2021-2025年中考数学试题分类汇编（河南专用）锐角三角形函数及其应用（学生版）

专题16锐角三角形函数及其应用

考点一、锐角三角函数的综合应用

五年真题一

----------〈考点二、解直角三角形的实际应用

专练一、锐角三角函数值的计算

［专练二、由函数值求特殊角―

专题16锐角三角形函数及其应用

［专练三、特殊角三角函数值的计算

一年模拟:专练四、解直角三角形的实际赢"

、专练五、三角函数与圆的综合问题

、专练六、三角函数的综合应用问题

©©OB

考点一、锐角三角函数的综合应用

I.（2024・河南•中考真题）如图，是边长为46的等边三角形4BC的外接圆，点。是BC的中点，连接

BD,CD.以点。为圆心，BZ）的长为半径在。。内画弧，则阴影部分的面积为（）

A

D

A."B.4兀C.3土D.I6n

33

2.（2025•河南・中考真题）定义：有两个内角的差为90。的三角形叫做“反直角三角形如图，在V4KC中,

AB=AC=5,BC=8,点”为边8c上一点，若△APC为“反直角三角形”，则8P的长为.

3.（2024.河南•中考真题）综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形''进行研究

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.

（I）操作判断

用分别含有30。和45。角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有

（填序号）.

（2）性质探究

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.

如图2,四边形ABC。是邻等对补四边形，AB=AD,4c是它的一条对角线.

①写出图中相等的角，并说明理由；

②若=DC=n,/BCD=28,求AC的长（用含〃?，小。的式子表示）.

（3）拓展应用

如图3,在RtZkABC中，?B90%人8=3,BC=4,分别在边8C,AC上取点M,N,使匹边形A3MN

是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出用V的长.

考点二、解直角三角形的实际应用

4.（2023・河南•中考真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪/WCD为正

方形，4B=30cm,顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点。，A与树顶E

在一条直线上，铅垂线AM交BC于点”.经测量，点A距地面L8m,到树EG的距离A尸=11m,

8H=20cm.求树EG的高度（结果精确到0.1m）.

5.（2021・河南・中考真题）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最

大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点A与佛像8。的

底部。在同一水平线上.已知佛像头部8c为4m,在A处测得沸像头顶部8的仰角为45。，头底部C的仰

角为37.5。，求佛像8。的高度（结果精确到0.1m.参考数据：sin37.5°«0.61,cos37.5°«0.79,tan37.5°«0.77）

6.（2022・河南・中考真题）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是

园内最高的建筑.某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在人处用测角仪测得拂云阁顶端。的仰角为

34。，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端。的仰角为45。.己知测角仪的高度为1.5m,测量

点与拂云阁。C的底部C在同一水平线上，求拂云阁。C的高度（结果精确到1m.参考数据：5访34。、。56,

cos34°之0.83,tan34°«0.67).

7.（2022・河南・中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚

铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环GO与水平地

面相切于点C,推杆A6与铅垂线AD的夹角为/5AO,点O,A,B,C,。在同一平面内.当推杆与

铁环。。相切于点B时，手上的刀量通过切点8传递到铁环上，会有较好的启动效果.

(1)求证：N8OC+/8A。

（2）实践中发现，切点8只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点B是该区域内最低位

3

置，此时点A距地面的距离AO最小，测得cosN8AD=1.已知铁环。。的半径为25cm,推杆A3的长为

**

75cm,求此时AD的长.

8.（2024・河南•中考真胭）如图1,塑像A8在底座8c上，点。是人眼所在的位置.当点6高于人的水平视

线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A,

8两点的圆与水平视线OE相切时（如图2）,在切点。处感觉看到的塑像最大，此时NA依为最大视角.

图2

⑴请仅就图2的情形证明NA依〉NAQ3.

⑵经测量，最大视角-AP4为30。，在点P处看塑像顶部点人的仰角NAPE为60。，点。到塑像的水平距离

PH为6m.求塑像A8的高（结果精确到0.1m.参考数据：6=1.73）.

专练一、锐角三角函数值的计算

9.（2025•河南商丘•模拟预测）如图，将正方形A8C0沿MN折叠，使得点。正好落在AO的中点E处，则

sin/ME。的值是（）

10.（2025・河南周口•二模）如图，点A,B,C,。都在0O上，是0O的直径，AC=CD.若A8=8,

。。的半径为5,则NC4O的正切值为（）.

