等差数列（8大常考题型64题）原卷版-2025-2026学年高二数学（人教A版高二选择性必修第二册）

等差数列（8大常考题型64题）

题型归纳

题型一：等差数列通项公式基本量计算

题型二：等差中项及其应用

题型三：等差数列中的最大（小）项

题型四：递推关系证明等差数列

题型五：等差数列前〃项和的基本量计算

题型六：等差数列片段和性质

题型七：比值问题（含同角标和不同角标）

题型八：有关等差数列奇偶问题

题型专练

题型一：等差数列通项公式基本量计算

1.设｛%｝为等差数列，且4+%+%=3,。2+。3+。4=9,则4+。？=（）

A.16B.18C.20D.22

2.已知等差数列｛%｝满足/+/=14,且4一%=8,则首项“产.

3.已知正项等差数列｛〃.｝,若。；+。；=29,4+%=7,则〃”=（）

A.1B.2C.〃D.2〃-1

4.已知等差数列｛凡｝的公差为-2,且生+卬+4=39,则4=（）

A.9B.11C.13D.15

5.数列｛%｝是首项为1且公差不为0的等差数列，若出。8=。34,则。20=（）

A.20B.39C.41D.58

6.设等差数列｛〃”｝的前〃项和为若％+%=6,a｛+a4=8,则％=（）

A.6B.7C.8D.9

7.等差数列｛%｝的公差为2,且%+4+4=10，则生+生+〃产（）

A.12B.14C.16D.18

8.已知等差数列满足：/一3%=6,=0,贝11的025=（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

题型二：等差中项及其应用

9.在等差数列｛4｝中，生=一2,4=6,则4=（）

A.4B.3C.2D.0

io.已知数列卜川的前〃项和s“，且q=1,数列｛今卜｛疯｝均为等差数列，又数列出｝的前〃项和为

9,且。二（一1）”出一，则&3的值为.

11.已知｛〃”｝为等差数列，若%+%+。8+…+%=24,则卬+出+%+4+…+。36=（）

A.36B.48C.60D.72

12.等差数列｛%｝中，若%+%+%=30,贝1」％+%的值为.

13.已知数列｛%｝是公差为2的等差数列，且小是q与9的等差中项.求｛4｝的通项公式：

14.在1和7之间插入/〃个数,使得这〃叶2个数成等差数列.若这〃?个数中第1个为X,第m个为），,则'+生

xy

的馒小值是（）

99

A.-B.4C.3D.-

24

15.若四个正数。，b,c,d成等差数列，A•是。和△的等差中项，j，=痴，则x和V的大小关系为（）

A.x>yB.X>yC.x<yD,x<y

16.（多选）下列说法错误的有（）

A.若叫b,。成等差数列，则"c-2成等差数列

B.若h,。成等差数列，则log.,log2b,log2c成等差数列

C.若a,b,。成等差数列，则。+2,b+2,c+2成等差数列

D.若a,b,c成等差数列，则2",232".成等差数列

题型三：等差数列中的最大（小）项

3

17.已知等差数列痴｝的首项的=11,公差〃=-9，当|a〃|最小时，〃=.

18.已知数列包-2〃"为等差数列，且％=%=8,则氏的最小值为.

19.已知函数/⑴满足：对于任意正整数》，yJ（x+y）=f（x）+f（y）+2,若使得不等式/*）>4047成立

的最小正整数是2023,则/⑴的取值范围是.

20.数列｛/｝满足4=-21,%=-12,4“+4-=2%-2（〃>2），2是｛%｝的前〃项和，则下列说法正确的是

（）

A.是等差数列

〃一8

2

B.an=-n+12,:+32

C.牝是数列｛4｝的最大项

D.对于两个正整数〃?、〃（〃>“的最大值为10

21.已知在数列｛qj中，％=|,an=2--^-（n>2,neN*）t数列｛4｝满足。=丁'（〃wN）

⑴求证：数列也｝是等差数列；

⑵求数列｛%｝中的最大项和最小项，并说明理由.

22.己知等差数列-4.2,-3.7,-3.2,...的前〃项和为S“，S”是否存在最大（小）值？如果存在，求出取

得最值时〃的值.

23.已知等差数列｛《,｝的首项是正数，记S.为数列的前〃项和，若q+%+/=$2020,则下列结论中正确的

有（）

A.J<0B.52023=0

C.｛%｝是先增后减数列D.品m=5⑹2且为S”的最大值

24.数列应｝是等差数列，6=6%>0,数列｛4｝满足，〃wN*，设I为也｝的前〃项和,

则当S,取得最大值时，〃的值等于（）

A.9B.10C.11D.12

题型四：递推关系证明等差数列

25.已知数列｛%｝前〃项和为S”，满足（5〃-8电「（5〃+22=4?-8（z/eN+,力为常数）

⑴若）=10,求％一5s2的值；

（2）若q=2,A=0,求数列｛%｝的通项公式：

⑶若月=-20,求证：数列｛%｝为等差数列的充要条件为q=l.

26.对任意的正整数〃,数列｛可｝满足〃。”=(〃+2)1+2,且勺=6.

⑴求4,生；

(2)证明：+是等差数列；

⑶设数列｛凡｝的前〃项和为s“，求使s”42〃的最小正整数〃的值.

27.己知数列｛叫的前〃项和为S“，q=l,%>0,且2。,£+「2%+£=。/向.

⑴证明：数列〈二)是等差数列.

(2)求｛4｝的通项公式.

28.已知正项数列｛%｝的前〃项之积为4,且'=1

⑴求证：数列忆｝是等差数列；

（2）设普白，求也｝的前2〃项和S*.

