实践与探索 一元一次方程的应用（习题）原卷版-华东师大版七年级数学下册

专题6.4实践与探索

4.能检验方程解的合理性，确保符合实际意义。

5.能解决和差倍分、行程、工程等常见题型，培养分析和解决问题的能力。

重点

（1）二元一次方程组应用的基本步骤。

（2）常见实际问题的等量关系提炼。

（3）直接设元与间接设元的灵活运用。

教学重难点（4）方程解的双重检验（方程成立+实际意义）。

难点

（1）复杂问题中隐藏等量关系的挖掘（如分段收费、图表信息题）。

（2）间接设元的合理选择与运用。

（3）方案决策类问题的多解分析与最优方案筛选。

（4）几何图形与实际问题结合的建模过程。

知识清单

知识点01：二元一次方程组应用的基本步骤

1.审题：梳理题目中的已知量、未知量，明确核心0

2.设元：根据题意设直接或间接未知数（含单位）。

3.列方程组：根据列出两个独立的二元一次方程，组成方程组。

4.求解：用代入法或加减法解方程组，得到数学解。

5.检验：验证解是否满足方程组，且符合实际意义（如人数、长度为正）。

6.作答：规范写出答案，注明单位。

【即学即练】

1.（25-26七年级下•全国•课后作业）某商场销售品牌羽毛球和篮球，其中羽毛球进价为20元/简，售价为

30元/筒；篮球进价为50元/个，售价为80元/个.现商场用13000元购进羽毛球和篮球并全部售出，羽毛

球和篮球的总利润为7500元，求该商场购进羽毛球和篮球的数量.

知识点02：常见实际问题的核心等量关系

1.和差倍分问题：总量=部分量之和，差量=-,倍数量=x.

2.行程问题：路程=X；相遇问题：=;追及问题：路程差=初始距离;

航行问题：顺流速度=+,逆流速度=-。

3.工程问题：工作量=X;总工作量=各部分工作量之和（通常设总工作量为1）。

4.销售利润问题：利润=售价-进价；利润率=（利润+进价）X100%：总利润=X。

5.配套问题：配套部件数量比=产品配套比例（如1个部件A配2个部件B,则A的数量X2=B的数量）。

6.几何问题：利用图形的边长、面积、体积公式，结合题意建立等量关系（如长方形周长=2X1长+宽））。

【即学即练】

1.（2026七年级下•全国•专题练E）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，租用的每辆车都坐满时，

用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人.

（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？

（2）若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐满.请你设计出所

有的租车方案.

【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，由题意正确列出二元一次方程（组）并求解是解题关键.

知识点03：设未知数的技巧

1.直接设元：问什么设（适用于未知量直接关联的简单问题）。

2.间接设元：当直接设元列方程医难时，设为未知数（如数字问题设数位上的数字）。

3.注意事项：设元时需注明单位，多个未知数需明确区分（如设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/

时）。

【即学即练】

1.（25・26八年级上•陕西渭南•期人）某文具店为满足学生需求L划购进一批修正带和笔袋.已知购进3个

修正带和2个笔袋共需44元；购进2个修正带和1个笔袋共需26元.

⑴求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？

⑵若该文具店准备用200元购进一批修正带和笔袋（两种文具布有），且将200元用完，求该文具店共有几

种进货方案？

题型精讲

题型01和差倍分问题

方法技巧：抓住“和、差、倍、分”关键词（如“比…多””是…的几倍”），直接建立未知量与已知量的数

量关系，列出方程组。

【典例1].（25-26八年级上•甘肃白银•期末）某停车场共设小型车位和SU，车位300个，其中小型车位每

小时2元，SW车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和SUV车位各

多少个？

【变式1].（25-26八年级上•广东河源・月考）某班同学计划购买足球和跳绳，已知购买2个足球和3根跳

绳共需70元，购买1个足球和2根跳绳共需40元.求足球和跳绳的单价.

