2026年中考数学模拟题-附答案解析

2026年中考数学模拟题精选

一.选择题（共15小题）

I.如图A是某公园的进口，B,C,。是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从8,C,/）三个出口中恰好

在C出口出来的概率为（)

112

B.-C.一D.-

4323

2.关于x的不等式（〃?+2）£＞机+2的解集是xVl,则根的取值范围是（）

A./B0B.m>-2C.m>2D.in<-2

3.如图，OO中，点。，人分别在劣弧8c和优弧8c上，Z^DC=130°,则NBOC=()

A.120°B.110°C.105°D.100°

4.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=［（左＞0）的图象经过点A

(2,m)、B(6,〃),AC_Lx轴于点C,BD

JLy轴于点。，AC交BD于点E.若则k的值为（）

B.4C.6D.8

5.如图，矩形"CO的两条对角线相交于点O,NAO5=120。，AO=4,点E是3c的中点，连接OE,则的

C.2V3D.4

6.若等腰三角形一条边的边长为4,另两条边的边长是关于工的一元二次方程10r+c=0的两个根，则c的值是

)

A.25B.24C.25或24D.36或16

7.已知点（-2,yi）,（-1,），2）,（1,2）都在反比例函数）=唯地的图象上，那么川，），2,”的大小关系是（）

A.y2<yi<y3B.>3<>,2<yiC.y\<y2<y3D.y\<y3<y2

8.快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路，匀速行驶.图中折线表示快、慢

两车之间的距离y（km）与它们的行驶时间x（//）之间的函数关系.小欣同学结合图象得出如二结论:

①快车途中停留了0.5A；②快车速度比慢车速度多20km小;

③图中。=340；④快车先到达目的地.其中正确的是（）

A.①③B.②③C.②@D.①④

9.下列运算中，正确的是（）

3

A.（/〃+〃）2=〃尸+〃2B.（/x）2=q2v5

C./?202,-i-p2=/?2019（pWO）D.（-a+b）（a-b）=a2-/＞2

10.一个两位数，它的十位数字是5,个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数1-6）朝上一面的

数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是4的整倍数的概率等于（）

1121

A.~B.—C.-D.—

3632

11.已知反比例函数尸4awo）,当-1时，），的最大值是3,则当.仑6时，丁有（）

A.最大值—B.最大值-1C.最小值一2D.最小值-1

12,二次函数），=/+法+。"#0）的部分图象如图所示，图象过点（-1,0）,对称轴为直线X=1,下列结论：①。

-Z?+c=O；②。＞匕；③2。+力=0；④当），＞0时，・1VXV3,其中正确的结论有（）

13.如图，在扇形AOB中，NAOB=I30°,04=3,若弦8C〃A0,则祀的长为（）

B

O

5n2n57r47r

A.B.—C.一D.

12363

14.如图，OO的半径为2,弦CO垂直直径/W于点E,且E是。4的中点，点P从点E出发（点。与点E不重合）,

沿E-O-B的路线运动，设sinZAPC=y,那么y与x之间的关系图象大致是（）

15.如图，GABCZ）中，A8=4,8C=8,ZA=60°,动点P沿A・B-C-。匀速运动，运动速度为2c〃“s,同时动

点。从点A向点D匀速运动，运动速度为点、Q到点D时两点同时停止运动，设点Q走过的路程为Ms）,

△APQ的面积为），（。层），能大致刻画），与x的函数关系的图象是（）

二.填空题（共9小题）

16.已知一个包装盒的底面是内角和为720。的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边

形是边形.

17.若户V与・2，产是同类项，则〃什〃=.

18.如图，在矩形A8CO中，AB=2V3,BC=6,点E在BC上,JICE=AE,将△/WC沿对角线AC翻折到△/1/<1,

连接E凡则sinNCEF=_____________________

19.如图，平行于x轴的直线/与反比例函数产［G>0）和y=］（x>0）的图象交于A、8两点，点。是x轴上

任意一点，且aABC的面积为3,则上的值为.

