2026高三数学讲义（五）球的切接问题

微专题■》五

球的切接问题

1.熟练掌握球的体积和表面积公式的应用.

2.会利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题，或转化为特殊几何体的切、接

问题来解决.

快键能力提升互动探究•考点助讲

考点1外接球

命题角度1定义法

【例1】（2024•江西南昌三模）已知三极锥/1-8CQ中，是边长为2的正三角

形，48。。是以8。为斜边的等腰直角三角形，时是线段8。的中点，若4W_L8C,贝]三棱

锥力力CO的外接球的表面积为（C）

A.471B.47t

3

C.16nD.16冗

3

【解析】如图，因为△力3。是边长为2的正三角形，M是线段的中点，所以

又因为4W_L8C,BC,BDu平面BCD,BCCBD=B,所以4W_L平面8CQ,又因为4Wu

平面4BD,所以平面48。J_平面8c。，易知4W=3,又因为△AC。是以为斜边的等

腰直角三角形，所以CD=CB=2,CM=l,设三棱锥力力CQ的外接球的球心为。，半径为

R,则。£4%OA=OB=OC=OD=R,在RtAOBM中，即尺?=]+（3

_R）2,解得R=2=23所以三棱锥N/CO的外接球的表面积5=4冗区2=16兀故选c.

333

T规律总结k

到几何体各个顶点距离均相等的点为该几何体外接球的球心，借助有特殊性底面的外接

圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求

解即可.

命题角度2补形法

【例2】（2024重庆沙坪坝区模拟〉己知四面体33。。中，AB=CD=AC=BD=2,

AD=BC,若四面体48CQ的外接球的表面积为7兀，则四面体48CZ）的体积为（A）

A.1B.2

48

D.

33

【解析】将四面体48CO放入长方体中，如图，设长方体共顶点的三条棱长分别为巴

b,c,外接球的半径为R,则四面体的外接球即为该长方体的外接球，由7冗=4TIR2=4R2=7,

7=〃2+於+/,a=3,

,凉+〃2=4,nb=I,

〃+/=4c=3,

11

P©而惕ABCD=abc—4XX><4儿=1〃历=1.故选A.

323

u规律总结K

1.补形法的解题策略

（1）侧面均为直角三角形或对棱均相等的模型和正四面体，可以还原到长方体或正方体中

去求解.

（2）若直棱柱的底面有外接圆，可以补成圆柱求解.

2.正方体与球的切、接常用结论（正方体的棱长为小球的半径为R）

（1）若球为正方体的外接球，则2火=3a

（2）若球为正方体的内切球，则2火=。

（3）若球与正方体的各棱相切，则2R=2a.

3.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,其外接球的半径为R,则2R=a2+^+c2.

4.正四面体的外接球的半径R=6a（。为该正四面体的棱长）.

4

命题角度3截面法

【例3】（2024•陕西安康模拟）如图，在三棱锥S-48C中，AB=BC=SC=2,NC4B=；,

。为8c的中点，SDLBC,双与平面48C所成的角为兀，则三棱锥S-48C外接球的表面积

4

为（C）

207r

3

【解析】•:D为BC的中点，SDLBC,:.SB=SC,即△S8C为等腰三惫形，'：AB=

BC=SC=2,/CAB=K,：,2SBC,AABC均为边长为2的等边三角形，：.ADLBCf又SDQAD

3

=D,SD,力Ou平面"D，伙?，平面S/4O,.：BCu平面4BC,，平面/8CJ_平面54。，

•・•平面48CA平面SAD=ADf

，力。为见在平面48C内的射影，.••NS/Q即为总与平面力8。所成的角，即NS4。

=花.•:AD=SD=22-12=3.：.ZDSA=ZSAD=n,C.ADLSD,又/1O_L8C,SDQBC

44

=D,SD,BCu平面SBC,・・.4)_L平面S8C设三棱镇Sd8C外接球的球心为O,△SBC外

接圆的圆心为Oi,△48C外接圆的圆心为。2,连接OQ,OO2,OD,08,

如图，则。平面S8C,。。2_1"平而48C,,:丛SBC,△48C均为边长为2的等边三

角形，・・・0。|=0。2=3,

3

：,OD=OOHOOi=6,：,OB=OA+BD』15,工三棱锥S-"。外接球的半径R

33

=巴・•・三棱维SM4c外接球的表面积S=4TT/?2=2册故选c.