A

11.（2025•河南郑州•一模）将两个相同的正六边形的一边重合得到如图所示的图形，连接A3,则tanZl=

)

D.近

45

12.（2025・河南周口•三模）赵爽是三国时期非常有名的数学家，他大约在222年的时候深入研究了《周髀算

经》，书中的一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献，这个注文也让赵爽对勾股定理

产生新的证明方法.“赵爽弦图”被誉为中国数学界的图成，2002年在北京召开的国际数学家大会上，就以

此为会徽，足以见得它的完美.如图，若大正方形与小正方形的边长之比为6:1,则sin/以花等于（）

A.巫B.正C.—VioD.-V5

105105

13.（2024.上海•中考真题）在平行四边形人AC。中，/八AC是锐角，将CD沿直线/翻折至A8所在直线，

对应点分别为C，加，若AC':M:8C=1:3:7,则cosNABC=.

14.（2025•河南安阳•二模）如图，点AB,C都在正方形网格的格点上，连接84,BC,则NA8C的正切

值为.

15.（2025•河南焦作•三模）如图，在RlAABC中，NA=90。，ZB=\5°.

⑴请用无刻度的直尺和圆规作BC的垂直平分线，交BC于点、E,交AB于点。（不要求写作法，保留作图痕

迹）.

⑵求tanZACB的值.

16.（2025•河南平顶山•二模）如图，AC是。。的直径，点。为。。上一点，在C。的延长线上取点使

得A4=AC,过点。作。交A8于点E,交C4的延长线于点尸.

（1）求证：。尸为。。的切线；

⑵若AE=1,AF=3,求sinB的值.

专练二、由函数值求特殊角

17.（2025・河南•一模）如图，小明在矩形A88中裁剪出扇形E。/，BC=0B,。为AC的中点,

OE=/W=2,则扇形E。尸的面积为（）

18.（2025・河南信阳•三模）如图，平行四边形ABC。的对角线4C,8。交于点。，且AC_L4B.以点。为

圆心，分别以OC的长为半径画弧交对角线8。于点心F.若A8=26，AC=4,则图中阴影部分

的面积为.

19.（2025・河南周口•模拟预测）如图所示，在长方形ABC。中，对角线4c=2AB,点P是47上一动点,

连接将△A8P沿BP折叠，点A的对应点是4,当点4落在边BC的垂直平分线上时，NABP的

度数为.

20.（2025•河南安阳•一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形Q4BC的对角线03=2,点4在），轴上，点

A的横坐标是为，将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每次旋转6（）。，则第2025次旋转结束时，点C的坐标

是.

21.（2025•河南安阳•模拟预测）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间.已知绳子4CQB分别与空竹相

切于点C，D,且AC=BD,连接左右两个绳柄A,B,48经过圆心。，分别交。。于点经测量

OM=AW=4,则图中阴影部分的面积为

22.（2025•河南濮阳•一模）如图，在矩形相。＞中，BC=2,BC=2AB.将矩形"8绕点C旋转，得到

矩形4*6',点A的运动路径为AV,当点"落在边人。上时，图中阴影部分的周长是.

23.（2025・河南周口•二模）如图，在等腰RlZ\A8C和等腰Rl~4£）E中，A8=AC,AD=AE,将V4DE绕

点A旋转，连接班:，若AB=2AO,则旋转过程中，当/EBC最大时，其度数为°,当NEBC最

小时，其度数为°.

专练三、特殊角三角函数值的计算

24.（2025・河南安阳•模拟预测）（1）计算：（忘-1尸+唬-6COS450+（-1）2°”；

（2）化简：（X-2）2-（X-2）（X+2）-6.

