四川成都市高新区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷（试卷+解析）

四川省成都市高新区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一

项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1.已知点P（l—a,2）到两坐标轴的距离相等，则。的值为（）

A.-1B.3C.-3D.-1或3

2.在一1.414,圾,7T,2+b，3.212212221...（相邻两个1之间依次增加一个2）这些数中，无理数的个

数为（）

A.2B.3C.4D.5

3.中，乙4,乙氏“的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△力"为直角三角形的是

（）

A.Z.A=Z.B+乙CB.Z.Z1:Z.B:LC=1:1:2

Cd2=a2+c2D.a:b:c=1:1:2

4.适量的运动有助于身体健康.经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分〜80次/分.某校篮球

队15名学生的心率测量数据如下表:

心率/（次/分）6068707380

人数/名1?5512

则这15名学生心率的中位数是（）

A.65次/分B.67.5次/分C.70次/分D.72.5次/分

5.下列命题是假命题的是（）

A.同旁内角互补，两直线平行

B.若/=从，则Q=b

C.直角都相等

D.等边三角形的三个内角都相等

6.若点P（a,b）在直线y=2x+1±,则代数式4a-2b+1的值为（）

A.3B.-1C.2D.0

7.阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树,

请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每

棵树上有5只，则剩下一棵树没乌鸦.”设树工棵，乌鸦y只.依题意可列方程组（)

(3x+5=y

A(3y+5=x

(5(y-l)=x(5(x-l)=y

(3y=x+5

D.

二(5y=x-5

8.如图，直线Qlib,将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若21=58。，则乙2的度数为（）

A.30°B.32°C.42°D.58°

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

9.若a,b为实数,且满足（Q+4）2+标与=0,贝必匕=.

10.某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试（满分均为100分），规定笔试成绩占60%,面试成

绩占40%,应聘者张华的笔试成绩和面试成绩分别为95分和9。分，她的最终得分是分.

H.已知点户（。,3）和点Q（4,b）关于x轴对称，则（。+匕）2。26的值为.

12.如图，一圆柱体的底面圆周长为10cm，高AB为4cm，8c是上底的直径，一只蚂蚊从点4出发，沿着

圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是e.

13.如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法

线两侧，入射角i等于反射角「，法线垂直于镜面，这就是光反射定律.若入射角，•的度数为50。，反射

光线OC与镜面OB平行，则两镜面的夹角/4。8的度数为°.

三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）

14.计算：

（1）计算:4x

⑵解方程组：｛,+2］二左；二）

15.为了让初中生更加直观地体验非遗手工技艺，感受非遗文化的独特魅力，培养他们对优秀传统文化的

兴趣，积极参与到非物质文化遗产的保护和传承中来，某校举办了非遗知识进课堂活动，选定木偶戏、四

面花鼓、说春、船工号子四类非遗项目，随机抽杳了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的非遗

项目，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）.

被抽查学生最喜欢的非遗项目的被抽查学生最喜欢的非遗项目的

扇形统计医

请根据图中信息解答下列问题:

（I）被抽查的学生人数为,并将条形统计图补充完整；

（2）被调查学生最喜欢的非遗项目所对圆心角度数是。.

（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校喜欢“木偶戏”的学生人数.

16.如图，在平面直角坐标系中，AABC顶点的坐标分别为力（一2,3）,8（-4,1）,C（-l,2）.

（I）判断△力BC的形状，并说明理由;

（2）画出△48。关于x轴的对称图形△力18£,并求出△&B1C1的面积.

17.某中学物理组的教师们，需要购置某种教学仪器.经物理组教师讨论，现有以下两种购置方案:

方案一：到商店直接购买成品，每件仪器单价为8元;

方案二：教师自己制作，需购买原材料，每件仪器所需原材料费用为4元，另需支付制作工具租金120

元.

设现在教师需要教学仪器X件，方案一总费用为月元，方案二的总费用为加元.

