云南省某中学2023-2024学年高二年级下册3月月考 数学试卷（含答案）

云南省云南师范大学实验中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.椭圆成+蕾=1与椭圆名+生=1依<9）的（）

A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

2.在四边形ABCO中，四个顶点A,B,C,D的坐标分别是（一2,0）,（-1,3）,（3,4）,（2,3）,E,F分别为

AB,CD的中点，则而.丽=（）

A.10B.12C.14D.16

3.各项为正的等比数列｛册｝中，%=1,Q2a4=81,则｛册｝的前4项和S4=（）

A.40B.121C.27D.81

4.设〃7、〃是不同的直线，〃、夕是不同的平面，以下是真命题的为（）

A.若a10,m//a,则m_L夕B.若九_La,n1/?,则/?//a

C.若a_L/?,mLa,则m〃0D.若m_La,m1.n,贝ljn//a

5.小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有

一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）

A.48B.32C.24D.16

6.若点P是曲线y=/一/'+1上任意一点，则点尸到直线y=x-2的最小距离为（）

A.1B.乎C.V2D.挈

7.已知sin（a+$cos（a+驾）=—里则cos（2a+看）=（）

A・1—孚B.1+孚C.升堂D.:堂

8.将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安

排方法有（）

A.2720B.3160C.3000D.2940

二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，有选错的得。分；若只有两个正确选项，每选对一个3分；若只有3个正确选

项，选对一个2分，选对两个3分

110

9.已知伍五+3）（a>0）的展开式的各项系数之和为1024,则展开式中（）

A.奇数项的二项式系数和为256B.第6项的系数最大

C.存在常数项D.有理项共有6项

10.设z为复数，则下列命题中正确的是（）

A.\z\2—zz

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B.若z=(l-2i)2,则复平面内2对应的点位于第二象限

C.z2=|z|2

D.若|z|=l,则|z+i|的最大值为2

11.已知函数f(x)的定义域为R,Vx,yWR都有2f(%y+l)=fa)/(y)-f(y)-2%+6,且f(0)=1,则

()

A./(-I)=2B./(I)=3

C.f(x)是增函数D.f(x)是偶函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合M={x\\x+1|<2],N={x\2x>1},则MAN=

13.将平面内等边△4BC与等腰直角△480(其中48为斜边)，沿公共边力B折叠成直二面角，若4B=2,

且点4B,C,0在同一球。的球面上，则球。的表面积为.

14.已知实数a,b满足4。+2a=3,log2W+I4-h=则g+枭=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.滇池久负盛名，位于春城昆明，是我国西南地区最大的淡水湖，被誉为“高原明珠如图，为计算滇池

岸边4与8两点之间的距离，在岸边选取C和0两点，现测得力0=20心n，CD=28km,404c=60。，

Z-CAB=15°,4ABC=120°.

(1)求AC的长;

(2)求48的长.

16.已知函数/(x)=Inx+ax-Q—2(Q之o)

(1)若x=1是函数y=f(x)的极值点，求a的值；

(2)求函数y二"式)的单调区间.

17.如图，在四棱锥P-4BCD中,PAL^ABCDfAB1AD,ADIIBC,AP=AB=AD=ltBC=2.

(1)求二面角B—PO—C的正弦值；

(2)在棱PC上确定一点E,使异曲直线尸。与8E所成角的大小为60°,并求此时点E到平面P8。的距离.

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2222

18.已知椭圆Ci：和+方=1（Q＞b＞0）与双曲线g：器—/=1（0＞匕＞°）的焦距之比为3，

（1）求椭圆C1和双曲线C2的离心率：

（2）设双曲线C2的右焦点为F,过F作FPlx轴交双曲线G于点P（P在第一象限），A,B分别为椭圆

的左、右顶点，4P与椭圆Ci交于另一点Q,O为坐标原点，证明：kBP-kOp=k0Q+kOp.

19.设正整数数列44,a2f英丁＞3）满足因＜%,其中IWiVjWN.如果存在kW{2,3,...»N},

使得数列4中任意k项的算术平均值均为整数，则称力为N阶平衡数列”

（1）判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？

（2）若N为偶数，证明：数列A1,2,3,…，N不是”阶平衡数列”，其中AE{2,3，…,N}

（3）如果口工2019,且对于任意A£{2,3,...,N},数列A均为Z阶平衡数列”，求数列力中所有元素之和

的最大值.