33

」规律总结L

与球截面有关的解题策略

(1)定球心：若球是内切球，则球心到各切点的距离相等且为半径；若球是外接球，则球

心到各接点的距离相等且为半径.

(2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.

【对点训练1】（1）（2024•江苏南京二模）在圆台OiQ中，圆Q的半径是圆。半径

的2倍，且。2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积的数值之比为

（C）

A.3：4B.1：2

C.3：8D.3：10

解析：如图，令外接球的半径为2R,依题意OM=2R,0?B=2R,O\B=R,过点8作

4C_LQ/1于点C,则02c=。山=H,所以力。=。2。=火，又8c=。。2=（2/?）2-/?2=3R,

所以力"=&+（37?）'=2凡所以圆台的侧面积Si=；X（2兀/M27rx27?）X27?=6兀球的表

面积S?=4兀X（2R）2=16成2,所以圆台的侧面积与球的表面积的数值之比为$：S2=

6成2：16成2=3：8.故选C.

(2)（2024•陕西宝鸡一模）三棱锥尸-48C中，平面48C,△48c为等边三角形，且

"=3,PA=2,则该三棱锥外接球的表面积为（B）

A.8兀B.16兀

327r

C.D.1271

3

解析：如图，设，为A/IAC外接圆的圆心，过点〃作平面力8C的垂线，设D为力的

中点，过点。作线段口的垂线，所作两条垂线交于点0,则点。为三棱锥外接球的球心，

因为以_L平面44C,且△44。为等边三角形，PA=2,AB=3,所以四边形4/0。为矩形，

AH=；AB=3,OH=^XA=\,所以04=（3）2+12=2,即三棱锥外接球的半径R=2,则

该三棱锥外接球的表而积为4兀k=16兀故选B.

（3）（2024•福建泉州一模）泉州花灯技艺源于唐朝中期，从形式上有人物灯、宫灯、绣房

灯、走马灯、拉提灯、锡雕元宵灯等多种款式.在2024年元宵节，小明制作了一个半正多面

体（由边数不全相同的正多边形为面闱成的多面体）形状的花灯，他将正方体沿交于一顶点

的三条楂的中点截去一个三楂锥，共截去八个这样的三楂锥，得到一个有十四个面的多面体，

如图所示.已知M为△48C的中心，过M截该半正多面体的外接球的截面面积为S,则S

的最大值与最小值的比值为（C）

5

C.3D.9

解析：如图，把这个平正多面体补全为正方体，设该正方体的棱长为%由图可知，¥

正多面体的外接球半径是08,由正方体的性质易证明平面48c〃平面/G〃，又因为在正方

体中E以L平面/G〃，所以E/LL平面/出。，所以过点M极外接球的最小板面圆的半径是M8,

伊咋

最大板面圆的半径是。从即S的最小值与最大值的比值为IOBJ=sin2Z5OM=sin2ZEFG

=[3〃）=：,故S的最大值与最小值的比值为3.故选C.

考点2内切球

【例4】（2024•天津和平区二模）如图，一块边长为10的正方形铁片上有四块阴影

部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个无底的正四

棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积

为（B）

32

C.97rD.it

3

【解析】如图，作出四棱锥PM8C。，根据题意可得正四棱锥的斜高为PM=5,底面

正方形力的边长为6,・••正四棱锥的高为。尸=52-32=4,设这个正四棱锋的内切球的

珠心为。，半径为r,与侧面P8C相切于点N,高线与斜高的夹角为仇则sin9=°M=3,

PM5

则。p=。0+°”,.*.4=r+r=叩，解得厂=乙,这个正四棱锥的内切球的体积为4in3

sin0sin0323

4

XnX9TL故选B.

32

」规律总结

1.多面体内切球和外接球的球心与半径的确定方法

(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.

(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.

(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.

(4)体积分割是求内切球半径的通用方法.

2.正四面体的内切球的半径「=/其半径是外接球半径的三分之一为该正四面

12

体的棱长).