（1）写出力,关于X的关系式分别是什么？（直接写结论，不用写出自变量的取值范围）

（2）当添置教学仪器多少件时，两种方案所需的总费用相同？

（3）若教师计划添置教学仪器60件，则采用哪种方案更便宜？

18.如图，在平面直角坐标系%Oy中，已知点力（一3,0）,点8（3,0）,点C（0,3）.直线/经过点C,并与x轴交

于点0（6,0）.

（2）点尸是直线/上一动点且△/18P的面积为12,求点尸的坐标；

（3）若点Q是直线4c上一动点，使得△ABQ是等腰三角形，请直接写出所有满足条件点Q的坐标.

四.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

19.己知x=瓜一几y=V6+V2,则（％+y）（x-y）=.

20.小明解方程组｛2：*二；2,得出的解为｛；由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数•和

□»则口=：

21.如图，AB18C于点8,48_14。于点4点七是。。中点，若3C=5,AD=12,BE=12.5,则的

长是.

22.定义：如图，在平面直角坐标系中任意两点P,Q满足，若点P到两条坐标轴的距离之和等于点Q到两

条坐标轴的距离之和，则称P，Q两点互为轴距等点.已知，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b经过点

且与3轴交于点儿与y轴交于点B,。是平面内一点，且C,。两点互为轴距等点，连接力C,

BC,当4084=90。时，则。点坐标为.

23.如图，△ABC为等边三角形，。是48边上一点，E是BC边上一点、,连接。E,将△BDE沿直线DE翻折得

至IJ&FDE,点2?与点F对应，E"和DF分别交AC于点M,N,^DFLAB,AD-1,EC-2,贝!△NM"的面

积为.

五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

24.在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面.某新能

源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共

计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元.

（1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价；

（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，

已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆.根据销售经验，购中级型汽车的

数量不低于25辆，设购进Q辆中级型汽车，100辆车全部售完获利十万元，该经销商应购进中级型和紧凑

型汽车各多少辆.才能使勿最大？W最大为多少万元？

25.如图1,在Rt/kABC中，44=30。，zt?=90°,0,E是4c边上两点，8。平分iABC,AE=DE.

备用图

（1）求证：AD=BD；

（2）若BE=由，求线段AC的长;

(3)点尸是射线BE上一点，若4DFE=30。，求谒的值.

rc

26.如图1,直线力8与3轴，y轴于4,8(0,1)两点，直线上旷=-2%+6与直线48交于点。(4£1),与3轴交于

(2)若4。48+乙。4。=45。，求m的值；

(3)如图2,连接P4PC,将△4PC沿PC翻折，若当点力的对应点4刚好落在直线［上，求此时点尸的坐

标.

四川省成都市高新区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一

项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1.已知点P（l—a,2）到两坐标轴的距离相等，则。的值为（）

A.-1B.3C.-3D.-1或3

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点到刀轴的距离是它的纵坐标的绝对值，至物轴的

距离是它的横坐标的绝对值.根据点到两坐标轴的距离相等列出关于a的方程，解方程求出a即可.

【详解】解：•••点P（l-a,2）到两坐标轴的距离相等，

•••11—a|=2,

1-a=2或1-a=-2,

解得：。=-1或3,

故选：D.

2.在-1.414,V5，Jr,2+V5，3.212212221...（相邻两个1之间依次增加一个2）这些数中，无理数的个

数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了无理数的识别，掌握无限不循环小数叫无理数是解题的关键.根据无理数的定义依次

判断即可.

【详解】解:-1414是有限小数，属于有理数；

声是开方开不尽的数，属于无理数；

兀是无限不循环小数，属于无理数；

遍是无理数，有理数与无理数的司为无理数，故2+遮是无理数；

3.212212221...（相邻两个1之间依次增加一个2）是无限不循环小数，属于无理数；

无理数的个数为4个.

故选：C.

3.△力中，乙4乙B,乙。的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△48C为直角三角形的是

A.乙4=/B+zCB.Zi4:zB:zC=1:1:2

C.b2=a24-c2D.a:b:c=1:1:2

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角形内角和定理可判断A和B,根据勾股定理可判断C和D.

