第二十章 勾股定理 全章培优练习-2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章勾股定理

第3讲勾股定理及其应用

板块一勾股定理（一）直接计算

典例精讲

题型①一次勾股

【例I】如图，在aABC中，ZC=90°,AC=2,点D在BC上，且NADC=2NB,BD=6.求BC的长.

题型②连续勾股

【例2】如图，在aABC中，AB=AC,CD_LAB于点D,AD=5,CD=12.求BC的长.

1.如图，点C,B,E在一条直线上，AB=BD=5,AC=4,NACB=NABD=NE=90。.求CD的长.

2.如图，在AABC中，AB=AC,点O,E,G,F均在aABC的边上，且四边形0EGF为正方形.若0F=3,A

0=5,求BF的长.

板块二勾股定理（二）勾逆证直角

条件:AD=BD,（。£>+。七）2+8衣=/1。.

条件：标十炉匕2=火条件：a2+/z2=c2+6/2.

结论:。=90。.结论:。=90。.

方法:延长CD至点F,使DF=CD.

结论：NDEB=90°.

典例精<井

题型①选边证直角

【例1】已知AABC的三边abc分别满足（4=〃7-〃。力心0）力=2阿?,<?=/〃+〃.求证：Z\ABC是直角三角形.

题型②证外直角

［例2］如图是一块四边形绿地的平面示意图，其中AB=24,BC=15,CD=20,DA=7,且NC=9（）。,则四边形ABCD

题型③证内直角

1.如图，在四边形ABCD41,AB=BC=6,AD=8,CD=10,ZABC=60O.^:SAABD.

2.如图,CD为aABC的中线,E为CD上一点,CE=1,ED=2,BE=3,AC=VR求BC的长.

板块三勾股定理(三)斜边上的高

条件NACB=90\CDJ_AB.

结论：®AC-BC=ABCD;®2CD2+AD2+DB2=AB2.

典例精讲

【例】如图，在RtAABC中，N4C8=90用垂足为D.

(1诺AC=4,AB=5,求BC,CD,AD,DB的长；

(2诺AD=4,CD=3,求AC,BC,BD的长.

实战演练

1.如图，在RtAABC中,NACB=9()o,CD_LAB于点D,AD=4,BD=9,求CA和BC的长.

2.如图，在RtAABC中,NACB=9()o,CD_LAB于点D.

(1)若AD=2,CD=4,求BC,BD的长；

(2)若AD=2,BD=8,求AC,BC的长.

板块四勾股定理（四）特殊角为锐角

典例精讲

【例1］如图,AABC是等边三角形,AB=2,则SAABC=_______

【例2】如图,NA=452AB=7,4C=4近厕BC的长为

【例3】如图、NB=30o,NC=45o,AC=56贝I」BC的长为

实战演练

1.如图,AB=AC,NB=30。,贝!J筹=_.

2.如图，［8=力。=275,/4=45。,贝!!S&ABC=.

3.如图,NA=30°,AB=5,4C=2\/I则BC的长为

5.如图,NB=45o,NC=60。，4。=2+26,贝！］AB的长为.

6.如图在AABC中.D为BC上一点,BD=2,NB=30o,NC=45°,ZDAC=60°JIJDC的长为

板块五勾股定理（五）特殊角为钝角

典例精讲

【例1］如图,人8=人。/8人©=120。刀©=6厕人8=;SAABC=

［例2］如图,NBAC=135。，/3=3日/G6,则BC的长为.

A

［例3］如图,AB=4,BC=VJI,NBAC=150。,则AC的长为

实战演练

1.如图,NBAC=120o,AC=10,8c=1375,则AB的长为

2.如图,NBAC=120o,/C=45o,AB=6,则BC=;AC=

3.如图,NBAC=135)AC=2近产C=26，则AB的长为

4.Jn®,ZBAC=135°,ZB=30°,力。=2近,,则AB的长为

5.如图,AB=3,BC=26NABC=15()。,则AC的长为

273

150®

3B

6.如图，D为AB上一点,NADC=150o,NA=15o,NB=60°,BC=2,则S&ADC=

板块六勾股定理（六）半角与补形

典例精讲

［例1］如图，在RtAABC中,NC=90o,NA=15o,BC=2,则AC的长为.

B

C

【例2】如图，在RtAABC中,NC=90o,NB=22.5o,AC=2,则BC的长为

【例3】如图,NB=NADC=90°,NBCD=150°,BC=1,贝！|AB的长为

实战演练

1.如图在AABC中,NC=60o,NA=15o,BC=lJIH|AC的长为

2.如图，在AABC+>，ZC=45°,ZA=15°,BC=V2,则AC的长为.

