浙江省湖州市吴兴区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含答案）

浙江省湖州市吴兴区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

一、选择题：（本大题共10小题，共30分）

1.卜.列航天图标，其文字旁的图案是中心对称图形的是)

0B.

中国火箭中国神火

C.D.

航天神州行星探测

2.样大数据2、°、3、4的平均数是3,贝必的值是（)

A.1B.2C.3D.4

3.下列各式中，是二次根式有（）

①"；②③沟；④存不（烂3）；⑤J"??；⑥J-N-l；

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（)

A.5B.6C.8D.10

5.下列根式中，不是最简二次根式的是（)

A.V5B.V8C.42D.

TV6

6.•元二次方程X2-2X-1=0配方后可变形为（)

A.(%-I)2=0B.(%4-I)2=0C.。一1)2=2D.(X+1)2=2

7.若a是方程，+%-1=0的根，则3a2+3a+2024的值为（）

A.2021B.2024C.2027D.2030

8.用反证法证明“△A8C中，若乙A>乙乙C,贝叱A>60°”，第一步应假设)

A.LA=60°B.乙4<60°C.乙4工600D.44<60°

9.某品牌新能源汽车2020年的销售量为2（）万辆，随着消费人群的不断增多,该品牌新能源汽车的销售量

逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆.如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售

量的平均年增长率为X,那么可列出方程是（）

A.20(1+2%)=31.2B.20(1+2x)-20=31.2

C.20(1+x)2=31.2D.20(1+x)2-20=31.2

10.如图，氏48C。的对角线AC,BD交于点O,AE平分乙BAD,交BC于点E,且乙4DC=60°MB=

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鼻C,连接OE,下列结论①4cA0=30°；②OD=AB；③S1MBe=何•。。；®SOECD=其中成

立的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题(本大题共6小题，共24分)

11.当。=一2时，二次根式仔口的值是.

12.其校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按2：3：5的比例计算所得.已

知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是85分、90分和96分，那么他本学期数学学期综合成绩

是分.

13.关于x的方程0.避_2(a—l)x+a=0有实数根，则a的取值范围.

14.若最简二次根式或外工与遍是同类二次根式，则。的值是.

15.如图，在四边形A8C0中，AD=BC,4048=50。，LCBA=70°,P、M、N分别是力8、AC,8。的中

点，若BC=6,则aPM/V的周长是.

16.在平面直角坐标系中，己知点做4,0),点8(-3,2),点C(0,2),点P从点B出发，以2个单位每秒的速

度沿射线8c运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点0运动，到达原点后立刻以原来3倍的速

度沿射线。4运动，若P,Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当”时，以点4Q,C,P为

顶点的四边形为平行四边形.

B、PC

•A・---------------------------

I

I

I

I

-4-1--------1-----------------1--------1，«II

-3oQAX

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

17.计算：

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⑴(V24-V16)+及一2c

2

⑵(V3+V5)+(V3-1)(734-1)

18.解方程:

(1)2x—6=(x-3)2

(2)x2-4x-7=0

19.如图，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为4(1,4),B(4,2),C(3,5|

(1)请画出△&&C1，使△481G与△A8C关于原点成中心对称，并写出点Q的坐标.

(2)求A&B1G的面积?

20.如图，在国48CD中，E,F是直线8。上的两点，DE=BF.

(1)求证：四边形4ECF是平行四边形；

(2)若AD1BD,AB=5,BC=3,且EF-4r=2,求DE的长.

21.有一家加工厂，要对一款进口巧克力进行包装，要求每袋冷含量为100g.现使用甲、乙两种包装机同

时包装100g的巧克力，从中各抽出10袋，测得实际质量(氏)如下：

甲：101,102,99,100,98,103,100,98,100,99

乙：100,101,100,98,101,97,100,98,103,102

(1)分别计算两组数据的众数、中位数；

(2)通过计算发现这两种包装机抽出的这10袋的平均重量都是100g,要想每包巧克力质量更加稳定,

如果你是老板，你会选择哪种包装机比较适合？简述理由.

