2026年新高考数学二轮复习 大题冲刺训练04 立体几何平行与垂直问题大题梳理（解析版）

立体几何中的平行与垂直问题大题梳理

目录

第一部分

题型01线段成比例证线面平行

题型02线面平行的判定

题型（）3线面平行的性质定理证平行

题型04面面平行证线面平行

题型05四点共面问题

题型06线面、面面垂直的判定

题型07面面垂直的性质定理应用

第二部分课后练习

题型01线段成比例证线面平行

典例剖析

【例（2025・上海静安•一模）已知正四棱柱AB8-ABCA的底面边长为I,点E、尸分别在边A。、

2?

CDt,且=CF=-.

33

（1）证明：AC//平面“上/；

【分析】（1）根据平行线的性质可得AC//EF,进而可证线面平行；

【详解】（1）因为AE=:，CF=^,则铝=空=可得AC〃所,

33AEFC2

且ACS平面与瑁"£Fu平面尸，所以AC〃平面&Er.

【例1・2】（2025•福建三明•模拟预测）如图，等腰梯形AAC。中，SB!/CD,CD=2AB=4..AE1CD,

垂足为E，将VAOE沿4E翻折，得到四棱锥P-A8CE.在四棱稚尸-A8CE中，点M,N分双在线段叫

icANBM、

AC上，且一=——=2.

NCMP

AFAG

【分析】（1）若EG分别是A£,AP上的点，且芸=黑=2,连接M/GGM,利用线面、面面平行的

FE

判定定理依次证明NE〃平面PCE、R7〃平面PCE、平面MN/、G〃平面PCE,再由线面平行的性质即可

证结论;

Apsri

【详解】（1）若EG分别是AEAP上的点，且芸=义=2,连接NR/G,GM,

FEGP

ANBM

X—=—=2,所以NFIICE"ABHGM,FG11EP,即M,N,F,G四点共面,

NCMP

由N/Z平面PCE,CEu平面尸CE,则M7//平面PCE,

同理可证FG//平面PCE，乂NFCFG=F,且都在平面MNFG内,

所以平面MNR7//平面PCE,MVu平面MNR7,故MN〃平面PCE；

G

AB

^223如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线

平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值

关系，寻找线线平行，进而得到线面平行。

【变式LI】（2025・湖南湘潭•一模）如图，在四棱锥Q-A4C。中，底面人ACO是菱形，侧面R4力JJ氐面

ABCfUPA。为正三角形，E,尸分别是棱4。，0c的中点，点G在侧棱上，且PG:GO=3:1.

⑴求证：PB团平面EFG；

【分析】（1）由平行线分线段成比例易得P8〃GK,再由线面平行的判定定理即可证明；

【详解】（1）如图，连接AC，BD交上点H,设BD交EF卜点K,连接GK,

因为四边形ABC。为菱形，所以，为线段B。的中点.

因为点E，尸分别是棱A〃，0c的中点，

所以点K为线段。”的中点，所以3K=3OK.

又PG=3DG,所以2A〃GK.

又PBa平面GE尸,GKu平面GEF,所以P8〃平面EFG.

【变式1・2］如图，在正方体438-A4GA中，点G,E,F,P分别为楂AB,D£,B©,明的中点,

3

点M是棱AA上的一点，且MR=wAR

⑴求证：D£〃平面DME；

（Y），1

【分析】（1）连接AC、GC分别交。区DBT•点H、（）,连接”0,即可证明器二器二^,从而〃O//RG

L\-ZJLX乙

得到，再根据线面平行判定证明即可；

【详解】（1）连接。C、GC分别交。区DB于点、H、0,连接“。,

在正方体ABCD-A4GB中，D\EHDC且。£=gOC,

所以AHEDMDC,则乎=的=:，

CHCD2

同理可得期=期=：，所以铝二穿，所以HO〃RG,

COCD2CnCO

又"Ou平面Z）8户E,RGcz平面DBEE,所以RG〃平面£）8庄:

【变式1-3］如图，在正方体"CD-ABCR中，点G,E,八P分别为棱A3,。£,B£,刈的中点,

3

点M是棱AA上的一点，且

⑴求证：D,B,F,£四点共面；

（2）求证：平面DBFE；

⑶梭A声上是否存在一点N使平面PMN〃平面/汨左？若存在，求笠的值：若不存在，请说明理由.