20.若圆锥的底面半径为3,侧面积为15m则母线长为.

21.已知m是方程.r-2r-2024=0的一个根，则nr-2m的值为.

b

22.如图，点A在双曲线尸/a>0,x>0）上，点8在直线/：），=〃?X-2Z?（w>0,b>0）上，4与8关于x轴对

称，直线/与丫轴交于点C,当四边形AOC8是琴形时，有以下结论：

①A（b,V3b）②当。=2时，女=小/5③小二坐④S四边J（/OC8=2户则所有正确结论的序号是.

23.如图，点A是反比例函数尸号图象上一点，过点A作轴于点从点C、。在x轴上，且8C〃4D,四边

人

形ABCO的面积为4,则攵=.

24.若一元二次方程/-2A—2=0有两个实数根.，应，贝ij后十/的值是.

三.解答题（共15小题）

25.某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买8品牌足球花费了2（X）0

元，且购买A品牌足球数量是购买8品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花

30元.（1）求购买一个A品牌、一个4品牌的足球各需多少元；

（2）该中学决定再次购进人、8两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，人品牌足球

售价比第一次购买时提高了8%,〃品牌足球技第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、％两种

品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？

26.如图，在RtZ^ABC中，NAC8=90°,以8C为直径作。0,交AB边于点。，点E是边AC的中点，直线ED、

BC交于点尸.

(1)求证：直线OE是圆。的切线；

(2)若3c=6,sin^A=求线段8厂的长度.

27.如图，抛物线y=『+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D

(1)求此函数的关系式；

(2)在AC下方的抛物线上有一点M过点N作直线/〃)，轴，交AC于点M,当点N坐标为多少时，线段MN

的长度最大？最大是多少？

(3)在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形，求出K,L点的坐

标.

(4)在)，轴上是否存在一点£使△人^后为直角三角形，若存在，直接写出点£的坐标；若不存在，说明理由.

28.如图，一次函数尸取+A的图象与反比例函数尸营（Q0）的图象交于点P（〃，2）,与x轴交于点A（-4,0）,

与丁轴交于点C，尸8_Lx轴于点B,且4c=8C.

（1）求一次函数、反比例函数解析式；

（2）直接写出当依〉心+6时x的取值范围；

x

（3）反比例函数图象上是否存在点。，使四边形8CPO为菱形？如果存在，求出点。的坐标；若不存在，请说

明理由.

29.如图，AD//BC,ZABC=90°,月。=3,48=4,点P为射线8C上一动点，以P为圆心，8P长为半径作。P,

交射线3c于点Q,联结跳入AQ相交于点G,OP与线段4。、AQ分别相交于点£、F.

(1)如果8E=FQ,求。。的半径；

(2)设FQ=yt求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)联结PE、PF,如果四边形EGFP是梯形，求8E的长.

BC

30.如图，已知抛物线y=-7+〃优+〃的顶点是C(1,4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点A是抛物线上在第一象限的动点，过A作4Q_L工轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值；

(3)设点B的坐标为(-1,4),问在抛物线的对称轴上是否存在点M,使线段W8绕点M逆时针旋转90°得

到线段,且点8'恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；不存在，说明埋出.

31.如图，在。。中，A8是。0的直径，AE是弦，OG_LAE与点G,交。。于点。，连接8。交AE于点尸，延长

AE至点C,连接3c.

(1)当8c=R7时，证明：4C是00的切线；

□

(2)已知。0的半径/—5,当taii4=甲求GF的长.

32.如图，在平面直角坐标系中，抛物线-竽x+c与k轴交于两点A(1,0)和点8(3,0),与)，轴交于点

C,连接AC,8c.点。是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点E,与直线8c交于点F.