22.关于x的一元二次方程(m—l)r2—2mx+m+1=0

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根.

第3页

(2)m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？

(3)若AABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第二边BC的氏为5,当△ABC足等腰二

角形时，求m的值.

23.在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

已知。=舟，求2a2-8a+1的值.他是这样解答的:

••Q_-1--____222/3____-2-43

.0-2+、"-(2+由)(2-石广”孔

CL—2=—\/3»

(«—2)2=3,Q2-4Q+4=3.

a2—4a=—1.

•••2a2-8a+1=2(a2—4a)+1=2x(—1)+1=-1.

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

⑴备=--------------:

(2)化简露+募+备+……+嬴胸;

(3)若a=，亏求a"-4。3-4Q+3的值.

24.如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为(14,0),点B

的坐标为。8,4g).

(2)动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿

A8方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动.设点P运动的时间为I

秒求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形O4BC的一半？

(3)当APQC的面积是平行四边形04BC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到-一点M,使以M、P、

Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标.

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答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故A符合题意；

B、不是中心对称图形，故B不符合题意；

C、不是中心对称图形，故C不符合题意；

D、不是中心对称图形，故D不符合题意.

故答案为：A.

【分析】根据查中心对称图形的概念，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180。后能与原来的图形重合,

判断即可求解.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：•・•样本数据2、a、3、4的平均数是3,

2+a+3+4=3x4,

解得a=3.

故答案为：C.

【分析】根据平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，列出方程求解即可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：下列各式中，是二次根式有：①，④，⑦，共三个，

故答案为：B.

【分析】根据二次根式的定义：形如历(a20)的代数式，据此这个分析即可求解.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为九，

由题意得：(n-2)180°=360°x3,

解得:n=8»

故这个多边形的边数是8,

故答案为：C.

【分析】设这个多边形的边数为?I,根据多边形的内角和公式和外角和并结合题意得出等式，计算即可得出

答案.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：A、正是最简二次根式，故此选项不符合题意；

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B、V8=V4V2=2V2»故VS不是最简二次根式，此选项符合题意；

C、辱是最简二次根式，故此选项不符合题意；

D、乃是最简二次根式，故此选项不符合题意.

故答案为:B.

【分析】被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母的二次根式就是最简二次根式，据此

一一判断得出答案.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：%2-2X-1=0,

x2—2%+1=2,

***(x-I)2=2,

故答案为：C.

【分析】利用配方法解此一元二次方程即可求解.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：・.z是方程/+%-1=0的根，

二+Q-1=0,

a2+a=1»

：.3a2+3Q+2024=3(a2+Q)+2024=3x1+2024=2027,

故答案为：C.

【分析】先将a代入方程，再整体代入求解即可.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：NA与60。的大小关系有NA>60。，ZA=60°,NA<60。三种情况，

因而NA>60°的反面是ZA<60°.

因此用反证法证明"NA>60。”时，应先假设NAW60。.

故答案为：D.

【分析】用反证法证明的第一步应为假设结论不成立，故只需找出NA>60。的反面即可.

9.【答案】D

【解析】【解答】解：由题意得：20(1+x)2-20=31.2,

故答案为：D.

【分析】根据“2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆”列方程即可.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：①•・•四边形ABCD为平行四边形，ZADC=60°,AAD/7BC,ZABC=ZADC=60°,

