2026高考数学二轮复习 提优点10 立体几何中动点及其轨迹问题

提优点10立体几何中动点及其轨迹问题

【知识拓展】

立体几何中的动点及其轨迹问题有两个类型

⑴研究动点的轨迹，主要方法看定义法（如圆锥曲线定义）、解析法、交轨法；

（2）与动点有关的最值、范围问题，主要方法有几何法、函数法.

【类型突破】

类型一动点的轨迹问题

考向1定性的研究动点的轨迹

例1（多选）已知正方体的棱长为4,历为QQi的中点,N为ABC。

所在平面上一动点，则下列说法正确的是（）

A.若MN与平面A8C。所成的角为小则点N的轨迹为圆

B.若MN=4,则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2兀

C.若点N到直线BBi与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线

D.若DiN与AB所成的角为率则点N的轨迹为双曲线

答案ACD

解析如图所示，对于A,

根据正方体的性质可知，MQ_L平面ABC。，

所以NMNZ）为MN与平面ABC。所成的角，所以

所以DN=DM=]DD\=^4=2,

所以点N的轨迹为以。为圆心，2为半径的圆，故A正确；

对于B,在RtZXMDN中，DN=、MN?—MD2=.4?—2?=2#,

取用D的中点£

因为尸为MN的中点，

所以PE〃DN,且PE=/N=小,

DNLED,所以PELED,

即点。在过点E且与垂直的平面内，

又PE=小,

所以点P的轨迹为以S为半径的圆，

其面积为n・([5)2=3兀，故B不正确；

对于C,连接NB,因为BB_L平面ABC。，

所以BBT上NB,

所以点N到直线BBi的距离为NB,

所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，

又占不在直线C。上，

所以点N的轨迹为以B为焦点，CQ为准线的抛物线，故C正确；

对于D,以。为原点，。4,DC,。。所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角

坐标系，

则A(4,0,0),8(4,4,0),Di(0,0,4),设N(x,y,0),

则施=((),4,0),HN=(x,y,-4),

因为OiN与AB所成的角为?

所以|cos〈而，由N)尸cosg,

|4y|_1

所以

4^x2+y2+l6-2,

整理得得一SR，

所以点N的轨迹为双曲线，故D正确.

规律方法定性的研究动点的轨迹要利用线面平行、垂直的性质定理，结合圆锥

曲线等的定义，确定动点的轨迹.

训练1已知在平行六面体A3CO—4BCQ中，AAi与底而垂直，且

AD=AB,石为CG的中点，P在对角面3囱。山内运动，若EP与AC成30。角，

则点P的轨迹为（）

A.圆B.抛物线

C.双曲线D.椭圆

答案A

解析因为在平行六面体中，AAi与底面AIBICIQI垂直，且AO

=AB,

所以该平行六面体ABCD-AxRxC^是一个底面,为菱形的直四棱柱，

所以对角面底面ABCD,ACJ_对角面BBiDiD.

取A4的中点凡连接EE则E/〃AC

因为EP与AC成30。角，

所以EP与EF成30。角.

设£厂与对角面88Q0的交点为O,

则EO_L对角面BBiDiD,

所以点P的轨迹是以EO为轴的一个圆锥的底面圆周，故选A.

考向2定量的研究动点的轨迹

例2（多选）（2024・河南名校联考）如图，在棱长为1的正方体ABCQ-AiBGQi中，

。为棱88的中点，。为正方形88GC内一动点（含边界），则下列说法正确的是

（）

A.若。iQ〃平面4P。，则动点。的轨迹是一条线段

B.存在点Q,使得。迫，平面42。

C.当且仅当点Q落在棱CG上某处时，三棱锥Q-AiPD的体积最大

D.若。边=坐，那么点。的轨迹长度为平兀

答案ACD

解析对于A,如图，取8G,GC的中点分别为E,F,连接。E,DiF,EF,

PF,则尸产〃8ICI〃AIQI且PF=B\C\=A\D\,

则四边形4PF6是平行四边形，

：.D\F//AIP9

・・・出小平面AIPQ,4Pu平面4PQ,

・・・。万〃平面4P。，

同理可得EF〃平面4PD

•；EFCDiF=F,EF,。|人=平面。石/，

・•・平面4P。〃平面OiE凡则动点Q的轨迹为线段E凡故A正确；

对于B,如图，以Di为坐标原点，以。i4,DiCi,Qi。所在直线分别为x,y,z

轴，建立空间直角坐标系，则

O

99

设。(x，1，z),OWxWl,OWzWl,

则脑=(一1,0,1),乖=((),1,3，I>Q=(xf1,z).