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答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：椭圆成+■=1的长轴长为5x2=10,

短轴长为2x3=6,焦距为2&=5=8，离心率为苫，

椭圆瑛7+彩=1*<9)的长轴长为2j25-k,短轴长为2,9-k,

.________________4

焦距为25(25-幻一(9一幻=8,离心率为我

则两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.

故答案为：D.

【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，再判断即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解:E,尸分别为AB,CD的中点,则/(-猾),尸武分

乙乙乙乙

则配=(4,2),4方=(1,3),，乔•布=4x1+2x3=10.

故答案为：A.

【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示求解即可.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：设等比数列｛斯｝的公比为q,

3

ar=1,Q2a4=81,qxq=81,van>0,:.q>0,

1x(1-34)-80

q=3,:.j2=2-=40.

故答案为：A.

【分析】根据根据条件求出数列｛aj的公比q,再根据前几项和公式求值即可.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：已知如图所示：

A,如上图正方体中，设平面为。,

平面为1当的为0，CD为加

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满足a_L。，m//a,此时m〃6，A错误；

B,因为n_La,7i_L/La、/是不同的平面，则必有夕〃a,B正确；

C,如上图正方体中，设平面为a,

平面481QD1为0，4必为m,

满足a10,m1a,此时mu/7,C错误；

D,如上图正方体中，设平面为a,

为771,4]B]为九,

则满足m_La,mln,此时九ua,D错误.

故答案为：B.

【分析】本题考查直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系.借助于正方体，设平面为a,平面

AiBigDi为6,CD为m,观察图形可判断A选项；设平面4BB14为a,平面为/的为/?，公0为m,

观察图形可判断C选项；设平面488]4为a,ARi为m,%々为九，观察图形可判断D选项；通过排除法可

选出选项.

5.【答案】C

【解析】【解答】将•I与4捆绑成一个整体，共有度=2种排法，

两个2之间插入1个数，共有*=2种排法，

再把组合好的数全排列，共有“=6种排法，

则总共有2x2x6=24种密码.

故答案为：C.

【分析】根据题意利用捆绑法、插空法，结合排列数分析求解.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：设P(%o，yo),函数y=/一切x+i的定义域为(o,+8),

由y=合一]nx+1,得y'=2x-1|

•zV

1

当y=x2-Inx4-1.在点P处的切线平行于直线y=x-2时，2x--=1,

0xo

2

则(%o-l)(2x0+1)=0,又冗o>0,解得%o=1,所以=I-Ini+1=2,

所以平行于y=x-2的直线与曲线y=x2-Inx+1相切的切点坐标为(1,2),

所以点P到宜线y=%-2的最小距离，

即点(1,2)到直线y=x-2的距离d=且若a=竽.

故答案为：D.

【分析】求出平行于y=丫-2的直建与曲线y=避一]0丫+1相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式

求解.

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7.【答案】D

【解析】【解答】解:因为sin(a+$=cosg-(a+勃=cos(^-a)=cos(a一

所以sin(a+E)cos(a+=cos(a—/cos(a+=一印•，

乂因为(a+Y2)—(a-»=所以cos=cos[(a+—(a—4)]=cos(a+y^)cos(a-$+sm(a+

行)sm[a—4)，

即T=一空+sin(a+符)sin(a一今),所以sin(a+需)sin(a-与)=第一/，

所以cos(2a+*cos[(a+招)+(a-勺]=cos(a+含cos(a-今)-sin(a+招)sin(a-左)=一亨一(乎

1、_173

2)~2~2,

故答案为：D.

【分析】利用诱导公式将原式转化为cos（a—》cos（a+含=—泽再由（a+含一（a-初冬及两角差

的余弦公式得sin（a+招）sin（a―力=乎—5最后再两角和的正弦公式可得cos（2a+/）=cos［（a十驾）十

（戊一A）］，求解即可.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：每个场馆不能少于2人共有两种分配方式,

一种是4:2:2,一种是3:3:2,

故不同的安排方法有

故答案为：D.

【分析】每个场馆不能少于2人，共有两种分配方式，一种是4:2:2,一种是3:3:2,再利用分堆法求解.

9.【答案】B,C,D

【解析】【解答］解：令％=1,则（a+I）］。=1024,=1或a=-3（舍去）.

rr

・•・（代+［）1°的展开式的通项G+1=Go（向1jG）=C；oxH.

