2026年初中数学中考复习：圆的综合题

微专题43圆的综合题

类型一与锐角三角函数结合

1.如图，A8为。O的直径，△吕。。内接于。O,连接D4并延长交8c的延长线于点E,且

ZE=ZABC.

(1)求证：BC=EC；

(2)若EC=2。，tan4S=m,求。。的半径•

第1题图

2.如图，四边形ABC。内接于O。，对角线8。为。。的直径，对角线AC是N6C。的平分

线，过点A作AE〃8D,交C8的延长线于点E.

(1)求证：AE是。。的切线;

(2)若NAEB=60°,BQ=2加,求AC的长.

第2题图

3.(2021广东24题10分)如图，在四边形A8CQ中，AB//CD,ABWCD,ZABC=90°,

点E,尸分别在线段BC,4。上，JIEF//CD,AB=AF,CD=DF.

(1)求证：C凡L尸&

(2)求证：以AO为直径的圆与8c相切；

(3)若EF=2,ZDFE=120°,求△AOE的面积.

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I)

第3题图

类型二与全等三角形结合

1.如图所示，在△ABC中，乙48。=90°,以直角边”为直径作。0,交斜边AC于点

连接BD.

(1)若NC=30°,求*的值;

(2)过点。作O。的切线，交BC于点E,求证：E是8C的中点.

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2.(2024梅州模拟)如图，P为O。外一点，PA,P8为。。的切线，切点分别为A,B,直

线尸。交。。于点。，E,交AB于点C.

(1)求证：/ADE=NPAE；

(2)若NADE=30°,连接8。，求证：四边形A。8P是菱形.

第2题图

3.如图，BC为OO的弦，点A为劣弧诧的中点，D为BC上一点,连接A。，过点A作。。

的切线4E,连接CE,CE〃力。，点产为AE上一点，AF=BD,连接AB,AC,CF.

(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；

(2)当8。=后/=，8时，求证：AC=\/2AD.

第3题图

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4.(2023广东22题12分)综合探究

如图①，在矩形A8CO中(AB>AD),对角线AC,8。相交于点。，点A关于8D的对称点

为A：连接A4交于点E,连接C4：

(1)求证：AA'LCA\

(2)以点。为圆心，。七为半径作圆.

①如图②，。。与CO相切，求证：/IV=V5C/V；

②如图③，。。与C4相切，AO=1,求。。的面积.

第4题图

类型三与相似三角形结合

[6年2考：2020.22(2),2019.24(3)]

1.如图，ZkABC内接于。0,A8是。O的直径，。是OO上一点，连接CO,过点C作。。

的切线交。8的延长线于点E且QE_LCE.

(1)求证：AC=CDx

(2)若OO的半径为5,BC=6,求3。的长.

2.如图，在RSA8C中，NBAC=90°,D,E分别在边/W,AC上，DE//BC,△AOE的

外接。。与BC交于点凡连接A凡4/平分NBAC.

(1)求证：BC为O。的切线；

(2)若AZ>CE=8,求O。的半径.

第2题图

3.(2024珠海一模)如图，是。。的直径，C是半圆AB的中点，点。是。。上一点，连

接。。交AB于E,点尸是AB延长线上一点，且E/=DF.

(1)求证：。尸是OO的切线;

(2)连接8C,BD,A。，若tan/BCD=(DF=3,求。。的半径.

第3题图

4.如图①，在平行四边形48CO中，AC为对角线，AB=AC,且△A8C内接于O。.

(1)当为。。直径时，求证：BC=42ABx

(2)如图②，当CD与O。相切时，求证：四边形A8CQ是菱形；

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(3)如图③，当CO与OO相交于点石时，连接BE,交AC于点尸，若EFAB=CE2,求N。

的度数.

类型一与锐角三角函数结合

1.(1)证明：如解图，连接AC,

・・・AB是CO的直径,-8=90°,即AC_LBC,

・；NE=NABC,：.AE=AB,:.BC=EC；

(2)解：VNDAB=/BCD,

・•・tan/QA8=tanNBCD=上,

7

,，仍是。。的直径，

ZADB=90°,

：.tanZDAB=—=-,

AD7

设AO=7x,则8D=24x,

：.AB=JAD2+BD2=25X,

・••由(1)知，AE=AB=25xf

••・DE=AE+4O=25x+7x=32x,

VCE=20,

：.BE=2CE=40,

在RtABDE中,

u211

：Bb+D£=BEf

・・・(24x)2+(32x)2=402,解得』=1(负值己舍去),

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：.AB=25x=25,

・・・。。的半径为

2.(1)证明：如解图，连接04,

〈AC是NBCD的平分线，

・•・/ACB=ZACD,

：.ZA0B=ZA0Df

•・・/AO8+NAOO=180°,

・・・/AOB=4OO=90°,

•:BD〃AE,

・・・/OAE=NAOQ=90°,

TOA是。。的半径，

是OO的切线：

(2)解：如解图，过点B作BbJLAC于点居

*：AE//BD,：.ZAEB=ZCBD=60°,

・・,8。是。。的直径，

:"BCD=90°,

：：

.ZBDC=30°,.BC=-2BD=^2,

:八。平分/8CO,

・・・/ACB=L/BCD=45°,

2

•••△3CF是等腰直角三角形，

：.CF=BF=BCsin450=1,

•；/BAC=NBDC=30°,在RQAB歹中，AF=BF=V3,

tan0B/lC

：.AC=AF-\-CF=V3-\-l.