(1)求抛物线的解析式：

(2)连接80,当以点从。，£为顶点的三角形与△OAC相似时，求点。的坐标；

(3)当点。关于直线8。的对称点G落在抛物线上时，直接写出点G的坐标.

备用图

33.先化简，再求值：-。2；4：+4)+，其中Q=2-

34.如图，在平面直角坐标系中，一次函数)，=履+力与反比例函数)=一，的图象交于A(-1,〃力，B(〃，-3)两

点，一次函数丁=丘+〃的图象与y轴交于点C.

(1)求一次函数的解析式；

(2)根据函数的图象，直接写出不等式履+/玄-勺的解集；

(3)点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于AAOB面积的2件，求点尸的坐标.

35.如图，A8是。。的直径，点C是半圆A8的中点，点。是。。上一点，连接CO交A8于E,点尸是A8延长线

上一点，且

(1)求证：QF是OO的切线；

(2)连接AC、BD、AD,若tancjDF=3,求。0的半径.

36.如图，在平面直角坐标系戈0)，中，己知抛物线y=/+纵经过点A(2,0)和点B(-1,顶点为点。.

(1)求直线AB的表达式；

(2)求tanNABQ的值;

(3)设线段3。与工轴交于点P,如果点C在x轴上，且△A6C与△A4P相似,求点C的坐标.

37.今年4月23日是第26个世界读书Fl.八（1）班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动.准备

订购一批新的图书鲁迅文集（套）和四大名著（套）.

（1）采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价的贵25元.花费1000元购买鲁迅文

集（套）的数量与花费150（）元购买四大名著（套）的数量相同.求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是

多少兀？

（2）若购买鲁迅文集和四大名著共10套（两类图书都要买），总费用不超过570元，问该班有哪几种购买方案？

38.如图，A8为。。的直径，8C是OO的一条弦，点。在。。上，8。平分NA8C,

过点。作后凡L8C,分别交ZM、8C的延长线于点£、F.

<1）求证：为。。的切线;

(2)若80=4通，tanZFDB=2,求4E的长.

AOB

39.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/+/?x+c与直线4B相交于A,B两点，其中A(-3,-4),B(0,

-1).

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)点P为直线下方抛物线上的任意一点，连接见,PB,求△MB面积的最大值；

(3)若点M为抛物线对称轴上的点，抛物线上是否存在点M便得以4、B、M、N为顶点的四边形是平行四边

形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.

备用图

2026年中考数学模拟题精选

参考答案与试题解析

一.选择题（共15小题）

1.如图A是某公园的进口，B,C,。是三个不同的出口，小明从4处进入公园，那么从B,C,。三个出口中恰好

)

112

C.一D.-

4323

解：从A口进入，出口有8、C、。三种情况，其中从。口出的只有1种结果,

1

••・从3、a。三个出口中恰好在c出口出来的概率为

故选:B.

2.关于x的不等式（/〃+2）Qm+2的解集是xVl,则〃?的取值范围是（）

A.用20B.m>-2C.m>2D.m<-2

解：「不等式（m+2）x>〃z+2的解集是xVI,

w+2<0»

：.m<-2,

故选：D.

A分别在劣弧8c和优弧3c上，N3DC=130°,则N3OC=()

A.120°B.110°C.105°D.100°

解：•・•四边形A8OC为圆内接四边形

JZA+ZBDC=\S()°

VZ»DC=130°

，NA=50°

・・・NBOC=2NA=IOO°

故选：D.

如图，在平面直角坐标系中，反比洌函数［（）的图象经过点

4.y=k>04（2,小）、8（6,〃），轴于点C,BD

_Ly轴于点。，AC交BD于点E.若BE=2AE,则女的值为()

解：•・•反比例函数y=触＞0)的图象经过点4(2,〃?)、B(6,n),

•kk

••in=2，〃=小，

kk

••A(2,—),B(6»-)»

26

kk

：.OC=2,BD=6,AC=5，。。=卷，

乙o

：.DE=OC=2,EC=ODJ

kkk

1BE=BD-DE=bAE=AC，

-2=4,-hC=5Z—zO=5

■;BE=2AE,

/•4=2x

解得2=6.