A.2（cio+cio+-+^io）=1x210=512,故A错误；

B.由题设展开式共11项，第6项的系数最大，故B正确；

C.令5-9厂=0,解得r=2,故存在常数项为第三项，故C正确；

D.当r=0,2,4,6,8,10时，为有理项，故有理项共有6项，故D正确.

故答案为：BCD.

【分析】令x=l,求出Q的值，冉杈据展开式的通项一一判断即可.

10.【答案】A,B,D

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【解析】【解答】解：A.设z=Q+bi,则Z=Q-bi,

|z|2=a2+62»zz-[aZ?t)(a-bi)—a?+b?,故|z『=zZ成立，故A正确，

2

B.z=(l-2i)=-4i-3,z=4i-3,显然复平面内Z对应的点位于第二象限，故B正确，

C.易知忆『=Q2+必，z2=a2+h2+2abit当abHO时，22Hlz/，故C错误，

D.若|z|=1,则小+反=i,而|z+i|=《a2+(b+1)=72b+2,

・••当b=1时，|z+i|最大，此时|z+i|=2,故D正确.

故答案为：ABD

【分析】利用复数的四则运算，复数模的性质逐项判断即可.

1L【答案】B,C

【解析】【解答】解：令x=y=O,则2-1)=/2(0)一/(0)+6=6,・・・〃1)=3,

令y=1,则2/Q4-1)=3/(%)-/(I)-2%+6=3/(%)-2x4-30,

令％=1,则2/(y+1)=3/(y)-/(y)-2+6=2/(y)+4,

・0。+1)=/。)+2②，

联立①②，可得/Xx)=2x+1,贝=-2+1=-1,〃1)=3,故A错B对，

・•・函数/•(x)=2x+l为增函数，且为非奇非偶函数，故C对D错.

故答案为：BC.

【分析】通过赋值法求出函数y=/(%)解析式，再逐项判断即可.

12•【答案】{x|0vxW1}

【解析】【解答】解：:M={x\\x+1|<2]={%|-3<%<1},N=[x\2x>1}=[x\x>0),

nN={x|0<x<1}.

故答案为：{x|0VxW1).

【分析】化简集合M,N,再根据交集的定义求解即可.

13.【答案】粤

【解析】【解答】解：如图所示取48中点E,连接OE,CE,

根据题意易知CE1AB.DE1AB/CED=90°,

又△AB。为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形,

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=EB=ED=1,CE=百，易知。点在直线CE上，

设OE=h,球半径为A,

22R

则解=AE+0E=(CE-h)2=h=字,2=4f

故外接球。的表面积为S=4nR2=等.

故答案为：粤.

【分析】根据空间几何体的外接球及球体表面积公式计算即可.

14.【答案】1

【解析】【解答】解：・・・k)g2Wn+b=M.・・log2(3b+l)+(3b+l)=3.

Q

A2iog2(3d+i)+log2(3d+i)=3,又4。+2a=2?a+2=3，

设f(x)=2"+x,

・・•函数y=2Ly=x在(-8,+8)上都为增函数，

，函数/•(x)在(-4+8)上为单调递噌函数，

由/(1)=3,得2t=log2(3b+1)=1,解得Q=4，b=g,

a4-1b=1-

故答案为：1.

【分析】由10g2%5不1+6=令可得2bg2(3b+i)+iog2(3b+l)=3,构造函数/•(%)=2"+九判断函数的

单调性，利用单调性化简等式，再求出a+的值.

15.【答案】(1)解：在△ACD中，有力0=20km,CD=28km,LDAC=60°.

由余弦定理，可得CO?=+AC2_2AD•ACcos乙DAC,

即282=202+心一2x20xACx2，

整理可得_20AC-384=0,解得/C=32或AC=-12(舍去),

故4c的长为32km.

(2)解：在△4BC中，有4C=32Am,Z.CAB=15°,/-ABC=120°,

贝ij4ACB=180°-15°-120°=45°.

_AC__AB_

由正弦定理=

sin^ABC~sinZ-ACB

4csi札乙4cB32sin45°32%即8B的长为擎..

UJ得AB=

sinz.ABCJ

【解析】【分析】(1)在△4CD中利用余弦定理,求出AC长即可;

(2)在△ABC中利用正弦定理,求出4B长即可.

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16.【答案】（1）解：函数定义域为©+8）,八为=-2。2。+办+1,

因为x=1是函数的极值点，所以/（I）=1+a-2a2=0，解得。=一/（舍）或Q=1

经检验，Q=1时，％=1是函数的极值点，

所以a=1.