3如图，在4ABC中,NC=45o,NB=22.5o,AC=2jjpJBC的长为.

4.如图，在Z\ABC中,NC=30o,NB=225o,AC=2,则BC的长为.

5.如图,NA=NBCD=90o,NADC=135o,AB=3,AD=3,贝!]BC的长为.

6.$nlg,ZB=ZAED=ZBCD=90<>,ZBAE=150o,AB=2,CD=3,AE=2V5则DE的长为

板块七勾股定理（七）化斜为直

典例精讲

题型①知等腰作垂

【例1］如图，在^ABD中,C为BD上一点，4C=AB=2瓜BC=4,CD=5求AD的长

题型②知三边作垂

【例2】如图在4ABC中,AB=13,AC=15,BC=14,D为BC上一点、且NADB=60。.求AD的长.

实战演练

1.如图，在四边形ABCD+，ZABC=120°,ZDCB=90°,BC=2,AC=2V7,HBD=BA.^<CD的长.

2.如图，在四边形ADBC中,NACB=NABD=90o,BC=2,AC=4,且AB=BD.求CD的长.

板块八勾股定理（八）折叠

条件:NC=90。，条件:长方形ABCD,

△BDE翻折到AADE.翻折ZVIOE至I」△4FE.

结论：AO+CABDz,结论：D+C尸=。0.

典例精讲

题型①折叠后解直角三角形

【例1】如图，已知长方形纸片ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形纸片折叠，使点B与点D重合,

折痕为EF.求4ABE的面积.

题型②折叠后解斜三角形

［例2］如图,将等边4ABC折叠.使点B落在AC边上的点F处折痕为DE,AF=4,CF=8.求BE的长.

实战演练

如图在长方形ABCD中,F为AB上一点，将4ADF翻折得到aEDF,使点A落在BC上的点E处.若AF=5,

BF=3.求AD的长.

板块九勾股定理（九）面积法

条件:NC=90o,BD平分NABC.条件:AB=AC.

方法:过点D作DE1AB于点E.方法:过点A作AD1BC于点D,过点B作

BEXAC于点E.

AA

结论:ABCD=ADBC.

结论:ACBE=BCAD.

典例精讲

【例】如图，在AABC中,AB=AC=10,BC=12,D为AC上一点CD=4.求BD的长.

实战演练

1.如图，在aABC中、/C=90o,AB=15,CB=12,BD平分NABC交AC于点D.求AD的长.

2.如图，在4ABC中,AB=AC,AD_LBC于点D,DE平分NADC交AC于点E,EF_LAB于点F、交AD于点G,

AG=1,BC=6.求FG的长.

板块十勾股定理(十)勾股树

典例精讲

题型①求面积

【例1】如图在四边形ABCD中,NABC=/CDA=90。,分别以四边形ABCD的四条边为边，向夕M乍四个正方形,

面积分别为Si,S2,S3,S4.若S]=85=l1吊=15,则S4的值是

题型②求长度

【例2】如图，在RtAABC中,NACB=90。以RtAABC的三边为边向夕M乍三个正方形，其面积分别用S.,S2,

S?表示若a=345=9,则CM的长为,

实战演练

1.如图，正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S”以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形

的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为Sz，…，按照此规律继续下去，则S9的值为()

A.G)6B.(I)7C.以D.(I)9

2.$Qia,ZACB=90o,AABD,ACBE,AACF均为等边三角形,Z\ABD的面积为竽,△。8£的面积为，则AE

的长为

rE

板块十一勾股定理（十一）赵爽弦图

典例精讲

题型①用弦图

【例1】现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在ABC中，ZACB=90°,AC=b,BC=a,AB

=c,如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求（a+b>的值.

题型②构弦图

【例2】已知有5个边长为1的正方形排成一列，请把它分割后拼成一个大正方形.请画出一种分割方法.

实战演练

1如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形的面积是5,直角三角形

较长直角边为b,较短直角边为a,且ab=6,则大正方形的面积为

2.如图是由四个全等的直角三角形组成的大正方形ARCD,其中Rt/\AFR的两条直角边分别汜为a,h（a<h）,

现在此图形中连接四条线段得到呈“风车”形状的阴影图形，面积记为S.已知RtaCDH的面积为3,大正方形AB

CD的面积为13,则S的值为

D

AB

3.如图，有13个边长为1的正方形连在一起，要求分割成若干块后拼成与原面积相等的大正方形，则大正方形

的边长为试画出一种分割方法.