【变式2】.（25-26八年级上•陕西咸阳♦月考）学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A,B两

种食品作为午餐.已知一包A食品含700kJ热量和10g蛋白质，一包8食品含900kJ热量和15g蛋白质，若要

从这两种食品中恰好摄入4600kJ热晟和70g蛋白质，应选用A,B两种食品各多少包？

【变式3】.（2526九年级上•陕西咸阳・月考）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物

质文化遗产之一.在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特

定关系，从而演奏出美妙的乐曲.

⑴若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？

（用二元一次方程组的知识解答）

⑵为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A,3两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，6配件每个

40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购

方案？

题型02数字问题

方法技巧：两位数表示为10a+b（a为十位数字，b为个位数字），三位数表示为100a+10b+c,根据数位

关系或数字变换规律列方程。

【典例2].（25-26七年级下•全国•课后作业）小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写

了一个0,得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0,得到的和为341,原来法个加数中较

小的加数是.

【变式1].（24-25七年级下•全国•课后作业）一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大

2.若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9.求这个两位数.

【变式2].（25-26七年级上•重庆•期中）在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性和“七〃有关.

定义：对于四位自然数加若其千位数字与个位数字之和等于7,百位数字与十位数字之和也等于7,则称

这个四位自然数几为“七巧数〃.

例如：3254是“七巧数”,因为3+4=7,24-5=7,所以3254是“七巧数〃；1456不是“七巧数",因为1+6=7

但4+5H7,所以1456不是“七巧数”.

⑴最大的“七巧数''是，最小的"七巧数〃是;

⑵若将一个“七巧数的个位数字和千位数字交换位置，十位数字和百位数字交换位置得到一个新的“七巧

数、'，并记"5）=71+/,求证：无论几取何值，产（九）为定值，并求出这个值；

⑶若m是一-个“七巧数〃，且m的百位数字加.上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，请求出

满足条件的所有“七巧数〃m.

【变式3].（25-26八年级上•四川成都・月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段

时间看到的里程碑上的数如下：

时刻12:0013:0014:00

是一个两位数，十位与个比12:00时看到的

是一个两位数，数字

碑上的数位数字与12:00时所看到两位数中间多了

之和是7

的正好颠倒了个。

则12:00时看到的两位数是多少？

题型03年龄问题

方法技巧：年龄差始终不变，设现在年龄为未知数，根据“过去/未来年龄关系”表示出对应年龄，利用年

龄差或题目条件列方程。

【典例3】・（25-26七年级下•全国•课后作业）小明和小亮比年龄.小明说："再过4年，我就和你现在一

样大."小亮说："再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍.〃根据小明和小亮的对话，求他们现在的年

龄.

【变式1].（2025七年级上•全国•专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”"米寿〃"白寿”分别是77岁,88岁，

99岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的孑寸曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的:时又为奶奶贺米寿.小

花多少岁时将为奶奶贺白寿？

奶奶的年龄/岁小花的年龄/岁妈妈的年龄/岁相等关系

1

77Xy

x+88-77=1(y+88-77)

88x+88-77y+88-77

【变式2】.（25-26七年级上•福建福州•期中）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为〃、b,记这个两

位数为诬，则后j=10a+b,例妇石=10x2+3.

⑴把话这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除;

⑵芳两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重发:颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年

龄”.聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄〃，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经

过山年后（父亲年龄仍是两位数〕会再次出现颠倒.求出满足上述条件的正数机的值.

【变式3].（24-25七年级下•湖南张家界•期末）小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路.假设他

始终保持上坡路每分钟走40m,平路每分钟走60m,下坡路每分钟走80m,则他从家里到学校需15min,从

学校到家里需lOmin.试问：小华家离学校多远？

题型04行程问题

方法技巧：

核心公式路程=速度x时间；相向相遇：

路程和二总距离；

同向追及：路程差二初始距离（环形跑道需乘圈数）:

顺逆（风/水）：顺速二静速+辅助速度，逆速二辞速-辅助速度:

火车过桥：总路程二车长+桥长：

分段/往返：总路程;各段路程和，总时间二各段时间和。

【典例4].（25-26八年级上山|东青岛•周测）一列匀速行驶的火车通过一座160米的铁路桥用了30秒，

而它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了35秒，求这列火车的速度和长度？

【变式1].（25-26八年级上•陕西咸阳•月考）从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为

山路.小刚骑自行车从甲地出发，以8km/h的速度通过平路，再以4km/h的速度通过山路到达乙地，共用了

1.5h,求平路和山路的长各为多少千米.