设〃2=3，b,c)为平面4PO的一个法向量，

b.疝=0,厂+。=0,

则J即C八取C'=l,

[加出>=0,〔。+]=0，

则机=(1,—2»[)

若Q|Q_L平面4P。，则碓〃〃2,

即存在2WR,使得说2=2m,

x=A,

则彳解得X=z=—2%0,1］，

、z=4.

故不存在点。使得。0_L平面4PD,故B错误；

对于C,〈△AiPO的面积为定值，

，当且仅当点Q到平面A\PD的距离d最大时，三棱锥Q-AiPD的体积最大.

由B可得砸=（工一1,1,z）,—1,11

3

\A\Q-m\-

a~\m\~32

当jt+zW］时,d=1一氯+z）,

则当x+z=（）时，d有最大值1；

32

当x+z>5时，J=T（X+Z）—1,

则当x+z=2时，d有最大值g.

综上，当x+z=0,即。和C重合时，三棱锥Q-A\PD的体积最大，故C正确；

对于D,由正方体的性质知平面〃8C1C,

：.D\C\±C\Q,DQ=、］DIG+CIQ2=*,

・・・GQ=乎，则点Q的轨迹是圆心为。，半径为坐,圆心角为］的圆瓠，

轨迹长度为乎兀，故D正确.

规律方法当涉及动点的轨迹的长度，图形的面积与几何体的体积以及体积的最

值时，可借助丁几何体的结构特征，建立空间直角坐标系，用变量表示轨迹，然

后用函数的性质求解.

训练2（多选）（2024・西安调研）如图，在正方体中，P为线段4B

上的动点（不包含端点），若正方体棱长为1,则下列结论正确的有（）

JF71

A.直线。iP与AC所成角的取值范围是玲I

B.存在2点，使得平面AFZ)i〃平面。6。

C.三棱锥Di-CDP的体积为(

D.平面APDi截正方体所得的截面可能是直角三角形

答案BC

解析对于A,如图①，连接AC,DiP,以。为原点，DA,DC,所在直线

分别为x轴，y轴，z*日建立空间直角坐标系。一孙z,

则A(l,0,0),B(l,I,0),Ai(l,0,1),。(0,0,0),Qi(0,0,1),C(0,1,

0).

则有危=(-1,1,0),

Z)>=ZMI4-；JGB=(1,0,())+〃()，1,-1)=(1,A,一力，AG((),1),

|-l+z|I(1-A)2

所以Icos(AC.I>P)\=

也々2万十14；?+2,

.(1—A)2

令汽,)=4/+2，%£(()，1)，

.8-—4/1—44(22+1)a—l)

/⑷=⑷2+2)2=⑷2+2)2<o

(1—；)2

所以./U)=4尸十？在(o,1)上单调递减.

因为的)=；，川)=0，

所以0<|cos〈危，曲〉

又庆，万力〉e

故〈危，/P〉e

对于B,当P为AiB的中点时，有AQi〃G&易证平面APZ）i〃平面

CiBD,故B正确；

对于C,三棱锥Di-CDP的体积VDi-CDP=VP-CDD\XSACDD\XAD=；

x[xixixi=；,故C正确；

2o

对于D.设小。的中点为O,连接4巴4Di,DR

当P点在线段。8（不包含端点）上时，

此时平面截正方体所得的截面为梯形AEF",如图②；

当P点在。点时，此时平面APDx截正方体所得的截面为正三角形48。；

当P点在线段04（不包含端点）上时，此时平面APDx截正方体所得的截面为等腰

三角形AAG,如图③，且AG2+AG2WAO彳，所以该三角形不可能为直角三角形，

故D错误.

