北师大版高中数学选择性必修第一册 椭圆的简单几何性质【作业原卷+答案】

02

1.2椭圆的简单几何性质

A级必备知识基础练

1.［探究点一］（多选题）已知椭园C:16f+25产=400,则下列关于椭圆C的说法正确的是（）

A.椭圆C的长轴长为10

D.椭圆。的两个焦点分别为（0,-3）和（0,3）

C.椭圆C的离心率等于《

D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线/与椭圆。交于两点，则仍。|=蓑

222222

2」探究点二］已知椭圆3+与椭圆会+有柱同的长轴长,与椭圆片+^■=1有相同的

短轴长，则（）

A./=25,护=16

B〃=9/2=25

C.a2=25,h2=9或a2=9,h2=25

D.〃=25/2=9

3.［探究点三用椭圆Wf满足则该椭圆的离心率e=（）

AiBf

C.A/3D.V5

4.［探究点二］椭圆/+利尸=1的焦点在），轴上，长轴长是短轴长的2倍，则〃［的值为（）

A.iB.1C.2D.4

L4

5.［探究点二］（多选题）已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为8,离心率为:，则此椭圆的标准方程是

4

（）

A^+六B昌力

醴+Q

6.［探究点三］八产2是椭圆。的两个焦点，点尸是椭圆C上异于顶点的•点，点/是的内切圆圆

心，若△PRE的面积是的面积的4倍,则椭圆C的离心率为.

7」探究点三］已知椭圆的短半轴长为1,离心率0〈溜，则长轴长的取值范围为.

8」探究点一］比较椭圆①f+9•=36与窑+［=1的形状，则更扁.（填序号）

9.［探究点二］（1）求与椭圆《+胃=1有相同的焦点，且离心率为g的椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是（60）,（6,0）,求焦点在x轴上的椭圆的标准

方程.

B级关键能力提升练

10.如图，已知分别是椭圆的左、右焦点，现以F?为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆

于点MM若过Fi的直线是圆巳的切线，则椭圆的离心率为（）

A.V5-1B.2-V3

11.（多选题）已知椭圆的离心率为"左、石焦点分别为Q/”为椭圆上一点（异

于左、右顶点），且的周长为6,则下列结论正确的是（）

A.椭圆。的焦距为1

B.椭圆C的短轴长为2百

C.ZXPF1出面积的最大值为百

D.椭圆C上存在点P,使得NMPB=90。

12.若将一个椭圆绕中心旋转90。,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对

偶椭圆下列是“对偶椭圆”的方程足（）

蟾+9

13.已知点P（2J）在椭圆5+心/>0）上，点M（a⑼为平面上一点,0为坐标原点，则当|OM|取最小

值时，椭圆的离心率为（）

ATBiC-TDT

14.（多选题）如图，已知分别是椭圆5+，=1（4＞。＞0）的左、右焦点，点P是该椭圆在第一象限内

的点,NQPB的平分线交x轴于。点，且满足函=4的，则椭圆的离心率e可能是（）

心.

A-18B041C（3,12U924

15.若点。和点尸分别为椭圆1+4=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则而•产歹的最大

45

值为•

22

16.如图，已知椭圆Ya+V%=1（〃泌＞0）产|产2分别为椭圆的左、右焦点左为椭圆的上顶点，直线交

椭圆于另一点A

⑴若/QA8=90。,求椭圆的离心率；

（2）若椭圆的焦距为2,且福=2可，求椭圆的方程.

17.已知尸是椭圆。:鸟+&1（心/40）的右焦点，点P在椭圆C上，线段P尸与圆Q?。/］相切于

Qb«JJ

点Q（其中c为椭圆的半焦距），且A@=2行.求椭圆。的离心率.

C级学科素养创新练

18.椭鹭!+，=1320）上有一点P、F\,F2分

别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点。在线段尸尸2的延长线上，且QF|_LQP,sinNHPQ*,求该椭圆

离心率的取值范围.

参考答案

1.2椭圆的简单几何性质

1.ACD由题意知椭圆的标准方程为卷+4=1,则a=5，=4,，c=3.长轴长为2a=10,A正确;两焦

2516

点为(3,O),(-3,O),B错误;离心率为吟=|,C正确;将x=3代入椭圆方程得16x32+25)2=400,解得

岑,・.・上QI二弓,D正确.

2.D椭圆祗+*1的长轴长为10,椭圆(+卷=1的短轴长为6,即有。=5力=3,即/=25力2=9微

选D.

3.B因为a=2b,所以e=6==」故选B.