故选：C.

5.如图，矩形ABC。的两条对角线相交于点O,ZAOB=120°,AO=4,点£是8c的中点，连接。E,则OE的

长是()

解：:四边形A8C。是矩形，

：,OA=OC,OB=OD,BC=AD=4,NABC=90°,

VZ.AOB=120°,

，N80c=60",

••.△8OC是等边三角形，

，NBCO=60°,

：.AIi=V3BC=4V3,

・・•点E是BC的中点,

••・0£=暴8=26；

故选：C.

6.若等腰三角形一条边的边长为4,另两条边的边长是关于x的一元二次方程』-l(lr+c=O的两个根，则c的值是

()

A.25B.24C.25或24D.36或16

解：当4为腰长时，将x=4代入原方程得16・10X4+。=。，

解得：c=24,

・••原方程为7・10x+24=0,

Axi=4,X2=6,

V4+4<6,

，长度为4,4,6的三条边能围成三角形

•、c=24符合题意；

当4为底边长时，A=(-10)2-4C=0,

解得c=25,

，原方程为f-10x+25=0,

.*.X|=X2=5,

V4+5=9>5,

，长度为4,5,5的三条边能围成三角形,

・・・c=25符合题意.

故选：C.

7.已知点(-2,川)，(-1,*),(I,2)都在反比例函数)=喀山的图象上，那么川，月,”的大小关系是()

A.)2<yi<y3B.y3<y2<y\C.y\<y2<yyD.y\<y3<)^2

解：•・・40,

A/n2+5>0,

・•・反比例函数)=咚也的图象位于第一三象限，且在每一个象限为y随x的增大而减小，

V(-2,yi),(-1,”)，(1,>3)都在反比例函数图象匕

A0<>?<>'1,)3>0,

•'•y2<y\<y3.

故选：A.

8.快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶.图中折线表示快、慢

两车之间的距离y(km)与它们的行驶时间工(/?)之间的函数关系.小欣同学结合图象得出如〈结论:

①快车途中停留了0.5岳

②快车速度比慢车速度多2Ukm/h；

③图中a=340；

④快车先到达目的地.

其中正确的是()

A.①③B.②③C.②④D.①④

解：根据题意可知，两车的速度和为:360^-2=180(km/h),

慢车的速度为：884-(3.6-2.5)=80(如/力)，则快车的速度为100包?小，

所以快车速度比慢车速度多20公〃〃?；故②结论正确；

(3.6-2.5)X80=88(km),

故相遇后慢车停留了0.5/?,快车停留了1.6从此时两车距离为885],故①结论错误;

88+180X(5-3.6)=340(km),

所以图中。=340,故③结论正确；

快车到达终点的时间为360・100+1.6=5.2小时，

慢车到达终点的时间为360+80+0.5=5小时，

因为5.2>5,

所以慢车先到达目的地，故④结论错误.

所以正确的是②③.

故选：B.

9.下列运算中，正确的是()

A.(m+n)+〃2

B.(/P)2=//

C.p202,-rp2=p2019(p#0)

D.(-a+b)(a-b)=a2-b2

222

解：A.(/〃+〃)=m+2mn+n1故A错误；

从（〃2.u）2=«2<2x3X2=«4x6,故5错误;

C./必+〃2=〃2。2-2=〃2019（p#o）,故。正确；

D.<.-a+b）（〃-））=-（.a-b）Ca-b）=-（.a2-2ab+b2）=-a2+2ab-b2,故D错误.

故选：C.

10.一个两位数，它的十位数字是5,个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数1-6）朝上一面的

数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是4的整倍数的概率等于（）

1121

A.-B.—C.一D.—

3632

解•：根据题意，得到的两位数有51、52、53、54、55、56这6种等可能结果，其中两位数是4的倍数的有52、

56这2种结果，

••・得到的两位数是4的倍数的概率等于;="

63

故选:A.

