2026高三数学讲义：三角恒等变换

4.3三角恒等变换

，考试要求

1.会推导两角差的余弦公式，能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、

正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

2.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，

这三组公式不要求记忆）.

陞备知识回顾自土学习•基&何扣「

教材回扣

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)

sin(«+/?)=sin“cos£+cosasin£.S(«।0

sin(a-/?)=sinacos£-cosasin£.S(“_加

cos(a+6)=cosacos/—sinasinC(a+/o

cos(a—£)=cosacosf+sinasin£.

tana+tanfi

tan(«+/?)=.T(a+/?)

1-lanalan,

tana-tan£

tan(a—[i)=.Tg-夕)

1十lanaian0

(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)

sin2a=2sin(zcosa.S2a

cos2a=cos%—sin%=1—2sin2a=28S%—I.C2a

_2tana

tanza—.12a

1-tarra

2.简单的三角恒等变换

(1)降第公式

.,1—cos2a

sin2a=.

2

.I+cos2a

cos-a=.

2

sin«cos«=-sin2a.

2-------

(2)升塞公式

1-cosa=2sin2".

------2

.fsin~+cos

1+sina=l22j.

fsincos

1—sina=l22J.

(3)辅助角公式

asina+bcosa=a24-b2sin(a+^),其中cos*=~,sin(p=~,tan(p=~.

一+/>2凉+按a

1ET教材拓展

i.常用的拆角、拼角技巧

⑴M.

_九[+]

(2)-a=-U).

62

⑶;+a=」3-

(4)，+a=7r-L

4

2.正切公式的常用变形

(1)tan«±tan^=tan(a切)(1+tan«tan/?).

，八门tan«—tan,tana+tan/?

tan{a—f})tan(a+4)

基础检测一

i.判断(正确的画y”，错误的画“X”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角如夕是任意的.(<)

(2)存在实数a,p,使等式sin(a+.)=sina+sin夕成立.(Y)

(3)公式tan(«+/?)=忸11"面1'可以变形为tana+tan夕=tan(a+£)(1—tan«tanp),且

1-tan«tanp

对任意角a,夕都成立.(x)

(4)存在实数a,使tan2a=2tana.(7)

2.(人数A版必修第一册P226T2改编)已知仁』-2’°),若cos2a=乙则sina=­L

8-4

解析：因为cos2a=',所以1—2sin2a=7即sin2a=1，又aj2'J,所以sina=

8816

1

4

4

3.（人数A版必修第一册P229T2改编）已知cos,0<a<',则sin

2

［针3_1_兀

解析：由cosa=4,兀,则sina=a+AI兀1

1—15J=5,则sin4J=sinacos+cos«sin

524

2

7C_(sina+cos«)=2/+4=72

4-225510

n

a6J*

4.（人数A版必修第一册P219例4改编）若tana=-33,则tan

tana—tan7t3

63_53

解析：因为tana=—33,所以tan

3—3

1+tanatan711—33x

63

母键能力提升互动探究•考点精讲

考点1三角函数式的化简

⑴（2。24・重庆渝北区模拟京黑制。。的值为（

【例1】A)

A.2+301+3

22

3小丁

2cos650cos15°2cos65°cos215°

【解析】

tan15°cos10°4-sin10°sin150cos10°4-sin10°cos15°

sin25°x(I+cos30。)_一32+3

=1十.故选A.

sin25°22

（2）（2024・山西吕梁一模）380：二？的值为（D）

sin80°

A.3B-/

C.2D.4

sin80°x^-cos80°x3

……tan80°-3sin80°-3cos8()。2l

【解析】==

sin80。sin80ucos80ux2sin800cos8()°

2

4飘。。-6。。)=4sin20o=4sin20.故选口

sin160°sin(180°-20°)sin20°

规律总结

1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.

2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻

找式子和三角函数公式之间的联系点.

【对点训练1】⑴化简：2.约一。).siMcos：

1—tan~(45°—«)cos-a-sin-a2

1.c

sin2a

解析：原式=tan(90。—2a>2

cos2a

sin(900-2a)%n2acos2a；sinla1

・Z=­/=

cos(90°—2«)cos2asin2acos2a?