【详解】A.vLA=LB+LC,乙4+匕8+乙。=180°,

2Z/1=180°,=90°,

.•・△/1BC为直角三角形，不符合题意，故A错误；

B.vZ.A:Z.B:Z.C=1:1:2,

Z.A=Z.B,Z.C=2Z/1,

又+zB+zC=180°,

A£A+£A+24A=180°,LA=45°,

:.LC=2/.A=90°,

△48。为直角三角形，不符合题意，故B错误；

C.vb2=a2+c2,

・•・△/18C是直角三角形，不符合题意，故C错误；

D.va:b:c=1:1:2,

•••b=a,c=2a,•••a2+b2c2,

・•.△ABC不是直角三角形，符合题意，故D正确.

故选D.

本题考查了三角形内角和定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.如果三角

形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中.

4.适量的运动有助于身体健康.经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分〜80次/分.某校篮球

队15名学生的心率测量数据如下表：

心率/（次/分）6068707380

人数/名25512

则这15名学生心率的中位数是（）

A.65次/分B.67.5次/分C.70次/分D.72.5次/分

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了确定一组数据的中位数，找中位数的时候一定要先将数据排好顺序，如具数据有奇数

个，则正中间的数字即为所求；如果数据有偶数个，则找中间两位数的平均数.

【详解】解：•・•共有15名学生，中位数是第8个数，

・••这15名学生心率的中位数是70次/分；

故选：C.

5.下列命题是假命题的是()

A同旁内角互补，两直线平行

B.若.?=从,则a=b

C.直角都相等

D.等边三角形的三个内角都相等

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查真假命题的判断、平行线的性质、直角的概念、等边三角形的判定与性质.逐一分析

各选项命题的真假，找出假命题即可.

【详解】解：•・•“同旁内角互补，两直线平行”是平行线的判定定理，为真命题，故A不符合要求.

•••当Q=2,匕=一2时，。2=匕2=%但。=匕，说明“若/=从，则a=b”不成立，是假命题，故B符

合要求.

•••所有直角的度数都是90。，因此直角都相等，是真命题，故CK符合要求.

•••等边三角形的三个内角均为60。，三个内角都相等，是真命题，故D不符合要求.

故选:B.

6.若点P(Q,b)在直线y=2x+1±,则代数式4Q-2b+1的值为()

A.3B.-1C.2D.0

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，代数式求值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的特

征.先将点P(a,b)代入直线解析式得到a与b的关系式，再对所求代数式变形，代入关系式计算即可得出结

果.

【详解】解：•••点P(a,b)在直线y=2x+l上，

b=2a+1,

•••2a—b=-1,

4a—26+1

=2(2Q-b)+1

=2x(-1)+1

=-2+1

故选:B.

7.阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，

请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每

棵树上有5只，则剩下一棵树没乌鸦.”设树为棵，乌鸦y只.依题意可列方程组()

[3y+5=x(3x+5=y

l5(y-l)=x(5(x-l)=y

x+

C.?+5二D,&=1

(5y=x—5(5y=x—5

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，正确理解题意，得出方程组是解题的关键.分别根据

两种乌鸦栖息的情况，建立乌鸦数量与树的数量的等量关系即可.

【详解】解：根据题意可列方程组为

故选:B.

8.如图，直线allb,将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若41=58。，则乙2的度数为()

A.30°B.32°C.42°D.58°

【答案】B

【解析】

【详解】解:如图，过点A作A8||b,

.-.Z3=Z1=58°,

VZ3+Z4=90°,

・•・Z4=900-Z3=32°,

•••QIIb,AB||b,

--AB||a,

.-4=32。,

二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上)

9.若a,b为实数,且满足(Q+4)2+VF^=0,则ab=.

【答案】-12

【解析】

【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，掌握平方和算术平方根的非负性是解题关键.根据平方

和算术平方根的非负性可求出a和b的值，再计算乘积即可.

【详解】解：v(a+4)2>0,>0，且(a+4尸+后二^=0,

•••(a+4)2=0且=0，

解得。=~4,b=3,

ab=(-4)x3=—12.

故答案为：—12.

10.某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试(满分均为1(X)分)，规定笔试成绩占60%,面试成

绩占40%,应聘者张华的笔试成绩和面试成绩分别为95分和90分，她的最终得分是分.