【变式2].（24-25七年级下•甘肃武威•月考）甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小

时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度.

【变式3],（25-26八年级上•全国•课后作业）新情境高铁是当代重要的交通工具.如图，某列复兴号动

车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等.李华在观测点进行测量记录，

该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通

过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？

题型05工程问题

方法技巧：设工作效率为未知数，总工作量设为1（或具体数值），合作效率:各单独效率之和，根据“工作

量二效率X时间”列方程。

【典例5].（2026七年级下•全国・专题练习）某工程队承包了两项工程.第一项工程甲组做了10天、乙组

做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8人、乙组做了12人完成，共获报酬13600元.甲、

乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？

【变式1】,（25-26七年级上•湖南岳阳・月考）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可

提前6天完成：若每天处理120吨，将延误3天完成.设原计划3天完成，这批废铜共有y吨.

⑴根据题意列出方程组；

⑵求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数.

【变式2】.（25-26八年级上•四!1|成都•月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可

以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再清乙队单独做12天可以完成，需付两队费

用共3480元，问：

⑴甲、乙两队每天费用各为多少？

⑵若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？

【变式（2026七年级下•全国•专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限

内完成.按原来的生产进度，每天生产这种工作服150套，在规定的期限内只能完成订货量的g.现在，工

厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服200套.按现在的生田进度，不仅比规定的期限少用1天，而且

比订货量多生产了25套.那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？

题型06古代数学问题

方法技巧：翻译古文题意，将“牛五羊二值金十两”等表述转化为现代数学语言，提炼等量关系，设未知

数列方程组。

【典例6】・（25-26八年级上•辽宁沈阳•期末）列二元一次方程组解应用题：

《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？〃

译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木

条短1尺，间木条和绳子各长多少尺？”

【变式1].（25-26七年级下•全国•课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期.它由供水

壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，

可通过读取箭尺刻度计算时间.已知在筋尺有一定读数的情况下，供水2小时，简尺读数为18cm：供水6

小时，箭尺读数为42cm.若开始记录时是上午8:00,求当箭尺读数为84cm时的时间.

浮!5漏示意图

供水也

【变式2】.（24-25七年级下•辽宁大连・月考）华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统

宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中记载："以绳测井，若将

绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？〃其大意是："用绳子测水井深度，

如果将绳子折成四等份，井外余绳3尺（1尺*33.33厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳2尺，问绳长、

井深各是多少尺？〃

【变式（25-26八年级上•福建三明・月考）今有五雀、六燕,集称之衡.雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交

而处，衡适平.并雀、燕重一斤.问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）

题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的谨轻；若将其

中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同.已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重

多少？

题型07销售利润问题

方法技巧：利泗二售价-进价，总利泗二（售价-进价）X销量，利润率二（利泗♦进价）X100%,根据成本、

售价、利润的关系列方程。

【典例7].（25-26八年级上•广东深圳•期末）为推进校园智慈体育建设，某校计划采购力/体育测训一体机

（4型机）和智能划船机（8型机），相关数据如下：采购2台4型机和4台〃型机，总费用为6万元；采

购3台A型机和1台8型机，总费用为6.5万元.

⑴求每台4型机和每台B型机的价格分别是多少万元？

⑵学校计划用7万元采购A型机和3型机（两种设备均需采购），若采购资金全部用完，学校共有多少种符

合条件的采购方案？并列出所有方案.

【变式1].（25-26八年级上•陕西咸阳•期末）某品牌新能源汽车店计划购进4,8两种型号的新能源汽车.已

知购进3辆4种型号的新能源汽车比购进1辆8种型号的新能源汽车多24万元;购进1辆A种型号和1辆8种

型号的新能源汽车共56万元.