【对点训练2】(2024•湖南益阳模拟)金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最

坚硬物质，它的一种形状是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为

183,现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球的体积是(D)

A.18冗

C.6兀D.6兀

解析：如图，设底面/J8C。中心为0,BC,AD中点分别为H,My连接。〃，EO,EH,

MF,HF,EM,设该正八面体的棱长为d则由题知，8X1«2sin600=234=183,解得a

2

3，

=3,在等边△E8C中，BC边上的高EH=EC2~CI12=32-,在RtZXEOH中,

2

EO=£田一0洋=27-9=32,由题可知，最大球即为该正八面体的内切球，由对称性

442

易知球心在。点，与平面EBC的切点在线段EH上,球的半径即为截面内切圆的半

径，设内切圆半径为尸，由等面积法可知32X3=33Xr,解得厂=6,所以内切球的半径

2222

为R=6,则内切球体积为尸=4兀/?3=4兀（2）=6兀故选D.

233

课时作业45

1.（5分）（2024•陕西西安模拟）已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周都在同

一个表面积为20兀的球面上，该圆柱的体积为（D）

A.8兀B.67r

C.57iD.4n

解析：如图，球的表面积为4兀尺2=2比，可得其半径A=5,圆柱的底面直径为2,半径

为/=1,在轴极面中，可知圆柱的高为力=2代一户=4,所以圆柱的体积为兀/And兀故选

D.

2.（5分）（2024•山西太原二模）已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径48=23,tanNAPB

=3,则该圆锥内切球的体积为（C）

A43兀八43兀

A.B.

279

C4兀C4

C.D.4兀

3

解析：由圆锥的性质易知△以4为以尸为顶点的等腰三角形，又tan/4P8=3,所以

ZAPB=n,则△必8为正三角形，边长为23,如图所示，作出圆锥及其内切球的轴极面，

3

设力从力尸的中点分别为C,E,内切球球心为O,由正三带形内心的性质易知OC=OE=lp。

2

=1PC=1XJP2-JC2=1X12-3=1,即内切球半径为1,所以内切球的体积故选

3333

C.

3.（5分）（2024•天津滨海新区三模）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印

章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特

的文化内涵，也被作为装饰物来使用.如图1是明消时期的一个金属印章摆件，除去顶部的

环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥

的底面边长为4,体积之比为3：1,且该几何体的所有顶点都在球。的表面上，则球。的表

面积为（A）

图1

A.36兀B.48兀

2167t2887c

rD.

55

解析：•・•正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3：1,且共一个底面，，正四棱柱和正四棱

雄的高相等，设正四棱柱和正四棱雄的高为力，该几何体外接球的半径为R,如图，易知球。

是正四棱柱的外接球，也是正四棱锥的外接球，

(2/?)2=42+42+/r,

h-2,

R=g\解得

2R=3,

・••球O的表面积为4»X32=367L故选A.

4.（5分）已知力，B,。是半径为1的半球O的球面上的三个点，且力。_1_5aAC=

BC=1,则三棱锥O-44C的体积为（A）

解析：如图，记。'为点小B,C所在圆面的圆心，・・7C_L8C,工48为。O'的直径,

f2]2

・・・OO'_L平面力8c又'."C=8C=1,・・・/8=2,OO'=OA2-AO,2=l2~l2J=

iii7o

AVo.ABC=S^BC'OO'=1X1X1X1X/=/故选A.

332212

5.（5分）（2024•四川凉山州三模）已知正六棱锥底面边长为2,体积为43,

则正六棱锥外接球的体积为（C）

48兀n16兀

A.B.

