2026年高考数学二轮复习模拟卷（全国一卷）解析版

2026年高考数学二轮复习模拟卷（全国一卷通用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净

后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知z=W2-ci\为纯虚数，则实数。的值为（）

1+21

A.-1B.C.1D.2

2

【答案】C

【解析】2=红色=（2-＞）（1-♦）=2（1-4）-（。+4）1又2为纯虚数,所以|_4=0得.=］能选c

l+2i55

2.已知全集。={2,4,6,8/0},集合［={2,〃,8},。4={4』0},则。=（）

A.2B.4C.6D.1（）

【答案】C

【解析】全集U=⑵4.6.8.10},由Q,J={4.10}，得力=⑵6.8},而力=⑵”.8},所以〃=6.故选C

3.某单位100名男员工的体重（单位：kg）（体重均在［55,80）内）经测量整理如下表所示.

体重[55,60)[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)

频数153532153

根据表中数据，下列结论正确的是（）

A.这1（）（）名男员工的体重的中位数大于65.5kg

B.这100名男员工中体重不低于70kg的员工占比超过20%

C.这100名男员工的体重的极差介于25kg至30kg之间

D.这1（）（）名男员工的体重的平均值介于62.8kg至67.8kg之间

【答案】D

【解析】若将体重从低到高排，用及表示，

则均＜65,如265,当再。+%=131时，中位数是65.5,故A错误；100名男员工中，体重不低于70kg的有18

人，占比18%,故B铝误极差玉册-X,＜80-55=25.j^C错误；每组员工体重都取最低值时，平均值为

15x55+35x60+32x65+15x70+3x75.小口.心田日.》1土•十

-------------------------------=62.o8，每组员工体重都取最局时,，平均值低于

15x60+35x65+32x70+15x75+3x80

=67.8,故D正确.故选D.

100

4.已知双曲线_/+工=1的渐近线方程为？=土*x,则/〃的值为（）

m2

A.-yf2B.-2C.&D.2

【答案】B

[解析】由双曲线方程可知〃?<0,即jJ一二=1...双曲线/=]h2=渐近线方程为

T〃

y=±-x=±-^=x=±—x,.'.-^==—^m=-2.^B.

byf-rn2J-〃？2

2x-a,x>0

5.已知函数〃x）=HY为奇函数，则a+b的值为（）.

"一[5），X<°

A.2B.1C.0D.-2

【答案】A

2r-c,x>0

【解析】因为函数/（x）=为奇函数，当x<0时,r>0则/(—X)=2一、—a=-/(.r)=[l]-by

<27

所以〃=力,又/（0）=l—a=o,则。=方=1,即a+方=2.故选A.

6.已知函数/（x）=sin+/（』eR）在区间（AXJ上具有单调性，若/（阳）+/（.马）=24则

k）

tan(x1+x2)=()

A.一立B.-V3C.立D.—

332

【答案】B

【解析】令2x+上ATUUZ,得x=J入Z,所以函数/（x）的对称中心为（。+勺,小,丘Z

362\627

因为/（*）+/（々）=24且函数/（x）在区间（士/）上具有单调性，所以点（和/（%））与卜2，/（七））关于函

数/（x）的对称中心对称，所以王+工2=2（-[+5）n,

=-----卜kitkwZ

3

所以tan(x,+x2)=tan!-y+^7i-G.故选B.

7.棱长为。的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则。的取值范围为（)

A.a>3R.«>3+V2C.a>3+JJD.”>6

【答案】C

【解析】当止方体内恰好装入的两个铁球刚好外切时,正方体的棱长〃取最小值,

设正方体为球«.。2的半径分别为4=lg=2,作出对角线4c及球心«,。2所在的截面,

如图所示,・••正方体的棱长为屈=儡,在直角△4C4中,sin4c4=粤=-^=£,

4c73a3

sinZ.ACA,=—sin乙4CA,=——=―■—

1

co2co2*'4Q40J

Al

..C02=2J3.0'一逅一°；4c=4。+，；+4+。。2,出〃=0+1+2+26=3出+3.解得〃=3+b.