第2题解图

3.(1)证明：・：CD=DF,

：.设ZDCF=/DFC=a,

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AZFDC=180°-2a,

,:CD〃AB,

AZBAF=180°-(180°-2a)=2a,

又・・・AB=AG

・•・ZABF=2a=90°一以，

2

/.ZCFB=180°—ZDFC-ZAFB=\80°-a-(90°-«)=90o,

；・CF工FB；

(2)证明：如解图①，取A力的中点。，过点。作。于点M,

*：AB//CD,ZABC=90°,

AZDCB=90°,

又・.・OM_LBC,

:、OM〃AB,

・••点M为8c的中点，

・・・OM=*W+CO),

~5L'：AF=AB,DF=DC,

：.AD=AF-\-DF=AB-^-CD=2O\f,

：.OM=-AD=OD,

2

・•・OM是以4。为直径的圆的半径，

又「OM_LBC,

・•・以AD为直径的圆与8c相切；

(3)解：VZDFE=120°,ZABC=90°,CD//EF,AB//CD,

：.EF//ABf

AZCDF=60°,NBA/=120°,ZAFE=60°,NCEF=NBEF=/EBA=90°,

又，：DC=DF,

:・xDCF为等边三角形,ZDFC=60°,

.,.ZCFE=60°,

由⑴得NC尸3=9。,

；・/EFB=/CFB-NCFE=30°,

•:EF=2,

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・••在RtABFE中,BE=EFtan30°=平，

在RIACEF中,CE=EFtan60°=2/5,

如解图②，过点。，A分别作E尸的垂线，交直线£尸于点”，N,

则四边形CEH。，四边形EB4N均为矩形，:.CE=DH=2®BE=AN=—

3t

5△ADE=SAEFD+SAEFA

=-EFDH-\--EFAN

22

=\EF(DH+AN)

三X2X(2V5+孕

8V3

3

图1mz

第3题解图

类型二与全等三角形结合

1.⑴解:VZABC=90°,ZC=30°,

AZA=60°,

TAB为。。的直径，

AZADB=90°,

ZABD=30°,

:.AD.BD,CD=V3BD,

•,CDMBD3'

(2)证明：如解图，连接。Q,OE,

〈DE是。。的切线，

：.ZODE=90°,

..,(OD=OB,

在RtAOBE与RtAODE中，

(OE=OE,

ARIAOBE丝RSOQE(HL),

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：・DE=BE,

：./BDE=/DBE,

V/DBC+AC=ZBDE-VZCDE=90°,

:"CDE=/C,

:・DE=CE,

；,BE=CE,

・・・E是BC的中点.

2.证明：⑴如解图①，连接04,

第2题解图①

・・・。七是。。的直径，

Z£)AE=90°,

即/。AO+NO4E=90°,

〈PA为OO的切线，

AZPAO=9()°,

即/PAE+NOAE=90°,

：.ZDAO=ZPAEf

•：AO=DOf

：./DAO=/ADE,

：./ADE=NPAE；

(2)如解图②，连接04,OB,

V^ADE=30°,

・・・/AOE=60°,

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〈PA为0。的切线,

：.ZPAO=90a,

・・・/AP0=9()°—NAOE=30°,

：.AD=AP,

•・•弘,PB为O。的切线，

：./PAO=ZPBO=90°,

,:PO=PO,OA=OB,

ARIAAPO丝RSBPO(HL),

AAAPO=ZBPO=30°,

・•・ZADE=NBPO,

：.AD//PB,

・；PA=PB=AD,

・・・四边形AQBP是平行四边形，

又・.・AO=AP,

・•・四边形A。切是菱形.

第2题解图②

3.证明：（1）如解图，连接Q4,

•・•点A为劣弧曲的中点，AE是。。的切线,

：.OA±BC,DA1AE,

：.AE//BC,即AE〃CO,

9：CE//AD.

・・・四边形AOCE是平行四边形；

第3题解图

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(2Y：BD=AF,BD=EF,

：.AF=EF,：.BD=-AE

2f

丁点A为劣弧诧的中点，

：,AB=AC,ZABC=ZACB,

：BDAB

•=L2,

：.I3D=^ACf：.AC=AE,

由(1)得4E〃CO,

JZACB=ZCAF,

：.ZABD=ZCAFf

・•・△ABOg△CA尸(SAS),

：.AD=CFf

由(1)知四边形AQCE为平行四边形，

：.AD=CE,：.CF=CE,

・•・4E=/EFC,

9：AC=AE,

：./ACE=NE=/EFC,

AAEFC^AECA,ECAE

设则AC=AE=2x,

・

EC2x:CE=&x,:,AD=g,

A—=-^-=V2,：.AC=y[2AD,

ADyj2x

4.(1)证明：・・,点A关于8。的对称点为/V,

：.AE=A'EfAAUBD,即？U'_LOE,

♦・♦四边形/WC.。是矩形，

：.OA=OCt

・・・。£是△AC”的中位线，

，OE//CA\

•••A4LL&T；(3分)