【答案】93

【解析】

【分析】利用加权平均数的计算公式，进行计算即可.

【详解】95X60%+90X40%=93(分)

故答案为：93.

本题主要考查加权平均数的实际应用，掌握加权平均数的计算公式，是解题的关键.

11.己知点P(a,3)和点Q(4,b)关于％轴对称，则(a+8)2。26的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】本题考查了关于“轴对称的点的坐标特征，代数式求值，有理数的乘方运算，掌握关于%轴对称的

点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，是解题的关键.根据关于％轴对称的点的坐标特征，横

坐标相等，纵坐标互为相反数，求出a和b的值，再代入计算即可.

【详解】解：•・•点P(a,3)和点Q(4,b)关于%轴对称,

Aa=4,b=-3,

Aa+b=4+(-3)=1,

,(Q+8)2026=12026=1

故答案：1.

12.如图，一圆柱体的底面圆周长为10cm，高力B为4cm，是上底的直.径，一只蚂蚁从点4出发，沿着

圆柱的侧面爬行到点C,则爬行的最短路程是cm.

:g

【答案】V41

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，沿CD将圆柱侧面展开，根据两点之间线段最短可知，

线段4c的长即为蚂蚁爬行的最短路程，利用勾股定理求出4c的长即可得到答案.

【详解】解・：如图所示，沿C"将圆柱侧面展开，

BC_________

由题意得，56=10-2=5(cm)，AB=4cm，线段4c的长即为蚂蚁爬行的最短路程，

22

在《△4BC中，由勾股定理得AC=VAB+BC=，42+52=V41(cm),

.•.蚂蚁爬行的最短路程是WIcm，

故答案为：vn.

13.如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法

线两侧，入射角i等于反射角「，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律.若入射角，的度数为50。，反射

光线OC与镜面OB平行，则两镜面的夹角乙力。8的度数为°.

A

D

【答案】40

【解析】

【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的性质，根据入射角等于反射角可知4=ZT=50。，根据垂

直的定义可知41+乙丁=90。，即可求出乙1=40。，根据平行线的性质可知乙力。8=41=40。.

【详解】解：如下图所示，

•・•DK1OA,zi=50°,

zi=zr=50°,Z.ADK=zl+z.r=90°,

zl=40°,

•••CDIIOB,

/.AOB=zl=40°,

故答案：40.

三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）

14.计算：

⑵解方程组“二二„

【答案】3）3（2）3二:

【解析】

【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数塞公式，代入消元法等知识，掌握相关运算法则、公式和方

法是解题的关键.

（1）运用二次根式的运算法则和零指数昂公式计算即可：

（2）运用代入消元法求解即可.

【小问1详解】

解：原式=4x*l+4-2企

=2&-1+4-2及

=3；

【小问2详解】

{2x-y=4①

(%4-2=2(y-l)@，

由①得：y=2x-4,

将y=2x-4代入②得：x+2=2(2x-4-1),

解得：x=4,

.*.y=2x-4=4,

x=4

・•・原方程组的解是:y=4'

15.为了让初中生更加直观地体验非遗手工技艺，感受非遗文化的独特魅力，培养他们对优秀传统文化的

兴趣，积极参与到非物质文化遗产的保护和传承中来，某校举办了非遗知识进课堂活动，选定木偶戏、四

面花鼓、说春、船工号子四类非遗项目，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的非遗

项目，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）.

被抽查学生最喜欢的非遗项目的被抽查学生最喜欢的非遗项目的

扇形统计图

请根据图中信息解答下列问题:

（1）被抽查的学生人数为.,并将条形统计图补充完整;

（2）被调查学生最喜欢的非遗项目所对圆心角度数是

（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校喜欢“木偶戏”的学生人数.

【答案】（1）200；见解析

(2)144

（3）估计全校最喜欢“木偶戏”的学生人数为360人

【解析】

【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.

