2026年湖南省长沙市高三一模高考数学模拟试卷（含答案详解）

2026年湖南省长沙市高三第一次模拟考试

数学试题

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写

在答题卡上，写在试卷上无效.

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.设〃力cR,则“a"”是"〃同＞印成立的

A.充要不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充要也不必要条件

2.非空集合A、3满足AqR,BcR,(CRA)D3=R,则人()

A.0B.RC.AD.B

3.已知m=(-2,1).比=(2,1),则衣在AB上的投影向量为()

A.一［,一］B.(-2,0)C.(2,0)D.

4.已知函数『("的定义域为R,g(x)=f(力〃2力,则““力是奇函数”是“晨力是偶函数”

的()

A.充分不必要条件

B.必耍不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

45

5.已知aw、吟,/?e(0,n),sin<z=—,sin(a+/?)=—,则cos〃=)

56「56「1656、16

A.-----B.—C.-----Dc-而或-1一石

656565

6.如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四

个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2,该几何体

的高为则该几何体外接球的表面积为（）

28>/21^

C.D.1E

27

7.已知G为“WC的重心，过G的直线与AC边分别交于M，N点，若丽=x；W，

AC=yAN,则Yy的最大值为（）

8.已知正实数。、b、c满足电=^=clnc,则a、b、c的大小关系不可能是（）

ae

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.

9.有一组数据113,4,5,5,6,7,则（）

A.该组数据的极差为6

B.该组数据的中位数为5

C.该组数据的平均数为4

D.将数据1均改为3后，方差会变大

10.在VA8C中，BD=DC,ZBAD+2ZCAD=180=y/3AD=2x/3,则（）

A.AB=6

B.cos^DAB=—

8

tan/DBA=2^2.

C.

11

D.V4BC的面枳为病

II.已知抛物线C：9=2川（〃>0）的焦点为尸（2,0）,过点2,0）的直线/与。交于

“（外,凹）,川（巧,丁2）两点，其中Inklyl，NMFN="FN,则（）

试卷第2页，共4页

A.直线/的斜率为土且B.点M到），轴的距离为7

2

C.的面积为岭叵D.直线M/的倾斜角为30。或150。

3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若集合M=｛乂-2cx<2｝,N=｛x|2,<1｝,则Mp|N=.

22

13.已知椭圆。:二+二=1的左焦点为F,点G在C上，点，在圆氏小+〉,2一6），+8=0上，

43

则|GH|+|G目的最小值为.

14.作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度

量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离来实现，闵氏距离便是

多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为人=（4，生，…，4）和

8=他也,…也），则这两组数据间的闵氏距离“⑷"一切吓，其中，/表示阶数.若

\A=!/

M=（r,ez）,N=（x,x-1）,则4m⑴的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤.

15.记VA8C的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,asin—=c-bcosA.

⑴求A;

（2）若/ABC的角平分线交AC边于点。，BD=2,b=246,求VABC的周长.

16.已知各项均不为零的数列｛《,｝、｛〃｝,且满足4=A=1，％.也也+2=0，〃cN".

⑴若他｝是公比为右的笔比数列，求数列应｝的前〃项和S”；

1Q

⑵若也｝是公差为2的等差数列，记数列丁前〃项和为，，证明：Tlt<j.

17.社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每

局中先走第一颗棋），丙轮空;此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手.假

设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为每局比赛没有平局且结果相

互独立.

2

⑴若〃二§.

(i)求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率；

(ii)求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率；

⑵若前4局中甲参与的平均次数不小于8(1-“)3,求P的取值范围.

18.已知等差数列｛〃“｝的前〃项和为S.,2a2+生=21,S6=51.

(I)求｛4｝的通项公式：

⑵若求数列低｝的前〃项和。.

19.已知函数〃力=6为加-⑪,其中acR.

⑴当4=()时，求“X)在区间()个上的最大值；

(2)若/(力在(0,兀)上有且仅有一个极值点，求实数。的取值范围；

/X

⑶设与为〃力在(吟内的极小值点，求证：.%>«一.

乙)

试卷第4页，共4页

I.c

【详解】试题分析：当。>〃之0时，a>b<=>a2>b2<=>a\a\>b\t\,当外方一正一负时,

a>b^>a>O>b

网，当0?a〃时，ONa'Oo/v〃o-daKqMioak/DNW，所以

a>b^>a\a\>b\t\f故选C.