II.已知反比例函数尸2aH0）,当-2WxW-1时，y的最大值是3,则当66时，丁有（）

A.最大值一,B.最大值7C.最小值一,D.最小值7

解：•・•当-2WxW-1时，y的最大值是3,

・•・反比例函数经过第二象限，

，出V0,

••・在-2WXW-1上，y值随X值的增大而增大，

・•・当尸-1时，y有最大值7,

•・，的最大值是3,

—=3,

:・k=-3>

当在6时，尸一，有最小值一段，

人乙

故选：C.

12.二次函数,，=渥+法+。（”W0）的部分图象如图所示，图象过点（・1,0）,对称轴为直线％=1,下列结论：①。

-b+c=0；②。>匕；③2a+8=0；④当）>0时，-IVx<3,其中正确的结论有（）

v

A.1个B.2个C.3个D.4个

解：:抛物线y=加十区+c经过点（-1,0）,

：・a-b+c=0,

故①正确：

,/抛物线y=a^+bx+c的对称轴为直线x=\,

.b

•F=1'

:.b=-2a,

•••抛物线的开口向下，

/.-2a>0>

:・a<b,

故②错误;

ft]-=1»得2a+b=0,

故③正确：

设抛物线），=aP+/次+c与x轴的另一个交点的坐标为（工，0）,则工一二1,

解得x=3,

工抛物线y=〃/+/?x+c与x轴的另一个交点的坐标为（3,0）,

・••当）>0时，-1VxV3,

故④正确，

故选：C.

13.如图，在扇形408中，乙4。8=130°,04=3,若弦8C〃40,则祀的长为（）

57r47r

C.—D.

63

*：BC//OA,

，NAOB+NOBC=180°,NC=N4OC,

••2406-130°,

・・・NO8C=5(T，

♦：OB=OC,

：,ZC=ZOBC=5（）°,

AZ.AOC=5（）°,

.・.祝的长=笔冷=等.

故选：c.

14.如图，OO的半径为2,弦C。垂直直径八8于点E,且七是CM的中点，点P从点上出发（点P与点E不重合）,

沿EfO—B的路线运动，设AP=x,sin/A尸。=），，那么），与”之间的关系图象大致是（）

解：当点P在线段E。时，y=s\nZAPC=^=^,

・••当0VxW2时，函数图形是反比例函数，

当点尸在皿上时，NAPC是定值，y是定值，

故选：C.

15.如图，口"CQ中，AB=4,/?C=8,NA=60°,动点P沿A-B-C-O匀速运动，运动速度为2c加s,同时动

点Q从点A向点D匀速运动，运动速度为点Q到点D时两点同时停止运动，设点Q走过的路程为x（s）,

△APQ的面枳为），（c〃?2）,能大致刻画），与x的函数关系的图象是（）

B

V

解：当0WxW2时，

y=^VA/3X=亨%2,

・・・0WxW2时，），随着工的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项A,B、C错误.

故选：D.

二.填空题（共9小题）

16.已知一个包装盒的底面是内角和为720。的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边

形是五或六或七边形.

解：设内角和为720°的多边形的边数是〃，则（//-2）-180=720,

解得：“=6.

•・・截去一个角后边数可能增加I,大变或减少1,

••・原多边形的边数为五或六或七.

故答案为：五或六或七.

17.若）“），2与-2自4是同类项，则m+n=4.

解：•・•/〃*与-2A是同类项，

•e•3/7!=6?〃=2,

m—2,

，阳+〃=2+2=4.

故答案为：4.

18.如图，在矩形A8CO中，AB=2V3,BC=6,点E在BC上,JSCE=AE,将△A8C沿对角线AC翻折到△从尸C,

3-y21

连接EKMsinZCEF=---.