（2）解：若a=0,/（x）=1>0,所以函数/'（%）的单调递增区间为（0,+8）,无递减区间；

若a>0,令/（%）=（2二+1）,-0+1）>0,解得ovxvj,

7v7xa

令/（对<0，解得%>：，

所以函数/（%）的单调递增区间是（0,》，单调递减区间是+8）.

综上所述：Q=0,函数/'（%）的单调递增区间为（0,+8）,无递减区间；

当Q>0时，函数的单调递增区间是（0,6，单调递减区间是4,+8）.

【解析】【分析】（1）利用「'（DuO,解得Q=1,再检验即可；

（2）求导后，对a分Q=0和Q>0讨论，根据/'（为>0求出增区间，/''（%）<（）求出递减区间.

17.【答案】（1）解：以｛而，而，於｝为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.

所以B(1,O,O),P(OA1),D(0,1,0),C(l,2,0),

则丽=(1,0,-1),而=(O,1,-1),D?=(1,1,0).

设平面PBO的法向量瓦=(xi，yrzi),

K-PB=勺-21=0

则取％1=1得污=（1,1』），

.五•PD=丫1-Zi=。

,z

设平面PCD的法向量而=（X2，y22）»

(nJ•DC=x24-y2=0

则取％2=1得/=(1,一L一1),

(nJ•PD=y2-z2=0

设二面角8-PD-C的大小为6,

1_1

则|cosB|=\cosn^,n^\=

反75=玉

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所以sme=Vi—cos2o=与马

（2）解：设屋=4定=（九2尢一/1）（0<441）,

则成=PE-PB=^-1,2/1,-A+1）.

因为异面直线PD与BE所成角的大小为60。，

所以cos60°=|cos<PD.BE>|=苜;;"2=解得4=|或义=0(舍去).

此时丽=（|1,一金,

--一4（―

所以点E到平面尸的距离d=华乎I=4=绰.

1巧1739

【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可;

（2）设丽=4无，利用空间向量求异面直线所成的角，得到4的值，再由向量法求点面距即可.

18.【答案】（1）解：椭圆C1的焦距2cl=2102—力2,双曲线。2的焦距2c2=2夜2+b?,

则2旦4=会整理得房="2,

2^W25

从而c：=a2-b2=|a2,c2=a2+反=卷Q2,

故椭圆Q的离心率G=?=孚，双曲线G的离心率82=%=等

（2）证明：由（1）可知P0裂a,|a）,

因为4—a,0）,所以直线AP的方程为丫=笑二§Q+Q）.

2国一5/,、

y=-s—(x+a),

22

联立方程组2q2整理得(8-2V10)x+(13-4V10)ax+(5-2710)a=0,

则一°血=言湍卢，则和=2回一52710-5,,、3(2710-5)

8-2国。，0+卬=5(8-2痂产

一工3

，"Q=可=S

2^,T0a-2/10

3

则岫p-kp=40一：0同=12H2O'1C,koQ+kop-+12+3、砺

O5-20-'

故•kgp=k()Q+kop

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆和双曲线的焦距定义，从而得出a,b的关系式，再结合椭圆和

双曲线中a,b,c三者的关系式，再根据椭圆和双曲线的离心率公式变形得出椭圆G和双曲线Cz的离心率。

⑵由（1）可知p（零呢|fl）,利用点做一/0）结合点斜式方程，从而设出直线4P的方程为>=

要二5（X+Q），联立直线与椭圆的方程得出点Q的坐标与a的关系式，再结合两点求斜率公式得出直线

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BP,直线OP,直线OQ的斜率，从而证出等式附0/0。=〃0<?十%「成立。

19•【答案】（1）解：由主誓±12不为整数，

可得数列2,4,6,8,10不是4阶平衡数列；

数列1,5,9,13,17为首项为1,公差为4的等差数列，

则数列1,5,9,13,17是4阶平衡数列；

（2）证明：若N为偶数，设k=2m（mEN*）,

考虑1,2,3,…，k这k项，其和为s=/罗i

所以这k项的算术平均值为：建字=4柴，此数不是整数；

若k为奇数,设k=2m+l,meN\考虑1,2,3,4,5,...k-2,k-l,k+1；

这k项，其和为。=咎西+1，

所以这2项的算术平均数为：£=任1+工=瓶+1+」一，