【分析】（1）连接。声，可证四边形084。为平行四边形，得到。切出〃，进而可证所7/8。即可证明;

（2）连接RC、GC分别交OE、D4于点“、0,连接“。，即可证明*=*=从而HO//RG得到,

V-CzLN

再根据线面平行判定证明即可；

A.N1A.NI

（3）根据题意，首先MN//£F,则六"=7,再由?£=彳时，根据面面平行的判定证明即可.

4月44与4

【详解】（I）连接A瓦，因为点，户分别为棱AG，4C的中点，所以石尸〃。蜴，

又在正方体ABCD-A4GA中DD、//BB、且DD,=BB.,

所以四边形。8与乌为平行四边形，所以08〃4〃，

所以EF//BD,所以。，B,F,E四点共面；

(2)连接。。、GC分别交。£、DB于点H、O,连接H0,

在正方体ABCD-A中,D.E//DC且。E二不OC,

所以AHED「AHDC,则也=里=,，

CHCD2

同理可得黑=照=：，所以铝=穿，所以HO〃RG,

COCD2C//CO

又HOu平面7)8户E,RGQ平面DBRE，所以"G〃平面0班£

A.N1

(3)存在，且启=W，理由如下:

因为AM=[£)]A，所以笠'二笑^:，，MN〃居R,

4型44

又EFHB\D\,：.MN//EF,

•；MNa平面DBFE，EFu平面03庄，;.MN〃平面DBFE，

延长NP交RA于K,延长E尸交4用于L,连接班,

••P为中点，易得△4/NgA4PK,.•.AK=AN=，44,BK=-AB

44

•・•£,尸分别为CQ、4G的中点，易得dEFCAg,

13|5

:.B.L=EC.=-AB,NL=NBi+BJ=-AB+—AB=-AB,

1,211424

:.BK=NL,又A8〃A4，即BK"NL,

二•四边形KBLN为平行四边形，「.NK〃8L,

又NKq平面DBFE，BLu平面DBFE,所以NK〃平面DBFE.

乂•：MNRNK=N,MN,NKu平前PMN,平面PMN〃平面DBFE,

A.N1_

所以k1=1时，平面尸MN〃平面。8庄・

444

题型02线面平行的判定

典例剖析

【例2・1］（25-26高三上•山西•月考）如图，在直三棱柱A8C—ASG中，AB1BC,AB=HC=AA,=2tM

是棱Cq上一点（不包含端点），N是AB1的中点.

⑴若M是。G的中点，求证：例2〃平面

【分析】（1）作出辅助线，根据线线平行可证明四边形NPCM是平行四边形，即可证明出结论:

【详解】（1）取A8的中点〃，连接CRN尸，

因为N是A彳的中点，所以NP，/BiB,NP=；B^,

直三棱柱ABC-ABIG中8BJ/CG且BB,=CC,,

又M是CG的中点，所以MC//54且=与，故MCUNPaNP=MC,

所以四边形NPCM是平行四边形.则MN//PC,

因为尸Cu平面AMG，MTVu平面A8c,所以MN〃平面ABC.

【例2-2】（2025•内蒙古赤峰•一模）如图，在四棱锥S-A8C£＞中，ABA.AI）,ABA.BC,SA_L平面A8CD,

SA=AB=BC=2AD,E为5。的中点.

⑴求证：DE〃平面34；

【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线面平行即可.

【详解】（1）

D

取S3中点尸，连接即，AF,

•・•£，户分别为qSB的中点..•.“7/6C且所=g8C.

又•.•A8_LA。，ABYBC,AD//BC

又BC=2AD,：.AD=-BC,「.E/〃AD且=AC>,.•.ADE尸是平行四边形，.•.。石//4/

2

又-DECZ平面SW,A/7u平面SAB,/.OE〃平面SAB

【变式2・1】如图，四棱锥尸—ABC。中，尸A_L平面A4C。，ADMBC,A4=l,AB=6,BC=1,4）=2,

【分析】（1）取4中点N,连接8N,MN根据线线平行证明线面平行;

【详解】⑴

“C

取PA中煦N,〈M为PD中点，：.MN//AD,且MN=：AO=1,

又・；BC=1,BC//AD,:.BC〃MN,且BC=MN,

二.四边形BCMN为平行四边形，即CM//BN,

•.•3Nu平面八48，CMz平面乃由，

「.CM〃平面上48；

【变式2・2】（2025•江苏常州•模拟预测）如图，已知四棱锥P-ABC。的底面/WC。是边长为2的菱形，PA±

平面ABC。，M是A£>的中点，N是PC的中点.