⑴求4,8这两种型号的新能源汽车每辆的进价；

⑵该品牌新能源汽车店计划用560万元购进A,8两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），该品

牌新能源汽车店有几种购进方案？请写出所有可行的方案.

【变式2].（25-26八年级上•广东深圳•期末）2025年11月第十五届全国运动会在大湾区举行，大会吉祥

物“A种纪念品〃和“8种纪念品〃受到追捧，某纪念品商店用6000元购进两种纪念品，按标价售出后可获得毛

利润3800元，这两种纪念品的进价、标价如表所示：

A种纪念品B种纪念品

进价（元/件）60100

标价（元/件）100160

⑴％种纪念品〃和“8种纪念品"各购进的件数；

（2）如果“A种纪念品〃按标价的8折出售，“8种纪念品〃按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，该

纪念品商店能获利多少元？

【变式3].（25-26七年级下•全国•课后作业）如图，A,8两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食

品厂，它到8地的距离是到A地距离的2倍.现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有

损耗）卖到8地，两次运输（第一次：A地f食品厂.第二次：食品厂9B地）共支出公路运费15600元,

铁路运费20600元.已知公路运费为1.5元/（km-t）,铁路运费为1元/（km-t）.

A食品厂B

■...........♦........................■

公路20km铁路100km公路30km

⑴该食品厂到A地、8地的距离分别是多少千米？

（2）该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？

⑶若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品

每吨的售价（利润=总售价一总成本一总运费）.

题型08配套问题

方法技巧：先明确配套比例（如1个盒身配2个盒底），设生产各部件的数量或人数为未知数，根据“配套

比例二部件数量比”列方程。

【典例8].（24-25七年级下•全国课后作业〉用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或8个桶底，而1个

桶身，1个桶底正好配套成1个水桶.现在有63张这样的铁皮，则需要用张铁皮做桶身，张

铁皮做桶底，才能正好配套.

【变式1].（25-26七年级上♦黑龙江哈尔滨•期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，

每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套.

⑴应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架：

⑵为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中

留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产6镜片，并将配套好的眼镜和8镜片分别

出售，若每副眼镜利润为170元，每片8镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需

要分出多少人生产8镜片？

【变式2】.（25-26七年级上•全国•期末）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品

由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件.现将工

人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套.

⑴工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？

⑵现在工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行4型零件

的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件.请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成

生产任务？

【变式3].（25-26七年级上•黑龙江哈尔滨•期中）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂

某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件.

⑴求某班同学一共带去了多少件礼品？

（2）该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的

螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名得？

⑶在（2）的条件卜，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，

在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，乂有4个销售商临

时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零

件的售价是多少？

题型09几何图形问题

方法技巧：利用长方形周长/面积、正方形边长、立体图形体积等公式，结合题意中的长度关系（如拼接、

折座）建立等量关系。

【典例9].（25-26八年级上•陕西渭南・期末）如图，在长方形4BC。中放入5个形状大小相同的小长方形（不

重叠），其中4B=10,BC=14,求小长方形的长与宽.（用方程组的知识解答）

AD

BC

【变式1].（25-26八年级上•内蒙古包头•期末）小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一

个大的长方形如图（1）,小红看见了说："我也来试一试.〃结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正

方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为1cm的小正方形.

图⑴图⑵

⑴每个小长方形的长和宽分别是多少？

（2）图（2）正方形的边长是多少？

【变式2】,（25-26八年级上•河南郑州•月考）

项目主题制作仿古灯笼

灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼.

在

素材1

图①

用如图②所示的长方形和J1三方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和

横式两种无盖灯笼.