⑵计算：霁*2-8。。=：

I+ccs20°

解析：-2cos80°tan80。=

2sin200

2cos21()。-2cos80°xsin80

4sin10°cos10°cos80°

cos10°c1AOcos10°-2sin20°

2sin10°2sin100

cos10°-2sin(30°-10°)_3sin10°_3

2sin10°―2sin100-2,

考点2求三角函数值

命题角度1给角求值

【例2】⑴化简：tan67otan680-tan670-tan68o=(B)

A.8B.1

C.2D.4

,lan670+tan68°

【解析】闪为tanl?5°==—1,所以tan67。+匕116区。=

1—tan67°tan68°

—1+tan67°tan680,即tan67°tan68°—tan67°—tan68°=1.故选B.

(2)(2024•四川宜宾三模)下列各式中，正确的是(A)

A.cos15°sin150=

4

B.1-sin30°=1

2

「tan22.5°_

c.、

l-tan222.5°

D.sin275°—cos275°=

2

【解析】对于A,cos15°sin15°=^sin30°=^,故A正确；对于B,1—sin30°=

12tan22.5°2tan22.5°1xian45。=；,故C

-2；=故B错误；对于C,

l-tan222.5°2l-tan222.5°2

错误；对于D,sin2750-cos275°=-(cos2750-sin275°)=-cos150°=故D错误.故选

A.

命题角度2给值求值

【例3】(1)(2024•新课标I卷)已知cos(a+#=阳,tanatan0=2,则cos(a—£)=

(A)

A.—3小BY

D.3ni

【解析】方法一cos(«=cos«cosp-sinasin=m,由tanatan£=⑥“"劭】"=2

cosacos产

可得sinasin夕=2cosacos。，所以cosacos尸=-sinasin/?=—2m,则cos(a一夕)=

cosacos^+sinasinA=—3"，故选A.

方法二设cos(a—0=/=cosacos"+sinasin夕，X.w=cos(«+/?)=costzcosp—

八,,tcos(a—p)cosacos夕+sinasin夕1+tancctanB

sinasin夕，两式相除x得，====-3,所Xcos

小cos(a-\-p)costtcos/?—sincsinp1—tan«tanp

(a-//)=/=—3〃].故选A.

7

(2)Q024•山东淄博二模)设《£°,3若sina=3sin(a+2为，tan/?=2，则tan(a+2/?)

=(A)

_2B2

A.-4

4

2

C.

2»；

【解析】由sina=3sin(a+2^),得sin[(a+20—20=3sin(a+2/7),则sin(a+2£)cos

20—cos(a+2夕)sin2夕=3sin(a+2")，即sin(a+2〃)(cos2/?-3)=cos(a+2份sin2〃，因此tan(a

sin2^2sin6cosp2sin^cosptan/?<„

+2£)=:,而tan/?=

cos2fi—3cos2//-sin2/^—3cos2^—3sin2/y—2cos2//—4sin2//2tan2^+1

2

222

,所以tan(a+2/7)=—<=一.故选A.

2224

2x12J+1

/规律总结

i.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非

特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特

殊角来求值.

2.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后

根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.

【对点训练2】(1)(2024•全国甲卷)已知C0Sa=3,则tan1"+/=(B)

cosa-sina

A.23+1B.23-1

3

C.D.1-3

2

解析：方法一由C°Sa=3,得1=3,所以lana=l-

cos«—sina1-tana3

71

laH-1tana-i1t

故tanI4)==23—1.故选B.

1—tana

|a+，|lana+1x-1,cosaI

方法二设tanI4j=x，则=x，即tana=，由3a=3,得

1—tana1cos«—sina1—tana

13,故x=23—1,即tan["+J=23—1.故选B.

=3,即x.i=

1-

x+1

(2)(2024•新课标H卷)已知a为第•象限角，0为第三象限角，tana+tan〃=4,tan“tan£

=2+1,则sin(仪+外)=二232.