（1）求证：MN〃平面F44；

【分析】（1）取尸4的中点E,连接口,E7V,利用线面平行的判断定理将问题转化为证明MN//4E即可;

【详解】（1）取心的中点E,连接E4,EN,

在△P8C中，EN//BC且EN=>BC,又AM=』AO,AD//BC,AD=BC,

22

所以EN//AM,EN=AM,所以四边形ENKA是平行四边形，

所以MN//AE.又MNa平面Q4/3,4Eu平面Q4/L

所以MN〃平面Q45.

【变式2.3】（2025•上海黄浦•一模）如图，在几何体A4CQE中，四边形46CO是矩形，A3_L平面8EC,

BE工EC,AB=BE=EC=2,G,尸分别是线段BE,DC的中点.

（1）求证：G尸〃平面AOE；

【分析】（1）取4七的中点:“，通过平行的传递性得到HG〃尸£>,由题中条件得到四边形为平行四

边形，得到3〃。〃，利用线面平行的判定定理得到G尸〃平面AOE；

【详解】（1）取AE的中点”，连接HG,FG,HD、♦:HGIIABI/CD,即〃G〃尸。.

•;AB=BE=EC=2,G,尸分别是线段BE,DC的中点,

.•.HG=/7)=1,•,.四边形"GF£＞为平行四边形，:.GF//DH,

又•.•£)〃<=平面AQE,GF(Z平面A£>£,二G/7//平面AOE；

题型03线面平行的性质定理

典例剖析

【例3・1】（2025•湖北•模拟预测）在四棱锥P—AAC。中，底面/WC。是直角梯形，AD//BC,ADJ.AB,

侧面A48_L底面ABC。，AD=^BC=2f△B48是边长为2百的等边三角形，尸是CO的中点，E为PC上

一点.

⑴若4c与8。交于点M,满足£M〃平面"4,求EC的长；

⑵设屋=f无，若平面幺4与平面巫尸所成锐二面角的余弦值为主昼，求l的值.

37

2

【分析】（1）根据线面平行性质可知EM〃R4,根据平行线分线段成比例可知七。二鼻。。；由面面垂直性

质可知尸。，平面NAC。，根据长度关系和勾股定理可求得结果；

【详解】（1）若〃平面

•.•立面PACn平面P48=Q4,EMu平面PAC,.•.EM〃PA,

•/AD//BC,AD=-BC,：.AM=-MC,；.PE=-EC,：.EC=-PC；

2223

作PO_LA4,垂足为。，连接OC,

.•.尸0_1平面人3。。，乂0。匚平面/138,:.PO工OC：

•・•△以笈是边长为2石的等边三角形，，。为人8中点，「.。8=6，PO=3,

\0C=ylo^+BC2=V19»:.PC7Poi+OC?=2疗'：.EC=^PC=^y-.

【例3-2］（2025•上海普陀一模）如图所示，过圆柱的轴。Q的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2

的正方形A4CC，8是该圆柱底面圆周上异于4C两点的点.

B

⑴设平面AABf）平面CCB=/,求证：///M;

【分析】（1）由A4,//平面C0,结合线面平行的性质定理即可求解；

【详解】（1）由已知得AA〃CG，又CGu平面C/C,叫在平面GC8外,

则44,〃平面GC8,

乂平面AABD平面GCB=/,AA<=平:面AAB

则/〃4A.

【变式3・1】（2025•四川成都•模拟预测）如图,四棱锥P-ABCD中,底面A58是菱形,E,尸分别是棱

PD,PC上的点，8/7/平面ACE,且2PE=3EO.

（1）求证：PF=；FC；

【分析】（1）设ACflAO=M,连接FD交CE于点、N,连接MN,由线面平行的性质可得/W//MN,进

而得到N是。尸的中点，再过点广作FG〃。石，根据平行线段成比例求解即可;

【详解】（1）如图，设4（708。=^,连接FD交CE于点N,连接MN,

•.•8k/平面ACE,8尸u平面4。尸，平面8£>Fn平面4CE=MN,

.•.BF/IMN,

FNBM,

•.•M为8。的中点,==I,

NDMD

DE

过点八作R7〃CE,交PD于点G,则*=1，

EG

PE3PG1PFPG_I1

—=->---=—即「产二4“；

ED2GE2~FC~~GE~22

【变式3・2】（2025•山东威海•三模）如图，在直平行六面体A4CO-44GA中，点尸在棱CG上.