板块十二勾股定理（十二）实际应用

典例精讲

题型①引葭赴岸

【例1】《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐,

水深几何?如图，其大意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水

面部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深为

题型②梯子滑动

【例2】如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO=8m.若梯子的顶端沿墙面向下滑动2m,这时

梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2m,求梯子AB的长度.

题型③航行方向

【例3】如图，射线MN表示一艘轮船东西方向的航行路线，在点M的北偏东60。方向上有一灯塔A,灯塔

A到M处的距离为100海里.在航线MN上有一点B,且NMAB=15。，若轮船的航速为50海里/时，则轮船从点

M到点B处所用的时间为小时.（结果保留根号）

题型④折竹抵地

【例4】“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三

尺.问折者高几何?”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好寸氐地，抵地处离竹子底部3尺远,

则折断后的竹子高度为多少尺（1丈=1。尺）？

题型⑤斜坡树折

【例5】由于大风，山坡上的甲树被从点A处拦腰折断，如图所示，其树顶端怡好落在乙树的根部C处，已

知AB=4m,BC=13m,两棵树的水平距离为12m,则这棵树原夹的高度为m.

实战演练

题型6化折为直

1.如图，某会展中心准备将高5nL长13m,宽2m的楼道铺上地毯，若地毯每平方米30元，则铺完这个楼道

至少需要______元.

题型7折线寻宝

2.国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km,又往北走3km,

遇到障碍后又往西走7km,再向北走2km,再往东走了4km,发现走错了之后又往北走1km,最后再往西走了

1km,就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是______km.对工

2kmj/，km

/'7km

/3km

---劳缶—一

题型8秋千索长

3.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道'，荡秋千”的问题:

“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算

出索长有几.”（注：1步=5尺）.译文：”有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送1（）尺（水平距离）时,

秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长”

题型9太公钓鱼

4.如图，露在水面的鱼线BC长为3m,钓鱼者把鱼竿AC提起到AC的位置，此时露在水面的鱼线BC长为

4m,若BB，的长为Im,则钓鱼竿AC的长为m.

题型10噪声影响

5.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，NQON=30。，在点A处有一栋居民楼，A0=200m.如果火车行驶

时，周围200m以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼受噪声影响的时间为1

0V3s,求火车行驶的速度为多少（不考虑火车长度）？

第4讲勾股定理与数学思想

题型①等腰转化列方程

［例1］如图在4ABC中,NC=90o,AC=3,AB=5,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,D.求BD的长.

【例2】如图，在四边形ABCD,CD〃AB,ND=90o,AB=BC,CD=2,AD=4,AE_LBC于点E.求BE的长.

实战演练

1.如图，在AABC中,AC=3,BC=4,AB=5.D,E分别为BC,AB上一点，将ABDE沿DE折叠，使点B落在边AC

的中点B处.求CD的长

A

B'L---------XE

2.如图在AABC中,AB=AC,点D在边AC上，且AD=BD,过点A作AE_LBD.交BD的延长线于点E,若

/E=6,8C=2g,求AC的长.

板块二方程思想（二）双勾列方程

条件:已知△ABC.条件/B=ND=90。.

方法:过点A作AD_LBC,垂足为D.方法：连接AC.

囱

BZK

结论：AD2=AB2-BD2=AC7-CD2.结论：A^AD^CD^AB^BC2.

实战演练

题型③共斜边用双勾

1.如图，在AABC中,AB=AC,D为BC边上一点,NEAD=NEBC=NBAC=9()。.若CD=3BD,则AB的长

为.

2.如图在AABC中、AB=AC点O,D,E,F分别在AABC的边上.四边形ODEF为长方形,AO=3.OB=CD=4.求A

F的长.

板块三整体思想(一)

条件:NC=90o,BD,AE为中线.条件:AB=AC.

2

结论：AP+Biy^AB.方法:作AHJ_BC于点H.

结论：AB2-AP2=BPPC.

典例精讲

题型①整体代换

【例1】如图.在AABC中,/C=9(r,AC=3CD,BC=3CE,AB=3布.求力炉+8。2的值.

题型②和差代换

【例2】如图在4ABC中,AB=AC,P为BC上一点若BPPC=2,求力)-4尸的值

实战演练

1.如图，在△ABC中,NACB=9()o,CA=CB,D为AB的延长线上一点,CD=2,求力。2+皿2的值

2.如图，在AABC中.NC=9(r,P是AC的中点.若AD=3,DB=5.求BC的长.

【例1】如图,D,E分别为△力亦的边BC,AC上一点，NC=90°,。七=3,"=5.求力》+4序的值.