/“./"I

29.已知数列h｝的各项均为正数，且4=/4（〃22）.

3+1

⑴求证：数列〈十是等差数列；

,、12,/7=1,..

⑵若数列帆｝满足“=求数列出｝中的最大项与最小项.

30.已知数列也｝满足％%=5%-3%-l,q=2,设数列｛〃”｝的前〃项和为工，前〃项积为小则下列

说法错误的是（）

■r

A.数列，士•是等差数列B.数列｛为｝的最大项为为

C.使得s”取得最小值的〃为7D.，有最小值，无最大值

31.已知数列｛%｝的通项公式为生=/一即，则()

A.q+g=%+%

B.｛4｝中的最小项为-16

C.从第三项起，几｝的每一项都大于它的前一项

D.数列｛。…-必｝为等差数列

32.设｛%｝是各项都为正数的递增数列，已知q=l,且凡满足关系式(%+4-1)2=4〃4，〃£E.

(1)证明：数列｛疯｝是等差数列：

⑵令”=(-1)"，求数列间的前2〃项的和T2tt.

4凡一1

题型五：等差数列前〃项和的基本量计算

33.已知等差数列｛%｝中，％+q=4+7吗o=19,则数列｛6cos/m｝的前10项和为___.

34.记等差数列｛%｝的前〃项和为S”.若邑=4,凡=20,则$6=()

A.28B.48C.64D.84

35.设等差数列｛%｝的前〃项和为S.，6=3,S5=35.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵设数列｛|凡|｝的前〃项和为求九一

36.设等差数列｛%｝的前〃项和为S”，若％=2,邑=12,则&等于()

A.8B.10C.12D.14

37.《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到

了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌“：一个公公九个儿,

若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中,

这位公公的长儿的年龄为()

A.23岁B.32岁C.35岁D.38岁

38.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：“把100个面包分给5个

人，使每个人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的;是较小的两份之和，求最小的一份的数量

此题中，若要使得每个人获得的面包数都是整数个，则题中的面包总数"100〃可以修改为（）

A.122B.121C.120D.110

39.在等差数列｛%｝中，公差4工0,S.为其前〃项和.若%=£，%%=£,则下列说法正确的有（）

A.d=2B.q=4

C.an=2n-6D.若S“>0,则”的最小值为6

40.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若&=2S2，%=2%+1,贝iJSs=（)

A.-20B.一15C.-10D.—5

题型六：等差数列片段和性质

41.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，若邑=9,几=6,则Sg=（）

315

A.-B.—C.10D.11

22

42.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”.若£=13,几=17,则孔=.

43.设｛%｝是由正数组成的等差数列，,是其前〃项和.

⑴若S”=20,S2.=40,求邑”的值；

⑵若存在互不相等的三个正整数p,q,m,使得〃+夕=2用，证明：不等式S0・Sg<S；成立.

44.在等差数列｛〃“｝中，％02$<0,生026>0，且。2026>|。2025|，5”是其前〃项和，则（）

A.…，邑025都小于0，/26，$2团，…都大于0

B.—,$2,…,$4049都小于0,S40sps4c5”…都大于0

c.S\&,…,S]03都小于o,$15/网6,…都大于0

D.S],S?,…,S40so都小于0,S40fI，S4052,…都大于0

45.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，$3=2臬=6,则Sg=（）

A.-9B.-6C.-3D.9

46.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石）,

环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环

多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形

石板（）

A.2699块B.3474块C.3402块D.2997块

47.设S.为等差数列｛叫的前〃项和，且$3=12,§6=15,则兀-5=.

48.已知数列｛%｝是等差数列，3为数列｛%｝的前〃项和，则下列说法中正确的是（）

A.若q=9,数列｛4｝的前10项和或前11项和最大，则等差数列｛%｝的公差d=-l

B.若1-1=1%⑷|，d<0,则使工>0成立的最大的〃为4039

C.若S”=m,S.=〃（〃?，〃），则SE=-〃L〃

D.若二=10,S2m=40,则S3/9O

题型七：比值问题（含同角标和不同角标）

S2n+1

49.设等差数列｛/｝,｛2｝的前〃项和分别为S.,7；.若n,则）

71119

A，4B.—D.2

8.n

S7〃2a

设两个等差数列应｝,也｝的前〃项和分别为s“、T己知宣二」±।,则，•=—.

50.nf

Jn〃+J%

,、«、S,6〃+2a”

51.已知两个等差数列｛%｝和步/的前〃项和分别为，和7；,且,=则使得才为整数的正整数〃

的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

s"（1I

52.已知等差数列｛%｝,也｝的前八项和分别为SU，若宁7—7,则满足的正整数〃有（）

2〃+3hn3

A.4个B.3个C.2个D.1个

C-21I

已知分别是等差数列｛《｝与他｝的前〃项和，且广=崇…），则年=（）

53.7（〃-2,

A号c164

D.-

•33

已知数列｛%｝和也｝都是等差数列，且前〃项和分别为S,，T“，若光=誓1，则/=

54.

S3〃+2白

已知等差数列｛%｝,也｝的前〃项和分别为S.,T若*三,则

55.nt

/“2〃+14+/+4

56.已知等差数列｛%｝,帆｝的前〃项和分别为S.,7；,若卜芸则?•=()

79413

A.—B.—C.-D.—

1317723

题型八：有关等差数列奇偶问题

57.若外,电，…必用成等差数列，奇数项的和为75,偶数项的和为60,则该数列的项数为()

A.4B.5C.9D.11

58.已知一个项数为〃的等差数列｛%｝,设其前〃项和为S,,其所有奇数项的和为480,所有偶数项的和为

36C,公差d=-8,则当〃为偶数时，此数列首尾两项之