T

即正方体的棱长。的最小值为3+6,所以心3+6故选C.

8.关于工的方程21n(or+g)="71T有实根，则/+/的最小值为()

A.eB.c2C.2eD.4c:

【答案】B

【解析】由关于X的方程21n(3+3="?”有实根，得关于X的方程ln("l")=Jx211有实根，

22V4

设方程\n(ax+§=J/+；的实根为与，则ln(Qx°+今=，得到a%+g=e同，即

"b—e府=0,设点尸(d%则点P在直线x0x+L，-J1=0上，点。(。，0)到直线

22

，设函数”)=更心;,求导得/当

y</<!时,广⑺<0；当/>1时，八。>0、函数/⑺在［；1)上单调递减，在口,+8)上单调递增，因此

厂芭2,

2222

/(0min=/(I)=e,|OP|=J=f(t)>e,Ma+b=|OP|>e当"1时,/=±9，由

2/+/=/

6

a=­e邪ba=----e

2222―彳〃+re=0,解得.2

解得a+b=e:由，此时〃2+〃=62,所以/+62的最

b=3a1+b2=e2一

22

小值为e?.故选B.

二、选择题：本题共3小题,每小题6分.共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分,部分选对的得部分分、有选错的得0分.

9.如图,在梯形4?。中,4?〃CZ）,43=2。。，.且m=3前/为力七的中点.若褥立而二九则（）

【答案】ACD

【解析】对于A：反^^1+通+云=-3+5+9=一京+乙故选项人正确：对于B：由BC=3EC

__?—-———2122-

知石在8c上，且5E:EC=2:I,M=计算得：AE=AB+BE=a+---a+b=-a+-b.

--1―11-

改选项B错误；对于C：F为AE中点，则力/=：4E=+g力，于是:

IJF-石1（,1了）・，1了,故选项C正确；

对于D：丽="-衣，其中就=益+沅=!6+瓦则/=（!）+!*—（!。+5）=-，）一：/；,故选项D

233263

正确.故选ACD.

10.已知锐角三角形”C的内角N,8,C的对边分别为a,b,c,且满足c2+sin224=2csin224，则（）

A.力=占B.c-1C.^-<b<41D.a+b>2

32

【答案】BC

【解析】由题意得所以24e（0"）,则sin24>0.由题设及基本不等式可得

20。1224=。2+5m24？2C4112力解得4112力21,又$也2力工1,所以$吊2/1=1,可得24=1,即解得/=：,故

A错误.将sin24=1代入C?+sin?2J=2csin22/1、可得c?一2<?+1=0,即（c-lj=0,所以。=1,故B正确；

由正弦定理得一^二告；,且C=1熊sin83哈-。）*COSC+qsin。立i旦

smBs,nC"=ksine——=TX^F+T

0<C<-（、

又△/8C为锐角三角形，所以I,2，解得。£值］,所以lanc>I,则白人"故C正确;

0<^-C<^（42j

42

由余弦定理得『=b2+\-42bJ\b-£丫+1,又巫可得也<a<\，则a+b>5/2,故D错误.故

I2J222

选BC.

11.已知曲线C：x2+^--lJ/+y-I=0,点4（一6,0），4（40）,用（0,-6）,区（0,6）,。。2）,加”