【例2】如图、在四边形ABCD中,AC1BD,垂足为0.若AD=5,CD=3,求力广-〃。2的值.

实战演练

1.如图,D,E分别为AC,BC上一点，ZC=90HABOE//+B/Ago,则AB的长为

2.如图,AC=AE=4,AB=AD=5,/BCA=NCAE=/BAD=90°.求DE的长.

板块五分类讨论

条件:AD是4ABC的高.条件:AB=AC,BD是AC边上的高。

©AC=AD+CD;@AC=CD-AD.

典例精讲

题型①高的位置不明

【例1】在aABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,则SAABC：=.

题型①直角顶点不明

【例2】如图.在Z^ABC中,NACB=9（『.AC=3.BC=4.以AB为直角边.在AB的下方作等腰RtaABD.则CD的

长为.

A

c1■B

备用图

实战演练

1.BAABC中,CA=CB=10,高AD为8,则AB的长为.

2.如图，在等边AABC中、/8=475,作RtADBC,^DB=4,NDBC=90。,则AD的长为

题型①倍长中线

【例】如图在AABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6.求BC的长.

实战演练

题型②间接倍长中线

1.加图.在AARC中,AB=5,RC=3,过点A作AD〃RC,/CAD=90)AD=8,E是RD的中点.求AE的长.

D

E

题型③倍长类中线

2.如图，在AABC中,NACB=60o,P,Q分别在AC,BC上,M是AB的中点,且PM_L.若AP=4,BQ=6,求PQ的

长.

题型①构内K型

【例1］如图，在4ABC中,AC=BC,/ACB=90o,/ADC=90o,CD=2,AD=48!jBD的长为.

题型②构外K型

【例2】如图.在四边形ABCD4),ZABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5,AD=5V2连接BD.求BD的长.

实战演练

1.如图.在四边形ABCD中,AB=3应,BC=7,CD=5,NABC=NADC=45。.求BD的长.

2.如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD=13,BD=24,ZBAC=90°.求△BCO的面积.

板块三勾股定理与全等构造(三)对角互补

模型1等腰直角对直角模型2等边对120。角

条件：

NBCD=60°,ZBAD=\20°,BC=CD.

双垂或构手拉手一AD+AB=6AC.

双垂或构手拉手—AD+AB=AC.

典例精讲

题型①90。对90°

【例】如图，在四边形ABCD中,/ABC=NADC=90o,AD=CD.

(1球证：AB+BC=6DB；

(2席BD=BA,BC=1,求四边形ABCD的的面积.

实战演练

题型②60。对120°

女口图.在四边形ABCD中,AD=CD,NADC=120o,NCBA=60o,BC=l,AB=3.求BD的长.

A

题型①90。夹45°

【例I】如图,在等腰RtZXABC中,NACB=90。,点D,E在AB上,NDCE=45)AD=3,BE=4,则AC的长为.

【例2】如图、在AABC中,AB=AC,NBAC=120。^D,E都在BC边上,NDAE=60。，BD2=DE2+EC2MZAED

的度数为

实战演练

题型③60。夹30°

1.如图,D,E为等边4ABC的边BC上两点，N。4E=30QE=V而方C=2厕BD的长为

B-

DEC

题型④135。夹90°

2.如图,D,E是4ABC的边AB上两点,NACB=135o,NDCE=9()c,CD=CE,AD=2,DE=3,则BE的长为

C

板块五勾股定理与全等构造（五）构双等边三角形

题型①点在等边三角形内

【例I】如图、P为等边△ABC内的一点，R4=4、P8=2VJ,PC=2.求NAPC的度数.

题型②点在等边三角形外

【例2】如图，在4ABC中,AB=3,BC=5,NABC=60。,以AC为边向4ABC夕M乍等边aACD,连接BD.求BD

的长.

实战演练

如图在四边形ABCD中,CD=3,BD=5,Z\ABC为等边三角形,/ADC=30。.求AD的长.

板块六勾股定理与全等构造（六）构双等腰直角三角形

条件:等腰RtAADC.

条件：等腰Rt/^ADB.

方法:作等腰RtABDE.

方法：作等腰Rt^CDE.

结论：①△/。公△CQE；

结论：①△400丛BDE;②AC工BE.

②NBCE=NADC+/ABC.

典例精讲

题型①拼直角

【例1】如图、在^ABC中,AB=AC,NABC=NADC=45。.若AD=5,CD=4”求BD的长.

【例2】如图,在等腰RtZ\ABC中,AB=AC,D为aABC外的一点，且NADB=75‘/D=叵8。=2.求CD的长.