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ZCAD=ZEAC,OB=OD,

AZDAE=ZAED,ZDAC=ZDCD=120°,

•；AE平分/BAD,

AZBAE=ZDAE,

.\ZBAE=ZAEB

・••△ABE为等边三角形，

.\ZBAE=ZAEB=60°,AB=BE=AE,

'•'AB=^BC

，EC=AE,

.\ZEAC=ZECA=30°,

••・ZCAD=30°,

・•・此结论正确；

@VZBAD=120°,ZCAD=30°,

・•・ZBAC=90°,

ABO>AB,

AOD>AB,

・•・此结论错误；

③丁S，ABCD=AB・AC=AC・CD,

・•・此结论正确；

（4）*.*ZBAC=90°,BC=2AB,

・・・E是BC的中点,

ASABEO：SABCD=1：4,

；・S四边形OBCD：SABCD=3：4,

S四边形OECD：ScABCD=3：8,

*/SAAOD：SABCD=i：4,

.3

SAAOD

•"S四边形OECD=2'

・•・此结论正确；

综上可得，其中成立的个数有3个.

故答案为：C.

【分析】①由题意，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABE为等边三角形，由等边三

角形的性质并结合已知即可求解；

②由①的结论易得NBAC=90。，根据直角三角形中斜边大于直角边即可判断求解；

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③由平行四边形的面积公式和三角形中线定理”三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半'’并结合三

角形的面积公式可判定求解.

11.【答案】1

【解析】【解答】解：当。=一2时，=j3+(-2)=«=l,

故答案为：1.

【分析】将a=2代入行T0中进行计算即可.

12.【答案】92

【解析】【解答】解：根据题意可知本学期数学学期综合成绩为：85X磊+90X磊+96X得=92,

故答案为：92.

【分析】根据加权平均数的计算法则计算即可.

13.【答案】QW/

【解析】【解答】解：当Q=0时，原方程为2x=0,解得％=0,

原方程有实数根：

当QWO时，原方程为一元二次方程，

根据方程有实数根可得/=[-2(a-I)]2-4a2>0,

*,«4a2-8a+4-4a{>0,

••a<，且QH0：

，满足题意的a的取值范围是Q<i,

故答案为:a<i.

【分析】当Q=0时，原方程为2x=0,有实数根；当aw0时，原方程为一元二次方程，根据判别式的意义

求解即可.

14.【答案】3

【解析】【解答】解：•・•最简二次根式&与正是同类二次根式，・・・2Q—1=5,・・・a=3,

故答案为：3.

【分析】根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根

式叫做同类二次根式，据此即可求解.

15.【答案】9

【解析】【解答】解：・.1、M、N分别是48、AC.8D的中点，

•*-PM||BC,PM=|FC»PN||AD.PN=^AD^

：.LDAB=乙NPB=50°,乙CBA=LMPA=70°,

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"MPN=60°,

*：AD=BC,BC=6,

；・PM=PN=：BC=3,

•••△PMN是等边三角形,

：.PM=PN=MN=3,

.*.△PMN的周长为PM+PN+MN=9,

故答案为：9.

【分析】根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半''可得PN弓AD,

PN〃AD,由平行线的性质可得NMPN=60。，根据有一个角为6。度的等腰三角形是等边三角形可证△PMN

是等边三角形，然后由等边三角形的性质计算即可求解.

16.【答案】1或3或13

【解析】【解答】解:VA(4,0),B(-3,2),C(0,2),

AOA=4,BC=3,BC〃x轴，

,ZPC//AQ

・,•当PC=AQ时，以点A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形，

①若时，BP=2t,

PC=3-2t,AQ=t,此时3-2t=t,解得t=l；

②若?<£V4时，BP=2l,

PC=2t-3,AQ=t,此时2t・3=t,解得t=3；

③若4Vte竽时，BP=2t,

PC=2t-3,OQ=3(t-4),AQ=4-3(t-4),止匕时2t-3=4-3(l-4),解得(二目(舍去)；

④若t>竽，BP=2t,PC=2t-3,OQ=3(t-4),AQ=3(t-4)-4,此时2t-3=3(t-4)-4,解得t=13；

综上所述，当t为1或3或13时，以点A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形；

故答案为：1或3或13.

【分析】

利用A、B、C的坐标可得到OA,BC,的长度，通过一组对边平行日.相等的四边形是平行四边形判断以点

A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形，分情况讨论：①若0ct时，；②若,<"4;③若4V

”竽时；④若空竽时，然后分别解方程即可确定满足条件的I的值.