—14―

上

BEC

解：过产作H7_L4C,

•・•四边形/WCO是矩形，

，NB=90°,

*：AB=2V3,BC=6,

/.tanZ-ACB=箓=空，tanz.CAB=器=V3,

AZ.4CB=30°,ZBAC=60°,

'：CE=AE,

・・・NACB=NC4E=30°,

AZEAB=60°-30°=30°,

•••BE=ABtan/-EAB=273x^=2,

・・・CE=6-2=4,

,.，△ABC沿对角线AC翻折到△A/T,

，NACB=N4。产=30°,CF=CR=6,

.•・NbC”=3（r+3U0=60°,

・"HJL8C,

：・NFHE=/FHC=90°,

：,FH=FCsinz.FCH=6xsin60°=373,CH=FCcosZFCH=6Xcos600=3,

：,EH=BC-BE-CH=6-2-3=1,

：.EF=7EH?+FH2=JI?+（373）2=2y/7,

.•_3V3_3/21

..Sinz-CEF一而一折一

19.如图，平行于x轴的直线/与反比例函数)=](x>0)和)，=[(x>0)的图象交于4、4两点，点。是x轴上

则k的值为7.

•••直线/与X轴平行,

/.S/ABC=SAABO=S/：BOM-S△八。w=3,

V5AAO.W=S^BOM=

又k>0,

2，

"=7,

20.若圆锥的底面半径为3,侧面积为15m则母线长为5

解：底面半径为3,则底面周长=6n,

设圆锥的母线长为X,

圆锥的侧面积=iX6TLV=15TC.

解得：x=5,

故答案为：5.

21.已知m是方程x^-2x~2024=0的一个根，则w2-2m的值为2024.

解：•・•〃?是方程f-2x-2024=0的一个根，

・•・〃『-2m-2024=0,

-2m=2024.

故答案为：2024.

22.如图，点4在双曲线尸号(Q0,x>0)上，点B在直线/：y=nix-2b(w>0,b>0)上，4与B关于x轴对

称，直线/与)，轴交于点C,当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：

①4(/?,Wb)

②当b=2时，A=4V3

③“堂

④S也必形AOC4—2b~

则所有正确结论的序号是②③.

①y=〃zr-2b中，当x=0时，y=-2b,

AC(0,-2b),

：.OC-2b,

•・•四边形AOC8是菱形，

：.AB=OC=OA=2b,

:A与3关于x轴对称，

：,AB±OD,AD=BD=b,

，OD=V（2b）2-b2=回，

・・・A（回，b）；

故①不正确；

②当b=2时，点A的坐标为（2%,2）,

••・k=2V5x2=4V5,

故②正确；

③TA（V3/7,b）,A与3关于x轴对称，

:.B（ab,-b）,

•・•点B在直线y=〃a-2b上，

：.y/3bm-2b=-b,

..m=w

故③正确；

④菱形AOC8的面积=48・。。=2"

故④不正确：

所以本题结论正确的有：②③；

故答案为：②③.

23.如图，点A是反比例函数尸。图象上一点，过点4作AB_Ly轴于点点C、。在x轴上，且BC〃人。，四边

人

形人BC。的面积为4,则k=-4.

解：连接。4,

'：ABly,BC//AD,

••・四边形ABC。是平行四边形，

又;平行四边形A6CZ）的面积为4,即，AB-OB-4,

:・SMOB=^AB*OB=2=如,

,k=-4或k=4（舍去）

24.若一元二次方程2=0有两个实数根巾，m则小+―的值是8.

解：・・・/・2x-2=0有两个实数根.⑵

.*.Xl-X2=2,X\X2=-2,

:.x}+X2

=（XI+.V2）2-2x1X2

=22-2X（-2）

=4+4

=8.

故答案为：8.

三.解答题（共15小题）

25.某口学开学初在商场购进4、B两种品牌的足球，购买4品牌足球花费了2500元，购买8品牌足球花费了2000

元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花

30元.