,tana+tanB4.

解析：由题知tan(a+Q)===-22,即sin(za+6)=-22cos(a

1—tan«tanp1-2-I

+“)，又siM(a+/?)+cos2(a+6)=1,可得sin(〃十0=±232由24兀〈4〈24兀+；,〃£Z,2机兀十

兀〈夕〈2”?兀+划，wGZ,得2(2+加)兀+兀＜。+夕＜2(2+/")兀+2兀，％+〃]£Z.又tan(。+夕)＜0,所以

2

22

Q+4是第四象限角，故sin(a+0=—.

考点3已知三角函数值求角

22

【例4】(1)(2024•黑龙江双鸭山模拟)已知a,4J,cos«—sin«=17，且3sinQ=

sin(2a+0,则a+/!勺值为(D)

A.nB.兀

126

C.KD.71

43

I43

【解析】因为COS2G—sin2a=,cos2a+sin2a=1,所以cos2a=,sin2a=,因为aW

777

「0可233

I'4j,所以cosa=,sina=,所以tana=2.由3sin£=sin(2a+夕)，得3sin[(%+/?)

—a]=sin[(a+4)+a],即3sin(a+6)cosa—3cos(a+/?)sina=sin(a+4)cosa+cos(a+《)sin

«,所以sin(a+6)cosa=2cos(a十为sina,所以tan(a+3)=2tana=3.又()＜«+/?＜；所以a

+夕=故选D.

3

7$sin/?=[:,则。+6=(D)

(2)已知a,夕为钝角，且COSQ=一§，：

A.nB.5兀

44

C.3兀D.7n

44

25.〃1()“、，.5〃31()

【解析】由-7a,〃为钝角，且cos。一一,,sin[}—，所以sina—,cosn——,

51()510

『，力F，1

且a@l2J,J,所以“+夕£(兀，27i),所以cos(«+//)=cosacos夕一sinasinjf=—

25X[-3100)-5Xl°=2,所以〃+外=7;

:.故选D.

551024

/规律总结

给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原

则：

(1)已知正切函数值，选正切函数.

若角的范围是J,选正、余弦皆可；

(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.

若角的范围是(0,兀)，选余弦较好；若角的范围为12,2),选正弦较好.

CTt\

【对点训练3](1)己知以，了仁12j»sina4-siny=sin/?,cos/?+cosy=cosa,

则a—/?=(A)

A.~nB.71

33

C.一式D.71

66

解析：由sina+siny=sin/7,cos£+cosy=cosa,得sina一sin—siny,cosa—cosp

=cosy,/.(sina—sin/?)2-|-(cos«—cos£)?=(—siny)2-|-cos2y=1,即2—2sin«sin/?—2cos«cos

fi=1,2—2cos(«—/?)=1,解得cos(a—p)=1.又a/,J

,sin«—sin—siny<0,

2

sin«<sin/?,/.()<a<^<^,^<0,外=—故选A

n3,兀

....5八in，兀,兀，

(2)若sin2a=,sin,且fi^L2，一，则a+H=(A)

33

71

解析：•・•sin2a=2sin«cos«>0,sina,cosa符号相同，又。£_4,J,,2a

42

冗冗[冗3n

£_2'^J,由sin2a=',可得cos2a=一2,，又夕&%2_,/./?—Vsin(fi-a)

5524

10..A」：，冗.(R、31()

=10°，••'—"£'2'..cos(^-ct)=-I。,

cos(a+/0=cos[2a+(/?—«)]=cos2«cos(/?—a)—sin2asin(/?—a)=

itii\37r

255102由awLrJ2_得.

55102

77r

，a+0=故选A.