25.（2025・河南信阳•三模）（1）计算：（4―5）°+逐一2sin3（）o+卜忘|；

2x+y=3

（2）解方程组:

3x-5y=11

26.（2025・河南周口•二模）（1）计算：g+2sin600+（g）；

（1]a2+a

（2）化简:C-^JXa2-\,

27.（2025•河南驻马店•三模）（1）计算：（兀-5）°+4-2sin3（T+-夜

♦一4

（2）化简:

A'-2>x2-4x4-4

专练四、解直角二角形的实际应用

28.（24-25九年级上•浙江温州・期天）我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图，两条伞骨所成的角/必。=130。,

点D在伞柄AP上，AE=AF=DE=DF=m,则AO的长度可表示为（）

A.znsin65°B.wcos65C.2，〃sin65D.2/z/cos650

29.（2025•河南驻马店•三模）堆垛是一种常见的存储方式.某数学实践小组想借助所学的知识，测量一座

玉米垛（如图1）的高度，分析玉米垛的形状特点后画出如图2所示的示意图，其主视图为轴对称图形，四

边形CDG尸为矩形.现测得玉米垛的顶部E到支点C的距离EC=L95m,垛体高b=23m,垛体顶角

ZCED=1I4°.求玉米垛的顶部E到地面房的距离.（结果精确到0.1m.参考数据：

sin33°»0.54,cos33°«0.84,tan33°之0.65）

30.（2025•河南信阳•三模）图1是工业上用的一款切割金属材料的锄刀，图2是其侧面示意图，其中矩形

ABCD是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，经测量可知48=0.4m,AD=2.4m.将手柄向下压,

直至。。与3c相切于点M,如图3所示，此时。。恰好经过点。.

•o

•()()

（1）求0。的半径；

⑵将手柄往上抬，使点石恰好落在C。的延长线匕0。与交于点F，经研究发现，此时。。与C。相切

于点E,连接E4,EF,求sin44EV的值.

31.（2025•河南南阳•三模）老君山老子文化苑的老子铜像被吉尼斯世界纪录认证为“世界上最高的老子铜

像”.如图①，某数学活动小组到老君山老子文化苑测量老子铜像（含底座）的高度，具体过程如下：

图①图②

方案设计：如图②，在老子铜像（含底座）的两侧地面上选取A、“两点，先测得A,“两点之间的距离，

再在A、〃两点利用同一测角仪分别测得铜像头顶的仰角（点A、。、4在同一水平线上）.

数据收集：通过实地测量，地面A,B之间的距离为46m,在A点处测得铜像头顶的仰角为78。，在B点处

测得铜像头顶的仰角为60。.

问题解决：已知测角仪AE的高度为1.5m,求老子铜像（含底座）CO的高度.（结果精确到1m,参考数据：

sin78°«0.98,cos78。=0.21,tan78°»4.70,6=1.7）

32.（2025•河南源河一模）铁塔（图1）位于河南省开封市，建于公元1049年，素有“天下第一塔”的美称.某

数学兴趣小组用无人机测量铁塔八8的高度，测量方案如下：如图2,先将无人机垂直上升至距离地面216m

的点尸处，测得铁塔顶端A的俯角为22。；再将无人机沿铁塔的方向水平飞行184m到达点。处，测得铁塔

底端8的俯角为45.

（2）求铁塔的高度A8.（参考数据:sin22«0.37,cos22°»0.93,tan22=（）.40）

33.（2025・河南周口・三模）为保障小区居民安全，王老师所在的小区安装了人脸识别仪，如图，摄像头A视

角的仰角、俯角均为13。（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），摄像头高度04=150cm.身高189cm

的王老师，头部高度为24cm,当他站在点3处时，可以采取下蹲或后退两种方案进行人脸识别.若王老师

采用下蹲方案，则至少需要下蹲（卜蹲时身体不前倾）6.8cm才能被识别.

⑴求的长度.

（2）若王老师采用后退方案，则从8处至少后退多远，才能被仪器识别？（结果精确到0.1cm,参考数据:

sin13°«0.22,cos13°«0.97,tan13c«0.23）

34.（2025•河南驻马店•三模）民桥位「河南省信阳市狮河区，横贯洲河，是信阳重要交通枢纽，也是河南

省唯一的一座独塔斜拉式桥梁.某数学兴趣小组进行测量民桥主塔高度的实践活动，淇淇、萍萍两位同学

分别制定了不同的测量方案，并完成了实地测量，测量方案与数据如下表：

课

测量民桥主塔高度

题

测

量

淇淇的方案萍萍的方案

方

案

♦1.73)

35.（2025•河南安阳•三模）某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形''后，开展测量本市某地标性建筑的高度

的实践活动，甲、乙两组分别设计了不同的方案:

课题：测最本市某地标性建筑的高度

甲组方案乙组方案

测

量

示

意

图

测如图2,在地面上点O处水平放一面镜子，

量如图I,小组成员在点。处用距离地小组成员站在点。的位置，通过镜子反射刚

方面高度为1.5m的测角仪测出该建筑好看到该建筑顶端A处，同时他还测得自己

案顶端A的仰角a=35。.眼睛到地面的距离CD=1.5m,他到该建筑的

与距离08=28m,a=32°.

