高考数学复习 平面向量的基本定理与坐标运算（原卷版）

第29讲平面向量的基本定理与坐标运算

【基础知识全通关】

i.平面向量的基本定理

如果ei，C2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只

有一对实数人1，入2，使2=大回+九2。2.其中，不共线的向量ei，e2叫作表示这一平面内所有向

量的一组基底.

2.平面向量的坐标运算

⑴平面向量的坐标运算

a=（X）,yi）b=（X2»丫2）

a+b=（xi+X2»yi+y2）a-b=（xi-X2，yi-y2）Xa=（九x1，Xyi）

3.平面向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系内，分别取与大轴、》轴方向相同的两个单位向量7、1作

—♦

为基底，对于平面上的一个向量〃，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数

X，）'，使得Z=x：+y1.这样，平面内的任一向量乱都可由乂丁唯一确定，我们把有

序数对Cay）叫做向量［的（直角）坐标，记作％=（工）'），X叫做Z在X轴上的坐

标，y叫做Z在y轴上的坐标.把％=叫做向量的坐标表示.给出了平面向量的直角坐

标表示，在平面直角坐标系内，每•个平面向量都可以用一有序数对唯•表示，从而建立了

向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系.

【微点拨】

（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即"=

且X=>2,其中a=（%，x）3=（%，见）.

（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来.相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐

标可以不同.比如，若尔2,3）,8（5,8）,则AB=（3,5）；若。13）,D（-1,8）,则

CO=（3,5）,AB=CD显然A、B、C、D四点坐标各不相同.

（3）（苍V）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向

量.

4.平面向量坐标的加法、减法和数乘运算

运算坐标语言

--->---►

记°A=(xl,yl),OB=(X2,y2)

加法与减法

OA+OB^)\OB—OAo［、

=(zxli+ix2o,yil+,y2),=(xz-xl,y2-y1)

—>—>

实数与向量的乘积记4=(x.y),则％4=(：x,%y)

5.如何进行平面向量的坐标运算

在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角

坐标运算法则进行计算.在求•个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，

再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.求一人点的坐标，可以转化为求该点相对

于坐标原点的位置向最的坐标.但同时注意以下几个问题：

（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，

只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等.

（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系.

（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的.

（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相

对位置有关.

6.平面向量平行（共线）的坐标表示

%=AX2

设非零向量"=④=（W'%）,则。〃/20（X1,yl）j（x2,y2）,即卜=，或

xly2-x2yl=0.

【微点拨】

----a=2L

若"二（%方）/=（占,%）,则a〃办不能表示成叼乃’因为分母有可能为0.

7.三点共线的判断方法

判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知

4（%,乂）,5*2，%），。区，%），A8=（x2-xl,y2-yl）,4d=（x3-xl,y3-yl）,

若“2_芭）（必_凹）_（毛_王）（必_凹）=°，则A,B,C三点共线.

【考点研习一点通】

考点一：平面向量的正交分解

例1.如下图，分别用基底7,］表示向量3、B、"，并求出它们的坐标.

【变式1T】己知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点，AB边在X轴上，C在第一

象限，D为AC的中点，分别求向量A反衣,8己8万的坐标。

【变式1-2】已知O是坐标原点，点M在第二象限，|。/>|=6百，NxOM=120°,求丽

的坐标.

［变式1-3］已知4(一2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且由=3C4,C7V=2CB,求M、N及丽

的坐标.

［变式1-4］已知点A(-l,2),8(2,8)以及衣=,而，方=一,丽，求点C,D的坐标和CD

33

的坐标.

考点二：平面向量的坐标运算

例2.已知向己2=(-1,2)出=(2,-3),2=(-3,-2),计算£-2〃,(2£-&-(6-22)。

［变式2T］已知A(-2,4),B(3,-l),C(-3,-4),且CA/=3CA,C7V=2CB,求M、N及丽

的坐标.

【变式2-2】已知A伉C三点的坐标分别为(一1，0),(3,-1),(1,2)并且

AE=-ACBF=-BC-求证：EF//AB.

3y3

［变式2-3］平面内给定三个向量£=(3,2),/；=(-1,2),2=(4,1)

⑴若&+心)〃(2坂一£),求实数k；

⑵设Z=(My)满足(Z-b〃②+5)且求Z.

考点三：平面向量平行的坐标表示

例3.如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0,0)、B(3,1)、C(4,3)、D(1,

2),M、N分别为DC、AB的中点，求R0、面的坐标，并判断丽、而是否

共线.

【变式3-1］如图，已知uABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(一2,1)、(一1,3)、

(3,4),试求顶点D的坐标.

【变式3-2】向量方=(A,12),屈=(4,5),PC=(10,/:),当k为何值时，A、B、C二

点共线？

【变式3-3】如图，已知A(4,5),B(1,2),C(12,1),D(II,6),求AC与BD的

交点P的坐标.

【考点易错】

1.如图所示，在AA8C中，点O在线段8c上，且BD=3DC,若八方=44月+〃4仁,

2

贝L=

---1-4—______/、

2.设。为AABC所在平面内一点，AD=--AB+-AC,若8C=%OC(；l£R),则

JJ

A=.

3.已知向量a5=(3,-2),且(0+5)_1_5，则m=

A.-8B.-6

C.6D.8

4.已知向最6满足同=血，防I=I,且忸+目=2,则向量z与分的夹角的余弦值为

A.也B.巫C.立D.克

2384

5.已知向量2,在满足同=4,彼在M上投影为-2,则|”3可的最小值为

A.12B.10C.V10D.2

【巩固提升】

一一1-3-

I.已知平面向量。则向量一。—二人二()

22

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)

2.己知向量［=(1,2),b=(x,1)且Z+2B与2工一3平行，则x等于()

11

A.4B.2C.-D.一一

22

3.若三点4(2,3),8(3,。),C(4,〃)共线，则有()

A.〃=3,力=-5B.a-b+l=0C.la-b=3D.a-2b=O

4.已知"］分别是方向与X轴，轴正方向相同的单位向量，设

a=(x2^x+\)i-(x2-x+i)j(其中/wR),则向量3位于()。

A.第一、二象限B.第三、四象限C.第三象限D.第四象限

a=(x,2),b=(—,\),c=a+2b,d=2a-b一一-一

5.已知2，且。〃4,则c=2d等于()。

A.FITB.加c.(1.2)D.(*2)

a=(-2,1-cos6>),Z?=(1+cos0.-^-)一工

6.已知4,且o〃b,则锐角。等于()。

A.45B.30°C.60°D.30°或60°

7.已知向量。=(6,4),b=(0,2),OC=a-\-)Jb,若点C在函数y=sin±x的图像上，则

实数大的值为

8.如图，点P在NAOB的对顶角区域MON内，旦满足：OP=xOA+yOB,则实数对(x,

y)可以是()

\_\}二_132

2,3