（I）根据“船工号子”人数除以所占百分比求得被抽查的学生人数，再用被抽查的学生人数减去其他三

个项目的学生人数即可得到“说春”项目人数，进而补全条形统计图即可；

（2）通过比较各项目人数大小，得到被调查学生最喜欢的非遗项目为“四面花鼓”，进而用“四面花

鼓”人数除以被抽查的学生人数，再乘以360。即可；

（3）用总人数乘以样本中喜欢“木偶戏”的学生人数占比即可得解.

【小问1详解】

解：40+20%=200（人）,

•••喜欢“说春”的人数为：200-60-80-40=20（人），

补全条形统计图如F：

被抽查学生最喜欢的非遗项目的

【小问2详解】

解：v80>60>40>20,

.••被调查学生最喜欢的非遗项目为四面花鼓，

・•・被调查学生最喜欢的非遗项目所对圆心角度数为360。x翳=144。.

故答案为：144：

小问3详解】

解：1200x^=360（人）.

答：估计全校喜欢“木偶戏”的学生人数为360人.

16.如图，在平面直角坐标系中，△4BC的顶点的坐标分别为4（-2,3）,B（-4,l）,C（-l,2）.

(1)判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)画出a/lBC关于x轴的对称图形△力道心，并求出的面积.

【答案】(1)是直角三角形，理由见解析

(2)见解析，2

【解析】

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一轴对称，坐标与图形，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理,

熟知相关知识是解题的关键.

(1)利用两点间距离公式求出4广，AC2,8〃的值，再由勾股定理的逆定理可得结论；

(2)关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点公、当、G的坐标，描出点/、

Q,并顺次连接点A1、8]、G，再利用割补法求出对应的三角形的面积即可.

【小问1详解】

解：是直角二角形，埋由如下：

•・Z(-2,3),8(-4,1),C(-l,2),

：.AB2=[-2-(-4)]24-(3-I)2=8,AC2=[-2-(-1)]2+(3-2)2=2,

BCZ=[-1-(-4)]2+(2-l)2=10,

：.AB2+AC2=BC2,

・•・A48c是直角三角形；

【小问2详解】

解：如图所示,△481G即为所求，则SM向c,=2x3—打1x3—打1*1一打2><2=2.

17.某中学物理组的教师们，需要购置某种教学仪器.经物理组教师讨论，现有以下两种购置方案：

方案一：到商店直接购买成品，每件仪器单价为8元；

方案二：教师自己制作，需购买原材料，每件仪器所需原材料费用为4元，另需支付制作工具租金120

元.

设现在教师需要教学仪器x件，方案•的总费用为月元，方案二的总费用为加元.

（1）写出以，及关丁人的关系式分别是什么？（直接写结论，不用写出自变量的取值范围）

（2）当添置教学仪器多少件时，两种方案所需的总费用相同？

（3）若教师计划添置教学仪器60件，则采用哪种方案更便宜？

【答案】（1）%=8%,y2=4x4-120

（2）当需要的仪器为30件时，两种方案所需的费用相同

（3）选择方案二费用便宜

【解析】

【分析】本题考查了列函数关系式，求函数值，一元一次方程的应用.

（1）方案一：总费用=仪器的单价x仪器的数量；方案二：总费用=每件制作的成本x仪器的数量+工具的

租用费，据此可得出方案一和方案二的函数关系式；

（2）本题只需令（1）中得出的两个函数关系式相等，求出x的值，即可求得两种方案所需的费用相同时,

仪器的件数；

（3）可将x=60分别代入（1）中的两个函数式中，得出函数的值，然后比较哪种方案更便宜即可.

【小问1详解】

解：根据题意，得y】=8%,y2=4x-i-120；

【小问2详解】

依题意yi=乃，

g|J8x=4x+120,

Ax=3(),

・•・当需要的仪器为30件时，两种方案所需的费用相同；

【小问3详解】

把x=60分别代入%=8x,y2=4x+120中，

得力=8x60=480,y2=4x60+120=360,

V>1>、2，

・••当需要的仪器为60件时，选择方案二费用便宜.

18.如图，在平面直角坐标系无Oy中，已知点4(一3,0),点8(3,0),点。(0,3).直线/经过点C,并与x轴交

于点0(6,0).

(2)点P是直线/上一动点且4ABP的面积为12,求点尸的坐标；

(3)若点。是直线4C上一动点，使得△ABQ是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.