考点：充分必要条件.

2.C

【分析】根据(CRA)D8=R可得AqB,再结合集合交集理解辨析.

【详解】・・・(CR4)DK=R,则AqB,

故选：C.

3.B

【分析】利用投影向量公式即可求解.

【详解】因为京1二(—2,1).抚二(2,1),所以围=(一2,-1)

AB=AC+CB=(-2,l)+(-2,-l)=(-4,0)

ACARAB8(-4,0)

所以〃在A月上的投影向量为由「网')

故选：B

4.A

【分析】根据函数奇偶性的定义，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.

【详解】当/(力是奇函数时，

因为g(-刈=/(—X)/(-21)=一/(x)(2切=/(x)/(2x)=g(x),

所以g(x)是偶函数.

当g")是偶函数时，

g(—x)=/(T)/'(-2x),而g(x)=f(x)f(2x),

答案第1页，共14页

所以/(r)f(-2x)=/(x)f(2x),

当/(戈)是偶函数时，显然/(T)/(—2X)=/(X)/(2X)成立,

所以g(x)是偶函数成立，不一定能推出“X)是奇函数，

所以是奇函数”是“g(x)是偶函数”的充分不必要条件,

故选：A

5.C

【分析】由平方关系分别求出cosa,cos(a+〃)，利用〃=(。+/)一。，由两角差的余弦公式

求解.

【详解】因为ae所以cosa>0,所以cosa=VI-sin?a=-1

因为。+夕©(0,与，sin(a+尸)>0,所以a+/?w(0,7i),

又sin(a+/?)<sina,所以a+力可，8s(a+?)<0,

所以cos(a+£)=-yj\-sin2(a+fi)=

所以cos/?=cos[(a+/?)-a]=cos(a+〃)cosa+sin(a+/?)sina=1-—x—+—x—=-—,

故选：C.

6.B

【分析】先建立空间直角坐标系，求出上下底面正方形的顶点坐标、中心坐标，再设外接球

球心，利用球心到上下底面顶点距离均为半径R列方程，解出半径后计算外接球表面积.

【详解】建立如图所示坐标系，设下底面正方形ABC。的中心为坐标原点0(0,0,0),

因为下底面边长为2,几何体的高为G，

所以4(1,一1,0),C(-U,o),D(-I,-I,o),£(1.0,75),F(0,uV3),G(-I,0,>A),

W((),-l,x/3).

设球心c，=0070,0,/),外接球半径为R.

所以W=|O'A|2=12+(T)2+f2=2+产

答案第2页，共14页

R2=|。'£『=产+。2+(G-f)2=1+(逐一.)

则2+r=1+(6—/尸解得：t=-=.

所以心2+t=2+河

外接球表面积S=4兀K=4万x?=罢

33

故选：B.

【分析】利用三点共线得到x，y的关系式，再代入，利月导数求得函数最值即可.

【详解】因为G为△ABC的重心，

所以*中

又因为AA=xAM,AC=yAN,

所以而「AA/+)，AR/.就+匕福,

又因为M,MG三点共线，

所以±+2=ln%+),=3,

33

因为M在线段A8上，所以而与他同向且以而丽,

于是“=熠卜1,同理沦1,

ffl7|

结合x+y=3得xe[l,2].

目标函数为f)，=f(3一耳，

i(l/(x)=x2(3-x)=3x2-x3,xe[l,2],

答案第3页，共14页

求导，得：r(x)=6x-3?=3x(2-x)20,

所以/("在U,2］上单调递增，

/(」〃2)=22xl=4.

故选：C

8.D

【分析】利用数形结合法求解.

【详解】由2=§=clnc,

ae

AInxx.

y=^iy=—,y=x\nx,

在同一坐标系中作出其图象，如图所示:

答案第4页，共14页

In<

由上图可知，选项ABC都成立，D不成立.

故选：D

9.AC

【分析】直接计算数据的极差，中位数，平均数及方差，并判断可得.