测

结

果

参

考

sin35°0.57,tan35°«0.70sin32。=0.53,tan32。=0.62

数

据

（1）数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一组的测晟方案存在问题，不能得到测量结果.”你认为哪组

测量方案存在问题？并提出修改建议；

（2）乙组的测量方案能计算出地标建筑的高A3吗？若能，请写出计算过程，并将结果精确到0.1m；若不能，

请说明理由.

36.（2025・河南•模拟预测）建筑工地上常借助定滑轮将建筑材料垂直拉起提到高处，图1为建筑材料起始

位置示意图（定滑轮的半径忽略不计），绳子的末端在定滑轮A处，测得AB=6m,NE48=60。.水平向右

拉绳子末端，当建筑材料位于图2所示位置时，在绳子末端测得滑轮。的仰角为NO=37。.（图中所有点均

343

在同一平面内，点3，A,。在同一直线上且直线与地面平行;参考数据：sin37。,cos37。乏二，tan37。,

554

G。1.732.结果精确到U.lm）

（2）求建筑材料上升的高度BC.

37.（2025•河南郑州•模拟预测）汽车驾驶员坐在驾驶座位上，其视线观察不到的地方叫“汽车盲区”.一般来

说，家用小汽车有四大盲区，分别是车头盲区，车位盲区，左右后视镜盲区，AB柱盲区.如图是一辆汽车

的“车头盲区”示意图，其中.ACLBC,DEA.BC,驾驶员所处位置的高度AC为1.4米，驾驶员座位力C

与车头OE之间距离为2米，当驾驶员从A点观察车头。点时，其视线的俯角为12。（视线与水平方向的夹

角），点A、。、8在同一直线上.

力

B一一一一-薇

EC

(1)/45。的度数为

(2)求“车头盲区”点8、E之间的距离.(结果精确到0.1米,参考数据：sin求。=0.21,cosl20=0.98,

tanl2c=().21)

(3)交警叔叔曾做过实验，一辆家用汽车的视野盲区能容纳75个小朋友，这样的结果使我们震惊！文明交通,

你我同行，为避免此类事故的发生，请给司机或行人一些建议.

38.(2025・河南商丘•二模)在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中,

探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系.下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅

读卜列材料并完成相应的任务.

学习笔记：如图1,在锐角VA6C中，NA,NB,NAC8的对边分别记为〃，b,c,锐角VA8C的面积

则sinR=2

记为Sjsc，过点C作COJLA8于点

AC

图1

ABCD_AB•AC-siiv\_cb-sinA

BC=[=[=丁

acsinB_absin^ACB

同理可得S*8c~2~dABC.'2

bcsinAacsinI3absinC

即arI------=-------=--------

222

rh以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半.

_,-336七j八2"bc-ainAacsinBabsin^ACBsinAsinBsin/ACB

又根据等式的基本性质‘将丁=丁=-5一'整理‘得丁=丁=1—.

由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等.

【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题.

如图2,甲船以36海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75。方向的8

处，且乙船从8处沿北偏东30"方向匀速直线航行.当甲船航行20分钟到达。处时，乙船航行到达甲船的

南偏西45。方向的C处，此时两船相距6&海里.

⑴求八4。。的面枳;

（2）若此时AC与CD恰好互相垂直，求乙船由8处到达C处航行的路程是多少海里.（结果保留根号）

专练五、三角函数与圆的综合问题

39.（2025•河南安阳•一模）如图，A4是。。的直径，点C在。。上，且AC=8,BC=6.

（1）尺规作图：过点。作AC的垂线，交劣弧AC于点D,交AC于点E,连接（保留作图痕迹，不写作

法）；

（2）在（1）所作的图形中，求NEOC的正弦值.

40.（2025•河南濮阳•一模）过山车常见F游乐园和主题乐园中，深受游客的喜爱.如图2是过山车的示意

图，其中过山车的轨道近似看成O。，轨道的支撑AD"均与地面CO垂直，点石为3c上一点，连接AE

交。。于点F,连接勿'并延长与CD交于点G,连接。厂.已知为0。的直径且AB=AD,ZBAE=NEBF.