(2)①证明：如解图①，设CQ与。。相切于点凡连接尸。并延长，交A3于点G,

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：.FG±CD,

・・•四边形A38是矩形,

：.OB=OD=OA=\BD,g心,EGUB,

:・/FDO=/GBO,ZGAO=ZGBO,

丁ZDOF=NBOG,

：.A。。产且△80G(ASA),(5分)

・•・OG=OF=OE,

由⑴知AAUBO,

,/OG-LAB,

ARtADEA^RtAOG4HL),

：.ZEAO=ZGAO,

：./GBO=/EAO,

•・・/E4B+NGBO=90°,

・・・/E4O+NGAO+NGBO=9(r,

・・・3NEAO=90°,

：.ZEAO=30°,

由⑴知A4'J_CA',

.._CA'y/2

..tanZ£710=―；=——，

AA'3

・・・/W=V5or；(7分)

第4题解图①

②解：如解图②，设C4与O。相切于点“，连接。”,

・・・0。与C4柑切，

：.OHLCA\

由(1)知，A4」C4,AA'.LBD,OA=OC,

・・・四边形0H4E为矩形，

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•・•OE=OH,

・•・四边形OHAE为正方形，

：.AA,=2A,E=2OH,C4，=24H=2OE,

・・・A4=CA',

/A'AC=ZA'CA=45°,

/AOE=ZACAf=45°,

：.AE=OE,OD=OA=y/2AE,

设AE=OE=x,则0。=。4=岳，

・・・DE=OD-OE=(y[2-\)x,

在RSADE中,x2+[(V2-l)x]2=l2,

・・・M=竽，即4炉=。/=竿，

・・・$。0=加。/=2包.(12分)

4

第4题解图②

类型三与相似三角形结合

1.(1)证明：如解图，连接OC,AD,

・・,CE是。O的切线，

.,.ZOCE=90°,S|JOC.LCE.

VDE±CE,

・•・OC//DE,

：./OCB=ZCBE.

•：OC=OB,

：・40CB=/0BC,

・•・/CBE=NOBC.

,/四边形ACB。内接于O。，

；"CAD=/CBE.

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•//ADC=ZABC=/CBE,

：./CAD=ZADC,

：.AC=CD；

第1题解图

(2)解：・・・。。的半径为5,

・・・A8=10,

在RSABC中，8c=6,：.CD=AC=^F2-^C2=8.

♦：/BAC=/BDC,ZACB=ZCED=90a,

.*.AARCS/\DCE,

,AB_AC_BC叫］10_8_6解得。"拳CE=g.

,*DCDECE'8DECE'

在RSBCE中，BE=4BC2_CE2=(,

：.BD=DE-BE=—.

5

2.(I)证明：如解图，连接OF,

VZBAC=90°,石是。。的直径,

又・.・4/平分N8AC,

：./BAF=ZCAF=45°,；・NDOF=2NDAF=90°,

•:DE//BC,：.ZOFB=\SO°-ZDOF=90°,

•・•。/为。。的半径，

・・・BC为。。的切线；

(2)解：如解图，连接。「，EF,

•・•四边形AQ/E是。。的内接四边形，

A/ADF+Z/4EF=180°,

又・・・/。石尸+/4£/=180°,

工/ADF=NCEF,

，：DE〃BC,:./DEF=/EFC,

■:乙DAF=乙DEF,

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：.ZDAF=ZEFC,

:.'DAFs/XEFC,

EFEC

：・EFDF=DAEC=8,

9：ZDAF=ZCAF=45°,

:・EF=DF,：.EF2=S,

：.EF=2\[2,

*/OE=OF,

：.0E=—EF=2

2f

，。。的半径为2.

第2题解图

3.(1)证明：如解图，连接。D,0C,

•••C是半圆AB的中点，

・・・/AOC=N8OC=90°,

・・・/OCE+NOEC=90°.

•・•40EC=/DEF,

・・・/DE/+NOCO=90°.

,:EF=DF,

：.ZDEF=NEDF,

・・・/EO"+NOCO=90°.

♦：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

.,.ZEDF4-Z<?DC=90°,

即/O。尸=90°,

・•・OD1DF,

•・・。。为。O的半径，

・・・DF是OO的切线;

(2)解；•；/BCD-/A,tanZ^CD-1,

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tan>4=tanZBCD=-

2t

・・Y8是。。的直径，

・・・/AQ8=90°,

'：/ODF=ZADB=90°,

；・/ODA—/BDF,

又,.,0A=0。，

・•・ZA=ZODA,

:・/BDF=NA,

・・・/1=NF,

.*.△FBDs^FDA,

.FR_DF_RD

**FDAFDA2

9：DF=3,

3

：.FB=-,AF=6,

2

39

：.AB=AF-BF=6--=-,

22

・・・G)O的半径为?x』=