4+5

【详解】数据的极差为7-1=6,所以A正确：数据的中位数为一厂=4.5,故B错误；

皿业乙、।—1+1+3+4+5+5+6+7..,_十"

数据的平均数为X=---------------------=4,故C正确；

O

原数据的方差S2=。(4-1)2+(4-1)2+(4-3)2+(4-4)2+(4-5)2+(4-5)2+(4-6)2+(4-7)2]

O

=-19+9+1+0+1+1+4+9]=4.25.

数据1均改为3后的数据为3,3,3,4,556,7,平均数为£=三2土1誓±巫2=4.5

O

S；=1[3X(3-4.5)2+(4-4.5)2+2X(5-4.5)2+(6-4.5)2+(7一4.5)1

=-F3xl.52+3x0.52+1.52+2.521=—=2.

8LJ8

因为S2>S：,所以数据1均改为3后，方差会变小，故D错误.

故选：AC

10.BCD

【分析】根据所给条件AB长度判断A,由余弦定理判断B,过点。作。尸_LH4,解三角判

断C,利用％的一25%初求三角形面积判断D.

【详解】如图所示，过点。作DE〃=

则ZAOE=NC4O,又因为+2/040=180,

并且在VAD七中ZHAD+ZAED+^ADE=180,

答案第5页，共14页

所以NA£>E=NAEZ),所以VAOE是等腰三角形，所以八£=AO=2,

由8/5=0^，可知。为BC中点，

所以。石是VABC的中位线，所以E为线段4B的中点，所以人4=2人石=4,则A项错误.

AD+AEDE

。石=：AC=G,在VAOE中：cosZDAB=~~~=1,则B项正确.

22xAD^AE8

过点。作。尸_LA8,AF=ADcos^DAB=-,DF=4AD^AFT=—,

44

BF=AB-AF=^f所以tan/O8A="=叵，VA8C的面积为

4BF11

S&ABC=2S/BD=2X]XABxDF=5，则C、D项正确•

故选：BCD

11.AC

【分析】根据给定条件及抛物线的对称性，结合几何图形求出直线用〃的斜率，进而求出点

M，N的坐标，再逐项求解判断即明

【详解】由抛物线C：)，2=2px(p>0)的焦点为尸(2,0),得抛物线C:V=8%,

设Q(a,0)(a>2),由对称性，不妨令点M在第一象限，

连接并延长交抛物线于点NTF，片),连接Nr并延长交抛物线于点M'Cj乂)，

18(x.+2),八

直线消去人得旷一以-则y%=16,

>'I），2=8x

=--

直线MN':x=上^、8（内一2），/八

）'+2,消去x得V--!—>'-16=0,

/=8x

则y%=-16,即为=一不，因此丹=-必，点N与V关于X轴对称，则马=々，

同理得，点M与“关于X轴对称，&=x，x=-,，

由N与M关于X轴对称，得P/平分NMW',则NPRV=NP/W',

而4PFN'=Z.MFQ,且/PFN=4MFN,则/PFN=Z.MFN=/MFQ,

答案第6页，共14页

于是NMPQ=60。，直线〃尸的斜率输=皿60。=5直线MF:x=*y+2,

y2=8x「

由厂消去x得)尸一型),一］6=0,而1%1=1乃1＜匹I，

卜="2

解得y=4石，则％=-%=4,'%=6,工2=5，点M(6,4\/?),N(：,4f),

对于A,直线/的斜率为仁=*_=@,由对称性知，-立也是直线/的斜率，A正确；

6-(-2)22

对于B,点”(6,46)或M(6,-46)到了轴的距离均为6,B错误；

对于C,由NNFM=NQFM=60。，得人加卜|尸N|・sinNM/W

=，(西+2)(9+2)・立=3-83=3叵，C正确；

2“2433

对于D,直线M户的倾斜角NM"2=60。，由对称性知，120。也是直线MF的倾斜角，D错

误.

故选：AC

12.{x|-2＜x＜0}

【分析】先利用指数函数的性质化简集合N,再利用交集的概念运算.

【详解】2、＜1=2°得xvO，则2={上＜0},则MCN={N-2C＜0}

故答案为：{x|-2vx＜。}

13.x/io-l

【分析】先求解|G4十|GF|的最小值，结合圆的特点可得答案.