横式

j

素材2口口吨

亘

图②图C“

用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两

素材3种（均有余料）、方式一：裁成3个长方形与一个正方形：方式二：裁成2个长方形与2个正

方形、现将m张硬纸板用方式一裁剪、九张硬纸板用方式二裁剪

设做成的竖式灯笼"个，横式灯笼y个，根据题意完成表格：

竖式灯笼X个横式灯笼y个

任务一

长方形宣纸的数量（张）4x@__________

正方形宣纸的数量（张）②___________2y

若使用长方形宣纸（4b-2a）张，正方形宣纸（3Q-5b）张，试求出两种灯笼一共做了多少个？

任务二

（用含Q、b的代数式表示）

若两种灯笼共做了11个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的“两种灯笼都制作，则

任务三

两种款式的灯笼分别做了多少个？

竖式灯笼不个横式灯笼y个

长方形宣纸的数量（张）4x3y

正方形宣纸的数量（张）X2y

【变式3】,（25-26七年级上•吉林长春•期中）综合与实践：如何利用闲置纸板箱制作储物盒

根据以卜素材，探索完成任务：如何利用闲置纸板箱制作储物盒

如图1是小琴家想要设置的储物盒样式，放置它的区域可以近似看成一个长方体，区域底面尺寸如图

2所示.

素

材

1

图1图2

如图3,4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为a（cm）（a<50）的长方形纸板.

工ILr

.二a(cm)@

JK

50cm100cm

图4

素图3

材小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒.

2

裁去角上4个相同的小正方形，折成将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方

一个无盖长方体储物盒（如图5）.体储物盒（如图6）.

--]D

50cmlOOcm

图5

目

（1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全

林熟悉材料

填满储物区域底面，则长方形纸板的宽a为cm.

1

利用目标1计算所得的数据a,进行进一步探究.

（2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取

初步应用出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，求当储物盒的底面

周长为132cm时储物盒的高.

（3）按照长方形级板②的制作方式制作储物盒，E尸和HG两

目

边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面周长80cm.家里一个玩

林

具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否按图

2

示的姿态完全放入储物盒.

穹

储物收纳

15c沁21cmM

图7

题型1（）图表信息问题

方法技巧：从表格、图形中提取数据（如单价、数量、路程），找出隐藏的等量关系（如总费用二各部分费

用之和），列出方程组。

【典例10].（25-26八年级上•浙江温州•期中）新孙城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表

是10月11日，温州队所在的A组比赛积分表的部分信息：

A组积分

排名队伍胜负积分

2温州队7胜0负A

4金华队6胜2负14分

5余姚队5胜3负13分

6台州队4胜4负12分

⑴求温州队的积分.

⑵温州队所在的A组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结

束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得4组第一至少还要胜几场？

【变式1】.（25-26七年级上•四川绵阳•期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程〃捐款，共捐款500

元.捐款情况如表：

捐款（元）5101520

人数67

表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过

的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程.

【变式2].（25-26七年级上•江苏淮安・月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动.共

设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的

得分情况.

参加者答对题数答错题数得分

李华200100

张飞14664

⑴请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？

⑵参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？

（3）晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由.

【变式3】.（2026七年级下•全国•专题练习）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在

某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示：

单位数量单价金额

篮球个6100.00600.00元

钢笔支15.00・元

笔记本本5.00・元

合计—46—900.00元

请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额.

题型11方案决策问题

方法技巧：根据题意列出含未知教的等式，求出所有正整数解，结合限制条件（如经费上限、数量要求）

筛选可行方案，对比得出最优解。

【典例11].（24-25八年级下•辽宁沈阳・月考）某文体书店销售人，B两种跳绳，购买2条人种跳绳和3

条B种跳绳共计35元,购买6条A种跳绳和4条8种跳绳共计80元.

⑴求A种跳绳和B种跳绳每条的价钱.

⑵现该文体书店对A，4两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）：

方案内容

促销方案一买一条A种跳绳，赠送一条8种跳绳

促销方案二买4种或8种跳绳都打八折

某校为了准备跳绳比赛，计划购买A,8两种跳绳，且8种跳绳比A种跳绳多买20条.请根据购买A种跳

绳的条数x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案合适.

【变式1】.（25-26八年级上•广东梅州・月考）综合与实践

某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2

元.为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案：

方案一购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠

方案二购买玩偶满50个时，立减10元

⑴若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？

⑵若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和

玩偶各多少个？

（3）现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案.