4

|高考创新方向多想少算

20141

【例】方程2cos2pos"-cos

X=cos4x-l所有正根的和为(C)

A.810兀B.1008TT

C.1080兀D.1800兀

f°2014叫

■Icos2x-COSI"3A

【解析】2cos2.xlx)=cos4x-1=2cos~2x—2,令。=cos2x,b=

2014ir2

cos,则2a(a—b)=2a2—2,即白6=1,因为a=coslr,所以。£[—1,1],同理方《[一

x

20147T2

1,1],所以a=l,b=1或。=—1,b=—1,当。=1,b=1时，cos2x=1,cos=1,

x

所以x=A兀，AWZ,x=l°"亢，k\®Z,因为1007=1x19x53,所以工=兀，19兀，53%I007兀,

k\

当a=-1,b=­I时，cos2x=-1,

2。14—,则—+小卜也“J。所(2/+叫=2,4兀

x22%+l22k3+1

42,心£Z,得(2左2+1)(2依+1)=4028,依，心仁工，方程无解，所以方程所有正根的和为兀+

19兀+53兀+1()()7兀=1()8()兀故选C.

创新

本题解题的关键是通过换元将计算式变简单后，利月三角函数的有界性确定方程的解,

与利用三角恒等变换等方法解方程的题目不同，需要在复习过程中多涉猎不同类型的题目,

拓展解题思路，锻炼思维能力，以应对新高考对思维能刀考查的要求.

课时作业27

/亚基础巩固4

(0.

1.（5分）已知I2),2sin2a=cos2a+1,则cosa=(D)

15

A.B.

55

325

C.D.

35

jo，1

解析：2sin2a=cos2a+1=>4sinacosa=2cos2«=>2cosa(2sina-cosa)=0,因为a£I'2j,

所以cosa#0,sina>0,cosa>0,所以2sina=cosa,又sWa+cos2a=1,所以806(=25'

故选D.

2.(5分)(2024•四川达州二模)cos1470cos3330+cos57°cos630=(D)

A.1B-/

C--23

D--2

解析：cos147°cos333。+cos57°cos630=cos(180°-33°)cos(360°-27°)+cos(90°-

33°)cos(90°-27°)=-cos33°cos270+sin33°sin27°=-cos(33°+27°)=-cos60°=-1.故选

D.

/?"八、zcccA'zu、»、2cos65°cos15°r,/土“/.、

3.(5分)(2024•安徽六安模拟)°八….”的值为(A)

tan15°cos10°+sin10°

2+3

A.

2

2-3D.3

C.

22

2cos65°cos15°2cos65°co$215°_sin25°(1+cos30°)

解析：

tan15°cos10°+sin100sin150cos10°4-sin100cos15°sin250

2+3故选A.

2

C*4)=一；,则sin(a—26)cosa—cos(26

4.（5分）（2024•浙江温州三模）已知sin

—a)sina=(B)

_2424

A.B.

2525

_33

C.D.

55

解析：因为sin[+4]=—

2

所以sinp+cosB=§两边平方得1+2sinficos夕=1+

10,

I24

sin24=,即sin26=—,故sin(a—20cosa—cos(2^—«)sina=sin(«—2/7)cosa-cos(a

2525

24

-2^)sina=sin(a—24一a)=-sin2p=.故选B.

25

5.（5分）（2024•重庆三模）已知cos贝ijtana=(B)

A.2B.

2

C.3D.1

3

用兀

*解析：因为cos141J=3cosI4j,所以cosL2」=3cosI4j,即sina+

4

a+*[tana+tan

所以tan[41=4=3,解得•tana=2.故选

I-tanatan7t

4

B.

6.(5分)(2024•福建南平二模)已知tana+Jl,贝ljcosI2a3J=(

A)

62

33

A.

54

44

C.

55

解析：因为lan9+6）=；,所以

sin-a+=1,

沙cos?

7.(5分)已知lan(£—a)=；,tana=—La,0£(O，n)，则2少一a的值是(

D)

71

A.B•:

4

3兀D.-37t

C.

44

解析：因为tan(/7—a)=；,tana=—；v0,a,夕£(0,it),所以tan〃=ian[(/?—〃)+〃]=

1_1

]]=；£(0,1),所以4,Aw(。'4)

27

,所以24一a£（一兀，0）,又因为tan2/7

7.

2X13

_2tanp_33tan26一tana4

>

P'|2=40,所以tan(26一a)=］）=1,所以24一a

1—tan2^i-bJ1+tan2/?tana

，+4X

加.故选D.