33

r32兀n647t

33

解析：如图，由正六棱锥S-/18COE/得，底面ABCDEF为正六边形,

设底而ABCDEF的中心为O,连接SO,CO,则C0=2,SO上底而ABCDEF,SO为正

六梭椎S-ABCDEF的高，所以S：AB8EP=3X4*22X6=63,因为正六棱锥的体积为43,

4

所以43=：X63XSO,解得SO=2=CO,故点。为正六棱锥SdBCOE77外接球的球心，

半径为2,故正六棱维S-48COEV外接球的体积p=支"=4兀乂23=32冗故选c

333

6.（5分）（2024・山东聊城二模）已知圆柱OOi的下底面在半球。的底面上，上底面圆

周在半球。的球面上，记半球。的底面圆面积与圆柱。。1的侧面积分别为S,Si,半球。与

圆柱OOi的体枳分别为匕力,则当f的值最小时，’的值为（A）

SV\

C.3J3D.2

4

解析：如图，设圆柱底面半径为心高为儿半球的半径为H,则辟=於+户，$=以2,

2哂已加守”3,所以*M2丁=：+/X”当且

2

V?TIR3TI(2r>

仅当,,=〃时，等号成立，此时R=2r,所以=3=34§2.故选A.

匕Mhnt2

7.（5分）（2024•陕西西安模拟）如图所示，在六面体/8EOC中，CB=CD=2CA=2,

AB=DE=BE=AD=5,BD=AE=22,则该六面体的外接球的表面积为（B）

A.4n

C.\2nD.16兀

解析：由题意可得力DG+CB^DB?,AC2+BC2=AB2,即CO,CB,

C4两两互相垂直，如图，可将该六面体放置于长方体中，且长、宽、高分别

为2,1,2,故CE=22+12+22=3,即该六面体的外接球的半径&=1。£=3,故该六面体

22

8.（5分）（2024•陕西榆林三模）已知正三棱锥尸-4BC的侧棱与底面边长的比值为3,

若三棱锥尸-48C外接球的表面积为R兀，则三棱锥的高为（B）

A.1B.22

解析：如图，。为等边三角形，设。为8C中点，PHL平面力BC,48=〃（“>0）,

则刃=3a,所以<；a2-L]2=PH=（3a）2-[3设三棱

馋PN3C外接球的邛径为A,由正核维的性质及可知球心。在/W上，则。乂+3〃2

=R2,即（3"一"F+[3"F=/?2,解得R=36a.由4冗审=4兀.54次=81兀，解得〃=3.所以

8648

三棱锥的高为236X3=22.故选B.

p

9.（5分）（2024•浙江宁波二模）在正四棱台48CQ-小历GA中，AB=4,小田=2,AA\

=3,若球。与上底面片向G5以及棱。，£>力均相切，则球。的表面积为（C）

A.9兀B.16兀

C.25兀D.367r

解析：如图，设棱台上、下底面的中心分别为N,M,连接。出DB,则。出i=22,

DB=42,所以棱台的高MN=BB-（MB-NBI¥=（3）2-（22-2>=1,设球半径为R,

根据正值棱台的结构特征可知，球。与上底面/IAIGQI相切于N,与棱44,BC,CD,DA

均相切于各棱中点处，设BC中点为&连接A/E,因为M£=2>MN=1,所以球心。低于线

段NM的延长线上，连接Of,OM,所以O产=0济+1\但2=^2=（区-1）2+22,解得/?=；,

所以球。的表面积为471H2=25兀故选C.

10.（5分）（2024,山西临汾二模）如图所示，在三棱锥P-48C中，PB工AB,PB=AB,

/\PAB围绕棱PA旋转60。后恰好与△孙（7重合，且三棱锥P-ABC的体积为3,则三棱锥P-ABC

2

外接球的半径火为（C）

A.1B.2

C.3D.2

解析：如图，取以的中点O,连接CM,OC,因为PB上/IB,PB=ABt所以O8_LH,

同理OC_LH,义OBCOC=O,且OB,OCu平面8OC,所以R1_L平面40C,则N40C=

7

60。，设尸4=%则OP=OA=OB=OC=〃，且△4OC为等边三角形，所以O为三棱锥P-/14C

2

外接球的球心，半径R=2a,所以8c=lxS，iocXRi=lxlxl2"j2Xsin600X2a=3,

23322

77

解得a=6,所以R=a=ZX6=3.故选C.