（1）求购买一个A品牌、一个8品牌的足球各需多少元：

（2）该中学决定再次购进A、3两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球

售价比第一次购买时提高了8%,4品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、8两种

品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？

解：（I）设购买一个A品牌的足球需要八•元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，

加的*俎2500“2000

依就忠得：=2xx+3o,

解得：x=50,

经检验，x=5O是原方程的解，且符合题意，

Ax+30—80.

答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元.

<2)设该中学此次可以购买6个5品牌足球，则可以购买(50-〃?)个A品牌足球，

依题意得：50X(1+8%)(50-w)+80X0.9/n^3060,

解得：〃?W20.

答：该中学此次最多可购买20个。品牌足球.

26.如图，在RlZXABC中，NAC4=90°,以3C为直径作。0,交A8边于点。，点E是边AC的中点，直线ED、

交于点F.

(1)求证：直线。E是圆O的切线；

(2)若BC=6,sin^A=求线段8尸的长度.

(1)证明：连接。。、CD,则00=08,

：.ZODB=ZOBD,

•・・8C为。。的直径，

，NBQC=90°,

・・・NAOC=180°-ZBDC=90°,

•・•点E是边AC的中点，

：,DE=AE=CE=^AC,

：,ZFDB=ZEDA=ZA,

VZ.4CB=90°,

/.ZODF=ZODB+ZFDB=/OBD+NA=90°,

是OO的半径，且。E_LOQ,

J直线OE是。。的切线.

(2)解：VZ^CD=ZA=90°-/ABC,BC=6,

BD3

—=sin/BCO=sin4=己,

BC5

._3318

•♦BpDn=goC=百Xo=-g-r

：.DC=\/BC2-BD2=j62-(^)2=^,

18

.££_¥_2

•京二巨=£'

5

VZFDB=ZEDA=ZA,

：・/FDB=/FCD,

*：ZF=ZF,

/.△FDB^AFCD,

•_B_F__D_F__B_D__3

*'DF~CF~DC~4

・••DF=^BF,DF2=BF・CF=BF(BF+6),

J(-BF)2=BF(BF+6),

解得3F=竽或8F=0(不符合题意，舍去),

54

・•・线段8〃的长度是亍.

27.如图，抛物线y=f+/u-+c•与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.

(1)求此函数的关系式：

(2)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线/〃y轴，交AC于点M,当点N坐标为多少时，线段MN

的长度最大？最大是多少？

(3)在对称轴上有一点K,在抛物线上有.一点3若使A,B,K,心为顶点形成平行四边形，求出K,A点的坐

标.

(4)在)，轴上是否存在一点E,使AAOE为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由.

解：(1)•・•抛物线y=/+次+c经过点A(-3,0),C(0,-3),

・••将其分别代入抛物线解析式，得t=二工八，

19-3b+c=0

Me：-3-

故此帼物线的函数表达式为：｝=f+2]3；

(2)设直线AC的解析式为)，=6十九

s

将A(-3,0),C(0,-3)代入,得『1._

I-SKrt—v

解瞰:二;

・•・直线AC的解析式为)，=-x-3,

设N的坐标为(〃，/+2〃-3),则M(小-〃-3),

:.MN=-n-3-(冉2〃-3)=-〃2-3〃=-(n+1)2+T，

把n=一|代入抛物线得，N的坐标为(一|,一泵，

当N的坐标为(一|,—竽)，MN有最大值.