【详解】椭圆的左焦点尸(一1,0),圆£：/十V一6)，+8=0化为/+(),一3)2=1,

圆心为矶0,3),半径为1,因为点〃在圆上，所以|EH|二1；

答案第7页，共14页

|G川的最小值为|GE|_|EM=|G£|-1；

因为亚同+|。耳2|芯耳,当且仅当££/三点共线时，取到等号，而|川|=而,

所以|G”|十|G尸|的最小值为布-1.

故答案为：Vio-i

14.2

【分析】法1：由题意得“⑴=hX+p7+(令/(x)=l+e'-x,求导可得

/(x)>/(0)=2,则l+e'N，+2>]，再分""、r<x<l+e\工之l+e'三种情况求最值即

可;法2：利用几何意义,“(l)="X+pT+l|表示点尸(rd),Q(x,x-1)横坐标差的

绝对值与纵坐标差的绝对值之和，作Q”_L于〃，根据归〃|+|〃。=|丹/|+|〃加|可,

即求g(x)=e'-x+l的最值即可.

【详解】法1：由题意得“⑴=|"M+p-x+”,

令〃x)=l+ex—x,则r(x)=el,

f

所以当xw(-<x),0)时，f\x)<Ofxw(O,y)时，/(x)>0,

所以/(A)在(-少,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以/(x)N/(0)=2,所以/()之2,即以e'Nf+2"

r,/

当xWf时，^WA-(l)=r-x+l+e-x=e+r+l-2x>c-/+l>2,当且仅当x=/=0时，&m(1)

取得最小值2.

l

当/<x<l+e'时，dMN(\)=x-t+]+c'-x=c-t+\>2,当且仅当f=0时，为於。)取得最小

值2.

答案第8页，共14页

-zrf

当xN1+e'时，dMN(1)=+1CZ=2.t-c-Z-l>2|l+cj-/-1-CZ=l+e—f>2,当且

仅当，=0,x=2时，4m⑴取得最小值2.

综上所述，⑴的最小值为2.

法2：4的⑴="入|+k'-工+1|表示点尸(/«),横坐标差的绝对值与纵坐标差的

绝对值之和.

作Q"_LPM于，‘|P"卜|"。=|尸川+|"闸引加|，

令g(x)=e—+l,则g'(x)=e'-l,

令，(工)=0,解得x=0,

所以函数g(x)在区间(Y,0)上单调递减，在区间(0,内)上单调递增,

g(x"n=g(°)=e°—。十仁2,

故4m(l)的最小值为2.

故答案为：2.

15.⑴吟

⑵46+2指

【分析】(I)由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得;

(2)根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得.

【详解】(1)由asin^=ccosA及正弦定理，sin/4sin-=s*nC-sin/?cosA,

,/sinC=sin(A+B)=sinAcosS+sinBcos>4,/.sinAsin—=sinAcosB,

2

BBB

•.•Ae(0,兀)，sinAw0,..sin—=cosB,/.sin—=1-2sin2—,.•.sin-=-!-ugsin-=-l

222222

答案第9页，共14页

VB€(0,7t),—€(0,—),/.sin—=-,即8=四.

2222263

（2）如图:

ix2x«xsin-,

.1.\f?>ac=2(ci+c)①,

232626

又在VA8C中，由余弦定理可得。2+。2—2次：85四=24,即.♦.（a+c）：-3"=24②,

3

将①代入②得3+c)2-2由(a+c)-24=0,.•.a+c=4⑺或-2』(舍),

a+c+b=4J5+2瓜.

・•.VA3C的周长为46+2卡.

16.(i)s„=l(r-i)

（2）证明见解析

【分析】Q）先应用己知转化为幻=倍=3得出等比数列,再应用等比数列的求和公式

计算求解;

（2）先应用累乘法求出通项公式为=gx（4〃2—i）,再应用裂项相消法计算证明.

