)]2-[2(a-b)]2=(11a+7b)(7a+11b).

5、(1)3；

(2)我发现的规律是：(10a+b)2-(l()b+a)2=(a-b)x(a+b)x99.

证明如下：(10a+b)2・(10b+a)2

=[(1Oa।b)।(1Ob।a)]x[(10a।b)-(1Obia)]

=H(a+b)x9(a-b)

=(a-b)x(a+b)x99

(3)因为“2一N?(M*N)的结果恰好是一个整数的平方,

所以99(0-6)(a4b)是一个整数的平方.

因为99(a-b)(a+b)=9x11x(a-6)(a4-6),

又因为1Wa,6^9,

所以忙[I解得AT

[a+b=11(o=5

所以河=6x10+5=65.

四、拓展提高：

(1)130

MW：32=(9+7)x(9-7)=(6+2)x(6-2).v92+72>62+22,

.•.尸(32)=92+7?=130.故答案为130.

(2)vx+y能被7整除,1WgW7,/.x+y=7或x+y=14,

.」x=l,或(*2,或(*3,或e=7，

ly=6ly=5ly=4ly=7.

22

当4=l,y=6时,q=16=(5+3)X(5-3),F(9)=5+3=34；

Sx=2,y=5Ht,<7=25=(13+12)x(13-12),F(^)=132+122=313；

当4=3,尸4时,34,此时夕不是平方差数，不符合题意；

当“二7,)•二7时，(7=77=(39+38)x(39-38)=(9+2)x(9-2).

392+382>92+22.AF(g)=392+382=2965.

・・・34<313<2965".F(q)的最小值为34.

六、达标检测：

1、C

2、4

3、解：在R2ABC中，若斜边c=25,直角边a=24,

由勾股定理得，a2+b2=c2,242+b2=252»b2=49,.,.b=7

4、解：va>b>0,•••a+b>0,a-b>0

va2-b2=(a+b)(a-b)>0,.'.a2>b2.

9.3公式法（2）导学案

主备人；班级；学生姓名；

学习目标：

1、理解完全平方公式的意义，弄清公式的形式和特征，会运用完全平方公式分解因式.

2、经历探索完全平方公式法分解因式的过程，体会它们之间的联系，发展逆向思维的能力.

学习重点：运用完全平方公式分解因式.

学习难点：灵活运用完全平方公式分解因式.

自学要求：认真阅读教材P112,回答下列问题：

二、新知体验：

5、情境引入:

如图，有两张边长分别为a,b的正方形纸片，两张长、宽分别为a,b的矩形纸片.

你能把这四张纸片拼成一个大矩形吗?如果能，画出拼成后的图形，如果不能，请说明理

由。

二6

aa

6、探索新知:

尝试：填空:

(1)a2+346a+9=a2+2-()•()+()2=()2；

(2)a2-6a+9=a2-2()•()+()2=()2；

(3)a2+()+4b2=a2+2.(),()+(>=()2;

2222

(4)a-8a+()=a-2-()•()+()=()0

小结:

(1)适合用完全平方公式a3ab+b2=(a±b)2分解因式特点:

①是二次三项式；②两项是同号且都能写成平方，另一项恰好写成平方式时底数积的2倍。

(2)用完全平方公式分解因式一般步骤：

①两项都能写平方和的形式，另一项写成平方式时底数积的2倍；②写成完全平方的形式;

③验证。

试一试：

(1)下列各式中，能运用完全平方公式进行分解因式。(填序号)

①机2+〃7〃+心(2)x2-2xy-y2；③/-4x2y+4y2；

④-206/4-25；x~++4；⑥+12皿+/.

(2)若4a2+4ma+36是一个完全平方式，则m=°

二、例题讲解

例1、把下列各式分解因式：

(1)X2+10X+25；(2)4a2-36ab+81b2.

例2、把下列各式分解因式：

(1)25a4+1Oa2+1；(2)(m+n)2-4(m+n)+4.

三、基础强化：

1、下列各式中能用完全平方公式分解因式的是().