⑴若AC"平面成。，证明：PC=pq；

【分析】（1）连接AC交8。于点Q,连接尸Q,由线面平行的性质定理可得AG〃尸Q,结合。为AC的中

点，得证：

【详解】（1）连接AC交8。于点。，连接户0,

因为AG〃平面BPRAGu平面4CG，平面AC«c平面。0£>=。0.所以ACJ/PQ,

因为ABCD-A^D,为直平行六面体，

所以ABC。为平行四边形，可得。为AC的中点，

所以〃为CG的中点，即PC=PG.

【变式3・3】如图，在四棱锥P—ABC。中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，PB//平面AEC

⑴求证：点E是棱P。的中点；

【分析】（1）连接8D,8。与AC交于，点R连接ER结合四边形ABC。为矩形可得尸为8。的中点,

根据依〃平面AEC可得尸8〃所，进而求证即可；

【详解】（1）连接8。，3。与AC交于，点尸，连接EF,

四边形A8CO为矩形，.•.尸为30的中点，

•.•即〃平面AEC,平面户BD经过PB且与平面AEC交于E/，.

又点厂是83的中点，.••点E是棱的中点.

题型04面面平行证线面平行

典例剖析

【例4・1］（2025•四川南充•一模）如图所示，已知多面体A8C。"的底面八成7）是正方形，A4_L底面八ACO,

DE=ZAP^2>0.

（1）证明：CE〃平面Q43；

【分析】（1）由题意，可得AB〃CZ）,API/DE,所以平面£>CE//平面E44，进而可得CE"平面E44,

得证.

【详解】（1）因为底面A3c。是正方形，所以4V/CQ,

又ABu平面上44,CDO平面Q44，所以CD〃平面孔W.

乂优=2巾4>0，所以AP//DE,

又以u平面月钻，£>E（Z平面所以OE〃平面RIS，

乂CQu平面3CE,DEu平面DCE,且。。与OE相交于点。，

所以平面/七七〃平面243,

又CEu平面DCE,所以CE//平面PAB.

【例4・2】（2025・湖南长沙•模拟预测）如图，在四棱锥P—A38中，抬J_底面AACD4B〃CQ,A8=4,

PA=AD=DC=CB=2.

⑴设E，产分别为ARAB的中点，M为△ACr的重心，证明：EM〃平面P4C；

【分析】（1）只需证明麻〃平面心。及EN〃平面。3c进而证得平面EFN〃平面心C,根据面面平行

的性质，证得结果；

【详解】（1）因为民户分别为AP,A8的中点，则E尸〃P8.

又所在平面P8C外，则E尸〃平面P8C.

连接用人延长交人C于N,连接EN.因为“为△AC尸的事:心，则

N为AC的中点，从而EN〃PC.

又EN在平面尸8c外，则EN〃平面”8C.

因为EF,EN是平面EFN内的两条相交直线，则平面EFN//平面PBC.

因为区Mu平面所以〃平面P4C.

【变式4-1］（202S上海松江•二模）已知梯形。48中，PD”BCE为/”上的一点且〃£_L/>D,PE-BE-I,

BC=；ED,将△尸8E沿BE翻折使得二面角P—BE-C的平面角为凡连接PC、PD,尸为棱尸。的中点.

⑴求证："C"平面PBE；

【分析1（1）取£7）的中点M，连接CM、FM,所以尸M//产石且CM//8E,根据线面平行的判定定理可

得EM//平面"BE,CM//平面PBE,从而可得平面aM〃平面〃麻:，由面面平行的性质定理即可证明：

【详解】（1）取EO的中点M,连接CM、FM,

因为点尸为棱，。的中点，且3C=；EO,所以FM//PE且CM//BE,

FM//PE,用Ma平面ME,PEu平面PBE,

所以“W//平面PHE,同理可得CM〃平面产M.

因为五Mu平面CFM,CMu平面CFM,且BWcCW=M,

所以平面CEM〃平面PBE.

因为R7u平面C尸M,所以“7；平面/WE.

【变式4・2】（2025•广东江门•模拟预测）如图，在六面体A8CDE尸中，侧面人尸是直角梯形，AD1DE,

AF//DE,DE=2AF=2,底面ABC。是矩形，且8。+。力=3.设CO=/,二面角七一AO-C的大小为a,

六面体ABCDEF的体积为V.