为C上关于>轴对称的两点，则（）

A.。由两个离心率相等的椭圆组成

B.经过点4的直线”应x+阳与C有4个公共点

C.存在四个点P,使得||尸4|+忸4卜4|十||段|+附2|-4卜0

D.当GMN为正三角形时，点。到直线MN的距离的最大值为24一

13

【答案】ACD

/2V2A，，2

【解析】由丁+=-1=0,得/+匕=1或/+工=1,所以。由椭圆G：.d+J=］与椭圆

14人4J444

2

。2：），2+:=1组成,4（0,-扬12（0,扬是6的两个焦点,4（-石。），4（6,0）是6的两个焦点，

由图可知,G与。2有4个交点，所以存在四个点P,使得|。4|+|0阕=4、且|尸团+|尸因=4,故C壬确；G与G

的离心率均为=亭，故A正确：当直线y=V2X+m经过点4时，尸拒x+m即y=&（x+0），代入

一+1=1,得3%2+2岳+1=0,因为八=12-12=0,所以直线》=拒"+6）与。1相切,且切点不在任上,易

4

知直线y-五（'+旧）与G相交，所以经过点4的直线y-VL-+，〃与。有3个公共点，故D错误.不妨设M

在N的左边，当△DMN为正三角形时，直线DM的倾斜角为60。、

则直线DM的方程为y=Gx+2,由图可知，当M在G的下半部分时sDWN的周长最大,

将歹=3+2代入_/+工=1,得13/—少8=0,解得"生”

413

所以点。到直线MN的距离的最大值为2-*8=24+6月Q正确.故选ACD.

1313

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题,每小题5分洪15分.

12.已知函数f(x)=，则/«+/(2-x)=.

【答案】|

.，/c、ITr

r2-r2rT

【解析】/(-22-X+2-2(2+2)-2+2-2-2+2

12r-,l+2'T1

/(x)+/(2—x)=------1------=------=—.

2、+22+2、2+2、2

13.设公差不为0的等差数列的前8项和为S,将前8项心生,…，/全部填入如图的表格中，要求

Q

每个格内填写1项,则有且仅有两列之和为且这两列不相邻的填法有——种.

【答案】2304

【解析】由题意可知S=双"；/)=4(q+%),则q+4=；,

qS

故。+火=%+%=%+%="+%=:,则列之和为二只有四种情况,

44

又不相邻的列有第1,3,1,4,2,4列三种情况，则在不相邻的列中选择1种有C；=3种，

再在列之和为=的四种情况中选择2种并排列，有A：A：A；=48种,最后在剩下两列中放入剩下4项，总情况

4

Q

有A：=24种，其中满足列之和为洒有A；A；A；=8,则剩下两列中放入剩下4项共有24-8=16种，则有且仅

Q

有两列之和为屋且这两列不相邻的填法有3x48x16=2304种.

14.已知正四棱锥S-的体积为“。分别是棱上的点，且满足—京，S01SC,过也作

平面与线段S3,SZ)分别交于",N,四棱锥S-H@V的体积为广，则/的最小值为.

Q

【答案】-

【解析】设而7=2的，丽=〃而，先将正四棱锥拆为两个体积相等的三棱锥S-ADC和S-ABC,

设。点到平面24。的距离为廉则N点到平面A4C的距离为"J因为

=-x15P-S0sinZPSQx///；=11x

*S-PNQ=^N-SPQ,工8•"smNPSQx.、

3233233

，STDC=，D-SAC=gxQSASCsin/.PSQxh,

所以台=gxg〃=当''七S、Q=华心寺.9=5/

同理可得,匕⑶0=5,所以仁二等V，再将正四棱锥拆为两个体积相等的三棱锥s-DAB/ns-DCB、

设。点到平面SAB的距离为，，则N点到平面SAB的距离为M.因为

_=V_=-x—SM-SPsin/MSPx///=-x—•ASB•—sin/MSPx〃/,

MNPNSMP32323

=ySAB=-X-sinZ.MSPxt,

-UDA4DBDU-^AD32'

所以2^=，x2〃=9,.•.匕“=红心於二红.匕

%.D4B333326

同理可得，匕-〃他=华嗫所以片二第嗫由牛=华2：疝得〃当且仅当％=〃=2等号成立.

所以一二上之一.

K281

四,解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知｛4｝是首项为1的等比数列，数列也｝满足々=3,a也-4

⑴求｛%｝的通项公式;

2(、

(2)设g=，求数列｛%｝的前〃项和1.