4

“八、nsin50°(l+3tan10°)cos80°

8.(5分)计舁：=(D)

1—cos20°

3

A.B.2

2

2

C.1D.

2

cos10°4-；sin10°)

cos100+

解析：因为sin50。=cos40。，1+3tan100=

cos10°cos10°

2sin40°OAO

2sin40°、sin500(l+3tan10°)cos800cos40°xxcos800

,l-cos2()°=2sin2]0。，所以=cos10°

cos10°

1—cos20°2sin210°

cos40°x2sin40°><cos800sin80°><cos80°cos10°xsin10°2

故选D.

2sinI00cos1002sin10°cos10°2sin10°cos10°2

9.(8分)(多选)下列计算正确的是(ACD)

tan210+tan240,

A.=1

1—tan21°tan24°

B.sin64°cos34°—cos64°sin340='

2

C.若tana=3,则sin2a=；

D.sin7t—cos712

12122

有gtan210+tan24°

斛析：=tan(210+24°)=tan450

1—tan21°tan24°

=1,故A正确；sin64°cos34°—cos64°sin34°=sir.(64°—34°)=sin30°=^,故B错误;

.2hicec.2sinacosa2tana3山小十次.nn

右lana=3,s«']sin2a=2smacosa=.==,故C正确；sin—cos

siMa+cos2atan~a+151212

(12-4)=2sin2,故D正确.故选ACD.

2sin

2

777

10.（8分）（多选）已知sin（。+夕）=I。,sin(a-fi)=\则(BC)

A•03232

A.smacosp=B.cosasin[i=

10

24tan«_3

C.sin2asin2。=D.

tanp4

解析：由题意得sin(a+/?)=sinacos夕+cosasin①

24222

sin(a—/?)=sinacos0一cosasing=]②，①十②，得2sinacos6=，即sinacos夕=

③，①一②，2coswsin/>=^,即cosasin/?=；；④，③x④，得sinacosasin/?cos/?=(,

即】in2asin26=6,则sin2asin2^=24,③+④，得,ana=4,故人，D错误，B,C正确.故

42525tan乃3

选BC.

11.（8分）（多选）已知0＜少＜«＜兀，且sin（a-/0=Ltana=5tan夕，则（ABD）

43

A.sinacos//=B.sin//cosa=|2

C.sin2asin2/?=72D.

解析：由sin(a—尸)=l=sinacos/?—sin夕cosa=L由tana=5tan/?=sin"=5sin"

33cosacosp

=>sin«cosp=5sin^cosa,所以sinacos夕=[,sin%osa=]；,A,B正确；sin2«sin2p

=2sinacosax2sin/?cos£=4X]；X]；=(,C错误；sin(a+/?)=sinacos/y+sin/cos〃=；,所

以。+夕=兀+2%兀（％£2）或a+〃=57t+2E（左£Z）,又因为0＜夕＜。＜”,所以J听以0

664

+夕=兀，D正确.故选ABD.

6

12.(7分)计算：2sm350_8s5。=

sin5°

2sin350—cos5°2sin(30°+5°)—cos5°

解析：=

sin50sin5°

2sin30°cos5°+2cos30°sin5°—cos5°

sin50

cos5°H-3sin5°—cos50、

=3.

sin5°

13.(7分)(2024•山西晋城二模)已知tana=2tanp,sin(a+P)=L则sin(/7—a)=—.

4-12

解析：因为tana=2tan夕，所以$而°=所以sinacos£=2cosasin/7,所以sin(a

cosacosp

4-^)=sinacos/y+cosasin/?=3cosasinfi=,所以cosasin£=,所以sin(0-a)=

412

cosasin夕一sinacos0=-cosasin0=一

prt7C_17tn

14.(7分)设a£_4'2」，6Gd2_,且sina+cosa=2cos0,贝必一夕=匹.

4

it.it]

sinsina+coscosaI

(44J=2cos

22

卜J,所以2cos[=2cos夕，即cos("4)=