（1）求证：BF〃平面CDE；

【分析】（1）由面面平行的判定定理可得平面AB产〃平面CDE,然后由面面平行的性质定理即可证明：

【详解】（1）因为底面A3C。是矩形，所以A8//DC,因为ABu平面CDE,3Cu平面CQE,故ABII

平面CDE,在直角梯形AZ?所中，AF/IDE,因为A尸（z平面CQE,DEu平面故4/〃平面CQE,

又因43nA尸=>4,人凡人尸（=平面ABE,

故平面人8尸〃平面。。石，又因4Fu平面43尸，故B尸〃平面CDE.

【变式4・3】（2025•甘肃武威・模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABC力中，底面48co为平行四边形，依_1平

面A8CQ,E,尸分别为棱BC,融的中点，且PC=4C=8=2,/A4c=9c（（归.

（1）证明：EF//平面PCD：

【分析】（1）取尸。中点为G,构造平行四边形，根据线线平行证明线面平行即可;

【详解】（1）证明:如下图,取AD中点G,连接EG,尸G,

因为£，”分别为棱3C,出的中点，G为AQ中点，所以FGHPD,EGHCD,

由尸G在平面EFG内，PD不在平面EPG内，故PD//平面EFG,

由EG在平面EFG内，C。不在平面EFG内，故CD〃平面EFG,

乂POcCO=。且都在平面PC。内，所以平面E尸G//平面PCA

因为"<=平面石FG,所以Q〃平面PCD

题型05四点共面问题

典例剖析

【例5・1】（2026高三・全国•专题练习）如图，在四棱锥P-A8C£>中，PCJ_底面ABCQ,A4C。是直角梯

形，AD1DC,AB/fDC,AB=2AD=2CD=2,点E是P8的中点.

⑴线段附上是否存在一点G,使得点。，C,E,G共面？存在请证明，不存在请说明理由;

【分析】（】）通过线线平行可证得四点共面；

【详解】（1）存在，当G为心的中点，点。，C,E,G共面.

证明如下：

取阴的中点G,连接EG,

又回点E是P8的中点，团EG//A8,

在底面直角梯形中，AB//CD,则EG〃CQ,

所以线段网上存在一点G,使得点Z）,C,E,G共面.

【例5・2】如图，4BC/ZAB防是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G,，分别是8C,BE的中点.

⑴证明：D,G,H,尸四点共面.

⑵证明：直线OG,A3,FH经过同一点.

（3）证明：平面GBH//平面D4E

【分析】（1）利用平行四边形证明力尸"G",即可证明四点共面；

（2）由梯形可知Z）Gc-7=P,再根据两平面的交线，证明AB过点尸即可；

（3）根据平面平行的判定定理证明即可.

【详解】（1）连接CE,因为G"是的中位线，所以GH//CE,GH=；CE.

因为ABC。，48E尸是两个全等的矩形，

所以CD//AB,CD=A及EF//AB,EF=AB,

所tIEF//CD,EF=CD,则四边形CDE/为平行四边形，从而DF//CE.

又因为GH//CE,所以。产//G”，故。，G,H,尸四点共面.

（2）由（1）的证明过程知。G”F为梯形，没DGcFH=P、

因为DGu平面ABCD,HFu平面ABER所以尸e平面ABCD.Pe平面ABEF.

又因为A8CZ）cA8M=A8,所以PcAB,即直线QG,AB,F”经过同一点P.

（3）因为ABC。是矩形，所以8G//4O.

又3G不在平面DAF内，所以BC//平面DAF.

同理可证8”//平面DAF.

因为3GC34=8,BG,BHu平面GBH,

所以平面G4”//平面D4F.

【变式5・1】（2025•湖北武汉•模拟预测）如图所示，在平行六面体中，底面A8C。是边长

为3的菱形，心=4,"叱幺爪1平。=6。:”分别在线段昭和初上，且心;阿

3

DF=；DD「

（1）证明：A,£，G，”四点共面；

【分析】（1）利用空间向量的线性运算来证明两向最相等，得四点共面;

【详解】（1）由荏=通+配，因为平行六面体可知：

B4//OR,AB//AC，且=DD,,AB=DC，

又因为DF=-DD.,

44

所以通=湿+瓶=碣+再=附

则有在〃星，即A,E，G，尸四点共面:

【变式5・2】（2025•福建龙岩•二模）如图，在四棱锥P—A8CZ）中.R4JL平面ABC。，BCLCD,AB//DC,

BC=CD=2,AB=4,M，N分别为/>3,PC的中点.