°Nn+l

【解析】⑴设应｝的公比为以根据题意，当〃=1时

即3q—4=。9,解得夕=2.（3分）

所以凡=ar2i=2"，（6分）

n

(2)因为anbn-an=〃。向，所以2-bn-2-'=n-2\

方程两边都除以2小得"=2〃+1.(9分)

211

所以M="(2〃+一1、).(2〃+—3)」二2〃=+71一2丁〃+丁3？•(11分)

于是S”=-------1--------1----1-----1----------1---=--1-------1---.(…13分八)、

”35572〃+12/7+332〃+3

16.(15分)

函数/(x)=4x+l)—lnx.

⑴若Q=c，求/(x)的极小值；

(2)当。=—1时，证明：xe、/(x)20.

【解析】（1）函数/（x）的定义域为（0，+e）,当。=。时,/'（x）=e-」=—,（1分）

-XX

由/'"）>（）,得X」,即/⑴在化+8］上单调递增；（3分）

eIe，

由广（力<0,得0<xvg,即/㈤在区间（o《）上单调递减，（5分）

所以/（X）的极小值为/（!）=e（:+l）—ln：=e+2.（7分）

(2)当Q=_］时,/(x)=_(x+l)_lnx=-(x+lnx+l),

令g)=xex+f(x)=xex-(x+lnx+l)，定义域为(0,+QO),

则A'(x)=c'+xe'一1一1=(x+l)c'其中x+1>0,(9分)

由g(x)=e"-,在(。,+8)上单调递增，且gR)=1-3<e-3<().g(1)=e-l>0、

则存在生1),使得ex：,=o,(io分)

当0<x</时e-：<（M?'（x）<0，Mx）在（0,%）上单调递减;

当x>x0时,——>0,〃。）>0、力。）在（%,+<»）上单调递增；（11分）

所以力（x）的最小值为6（%）=/e"-%Tn%-1,

由e"一■'=0同'得e"=」"%）=1,（13分）

/X。ex0

所以〃（%）=4■一Xo-lne"-1=1一%一（一/）-1=0,口"?（匕）的最小值为o,

xo

综上,力(幻=依、-X-InX-120、即xe'+f(x)>0得证.(15分)

17.（15分）

如图，在直角梯形ABCD中,AB//CD,48_L4),_L,£■为8C中点，将△助沿CH折起，使B至lj尸处.

⑴求证：P4〃平面DEH；

(2)若平面PS_L平面幺。。〃，。〃=。〃=1,8=6，%=24(°〈义〈】)，且二面角尸-£丹-。的正弦

值为平.

(i)求4的值：

(ii)求四棱锥0-4OC”外接球的表面积.

【解析】(1)因为48〃8.//14),。，_14乩所以四边形力。。，为矩形,

连接4。交〃。于点尸，连接所,则点尸为力C中点，(I分)

乂E为PC中点，所以EF是&CAP中位线，所以EF//PA,(2分)

又EFu平面DEH.PA(Z平面DEH，所以尸力〃平面DEH.(4分)

(2)(i)因为P〃_L〃C,P〃u平面PC”,平面PCHJ■平面且交于CH.

所以平面4OC”,而平面力QC”,所以尸，1〃4(5分)

又CH工HA,

故以〃C,/",〃产所在直线分别为xj,z轴建立空间直角坐标系如图.

，叫儿ip(0,^,0),(7分)

则〃(0,0,0),C(1,O,())、P(0,0,1).

设。（%，比，2。），则PQ=（XO，%,ZD-1）,

又而二九而=九（1,0,—

=&4，即%=血,所以0（4立1,1-/1）,

所以>0

Zo=T

则麻=（；,（），而二仙岳,1—义），（8分）

设平面。£〃的法向量为而二（x,y,z）.