实战演练

题型③勾逆算直角

如图在aABC中,AC=BC,NACB=900,PA=3,PC=2五,PB=5.求N4PC的度数.

板块七勾股定理与全等构造(七)构120。的双等腰三角形

条件:AB=AD,AC=AE,ZBAD=NCAE=120°.条件:AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=\20°.

结论;①△ABCgAkADE;

®ZCDE=ZBAD+ZBCD.结论:①△ABDgAACE;

②Nl=NEAD=120。.

典例精讲

【例】如图在^AOB中,.AO=BO=V13,OC=1,ZAOB=120°,ZOCB=60°,3<AC的长.

实战演练

1.如图，在AABC中,/BAC=12(r,AB=AC点P在直线AB上方且4P8=6。,求学的值

2.如图，在四边形ABCD中,AB=AC,NBAC=12()o,NADC=9()。,且累=日,求等的值.

AULAD

板块八勾股定理与全等构造（八）等角与倍角

条件:NABC=2NC=2a.条件NCAD=NB=a.条件：ZB=2ZCAD=2a.

方法:延长CB至点D,使BD=AB.方法作AE_LAB.方法：作ZEAC=a.

结论:AC=AD.结论:AE=AD.结论：AE=ADyAB=EB.

典例精讲

题型①二倍角构等腰

【例1】如图、在^ABC中,AB=3,BC=5,NB=2NC.求AC的长.

A

题型②等角构等腰

【例2】如图，在AABC中,NACB=9(r,D为BC上一点,NCAD=NB,AB=4,AD=3.求AC的长

A

实战演练

1.如图，在△ABC中,NACB=9()o,D为BC上一点,NCAD=NB,AC=2CD=2,贝!]BD的长为.

2.如图，在4ABC中,NACB=9()o,D为BC上一点,NB=2NCAD,AB=5,BC=4.求AD的长.

、B

第6讲实践操作（一）勾股定理与作图

板块一画图与计算

在下列由边长为1的小正方形组成的网格中，仅用无刻度的直尺完成下列画图.

典例精讲

题型①平分周长

［例1］画一条直线L使得直线I平分aABC的周长.

［例2］画aABC的高CD,CD的长为

【例3】在CD上画点P,使得AP+BP的值最小，其最小值为，

实战演练

1.在图1中，画一条直线m,使得直线m平分△ABC的周长.

2.在图2中，画一条直线n,使得直线n平分△ABC的周长.

3.在图3中在BC上画点E,使得AE±DE,BE=

4.在图4中.啜的值为,ZBOC的度数为

5.在图5中,M,N是AB上的两点（点M在点N的左边）且MN-2,在AB上画出线段MN,使得CM十DN的值

最小，其最小值为.

6.在图6中.E,F分别是CD,BC上的动点,DE=BF,画出使得BE+AF最小时，点E的位置，其最小值为.

图6

板块二网格中的直角三角形

在下列由边长为1的小正方形组成的网格中，仅用无刻度的直尺完成下列画图.

典例精讲

题型①画线段

［例1］P为格点，画线段AP,使得AP=AB.

题型②画三角形

［例2］画一个三边长分别为713,20和g的三角形.

题型③画直角三角形

【例3】画一个三边长为无理数，且面积为6的直角三角形.

实战演练

1.在图I中.在AC上画点D,使得BD片.

2.在图2中，画线段40=旧画线段4V二4

3.在图3中，画一个面积为5的等腰直角三角形.

4.在图4中，画一个以AB为底.面积为7.5的等腰△ABC.

5.在图5中以AB为斜边画格点RtAABC.

6.在图6中，以AB为斜边画格点RtAABC.

图5图6

第7讲勾股定理与最值

板块一几何最值

典例精讲

题型①利用垂线段最短求最值

【例1】如图,E是边长为4的等边△ABC的BC边上一动点(点E不与点B,C重合)，以AE为边作等边△A

EF厕AAEF面积的最小值为、.

题型②利用两点之间线段最短求最值

【例2】如图在等腰直角Z\ADC中,/ADC=9(T,AD=CD=8,点M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点,

则DN+MN的最小值为.

实战演练c

1.如图设NMON=2(r,A为OM上一点，04=40。为ON上一点,”>=83,C为AM上任意一点,B是OD

上任意一点，则AB+BC+CD的最小值是______.

2.如图在锐角AABC中.AB=4V2,ZBAC=45°,ZBAC的平分线AD交BC于点D,M,N分别是AD和AB上

的动点则BM+MN的最小值是___.

D

AB

板块二化体为面求最值