（1）设丽=4所，且H，A,M，N四点共面，求实数2的值;

【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，求出点的坐标及向量坐标，利用共面向量基本定理建立方程

组求解即可；

方法二：建立空间直角坐标系，求出点的坐标及向量坐标，求出平面4WN的法向量，然后利用小河=0建

立方程求解即口」；

方法三：延长N"交。。于S,连接SA,利用线面平行判定定理证明〃平面N8C。，然后利用线面平行

的性质定理得四边形ABCS是平行四边形，利用比例相等求解即可；

【详解】（1）方法一：坐标法（利用共面向量基本定理）

在平面ABC。内作4S_LAA,以4为原点，AB,AS,”所在直线分别为工轴，V轴，z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系，

CDy\

设%=2々，•:AB〃DC,BC=CD=2,A8=4,BCLCD,

.•.3(4,0,0),C(4,2,0),尸(0,0,2a),D(2,2,0),PD=(2,Z-2a),

又♦：M,N分别为PB,PC的中点，

.•.俞=(2,0,a),AN=(2,1,a),

•/AH=AP+JLPD=(0,0,2a)+“22,-2a)=(2/t,22,2(1-2)a),

丁加，丽7，而共面，二存在实数X，y，使得而=x而？+)，前,

即(22,22,2(1-A)a)=x(2»0,a)+y(2ti,a)=(2x+2y,yyax+ay),

24=2x+2y

2

・-2A=y,解得4=

2（\-A）a=ax+ay

方法二：坐标法（利用法向量）

在平面A8CO内作4SJ.AB,以人为原点，AB,AS,AP所在直线分别为工轴，丁轴，z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系，

设％=2〃，vAB//DC,BC=CD=2,A8=4,BC工CD,

8(4,0,0),C(4,2,0),P(0,0,2a),0(2,2,0),PD=(2,2,-2a),

•/AW=AP+2PD=(0,0,2«)+2(2,2,-2a)=(22,22,2(1-2)a),

又・：M,N分别为PB,PC的中点，

/.AM=(2,0,a)>AN=(2,1,a)»

设平面AMN的法向量为n=(x,y,z),

/?♦AM=2x+az=0

J一一，y=o,令z=2得x=

n•AN=2x+y+az=0

/i=(-a,0,2),

又•••☆，AM»前共面，

___2

.•/•A，=-2a2+4(l-Qa=0,解得;1=；；

方法三：几何法：延长M/交COFS,连接SA,

N分别为依，PC的中点，••.MW〃8C,

MNN平面A8CO,8Cu平面ABCD，

M/V〃平面A/3CO,

又•••AS=平面4MM7n平面ABCD,

:.MN〃SA,ABC//SA,又•••AZ?〃8,

二•四边形ABCS是平行四边形，

.\AB=CS,:.CD=DS,

过N作NT〃CD交PD于T,：.PT=TD，

HTNTNT\.、PH2

又•:===-,••九==—；

HDDSCD2PD3

【变式5・3】(2025•山西•二模)VA8C中，A4=AC,AI31AC,BC=4,。是3c的中点,E是A3的

中点，?是的中点.如图，将△跳下和AHS分别沿EZUAD向平面人/JFE的同侧翻折至"EF和

△ADN的位置,且使得DN//MF.

(1)证明：A、E、M、N共面;

【分析】（1）取ON的中点G,A。的中点”，连接MG、GH、HE,证明出四边形DGA小、DFEH、MGHE

为平行四边形，可得出由此得出ME/AN,即可证得结论成立：

【详解】（1）取ON的中点G,4£）的中点”，连接MG、GH、HE，

因为G、H分别为ON、AO的中点，所以GH//AN,GH=；AN,

翻折前，VA4c中，A8=AC,ABJ.AC,BC=4,

。是BC的中点，E是A8的中点，尸是8。的中点，

则BO=C。，BF=-BD=-CD,EFI/AD,EF=-AD,ADIBC,

222

翻折后，则有M/=1£W,EF//AD,EF=^-AD.

因为MF〃DN,G为ON的中点，所以MF〃DG,MF=DG,

所以，四边形QGMb为平行四边形，所以MG//DF,MG=DF,

因为〃为的中点，所以所〃EF=DH,故四边形。为平行四边形,

所以EH//DF,EH=DF,板MGHEH、MG=EH,

所以四边形为平行四边形，所以ME//GH,所以ME//AN,

所以A、E、M、N共面.

题型06空间几何垂直的判定

典例剖析

【例6・1】（2025・山东聊城•模拟预测）如图，在四棱锥P-A48中，PDl^ABCD,平面P4O_L平面产48,

AD//BC,BC=472,AB=AD=PD=2近.