(3)①当以A8为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，

••・A2必过(-1,0),

・・•£必在抛物线上的顶点。处，

Vy=?+2x-3=(x+I)2-4,

:.L(-1,-4),K(-1,4)

②当以AB为边时，AB=KL=4,

•IK在对称轴上x=-I,

・・・5勺横坐标为3或-5,

代入财物线得L(-5,12)或L(3,12),此时K都为(-1,12),

综上，K(・1,4),L(・1,-4)或K(-1,12),L(-5,12)或K(・1,12),L(3,12)；

<4)存在,

(・3，0)，。(-1，-4),

/.AD2=(-3+1)2+(0+4)2=20,

设E(0,〃?)，则AEr=(-3-0)2+(0-加)2=9+m2,DEr=(-1-0)2+(-4-m)2=174-m2+8m,

①为斜边，由AE1=AD2+DE2得：9+〃?2=20+17+W2+8/H,

解得：〃?二一彳，

②。E为斜边，由。炉=A£)2+AE2得：9+〃,+20=17+〃/+8加，

解得：〃?=

③A。为斜边，由AD2=ED2+AE2得：20=17+〃尸+8m+9+〃?2,

解得：加=-1或-3,

37

・••点E的坐标为(0,-)或(0,-力或(0,7)或(0,-3).

28.如图，一次函数尸质+力的图象与反比例函数产整(x>0)的图象交于点P(〃，2),与x轴交于点A(-4,0),

与y轴交于点C,轴于点8,且AC=8C.

(1)求一次函数、反比例函数解析式；

(2)直接写出当空>h+8时x的取值范围；

x

(3)反比例函数图象上是否存在点Q,使四边形8c尸。为菱形？如果存在，求出点。的坐标；若不存在，请说

明理由.

解：⑴*：AC=BC,COA-AB,4(-4,0),

，0为人8的中点，即04=08=4,

:.P(4,2),B(4,0),

将4(・4,0)与P(4,2)代入)，=依+。得:

+-O

4/C

2

1

k-

得

解-4

b

-1

・•・一次函数解析式为)，=%+1,

将P(4,2)代入反比例解析式得：〃?=8,即反比例解析式为

m

(2)观察图象可知：一>h+〃时上的取值范围0<rV4.

x

(3)如图所示，

•・•点C(0,I),B(4,0)

:・BC=V42+I2=yJ17,PC=V17,

・••以8C、PC为边构造菱形，

当四边形BCPD为菱形时，

・・・。8垂直且平分CO,

♦・・73_1_为轴,P(4,2),

，点。(8,I).

把点。(代入得左边=右边,

8,1)人

••・点。在反比例函数图象上.，

•:BC/PB,

・••以BC、P8为边不可能构造菱形,

同理，以PC、P8为边也不可能构造菱形.

29.如图，AD//BC,NA4C=90",AD=3,A4=4,点，为射线上一动点，以。为圆心，4。长为半径作G)P,

交射线BC于点Q,联结BD、AQ相交于点G,OP与线段BD、AQ分别相交于点E、F.

(1)如果求OP的半径；

(2)设BP=x,FQ=y,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)联结PE、PF,如果四边形EG正。是梯形，求8E的长.

D

解：⑴YBE=FQ,

:./BPE=NFPQ,

•:PE=PB,

：.ZEBP=^(180°・NEPB),

同理/尸QP=2(180°-NFPQ),

:・/EBP=/FQP,

'：AD//BC,

：,NADB=/EBP,

：.ZFQP=ZADB,

4

AtanZFQP=tanZADB=热

设OP的半径为八则tanNFQP=^=/,

•4__4_

32r

解得：r=1，

3

••・OP的半径为；；

(2)过点P作PM_L尸Q,垂足为点M,如图I所示：

在Ri△八BQ中，cosN人耨=2BP—=._———=*2：4

的「BP—扃中”44

42I/+4

在RiZXPQM中，QM=PQcosNAQB=/

J/+4

'JPMA.FQ,PF=PQ,

当圆与。点相交时，X最大，作。"_L8C于H,如图2所示:

贝ijPD-PB-x,DH-AB-4,BH-AD-3,

则PH=BP-BH=x-3,

在RtZXPOH中，由勾股定理得：42+(x-3)2=/,

解得：4手

・,・%