类型二与动点有关的最值、范围问题

例3（多选）（2024・怀化二模）在三棱锥P-ABC中，出，平面ABC,AB1BC,AB

=BC=2,%=2小，点。是三角形RW内的动点（含边界），ADLCD,则下列结

论正确的是（）

A.PB与平面ABC所成角的大小为方

B.三棱锥C-ABD的体积最大值是2

C.D点的轨迹长度是不

D.异面直线CO与48所成角的余弦值范围是需，阴

答案ACD

解析如图所示，

对于A,

「布_L平面A6C,AB=BC=2,%=2百，

・・・PB与平面A3c所成角为//班哼・・・A正确;

对于C,•・,点。是三角形aB内的动点（含边界），AD±CD9

・・・。为以4c的中点厂为球心，AC为直径的球与三角形出8的交线

取的中点G,连接FG,GI,则根据题意易知FG_L平面％&

且FG=JJB=1,

又AC=26，・•・该球的半径为也，

・・・交线所在圆的半径为d（啦）2—12=1,

又易知AG1B为边长为1的正三角形，

・,•交线^所对的圆心角为/AG/=^厂的长娉Xl=争，・・・C正确；

对于B,由选项C知，当OGJ_A8时，。点到平面A8C距离最大，最大距离为1,

11?

因此三棱锥c—A3。的体积VcABD=VD-A8CW?x2X1X2=],B错误；

对于D,将底面直角三角形ABC对称补全成正方形A8CE,建立如图所示的坐标

系.

p

4

设乙46。=。（0＜右拳，则点。（0,1-cos0,sin，)，而4(0,0,0),

8((),2,0),C(2,2,0),

于是彷=(一2,-1-cos0,sin。),

又筋=(0,2,0),

设异面直线CD与AB所成的角大小为Q,

„,-.\CDAB\1+cos91+cos0

贝4cose=|cos〈CD,AB)\=J---L=//,、)।।。,=，

|^p||^|4(l+cos-)2+4+sin-e^/6+2cos0

规律方法在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大（小）、角的范围等问题，

常用的解题思路是

⑴直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、

最小值.

⑵函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用

代数方法求目标函数的最值.

训练3在棱长为2的正方体4BCQ-A山CQi中：E,尸分别是棱BC,CG的中

点，尸是侧面四边形BCGBi内（不含边界）一点.若4P〃平面AM,则线段4P长

度的取值范围是.

答案[芈，小,

解析如图所示，分别取棱88,的中点M,N,连接MN,NE,AiN,4M.

因为M,N,E,尸分别为88,BiG,BC,CG的中点，所以MN〃EF.

%G

因为MNG平面AEF,EEu平面AEFy

所以MN〃平面AEF.

因为AAi〃NE,A4=NE,

所以四边形AAiNE为平行四边形，

所以AiN〃AE.

因为AiMJ平面A£F,A£u平面AEF,

所以4N〃平面AEF.

因为AiNCMN=N,A\N,MNu平面41MM

所以平面4MN〃平面AEF.

因为P是侧面四边形BCGBi内（不含边界）一点，且4P〃平面AEA

所以点尸必在线段MN上（不含点M,N）.

在RtZ\Ai8iM中，济+81/=74+1=小,

同理在Rt/XAiBN中，求得4N=小,

所以△4MN为等腰三角形，当点。在MN的中点。时，AiPLMN,此时4P最

短，当点P在M或N处时，4P最长，因为4。=两研=瓦7=

y]92-圉=曝

AIM=ATN=3,所以线段4P长度的取值范围是斗，小）.

【精准强化练】

一、单选题

1.如图,在正方体A3CD—A用CQ中，P是侧面BB1C1C内一动点,若尸到直线

8c与到直线GU的距离相等，则动点尸的轨迹为（）

A.直线B.圆

C.双曲线D.抛物线

答案D

解析点P到直线CIDI的距离即为点P到点Ci的距离，

所以在平面3囱GC中，点P到定点Ci的距离与到定直线8C的距离相等，

由抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，故选D.