【答案】(1)y=-；x+3

(2)P(-2,4)或(14,-4)

(3)。点坐标为(0,3)或(3,6)或(-3-3&,-3«)或(一3+3^2,372)

【解析】

【分析】(1)设直线CO的解析式为y=kx+b,把点C和点。的坐标代入求出〃的值即可；

(2)设P，,-*+3),根据的面积为12,列出关于，的方程，解之即可；

(3)求出直线47的解析式y=x+3,Q(m,m+3),分三种情形讨论即可，当4B=4Q时，当AB=BQ

时，当4Q=8Q时.

【小问1详解】

解：设直线CD的解析式为y=kx+b,

解得

.h=3

；・y=一"+3：

【小问2详解】

设P(t,_]+3),

•・"(一3,0),8(3,0),

：,AB=6,

；・：x6|—：t+3=12,

2I2

解得"-2或£=14,

・・・9(-2,4)或(14,-4)；

【小问3详解】

解：设直线AC的解析式为y=k'x+3,

把4(-3,0)代入,得—3k'+3=0,

解得/=1,

y=x+3,

设Q(m,m+3),

VF(3,0),

.,・48=3—(—3)=6.AQ=y/(m4-3)2+(m+3)2=V2|m+3|»BQ=—3尸+(m+3产=

V2m2+18,

・••当A8=AQ时，6=V2|m+3|,

解得m=—3-3&或zn=-3+3x/2»

.,.(?I(-3-3V2,-3V2),Q2(-3+3V2,3V2)；

当48=BQ时，6=V2m2+18.

解得m=3或?n=-3(舍)，

••4(3,6)；

当4Q=BQ时，V2|m+3|=V2m2+18,

解得m=0,

A(?4(0,3);

综上所述：。点坐标为(0,3)或(3,6)或(一3-3鱼,一3注)或(一3+3或,3a).

本题考杳一次函数综合题，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象及性质，等腰三角形

的性质、三角形面积公式，是解题的关键.

四.填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上)

19.已知无=V6—无，y=V6+\/2»则(％4-y)(x—y)=.

【答案】-8V3

【解析】

【分析】本题考查二次根式的混合运算，以及代数式求值，将％=述-VL'=遍+四代入式子求解，即

可脩题.

【详解】解：x=V6—V2>y=A/64-A/2»

A(x+y)(x-y)=(>/6-V2+V6+V2)x(V6-V2-V6-A/2)

=2V6x(-2x/2)=-8>/3.

故答案为：—8国.

20.小明解方程组卜：百32,得出的解为til山于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数•和

口，则口=；

【答案】-6

【解析】

【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是解题的关键.先把x=3代

入第二个方程求出y，即可得到答案.

【详解】解:丫方程组第二;歙解为:‘

把x=3代入②，得y=-6,

□=—6,

故答案为：一6.

21.如图，A8JL8C于点B,A8J.AD于点A,点E是CO中点，若8C=5,AD=12,BE=12.5,则AB的

长是.

RC

【解析】

【分析】延长破交力。于F,证明aCBfi1三△OFE(ASA)得到。2=5,BF=2BE=25t然后利用勾股定理

求解即可.

【详解】解：延长应:交4。于入

RC

,：AB1BC,ABLAD,

：.BCIIAD,

.'.ZC=皿

•・•点E是CD中点,

：.CE=DE,又乙CEB=々DEF,

ACBE=△DPE(ASA)，

：.DF=BC,EF=BE,

•・•BC=5,BE=12.5,

：.DF=5,BF=2BE=25,

在RtZ\4B/中，AF=AD-DF=7,

：-AB=V^F2-AF2=V252-72=24，

故答案为:24.

本题考杳平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解答

的关键.

22.定义：如图，在平面直角坐标系中任意两点P,Q满足，若点P到两条坐标轴的距离之和等于点Q到两

条坐标轴的距离之和，则称尸，Q两点互为轴距等点.已知，在平面直角坐标系中，直线y=2x+8经过点

£)(-1,-4),且与％轴交于点力，与y轴交于点B,C是平面内一点，且C,。两点互为轴距等点，连接力C,

BC,当，C8A=90。时，则C点坐标为.