17•【答案】(1)解:

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V2

=(V12-V8)-2xT

=2百一2市一乎

=2V3-1V2.

⑵解：(V3+V5)2+(V3-1)(V3+1)

=3+2715+5+3-1

=10+2V15.

【解析】【分析】(I)先计算括号内的二次根式减法，然后根据二次根式的混合运算法则计算即可；

(2)利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可求解.

18.【答案】⑴解:2x-6=(x-3)2,

••(工-3)2-(2x6)-0»

A(X-3)2-2(X-3)-0，

A(x-3)(x-3-2)=0,即(％-3)(x-5)=0

%—3=0或x—5=0,

.*.%1=3,0=5；

(2)解：X2-4X-7=0,

/.%2—4%=7,

x2—4x+4=7+4»

A(X-2)2=11，

Ax-2=±V11，

**»xi=2+VTT>X2=2—VTT.

【解析】【分析】(1)先移项再因式分解得：(%-3)2-2(工一3)=0,即。-3)(%-5)=0,据此即可求

解；

(2)利用配方法直接解方程即可.

19•【答案】⑴解:如图，△48也1即为所求;

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心(-1,-4),(-4,-2)，G(-3,-5)

(2)解：△&B1G的面积为3x3—2x3x1-2x2x1—2x3x2=(

乙乙乙乙

【解析】【分析】(1)首先确定小£、C三点关于原点。成中心对称的对称点，再连接即可。

(2)利用长方形的面积减去周围多余三角形的面积即可.

20.【答案】(1)证明：•••四边形/BCD是平行四边形，

AD||BC,AD=BC.

:.乙ADB=Z.CBD.

Z.ADE=乙CBF.

在△40丘和小CBF中,

\/-ADE=Z-CBF,

(DE=BF

.••△ADE三△CBF(SAS).

:.AE=CF,"ED=乙CBF.

AAEIICF,

••・四边形4FCE是平行四边形；

(2)解：•：BD上AD,AB=5,BC=AD=3,

•・•四边形ABCD是平行四边形,

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•••DO=OB=^BD=2,

•.・四边形/ECF是平行四边形，

EO=OF=』EF,

DE=BF,

设Z)E=8F=x,

:.EF=2x+4,

vEF-AF=2,

:.AF=2%4-2,

在^ADF中，ZADF=90°,

由勾股定理可得：AF2=AD2+DF2,

(2x4-2)2=324-(4+x)2,

解得：x=y/7(负值舍去)，

・•.OE的长为«.

故答案为：V7.

【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得到4DIIBC,AD=BC,从而乙4。8=乙CBD,则=

乙CBF,先利用“SAS”证出ACBF,利用全等三角形的性质得到AE||CF,再结合AE=CF,即可证出

四边形A/CE是平行四边形；

(2)先根据勾股定理求出B。的长度，再连接4c交EF于。，求得。0=08=春8。=2,利用平行四边形的性

质得到E0=OF=aEF,设OE=B~=》,根据勾股定理列方程(2%+2)2=32+(4+%)2求解即可.

21.【答案】(1)解：甲中数据从小到大排列为:98,98,99,99,100,100,100,101,102,103

故甲的中位数是：i(100+100)=100,甲的众数是10()，

乙中数据从小到大排列为：97,98,98,100,100,100,101,101,102,103

故乙的中位数是：1(100+100)=100,乙的众数是100；

(2)解：•・•甲的平均数为:%(101+102+99+100+98+103+100+98+100+99)=100;

乙的平均数为：白(100+101+100+98+101+97+100+93+103+102)=100;

・•・甲的方差为：

222

SJ=存［(101-100；+(102-lOOf+(99_io。？+(曲_100)^+(98-100)+(103-100)

+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(98-100)2)

=2.4；

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乙的方差为：

]

S：=THKl°°一1°°)2+(1°1-1°°)2+(10°-1°°)2+(98-100)2+(101-100)2+(97-100)2+(100

-100)2+(98-100)2+(103-100)2+(102-100)2]

=3.2,

■:片甲乙,

・•・选择甲种包装机比较合适.