2.（2024・无锡调研）如图所示，正方体ABCD-4B6n的棱长为2,E,E为44,

AB的中点，点M是正方形内的动点，若GM〃平面CAE,则点M的轨

迹长度为（）

A啦

C.^2D.V3

答案C

解析如图所示，取AS的中点〃，8山的中点G,连接£/，FC,GH,CH

C\G,EG,"厂可得四必形石GCQi是平行四边形，

・・・C\G//D\E,

又OiEu平面CDiE,GGQ平面CDiE,

・・・GG〃平面CDTE,

同理可得CiH//CFt

又CTu平面CAE,CiHQ平面CDiE,

・・・GH〃平面CDTE,

又G“nCiG=G,CiH,GGu平面CiG”,

J平面GG"〃平面CDiE,

又M点是正方形ABBA1内的动点，

若GM〃平面CD\E,

・••点M在线段G”上，

：.M点轨迹的长度GH=y]l2+[2=j

3.（2024・西安调研）如图,在长方体ABCD—A41cgi中，AD=DDi=\fAB=小，

E,F,G分别为A8,BC,的中点，点。在平面A8C。内，若直线04〃平

面七/G,则线段OiP长度的最小值是（）

AG

¥

A•

近

c

•2

答案D

解析如图，连接。N，AC,DC,

因为E,F,G分别为AB,BC,GOi的中点，所以AC〃EF,

又EFQ平面ACDi,ACu平面AC。，所以EF〃平面AC",易知EG〃AOi,所以

同理可得EG〃平面ACOi,

又EFCEG=E,EF,£Gu平面由G,所以平面4C»〃平面£FG.

因为直线。iP〃平面EFG,

所以点尸在直线AC上.

在△ACQi中，4。1=隹，AC=2tCDi=2t所以SaAOiC=J义也X

乙

亚

2.

当DiPlAC时，线段DiP的长度最小，所以线段D^P长度的最小值是岭"匹=

2i4C

五厂

声=乎，故选D.

]X2一

4.如图所示，已知正方体力一的棱长为2,长为2的线段的一个

端点M在棱。。上运动，另一端点N在正方形43C。内运动，则MN中点轨迹

的面积为（）

A.4nB.2兀

—-兀

C.7iD，2

答案D

解析易知。DiJ•平面ABCD,NMDN=90。,取线段MN的中点P,

则。尸=<MN=1,所以点尸的轨迹是以。为球心，1为半径的：球面，

Zo

17T

故S=^X4兀Xl2=z.

OZ

5.（2024.成都诊断）在棱长为5的正方体ABCD-ABGDi中，Q是。。i中点，点

尸在正方体的内切球的球面上运动，且CPLAQ,则点P的轨迹长度为（）

A.小兀B.2小兀

吟D.5兀

答案B

解析以点。为原点，DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直

角坐标系，

则4。，()，3,45,0,0),C((),5,0),

55

或设O--

22取的中点凡3G的中点〃，连接OR,RH,HC,

2525一(5、

=——+-y=0,DCAQ=(Of5,0)^—5,0,引=0,

故DR上AQ,CDLAQ,

又DRCCD=D,DR,CDu平面CDRH,

故AQ_L平面CDRH,

故当尸位于平面COR”与内切球O的交线上时，满足CP_LAQ,

此时O(|,|,习到平面COH〃的距离为

其中厂为平面CDR〃截正方体内切球所得截面圆的半径,

故点P的轨迹为以方为半径的圆,

故点尸的轨迹长度为247r.

二、多选题

6.如图，正方体A3CQ—4於©。|的棱长为〃，线段BOi上有两个动点E,F,且

A.当七与。重合时，异面直线AE与"所成的角为全

B.三棱锥B-AEF的体积为定值

C.E厂在平面A8S4内的射影长为某

D.当E向。运动时，二面角A-E尸一8的平面角保持不变

答案BCD

解析对于A,如图，当E与力1重合时，因为七尸二半出

乙

所以尸为BDi的中点，连接B。，记8。中点为。，连接。。，A。，由正方体性

质可知，80〃口尸,80=。尸，所以四边形8。。市为平行四边形，所以D\O〃BF,

所以直线AE与8户所成角即为直线。iO与Ad所成角，

又华,

AD[=y[2a,

3片,)a2

—+2a-y

所以cosZAD\O=

2X华X必一2

所以NAdO弋，故A错误；

对于B,VB-AEF=VA-BEF,易知点A到平面38。。的距离和点8到直线8gl的

距离均为定值，

所以三棱锥A—8EF的体积为定值，故B正确;