4.B因为椭圆的焦点在)，轴上，组半轴长为1,长轴长是短轴长的2倍，故[=2,解得

1

吟

5.AB由题得a=4.e=/所以c=3,所以b2=«2-r=16-9=7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标

4

准方程是卷+今=1或3+$1.

167167

6.1不妨设椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为，+苴=1,如图，设P(〃?,〃)/i(-c,0),B(c,0)A

PF1F2的周长为/,内切圆/的半径为八则由椭圆的定义可得/=2a+2G所以片2s△广1七=普_

I2a+2c

粤国为S/PFF=4S,.lFF，所以;-2c.|n|=4x1•粤・2c,解彳鼾=辆e=^.

Q+C卜2△/卜1乃22a+ca33

7.（2,41

8.①将①寸+9）2=36化为标准方程为2+—=1,故离心率6]二±/=与2;5+5=1的离心率

3646395

因为故①更扃.

9.解(1)•・•C=，ez=遍，，所求椭圆的焦点为(-V5,0),(V5,0).设所求椭圆的方程为，+

5二l(a>b>0).

b

'•e=-=^,c=V5,.\a=5,b2=a2-c2=20,

a5

工所求椭圆的方程为41.

⑵•・•椭圆的焦点在工轴上,设它的标准方程为，+，=1(心/?>())「・•2c=8,1.c=4,又〃=6、・•・

b2=a2-(r=20.；・椭圆的方程为登+啜=1.

J6ZU

10.A

11.BC由已知得e=-=W，〃+2c=6,解得a=2,c=l.所以即椭圆C的方程为t+5=1.

a243

对于A,椭圆。的焦距为2c=2,故A错误;对于B,椭圆。的短轴长为26=275.故B正确;对于C,

设P(XOJO),S^PBF2=3居川•lwl=c|yol,当点尸为椭圆的上顶点或下顶点时△分•10的面积最大，

此时|地|二力二百,所以面积的最大值为6,故C正确;对于D,假设椭圆C上存在点P,使得

222

//］尸&=90°,设伊尸1|=〃八『川=〃,所以w+n=2a=4,/M+n=16-2mn=4c=4〃〃?=6,所以myn是方

程f-4x+6=0的两根，其判别式A=16-24<0,所以方程无解，故假设不成立，故D错误.

12.A

13.C因为点尸(2』)在椭圆捺+*1(4>。>0)上,可得今+川,M(a,。)为平面上一点，。为坐标原

点,则QM|不定=]储+/)©+,)=js+^+l>5+2杵­4=3,当且仅当

f4

+庐二1'解得〃=6,从=3.所以e=J^-==y.

cr=2b2时，等号成立，此时由

标

14.CD•••而2=4的,・・・|丽|二条|丽|二；c,则|西|二，・・・P0是NFiPF2的平分线,•••霜=韶=

,勺Q\rr2\<z<<2l

:又|PR|+|P尸2l=2a,・・・|PR|岑,|P尸2I丹.在△PFE中,由余弦定理得cos/

344

2521924八2

_T6a+T6a-4c

Fpr线=±-22,•・•-1<cosN尸|P尸2<l,・•・-l々一浓2<l,解得呆e<].故选CD.

।22x53a151515154

2XTXI-

222____

15.6由题意方（-1,0）,设点P（xojo）,则有个+当=1,解得必=3（14）,因为而二（沏+1向而=（沏,泗）,

所以而•FP=xo（xo+l）+yo=x）（xo+1）+3（1节=自+X0+3=3（北+2）2+2,此二次函数对应的图象的对

称轴为直线松二・2,因为-29彷2,所以当沏=2时，赤•而取得最大值6.

16.解（I）由NQA8=90。及椭圆的对称性知斤c,

则吟邛=层^邛

（2）由已知“2/2=14（0,日设30,）,则彳弓二（1,功），哥=。1），）,由丽=2可，即（1,功）=2（x-lj）,解得

得/=3,因此〃=2,椭圆的方程为=+学=1.

17.解设椭圆的左焦点为F；圆（x-p2+）,2=（的圆心为反连接PF：QE,如图.因为|七「|二|OF卜

\OE\=c-^=今且风=2配所以篇=^=1=黑，所以△FQES"PF，,PF，〃做所以盘=且

5s\rr|ZC5\rr\\rr\5

P/TLPE又因为|QE|=［所以|P—根据椭圆的定义，知|PF'|+|P"|=2a,所以|PF|二2ad.因为PF'

_LPF,所以|P尸|2+|P/q2=|尸尸匕所以序+（2。d）2=（20）2,所以2（。2/）+加=2",所以3/=2时,所以

h=^,c=yja2-b2=坐。；=上