A.X2+X+1B.X2+2X-1C.X2-1D.X2-6X+9

2、(1)20262-2X2026X2025+20252=；(2)1922+192x16+82=

3、下列多项式能否分解因式?如果能，把它们分解因式.

(l)a2+8a+16；(2)9a2-3a+l；⑶a?/；(4)a2-ab+—Z?2.

4

4、把下列各式分解因式

(1)—x2+8x—16；(2)4(x+y)2—12(x+y)+9.

5、已知a=—+622,b=—+623,c=—+624,求彳t数式2(a2+b2+c2-ab-bc-ac)0^<fio

623623623

五、拓展提高：

1、如果a2+b2-4a-6b+13=0,则a+b=.

2、已知aABC的三边长分别是a,b,c.

⑴若b?-c2+2ab-2ac=0,求证:AABC是等腰三角形.

(2)求证:a2+c2-b2-2ac<0.

五、总结反思：

1、适合用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)之分解因式特点：

(1)是二次三项式；(2)两项是同号旦都能写成平方，另一项恰好写成平方式时底数积

的2倍。

2、用完全平方公式分解因式一般步骤：

(1)两项都能写平方和的形式，另一项写成平方式时底数积的2倍；

(2)写成完全平方的形式；

(3)验证。

六、达标检测：

1、把下列各式分解因式：

(l)25x2+10xy+y2；(2)a2-12ab+36b2；(3)16a4+24a2b2+9b4；(4)(x+y)2-10(x+y)+25.

2、己知a，b,比较M+b?与2ab的大小，并说明理由.

解答：

一、情境引入

(3)4aba2b2ba+2b；(4)16a44a-4

试一试:

⑴③④⑥;(2)±6

二、例题讲解:

例1、解：(1)X24-10x4-25=x24-2-x・5+5，=(1+5)、

(2)4a2—36a5+81〃=(">一2・2a•9b+(9d):=(2a-96)\

例2、解：(1)25a44-10a2+1=(5aP+2・5a?・1+1?=(5/+D>

(2)(m4~n)2—4(m+n)+4=(m+n)2—2•(m-+-n)•24-22

=[(m+〃)-2jl=(m-Fn—2)2.

三、基础强化：

1、D2、(1)1；(2)4(XXX).

3、⑵⑶不能分解因式，⑴(4)能分解因式

(1)a2+8a+16=(a+4)2；(4)a2-ab+—/?2=(a--b)2.

42

4、(1)—x2-|-8x—16=(x4)2；

(2)4(x+y)2-12(x+y)+9=(2x+2y-3)2.

5、解：va=+622,b=—+623,c=+624,.*.b-a=l,c-b=l,c-a=2

623623623

•••2(a2+b2+c2-ab-bc-ac)

=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)

=(a2+b2-2<ib)+(c2+b2-2bc)+(a2+c2-2ac)

=(b-a)2+(c-b)2+(c-a)2

=l2+l2+22

=6

四、拓展提高：

1、5.

2、解：(1)•••△ABC的三总长分别是a,b,c,b2-c2+2ab-2ac=0,

•••(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0,：•(b-c)(b+c+2a)=O,

•••b+c12a#0,，b-c=O,，b=c,.♦.△ABC是等腰三角形。

(2)证明:・・・a2+c2-b2-2ac=(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b)

••△ABC的三边长分别是a,b,c,.*.a-c+b>0,,a-c-b<0

.*.a2+c2-b2-2ac<0.

六、达标检测：

1、(1)25X2+1Oxy+yZ(5x+y)2；(2)a2-l2ab+36b2=(a-6b)2；

(3)16a,+24a2b2+9b,=(4a2+3b2)2；(4)(x+y)2-lO(x+y>4-25=(x+y-5)2.

2、a2+b2>2ab,理由如下：・・・a-brO

a2+b2-2ab=(a-b)2>0.即a2+b2>2abo

9.3公式法(3)导学案

主备人：班级：学生姓名：

学习目标：

1、进一步熟悉提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式；

2、能根据不同题目的特点选择较合理的分解因式的方法；

3、知道因式分解的方法步骤以及因式分解最终结果的要求.