JF

对于C,易知NA山1。|=0七/在平面/W囱4内的射影在4囱上，所以射影长

为吟^Xcos故C正确；

对于D,二面角A-EF-B的平面角即为二面角A—BiDi-B的平面角，

显然其平面角不变，故D正确.故选BCD.

7.三棱锥P-ABC满足力_L平面ABC,PA=AB=BC=^AC=2,D是线段PB

的中点，E是底面△A8C内部（包括边界）的一个动点，球。是三棱锥P—A8C的

外接球，下列说法正确的有（）

A.当E在线段上时，PELBC

R.若"是球。表面一个动点，则E尸的最大值为4

C.DE的取值范围是［1,晌

D.经过DE的平面截球O的截面面积的最小值为2兀

答案ACD

解析如图1,因为以平面ABC,BCu平面ABC,

所以M1BC,

又PA=AB=BC=^AC=2,

由勾股定理得AB2+BC2=AC2,所以

因为%nAB=A,BA,A8u平面以&

所以8CJ_平面PAB,

当E在线段A3上时，PEu平面a8,

所以尸E_L3C,故A正确；

如图2,因为以_L平面48C,PA=AB=BC=^AC=2,则可以将三棱锥尸一ABC

放入正方体中，

C

图2

正方体的棱长为2,正方体外接球。的半径为坐X2=/,故三棱锥P—ABC外

接球的半径为#，点E是球。表面或内部一点，点/是球。表面任意一点，所

以E尸的最大值为球的直径，即2s，故B错误；

因为B4_L平面A5C,则点。在底面上的射影为的中点D,则十。炉，

p

A

C

图3

由图3知，当点£与点C重合时，。E取到最大值，。/=。02+0，£2=1+5=6,

当点E与点。，重合时，QE取到最小值，所以DE£[1,炯,故C正确；

记经过OE的平面为如当OO_La时，平面。与球。的截面面积最小，此时截面

圆的半径为AW—。02=啦,所以截面面积为2兀，故D正确.

三、填空题

8.如图所示，在四棱锥P—A6c。中，E_L底面A5C3,且底面各边都相等，M是

PC上的一动点，当点〃满足_______时，平面MB。_L平面PCD（只要填写一个

你认为是正确的条件即可）

A13

答案DM1.PC(或BMA.PC)

解析连接AC,BD,则AC_L8£>,

因为办JL底面A3CD,3。（-平面ABC。,

所以PA1.BD.

又以GAC=A,PAfACu平面而C,

所以8。_1_平面％C,PCu平面以C,

所以BDLPC,

所以当。加_1尸。（或8加，。0时，

有PC±平面MBD,PCu平面PCD,

所以平面M3O_L平面PCD.

9.如图，户是棱长为1的正方体A8CZ）-4BGQi表面上的动点，且AP=/,则

动点P的轨迹的长度为

宏案—

口2

解析由已知AC=AB=4Oi=啦,

在平面8G,平面AiCi中，

BP=ATP=DP=1,所以动点。的轨迹是在平面8G,平面4G,平面。G内分

别以8,D,Ai为圆心，1为半径的三段圆弧，且长度相等，

故轨迹长度和为耳3=与.

10.（2024♦北京房山区模拟）如图，在棱长为1的正方体A8CO—AIBICIOI中，点尸

是对角线AC\上的动点（点P与点A,Ci不重合）.给出下列结论：

①存在点P,使得平面4OP_L平面A4G；

②对任意点P,都有AP=QP；

③△AOP面积的最小值为坐；

④若仇是平面A\DP与平面AiBiCiDi的夹角，例是平面AiDP与平面BBCC的

夹角，则对任意点P,都有仇力仇.其中所有正确结论的序号是.

答案①②③

解析对于①，因为ACI_LAI。，在AG上取点尸使