⑴证明：A6_L平面外。.

【分析】（1）取小中点，利用面面垂直的性质得线面垂直，结合尸DJ■人4,通过线面垂直判定定理证明

平面心力：

【详解】（1）取附的中点〃，连接

因为八£>=9,所以Q4.

由平面P4O_L平面附8,平面R4£）c平面PA4=PAO〃u平面小£）,得。/应平面以8.

因为4?u平面以8,所以W/_LA&

又P0_L平面A58,/Wu平面A5CO,所以电

又DHcPD=D、所以人8_1_平面网D

【例6・2】（2025•甘肃武威•模拟预则）如图，在四棱锥P-A8CZ）中，△孙力为等边三角形，AB1平面PCD,

且AD//8C,AD<BC,PB=PC,/<4=拉，ZPAB=—.

（1）证明：CO_L平面八钻：

【分析】（1）依题意，延长84,CD交于点H,连接PH，证明VOP"gVD4“，推得DHL平面由3,

即可证8J_平面Q4&

【详解】（1）延长84，CD交于点H,连接产”，

因为A8_L平面PCD.PH,O〃u平面PC。，

所以AB1DH,

^AHLPH,AHA.DH.

因为△以£>为等边三角形，所以P£）=AO,

3/7TT

因为NPAB=芋，所以NB4〃=f,所以叨=A〃，

44

乂DH=DH,所以VOPHgVDA”,所以P//_LO〃,

又P，nA"=H,2",八，（=平面好，

所以,平面E4A，即C£）_L平面

【变式61・1】（2025・重庆•模拟预测）已知平面四边形A4OC由一个等边V/V3C与一个直角△C8O拼接而

成，且ZCBD=90,现将VA8C沿BC折叠，折叠后使平面48C_L平面C8O.

⑴取A8中点E,证明：CE_L平面AB。；

【分析】（1）根据条件证明CE2A8,8，班＞即可.

【详解】（1）因为平面5CQ_L平面ABC,平面BCOPI平面A8c=3C,BDA.BC,8£＞u平面4。。，

所以皿工平面4AC,CEu平面AAC,所以4/1_LCE,

因为VA8C为正三角形，E为棱48的中点，所以CE/AB,

又BDcAB=B，BD,ABu平面48。，所以CE_L平面A8。；

【变式6・2】（2025・湖北•模拟预测）在三棱柱。44-。个线中，P，。为八4的三等分点，侧面。叫。为正

⑴证明：平面。四Q1平面；

（2）证明：PO_L平面＜沙4。1；

【分析】（1）用面面垂直的判定定理证明；

（2）用线面垂直的判定定理证明；

【详解】（1）由四边形0四&是正方形，可知OBJ.。加

又OA±08,OAc。。|=O,0AOOyu平面OAA^,则OBJ■平面0AAOt.

而OBu平•面OBB。,故平面OBBQL平面OAAlOi.

（2）因为O8J.OQ,BPlOO]fOBRBP=B,OB,8Pu平面04。，则OQL平面。

而OPu平面O3P,则OP_LOQ.

由C）知平面OBBQJ平面。44四，、『面。B居«c平面。44。产OOitOPu平面OA4。，且OP_LOC\,

故POJ•平面OB4a.

【变式6・3】（2025•广东•模拟预测）如图为正四棱台与正四棱锥P—A4CO拼接而成的儿

何体.

（1）证明：ACJ•平面PBQ；

【分析】（1）记AC与5。的交点为O,根据线面垂直的性质定理，可证AC_LPO,又AC_ZBQ,根据线

面垂直的判定定理，分析即可得证.

【详解】（1）记AC与BD的交点为O,由POJ■平面A8CO,ACu平面A8CO,

可知4C_LPO,

而AC上80,POnBD=O,POu平面280,8Z）u平面尸8。，

故AC_L平面P8O.

由题易得平面尸4A与平面P8D为同一平面，故AC_L'F面

题型07面面垂直的性质定理

典例剖析

【例7・1】（2025•广西南宁•模拟预测）如图，在斜三棱柱4BC-A用G中，AB1AC,八B=AC,侧面阴CC

为菱形，且/q8c=60。，点。为棱A4的中点，平面/WC_L平面叫GC.设平面ABC与平面与。。的交线

为L

A

⑴求证：/_L平面88CC；

⑵若8c=2,求二面角C—四。—3的正弦值.