学习重点：知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式.

学习难点：能综合运JU提公因式法、公式法分解因式.

自学要求：认真阅读教材P113/14,回答下列问题：

一、情境引入：

如何把多项式,〃/一3二分解因式？

3

二、例题讲解

例1、把下列各式分解因式.

(1)18a2—50；(2)Zx3—8xy+8y；(3)a2(x—y)—b2(x—y).

例2、把下列各式分解因式.

(I)a4-16；(2)81x4-72xy+16y4.

小绦

通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再运用公式.进行多项式因式分解时，

必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。

三、基础强化，

I.下列分解因式的结果正确的是()

A.2a2-8bJ2(a+4b)(a~4)B.x2-6x-^=(x-3)2C.2nr-4mn+9ir=(2m-3n)2D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y)

2、把下列各式分解因式：

(l)-2xy-x2-y2；(2)2ax2-2ay4；(3)(a+b)-a2(a+b).

3、把下列各式分解因式:

(l)x4-81；(2)(x2-2y)2-(l-2y)2；⑶x4-2X2+1.

4、分解因式.

(1)(a2+b2)2—4a2b%(2)(x2—2x)2+2(x2—2x)+1.

5、探究：x2+8x-9=(x+4)2S成立.吗?你能将x2+8x-9分解因式吗？

6、求证:无论x取何值,代数式X2+2X+5的值不小于4.

7、求证:两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍.

小结：运用数学中“整体二“换元”的思想.体会数学中的化归思想.

六、拓展提高：

阅读：代数式变形

方法一:杷代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫作拆项.如a2=3a2-2a2

方法二:在代数式中添上两个相反项，叫作添项，如a2+l=a2+2a-2a+l

通过拆项或添项的变形，创造已提取公因式或运用乘法公式进行因式分解的条件，使原式的某些项

之间能够建立起联系，便于采月分组法进行因式分解。

(I)运用拆添项法分解因式:/+4=.

(2)关于x的二次三项式x2-20x+l11,在x=时，有最小值。

(3)因式分解：

(l)x4+4y4；(2)X4+X2+1O

五、总结反思：

分解因式的一般步骤：

<1)若多项式各项有公因式，则先提取公因式；

(2)若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式;

(3)每•个多项式中的因式都分解到不能再分解为止.

六、达标检测：

1、把下列各式分解因式：

(l)a4-l；(2)x4y4-8x2y2+16.

2、计算:

(1)7582-2582：⑵4292-1712.

3、运用分解因式a2-6ab+9b2的结果，对(x+3yf-6(x+3y>(x-y)+9(x-y)2进行因式分解,

答案:

一、情境引入:

-3n2(in2-9/?2)=g(rn+-3〃)。

二I例题讲解

例I、解：

(1)18a2-50=2(9。'-25)=2(3a+5)(3a-5)i

(2)2j^y—8xy+8y=2y(x*—4x+4)=2>(x—2)。

(3)a1(x—y)—62(x—y)=(x-y)(a2-62)=Cr->)(a+6)(a-W.

例2、解：

(1)a4-16=(a2)2—4?=(a2+4)(a2—4)=(a2+4)(a+2)(a—2)j

(2)81x4-72x?丁+164=(My_2・・短+=(9x*-4y>

=[(3x+2y)(3x-2y)了=(3x4-2y)2(3x—2y)1,

三、基础强化：

1、B

2、解：(1)-2xy-x2-y2=-(x+y)2；

(2)2ax2-2ay4=2a(x+y2)(x-y:)；

(3)(a+b)-a2(a+b)=(a+b)(1+a)(1-a)。

3、解:(I)x4-81=(X2+9)(X2-9)=(X2+9)(X+3)(X-3)；

(2)(x2-2y)2-(l-2y)2=(x2-4y-l)(x2-l)=(x2-4y-l)(x+I)(x-l)；

(