（1）求证：八。是00的切线；

（2）当BE=6CX）的半径为5时，求△AO9的面积.

41.（2025•河南焦作•二模）如图，人8是的直径，点。为。0上一点，过点。作的垂线，交过点8的

切线于点。，交。。于点E,连接4E交8C于点〃.

（1）求证：Z£>=ZAEC.

4

（2）若。。的半径为10,cos/^=-,求9/的长.

42.（2025•河南驻马店•三模）如图所示，在等腰VA8C中，AC=BC,以AC为直径作0。，0。与A8边

交于点尸.

（1）用无刻度直尺和圆规过点P作PQL3C,垂足为Q（不写作法，保留作图痕迹）;

⑵在（1）的基础上，说明也为。^切线；

⑶若AB=14,BC=25,求NBPQ的正切值.

专练六、三角函数的综合应用问题

43.（2025•河南周口•三模）已知V/IBC和△。石C都为等腰直角三角形，AB=AC,DE=DC,

ZMC=ZEDC=90°,连接AO.8E,当6石〃AC时，若人8=3拒，AD=\,则OC的长为

44.（2025•河南焦作•三模）如图，在Rt—AA中，NQ44=90。，点4在y轴的正半轴上，反比例函数y=%x>0）

3

的图象经过OB的中点C,且与AB交于点。.已知tan8==,。4=6.

⑴求左的值；

⑵过点。作OE_Lx轴于点E,点P是x轴上一点，若以A,D,E,P为顶点的四边形的面积为18,求点P

的坐标.

45.（2025・河南信阳•三模）综合探究

在矩形4BC。中，8。为其对角线，tanNOBC=〃?，点P为BC边上不与端点重合的一动点，连接。P,将

△DCP沿着OP翻折得对应△£）£■P，

⑴若/〃=1,如图I,当点E落在对角线5。上时，NCQP的度数是」CD、CP、的数量关系是二

3

⑵若w=-.

4

①如图2,当点E落在对角线△力上时，写出C。、CP、4£>之间的数量关系，并说明理由；

②过点E作MN〃AB,MN分别交人。、BC于M,N两点，若BD=5,当点石为线段MM的三等分点

时，请直接写出线段CP的长.

46.（2025•河南周口•三模）已知，如图（。）所示，△OA3是等腰三角形，OA=A6,NOA6=〃,，。是08上

一点，过点。作CO〃AB交04于点C.

⑶(c)

（I）将△OCO绕点。旋转到图"）位置，使B,D,C三点在同一直线上，连接AC,若a=60。，则ZACB=_,

线段AC、BC,0C的关系是二

（2）在（1）的条件下，把。改为90。，请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请求出正

确结论;

⑶如图（c）所示，。=120。,0。=2,。4=46，连接AC,BD,在建工。绕点。的旋转过程中，当CDLBD

时，请直接写出AC的长.

47.（2025•河南郑州•二模）初中数学”图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证研究图形：”图

形的变化”强调从运动变化的观点研究图形.为提升学生数学核心素养，李老师在社团活动时出示了一个探

究活动、在RdABC中，ZABC=90°,N8C4=60。，点2在直线8C」二将线段AP绕点A逆时针旋转60。

得到线段人4,过点片作［O〃8C,交直线AC于点。.

图①图③

（1）初步探究

当点P在线段8c上时（如图①），求证：PC+P{D=AC：

李浩同学是这样分析的：证明线段和（差），可以利用4P=4［构造全等三角形，他尝试在AC上截取

AE=PiDt连接依，通过证明最终证出结论.请你根据李浩的分析思路，写出图①的证

明过程.

（2）类比探究

如图②，点P在线段。的延长线上；如图③，点夕在线段BC的延长线上，请分别写出线段PC,RD,4C

之间的数量关系(无需证明)；

(3)延伸探究

在(1)(2)的条件下，若"=36，BP=2PC,则片。=

48.(2025•河南商丘•三模)定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形

(1)如图1,在菱形/1AC，。中，七是DC的中点，连接AE,将△4ED沿AZ?翻折到△AEF.延长从'交于

点P，请写出图中的所有“筝形''；