【答案】(2,-3)或(一

【解析】

【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时要能熟练掌握并能根据题意列出关系式是

关键.依据题意，由直线y=2x+b经过点。(一1,一4),利用待定系数法可求得b的值，从而可得直线的解

析式，进而可得4B两点的坐标，又NCB4=90。，则直线BC与直线48垂直，故可设直线8。为、=

-3%+加，又过3(0,-2),从而求出直线8C的解析式，故可设C(c,-^c一2),结合C,。两点互为轴距等

点，且0(-1,-4),可得|c|+6c-2卜1+4=5,进而计算可以得解.

【详解】解：•直线y=2x4-b经过点0(-1,一4),

:.-2+b=-4,

•••b=-2.

•••y=2x-2,

令x—0,得y=-2,

令y=0,即2%—2=0,得无=1,

.•.4(1,0),5(0,-2).

•：£CBA=90°,

直线BC与直线48垂直，故可设直线BC为y=-：％+根.

又过8(0,—2),

:.m=-2.

直线BC为y=-^x-2.

.••可设C（c,-[c-2）.

•••a。两点互为轴距等点，且o（-i,-4）,

•••|c|+卜*-2=1+4=5,

•••c=2或一提

•5

c（2,-3）或（-

y八

5-

4-

故答案为：(2,—3)或(―fW).

23.如图，AABC为等边三角形,。是48边上一点，E是BC边上一点，连接0E,将4沿直线DE翻折得

到AF0E,点B与点尸对应，EF和DF分别交4C于点M,Nt^DFLAB,AD=,EC=2,贝!aNNF的面

积为.

【答案】手

【解析】

【分析】本题考查了图形的翻折变换及性质，等边三角形的性质，含有30。角的直角三角形的性质，勾股

定理，理解图形的翻折变换及性质，等边三角形的性质，灵活利用含有30。角的直角三角形的性质及勾股

定理进行计算是解决问题的关键.在RtUDN中，先求得〃ND=30。，利用含有30。角的直.角三角形的性

质得到4N=2AD,由勾股定理求得DN的长，由折叠性质得：BD=FD,BE=FE,N尸==60。，由

此得//MN=90。，在中，设FM=a,可得FN=2FM=2a,MN=&,进而得力B的长，在

RtAECM中，利用含有30。角的直角三角形的性质得到CM=：EC,再由勾股定理得EM,从而表示出C8的

长，根据4B=CB,可求得a的值，得到FM,MN的长，进而根据三角形的面积公式求解即可得解.

【详解】解：♦.•△48C为等边三角形，

•••AB=CB,乙4=乙B=Z.C=60°,

vOF1AB,

:.Z/1D/V=90°,

在RtA/lDN中，AD=1,Z/l/VD=90o-Z/l=30o,

AN=2AD=2,

由勾股定理得：DN=yjAN2—AD2=V22—I2=V3,

由折叠性质得：BD=FD,BE=FE,乙F==60。，

在AFMN中，Z.FNM=LAND=30°,

:.乙FMN=180°-QFNM+ZF)=180°-(30°+60°)=90°,

4EMC=Z.FMN=90°,

△FM/VfllAECM都是宜角三角形，

仕RtAFMN中,设“M=a,

♦:乙FNM=30°,

:•FN=2FM=2a,

由勾股定理得：MN=y/FN2—FM2=y/(2a)2—a2=V3a»

AFD=DN+FN=y/3+2a，

•••BD=FD=y/3+2a，

•••AB=AD+BD=1+V3+2a,

在Rtz\ECM中，EC=2,zCEM=90°-zC=30°,

:.CM=-EC

2=1,

由勾股定理得：EM=y/EC2-CM2=V22-I2=V3，

AFE=EM+FM=V3+a»

：•BE=FE=6+a.

：•CB=BE+EC=y/3+a+2^

-AB=CB,

1+V5+2Q=b+。+2,解得Q=l,

FM=a=1,MN=V3a=V5，

・•.△NM/的面积为：>N.FM=|xV3xl=f.