【答案】（1）证明见解析⑵叵

7

【分析】（1）分别延长与。,24交于£,连接CE,则CE即为平面8co与平面ABC的交线，利用面面垂直

的性质可得EC_L平面48CC，从而有/_L平面

（2）以C点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出面与面片。3的法向量，用空间向最求二面角的余

弦值，再转化为正弦值即可.

【详解】（1）分别延长4。.84,设84c耳。=七，连接CE,如图，

-C

E

则CE即为平面B.CD与平面ABC的交线/,

因为。为棱AA的中点,,则A是BE的中点，

因为VA8C中A8=AC,AB1AC,所以8E=2AC,从而£C_L8C,

因为平面ABC，平面G。且交线为8C,ECu平面ABC,

所以EC_L平面BBC。，即/，平面BgCC；

（2）取⑸G的中点G,

因为侧面为菱形，且NABC=60。，所以GC_LBC,

由（1）知ECJ_平面BBCC，所以GC_LEC,分别以CBCE,CG所在直线为文，）"轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，

因为3C=2,侧面为菱形，且/48。=60。，

所以4。，。,6)，七(。，2,0),4(2,0,0),

则苗=(1,0,75),屈=(020),丽=(-2,2,0),西=(一1,0,6),

设平面B.DC的法向量为正二(x),Z|),

则”虎二°,所以曰+个=,可取正6

CEih=0[2)\=0

设平面与。8的法向量为日=(七,%,Z2),

IBE-n=0卜占+)'2=0-广l

则一，所以\八，可取〃=(G,®1),

|8与行=0[-X2+yl3z2=0

所以cos<m,n>=--------j=—=——.

2.<77

所以二面角。-用。-8的正弦值为盾率

【例7・2】(2025•全国•模拟预测)如图，在三棱锥尸-/WC中，平面APC_L平面A8C,AI3J.AC,

/W=AC=AP=CP=2,E,M分别为棱BC,研的中点.

(l)i正明：ME〃平面4cP；

(2)求平面与平面4cp夹角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析⑵口自

【分析】(1)利用中位线的性质及线面平行的判定定理得证；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用夹角公式及正余弦函数的平方关系得解.

【详解】（1）因为京M分别为棱AC,研的中点，

所以EM//PC,

又PCu平面A”,EMs平面4cP,

所以ME//、『面ACP.

（2）取AC中点为N,连接尸N,

由AC=AP=CP=2可知/"_LAC,PN=出,

因为平面AQCI平面人八U是交线./Wc-平面A/Y7.

所以PN人平面ABC,

以A为原点，分别以AB.AC所在在线为X，），轴建立如图所示空间直角坐标系,

则A（O,O,O）,8（2,O,O）,C（O2O）.P（O/,G）,E（1JO）.M6，争，

—/、—（1

所以A£=（11,O）,AM=1,-,^-,

\/

设平面的一个法向量为。=（x,y,z）,

_175

,n-AM=x+—y+——z=0*,20

则22,令x=2,则y=-2,z=-把，

n-AE=x+y=0

所以冗=|2,-2,-苧），

因为平面APC_L平面ABC,AC是交线，ABJ.AC,A8u平面ABC,

所以A8平面ACP,故平面ACP的一个法向最为两=0,0,0）,

所以平面AWE与平面ACP夹角的正弦值为

7

【变式7・1】(2025•浙江宁波•一模)如图，在四棱锥P-A4C。中，平面PA8L平面"C。，底面人8C。

是直角梯形，AD//BC,AB_L/W),且B4=AD=28C,E为CZ)的中点，尸为线段尸。上的点，PF=3FD.

(1)证明：EV〃平面R$；

出若尸4=68。=64?,点知是八8的中点，求平面M班'与平面/>£/夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析⑵亚

3

【分析】(1)在线段以上取M使得AN=；AP,取线段AB的中点M,利用线面平行的判定推理得证.

(2)由已知证得直线ARAO,4尸两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法求解.

【详解】(1)在线段出上取M使得AN=!AP,取线段43的中点M,连接EM,MN,NF,

4

PNPFNFPF

则m=£L=23,A^F/MD,—=—=3NF=3-AD=3-BC,

PAPD4ADPD442

3

在梯形ABC。中，AD"BCAD=?BC,E为。。的中点，则ME//AD,ME=±8C,

2

因此ME//N£ME=M\四边形RVME为平行四边形，EF//MN,

而斯O平面以B,肠Vu平面所以曰?〃平面

(2)由平面P48_L平面A