【变式2].（25-26七年级上•贵州毕节•期末）毕节市织金洞被誉为〃溶洞之王"，为了吸引大量游客前来参

观.国庆节期间织金洞推出了两种购票方案：

方案一：成人票每张120元，儿童票每张50元；

方案二：团体票（10人及以上）每张80元.

⑴小明一家7口人去织金洞旅游共花费630元，请求出小明一家有几个成年人和几个儿童？

（2）织金洞内太壮观了，小明回来后介绍了朋友小军家去旅游，小军家成年人有4人，儿童有6人，请你帮

小军一家计算选择哪种方案旅游最划算；

⑶现有外省朋友7个成人，4个儿童来织金洞旅游，请你帮助外省朋友设计一种最省钱的购票方案？并说明

理由.

【变式3】.（25-26八年级上•浙江金华•开学考试）根据以下素材，探索完成任务.

有A、8两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张8卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张8

卡纸共能做小旗子19面.

⑴求A、8两种卡纸.每张可分别做儿面小旗子.

⑵由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸.A卡纸每张4元，8卡纸每张3元，正好

赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张6卡纸.学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子.

①制作过程中，若A、4卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并

求出最低采购费用.

②由于々术力实际需要，现须用卡纸再做小灯笼42个.已知一张A、8卡纸可分别做小灯笼3个和2个.请

你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能

既做小旗子乂做小灯笼，采购费用低于65元）.

由A卡纸制作由8卡纸制作

小旗子（面）小灯笼（个）小旗子（面）小灯笼（个）

方案评价表

方案等级采购费用制作中卡纸使用情况评分

优秀低于65元两种卡纸均无余料剩余3分

良好低于65元仅一种卡纸有余料剩余2分

合格低于65元两种卡纸均有余料剩余1分

强化训练

1.（23-24九年级上•海南省直辖县级单位•期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，"方程术”是《九

章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十七两；牛三、羊一，直金十两.问：

牛、羊各直金几何？’'意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金17两；3头牛、1只羊，值金10两.问：

每头牛、每只羊各值金多少两？"

2.（25-26七年级下•全国•课后作业）学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用30h才能完成.现

由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了lh,第二组整理了1.5h,恰好完成工作.如果每个人的工作

效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？

3.（23-24七年级下•全国•课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的5倍，6年后父亲的年龄是玲玲的3倍，今年父

亲、玲玲的年龄各是多少岁？

4.（25-26八年级上•辽宁沈阳•期天）某电影院为了创收，分两次购进了哪吒和敖丙手办进行售卖，第一次

购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20

个共花蔬110。元.

⑴求每个哪吒和每个敖丙手办进价各多少元？

⑵该电影院为了解这两款手办的管售情况，对每天的销售进行记录，周一出售了6个哪吒手办，5个敖丙手

办，销售收入记录为305元，经核实记录正确；周二以相同的售价出售了哪吒手办12个，敖丙手办10个，

销售收入记录为600元，你认为周二的销售记录正确吗？如果正确，请说明理由，若不正确，请你计算出

正确的销售收入.

5.（25-26七年级上•河南周口•月考）某班准备购买笔记本作为奖品，现有甲、乙两种笔记本：甲种每本10

元，乙种每本8元.

⑴若购买甲、乙两种笔记本共20本，花费180元，求甲、乙两种笔记本各买了多少本？

⑵若购买乙种笔记本的数量比甲种的2倍少5本，且总花费不超过150元，求最多可以购买甲种笔记本多

少本？

6.（25-26七年级上•全国•课后作业）一个三位数,个位数字、十位数字、百位数字的和为12,十位数字与

百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2,求这个三位数.

7.（25・26八年级上•陕西渭南•期天）如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽

8.（25・26八年级上•贵州•期末）如图（单位：cm）,8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形.

⑴若设小长方形的长为xcm,宽为ycm,则大长方形的宽可用含有％与y的式子表示为cm.

⑵每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？

9.（25-26七年级上•全国•随堂练习）下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其

中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同.

年级课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数科技小组活动次数

七年级12.543

八年级10.5