故答案为：走.

2

五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

24.在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船机，一系列优惠政策如同春风拂面.某新能

源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共

计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元.

（1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价：

（2）由丁新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，

已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆.根据销售经验，购中级型汽车的

数最不低于25辆，设购进Q辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑

型汽车各多少辆.才能使W最大？W最大为多少万元？

【答案】（1）24万元，16万元

（2）购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆；350万元

【解析】

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用；

（1）设中级型汽车进货单价为“万元，紧凑型汽车的进货单价为y万元.根据题意列出二元一次方程组，

解方程组即可求解；

（2）根据题意得出W=-20+4。0,25<a<100,进而根据一次函数的性质，即可求解.

【小问1详解】

解：设中级型汽车的进货单价为x万元，紧凑型汽车的进货单价为y万元，

由题意得:[3^^=404

解得：（；：16

答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元；

【小问2详解】

设购进中级型汽车a辆，则购进紧凑型汽车（100-a）辆，

由题意得：25<a<100,

IV=(26-24)a+(20-16)(100-a)=-2a+400,

-2<0,

・•.W随a的增大而减小，

.•.兰Q=25,W取最大值，最大值=-2x25+400=350,

此时，100-Q=100-25=75,

答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元.

25.如图1,在中，44=30。，ZC=90°,D,E是4c边上两点，8。平分N/1BC,AE=DE.

BB

CDEACDEA

备用图

（1）求证：AD=BD；

（2）若BE=小,求线段AC的长；

（3）点尸是射线BE上一点，若4FE=30。，求案的值.

rC

【答案】⑴见解析（2）3

（3）雾的值为:或8

【解析】

【分析】本题主要考查了含30。直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质定理、等角对等边，熟练

掌握相关知识是解题的关键.

（1）易证乙ABO=41=30。，即可得证；

（2）设=PllJ^D=2CD=2x,BC=网，AE=DE=x,再在Rt△BCE中利用勾股定理建立方程

求解即可；

（3）分两种情况，当点r在线段BE上时，当点尸在射线BE上时，在中，再通过勾股定理求解即

可得解.

【小问1详解】

证明：在RtZkABC中，乙A=30°,4c=90。，

/.ABC=60。，

v平分乙4BC,

乙

:./.ABD=CBD=-2Z-ABC=30°,

:.Z.ABD=乙4,

:.AD=BD；

【小问2详解】

解：在RtACBD中,LCBD=30°,

•••设CD=x,则8C=2CD=2x,

•••BC=7BD2CD2=J（2x）2~x^=Wx,

vAD=BD=2x,AE=DE,

:.AE=DE=x,

ACE=CD+DE-2x,

在RtABCE中，BC2+CE2=BE2,即（遮％了+（2x）2=

解得％=1（负值舍去），

:.AC=CDAD=3x=3：

【小问3详解】

解：设力E=DE=1,

由（2）知CD=1,BD=2,BC=V3，BE=夕，

AB=2BC=26，

当点F在线段BE上时,如图，过。作OH_LEF于点”,

在AtZkOEH中，DH2+EH2=DE2,

即3m2+47n2=i,

解得m=立，

7

EH=—.DH=y/3x—,

77

vZDFF=30°,

:.FH=\[3DH=竽

EF=EH+FH=—»BF=BE-EF=—.

BF2

当点尸在射线BE上时，如图,

此时同第一种情况：FH吟,

...EF=FH-EH=与BF=BE+EF=竽

BF

,・而=8Q；

BFr

综上，一的值为:或8.

FE5

26.如图1,直线48与％轴，y轴于48(0,1)两点，直线上y=—2%+6与直线48交于点C(Q,Q),与x轴交于

(2)^Z.OAB+WAP=45°,求m的值；

(3)如图2,连接P4PC,将Z4PC沿PC翻折，若当点4的对应点4刚好落在直线，上，求此时点P的坐

标.

【答案】(1)C(2,2),y=|x+l

(2)m的值为±3

J

(3)点P的坐标为(0,-4)或(0,4)

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法求得Q，即可得点C坐标，再利用待定系数法求解直线A