22

11.（5分）（2024•湖南常德三模）如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角,

缺失部分为正三棱锥4-EFG,且E,F,G分别为棱小44B,4。靠近小的四等分点，

若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（B）

解析：由题意小E=4F=4G=3cm,设点小到平面£7中的距离为"cm,而EF=EG

2

f32]

p2]2

2=1322932

=FG=3cm,5AEFGXX12»一12J=（cm）,由VE-A\GF=VA\-EFG,

2228

<1X1X3X3X3=lX93d,解得d=3棱长为6cm的正方体的内切球的半径为3cm,

32222382

棱长为6cm的正方体体对角线的长度为63cm,因为63-3=53>3,所以所求球形饰品

222

体积最大时即为棱长为6cm的正方体的内切球，则该球形饰品的体积的最大值为4nX33=

3

367r（cn?）.故选g

12.（8分）（多选）圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（ABD）

A.圆柱内切球的半径与圆柱底面半径相等

B.圆柱内切球的表面积与圆柱表面积的比为;

c.圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积的比为:

D.圆柱内切球的体积与圆柱体积的比为:

解析：设圆柱的底面半径为七则圆柱的高为2尺,所以内切球的半径为R,A正确；圆

柱的表面积为51=2兀解+2冗RX2R=6冗网，内切球的表面积为4兀尺2,所以圆柱内切球的表面

积与圆柱表面积的比为“，B正确；圆柱内接圆锥的表面积为5=爪2+|义2球乂5R=（5+

32

1）TIR2,圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积的比为5+\C错误；圆柱内切球的体积片

6

44?

=；兀及3,圆柱的体积匕=成2义2R=2nR3,所以%:匕=；山?3:27rH3=；,D正确.故选ABD.

13.（8分）（多选）（2024•黑龙江双鸭山模拟）下列物体中，能够整体放入半径为1m

的球形容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ABD）

A.底面边长为1m,高为3m的正四棱柱

2

B.底面边长为1m,侧棱长为2m的正六棱锥

C.底面直径为1.1m,高为3m的圆柱

D.棱长为2m的正四面体

解析：底面边长为।m,高为3m的正四棱柱的外接球的直径为0+0+（3A

2

7

=2（m）＜2m,故A正确：边长为1m的正六边形底面妁外接圆的半径为1m,此时外接圆

恰好是半径为1m的球体的大圆，而正六棱锥的高为（2）2—12=］（m）,故B正确；底面直

径为1.1m,高为3m的圆柱体的外接球的半径为0.552+12）2=1.0525（m）＞lm,故C

错误；将棱长为2m的正四面体补成一个正方体，则该正方体的棱长为1m,此正方体的外

接球的直径为12+12+12=3（m）＜2m,故D正确.故选ABD.

14.（8分）（多选）如图，球。与棱长为2的正方体/1笈。£＞-/1161cl。的六个面都相切，

P，Q，R分别为棱4小，BC,GA的中点，G为正方形8CGS的中心，贝女BC）

A.球。与该正方体的体积的比值为:

B.球。与该正方体的表面积的比值为:

C.直线。。被球。截得的线段的长度为2

D.过4R,G三点的正方体的截面与球。的球面的交线长为兀

解析：因为球。与棱长为2的正方体力8czM出GOi的六个面都相切，可得正方体的体

积为匕=2X2X2=8,球。的半径为r=l,体积为匕=4^3=’,球。与该正方体的体积

33

的比值为"=兀，所以A不正确：正方体的表面积为Si=6X2X2=24,球。的表面积为S?

V\6

=4+=4凡所以球。与该正方体的表面积的比值为$2=兀，所以B正确；如图，连接OP,

S\6

OQ,可得OP=OQ=2,再连接力0,在直角三角形以0中，可得尸0=PA2+AQ2=

12+22+12=6,取P0的中点时，连接OM,则OM_LP。，可得。M=

O产一即点。到。。的距离为;，所以直线qQ被球。救得的线段的长度为

2/一。必=212一〔2)=2,所以C正确；以。为原点，以D4,DC,。功所在的直线

分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得力(2,0,0),R(0,1,2),

G(l,2,1),0(1,i,1),则成=(一2,1,2),AG=(~\,2,1),AO=(-\,I,1),设平

〃力火=—2r+y+2z=0,

面4RG的法向量为〃=(x,y,z),则_令x=l,可得y=0,z=l,

nAG=-x+2y+z=0,