【详解】（1）由数列｛4｝、｛"｝各项均不为零，且。"+色-凡"+2=0,所以也=给，

an%

因为｛〃｝是公比为G的等比数列，所以也=给=3,

因为％=1,所以数列｛%｝是首项为1，公比为3的等比数歹U，

K匚I'l1x(l-3")1/\

所以s”=」——Z=l(3z-l)；

"1-32、)

（2）证明：因为4=1,且｛4｝是公差为2的等差数列，所以包=2〃-1,

即J工空

4,b.2〃-1

an_2〃+1an_x_2n-Ian_2_2n-3a4_9/_7a2_5

当〃之2,且〃eN♦时,1

2"3'a"22〃一5‘4"32n-7a35,%3%

二(2〃+1)(2〃-1)

所以,因为q=l,所以《=；x(41-l),

3x1J

答案第10页，共14页

月1以4/_]_+-2〃+J，

…T1113。11111、3。11

'人"qa2an2(3352/2-12n+\)2(2/?+lJ

i3

l4|^/7eN\--->0,所以7；<彳.

17.(1)(i)I；(ii)I；

r班)

I-J

⑵-T/

【分析】(1)(i)先明确三人各参与两局对应每人恰好轮空一次的比赛顺序，再分第1局

甲胜或乙胜两种情况，计算每种情况下第2局负者轮空、第3局再由前一轮轮空者先手获

胜的概率，最后将两种情况的概率相加；(ii)先确定第2局的参与者为第I局胜者与丙,

再分第1局甲胜或乙胜两种大情况，枚举第2、3局的胜负结果，筛选出第4局参与者与

第2局完全相同的路径，将所有符合条件的路彳仝概率相加；

(2)确定甲出场次数X的所有可能取值并计算对应概率，再求出甲参与次数的期望E(X),

最后解不等式E(X)28(1-〃)'得到P的取值范围.

【详解】(1)(i)要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1局的胜者在第2

局必须输掉，

若第1局甲胜乙，则第2局丙必须胜甲，概率为炉；若第1局乙胜甲，则第2局丙必须胜

乙，概率为〃

所以前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为犷+〃(1-p)=〃(p+l-〃)=〃=耳；

(ii)若第I局甲胜乙，则第2局参与的同学是甲和丙，若笫4局和第2局参与的同学完全

相同，则有两种情形：

①第2局甲胜丙，笫3局甲胜乙；②第2同丙胜甲，第3局丙胜乙.

第①种情形概率为p(「p)(l-p)=")2；第②种情形为=

若第1局乙胜甲，则第2局参与的同学是乙和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，

则有两种情形：

①第2局乙胜内，第3局乙胜甲；②第2局丙胜乙，第3局丙胜甲.

第①种情形概率为(l-p)(l-p)(l-p)=("p)\第②种情形为

答案第11页，共14页

所以第2局和第4局参与的同学完全相同的概率为

尸=〃。-〃)2+〃2(1-〃)+(1-〃)'+〃(1-〃)2=(l-P)2(2p+l-p)+p2(l-/?)

=(l-p)[(l-/?)(/?+l)+/?2]=(l-/?)(l-p2+/?2)=l-p=l-|=1；

(2)设甲在前4局的参与次数为随机变量X,则X=2,3,4,

P(X=2)=(l-p『，

P(X=4)=p(l-〃))

p(X=3)=l-F(X=2)-P(X=4)=I-(l-p)2-/?(l-p)2=p24-p-/?\

所以E(X)=2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)

=2(1-pj+3(p2+〃-〃')+4p(l-〃)2=p3-3p2+3〃+2

由p3―3p2+3p+22=8(]_3p+3〃2_p3)得+9/?-2>0,

令〃=/+l,则3〃+1)3-9"+1)2+9。+1)-220,整理得3P+120,

解得地-半，所以〃21-半，又

r眄｝

所以〃的取值范围为1-?，1.

--/

18.(1)。“=3〃-2

⑵含

【分析】(1)利用等差数列基本量的计算可求数列｛〃”｝的通项公式；

可推得以=!(「二-丁二］,进而利用裂项相消法求，即可.

(2)由⑴

313〃一23n+\J

(I)设等差数列｛q｝的首项为4,公差为

„.2(4+4)+(4+4d)=3q+6"=21

由题意z得rl＜J'，解得q=l/=3,

6%+154=51

所以勺=1+(〃-l)x3=3〃-2.

(2)由(1)知外=3〃-2,则勺“=3〃+1,

答案第12页，共14页

111]

所以d=一(3〃-2)(3〃+1)一§13〃-2-3〃+J

44+1

斗」