【解析】【分析】(1)根据众数和中位线的定义即可求解；

(2)根据平均数和方差的定义计算出甲乙的平均数和方差，进而即可求解.

22.【答案】解：(1)V(m-l)x2-2mx+m+1=O.'A=(-2m)2-4x(m-1)x+1)

-4m2-4(m2—1)

=4>0

・••方程总有两个不相等的实数根

(2)V(m—l)x2-2mx+机+1=0

./、2

•=(-2m)—4x(m—1)x(m+1)=4

2m+"m+11.22m-<4m-1d

•・•方程的两个根都是正整数，且方程有两个不相等的实数根

・・.必=1+后是正整数，且血工1

m=2或者m=3

(3)ABC是等腰三角形，BC的长为5

・•・当AB二BC,或AC=BC时，5是一元二次方程的根

即(m-1)x52—2mx5+m+l=0

.3

•・

乙

当AB=AC时

・・・AB、AC的长是这个方程的两个是实数根

由(1)可知方程有两个不相等的实数根

・••此种情况不存在

・3

・・mf

【解析】【分析】(1)由题意，求出一元二次方程的根的判别式b?-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式

”①当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=。时，方程有两个相等的实数根；③当b"

第13页

4ac<0时，方程没有实数根”可求解；

(2)根据一元二次方程的求根公式求出原方程的两个根，根据in为整数、两个不相等的正整数根即可求

解；

(3)由题意分两种情况讨论：①当AB=BC,②AC二BC时，由题意把x=5代入即可求出m的值并结合

(1)可知方程有两个不相等的实数根即可判断求解.

23.【答案】(1)V3-V2

(2)解：原式-1+—+•••...+3169—5/168

=VT69-1

=13-1

=12；

(3)解：：Q=a-2=V5.

(a-2)2=5,即a2-4a+4=5.

Aa2-4a=l.

a4-4a3-4a+3=a2(a2-4a)-4a4-3

=a2xl-4a+3

=a2-4a+3

=1+3

=4.

【解析】【解答】解：⑴募=“十点瑞_@=8-/

故答案为：V3-V2.

【分析】(1)分子分母同时乘以有理化因式，再计算即可得出答案；

(2)结合(1)先将每项式子都分母有理化，即分子分母同时乘以有理化因式，然后合并即可得出答案；

(3)先a分母有理化，再仿照题中小明的解答步骤将等式两边同时平方，然后利用整体代入的方法计算,

即可得到答案.

24.【答案】(1)解：二•四边形0A8C是平行四边形，J.A。=8C=14,

,•・点A的坐标为(14,0),点B的坐标为(18,46).

・••点C的坐标为(4,4g),

平行四边形。4BC的对称中心的点的坐标为(9,2百)；

PQQQQQPC

(2)解：根据题意得：S^C=SABCD-S^0PC-S^AP-S^BC=^S^0ABC>A=1sBOi4BC=S^+

S^APQ+SABCQ，

即：AOxyB=^xOPxyc+PAx+^xBCx—y。)，

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,••40=14,yH=yc=473,OP=3PA=OA-OP=14-t,J?C=18-4=14,QA=2t,

VtanzCO/4=—==V3,

和4

.,・4°A=60°,sinzCO/l=sin60°=

・％=QA-sin60°=2tx第=3t，W一=4百一V3t,

1x14x473=1xtx4A/34-i（14-t）xV3t+1x14x（4>/3-V3t）,解得：t=4,

乙乙乙乙

故答案为：当点P运动4秒时，△PQC的面积是平行四边形049c的一半；

（3）解t=4时，由（2）知，此时点Q与点B重合，画出图形如下所示，

4=