11八

-7H=0—X4--Z=0

则_，即22，令x=则2=-拉晨，=1-2/1,

•而=0Ax+y[2Ay+(\-A)z=0

所以加=（&41-24-&兄）.（9分）

又PHIHA,CHLHA,PHC\CH=H.PH,CHu平面PCH,

所以H<_L平面PC”,

所以包=（0,&,0）即为平面PE〃的•个法向量.（10分）

设二面角尸一£”—。的平面角为区则sinO=2叵，

5

■,I/H-//j||V22KO+(1-22)xV?+(->/2A)X0

力或M卜丽飞9+(心

二上24一亚

7SA2-42+15'

解得幺=；或/1=1（舍去，因为0<%<1）,故：％=；.（11分）

（ii）所求外接球球心。在过点尸垂直于平面ADCH的垂线上，则|所卜\QO\.

，又。去冬?,则反人

设。,前二216亚"”23]1

即;为产=3+义+。二］,整理得—g=］,解得/=—！，⑴分）

443636（3）396

所以。］］，咚，一!I所以心=|汨『=!+］+［=:,（］4分）

［226J1144369

枚S球=4兀叱=拳.（］5分）

18.（17分）

某人形机器人行业协会为了解行业现状,对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估.现从中

随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制,且均为整数）及对应的“行业评级''（评级越

高，代表性能越优），整理数据如下表：

性能评分X行业评级公司数

90<x<100510

80<x<904m

70<x<803n

60<x<70220

0<x<6011()

⑴当加=3（）时，在这100家公司中,

（i）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率：

（ii）从性能评分不低于8（）分的公司中随机抽取2家，记X为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求X

的分布列和数学期望E（X）：

（2）用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的

平均值”为八记"上述100家公司的行业评级的平均值”为限没"y<7'的概率为Pi,“y方”的概率为〃2,

请根据表中信息比较Pl与P2的大小.（结论不要求证明）

【解析】（1）解：⑴当切=30时,可得性能评分不低于80分的公司有30+10=40家,

其中行业评级为5级的公司有10家，（2分）

所以从中随机抽取1家淇行业评级为5级的概率为P啜4（4分）

（ii）由记X为这2家公司中行业评级为5级的公司数，则矛的可能取值为0』,2,（5分）

可得尸(X=0)=写=空=2，尸(X=l)=^^=&=:

78052C27801

r2453

P(X=2)=T=—=—,(8分)

《78052,〃

所以随机变量¥的分布列为

X012

2953

P

521352

（9分）

所以期望为E（X）=0x1^+lx，2x?；.（10分）

（2）解：由题意,可得10+“+〃+20+10=10（）,可得/〃+〃=60,

抽取100家公司的行业评级总和为5x10+4x/n+3x（60—阳）+2x20+lx10=280+加,

所以方=”等,其取值范围为]c[2.8,3.4],（12分）

该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，用频丞估计概率，

则两家的评级都为2级的概率为=q此时丫=2,（13分）

两家的评级一家为2级,一家为5级的概率为黑乂22x平均级别为丫=3.5：

303（）30J09

两家的评级都为5级的概率为义乂义=5,平均级别为y=5,（14分）

__4

因为yN2.8>2,当且仅当丫=2时，满足y<y,此时n=P（Y〈刃=§,

又因为亍43.4<3.5且]与3.4<5,当且仅当丫=3.5或丫=5,满足丫>。

415

此时22=。（丫>切=§+§=3,S6分）

所以Pl<〃2.（17分）

19.（17分）

已知抛物线C：y2=2px（P>0）的焦点为E,准线上有一动点P,设4、8为抛物线C上的两点，当直线48

斜率为2时5与3的中点的纵坐标为1.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点P向抛物线引两条切线，若切点为力、尻且8在x轴下方，

（i）求△JPB面积最小时点〃的坐标；

（ii）若过点尸作直线/交抛物线C于D,E两点，过D作PA的平行线，交AE于点G,交AB于点

1以证明：M恰好是OG中点.

【解析】（1）设”（石,必）津（0必）,

«=产，两式相减整理得上&=-^―，代入得2=军，解得p=2,

J「=2师再—X?y}+y22

故抽物线方程：/=4x.（4分）

（2）设尸（-1,小）,切点力（石,乂）,8（%必）,乂必¥0,显然切线FAFB的斜率不