2026年高考数学复习（全国）重难点09 四心问题与奔驰定理5大题型（解析版）

重难点09四心问题与奔驰定理

【全国通用】

1、四心问题与奔驰定埋

平面向最是高考的热点内容，而四心问题与奔驰定理是平面向最中的重要内容。

三角形中的四心问题是平面向量中的重要问题，包括：重心问题、垂心问题、内心问题和外心问题四

大类型，是高考的重点、热点内容，主要在选择题、填空题中考查，在高考复习中，对于四心问题要学会

灵活求解。

奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三

角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用，主要在选择题、填空题中考查，在高考复习中，要掌握

奔驰定理并能灵活运用和求解。

知识梳理

知识点1四心问题

1.三角形的重心及向量表示

(1)重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.

(2)重心的向量表示：如图，在△A8C中，点P为△A8C重心一方+而+正=6.

(3)重心坐标公式:设或C，M，CU3J3)，则AABC的重心坐标为十；十八，M+.；一「

A

2.三角形的垂心及向量表示

(I)垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.

(2)垂心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△48C垂心今刀•丽=丽•记=西•记.

3.三角形的内心及向量表示

(1)内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.

ARAC

(2)内心的向量表示：如图，在△A8C中，三角形的内心在向量+尸J所在的直线上，点p为△A3C

AB\\AC\

内心旬弱.PC+|^C|-PC4-|C4|-ra=6.

4.三角形的处心及向量表示

(1)外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离

相等.

(2)外心的向量表示：如图，在△A8C中，点P为△A8C外心台|瓦?|=|而|=|记

知识点2奔9也定理

1.奔驰定理

如图，已知P为△ABC内一点，且满足小刀+%方+%3记=6,则有AAPB、AAPC.2BPC的面积

之比为2:L入.

由「这个定理对应的图象和奔驰左的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面

向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

2.三角形的四心与奔驰定理的关系

(1)0是AABC的皿：SABOC：S“OA:s△水川=1:1:1=苏+55+5?=6.

(2)0是△A4C'的垂心:'△BOC.'MOAISAAOB=tan>4:tan:tanC<=>tan/104+tan4通+lanCOC=6.

(3)0是△ABC的内心:SGBOC：SGCOA：S△,«)[)=a.lr.c今aOA+hOB+cOC=0.

(4)0是AABC的夕卜心:S^noc'.S^co^-.S^^o/i=s\n2A\s\x\2B\s\n2CsxnlAOA+sin28O8+sin2coe=0.

举一反三

【题型1重心问题】

【例1】(2025•吉林•二模)在△4BC中，点。为48的中点，点。为△48C的重心，则万5+痈=()

A.COB.0DC.2C0D.W0

【答案】A

【解题思路】结合重心性质与向量运算化简可得.

【解答过程】

如图，连接因为点0为△力£。的重心,

则。为C0的三等分点，且C0=2。。,

所以+OB=20D=CO,

故选：A.

【变式1-1］（2025.全国•二模）点0,P是。所在平面内两个不同的点，满足方=少+加+万，则直

线0P经过△48C的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】A

【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.

【解答过程】设BC的中点为点D,所以而+说=2而，

则而一而二而二2而，

若4P,0,0四点共线时，即点0,P都在中线AD上，所以0P经过三角形的重心，

若4P,。,。四点不共线时，AP//0D,且AP=2。。，连结力D,0P,交于点G,

如图，

综上可知，0P经过△48C的重心.

故选：A.

【变式1-2］（24-25高一下.四川成都.期末）如图，G为△。力B的亘心，过点G的直线分别与040R交于点P,

Q,且=0Q=nOB,其中孙孔€（0,1］,则m+4孔的最小值为（）

【答案】B

【解题思路】连接0G并延长交48r•点M,由G为△048的重心可得两二|诟，且丽a+g而，将条

件代入整理成赤=；而+；丽，利用平面向最基本定理可得生+；=1,再利用基本不等式“1”的妙用

3m3n3m3n

即可求得答案.

【解答过程】

如图，连接0G并延长交于点M,因G为△O/B的重心，则而=：而?,

且点M为4B的中点，^OM=^OA+^OB(*),

因而二mOX,OQ=nOB,则有丽二m。5,OA=^OP,丽=；丽，

代入(*)可得：-OG=—OP+-OQ,即无=」-加+2丽，

22m2n3m3n

因P,G,Q三点共线，故表+表=1,因mmW(0,1],

则m+4n=j(m+4n)©+》="5+；+/)>i(5+274)=3,

当且仅当m=2n=l时，等号成立，即m+4n的最小值为3.

故选：B.

【变式1-3](2025高一•全国・专题练习)已知。为平面内任意一点，动点P满足5赤=[(2+见石J+

(24-A)0S+(l-2A)0C],则点户的轨迹一定经过()

A.△ABC的内心B.△4BC的垂心

C.△48C的重心D.Zk/IBC的外心

【答案】C

【解题思路】取AB中点为D,根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断.

【解答过程】先设AB的中点为D,则2而=瓦5+而，

又因为5丽=[(2+Q褊+(2+1)赤+(1—24)沆]=[(4+2A)赤+(1—22)沆卜

而(4+22)+(1-22)=5,

由三点共线的充要条件知P,C,0三点共线，

则点P的轨迹一定经过4力8C的重心.

故选：C.

【题型2垂心问题】

【例2】（2025高三・全国•专题练习）已知。是平面上一定点，48c是平面上不共线的三点，动点P满足加=

褊+人（温+雇［。，+8）,则P点的轨迹一定通过△4"的（）

A.重心B.垂心C.外心D.内心

【答案】B

【解题思路】根据数最积的运算可得而•前=0,进而根据可得AP1BC,结合垂线的定义即可求解.

【解答过程】由而•布=耐.阮+4（需"+烂白=而.近+4（固卧片+练里等）

\|i4B|cosB\AC\cosCJ\\AB\cosB14cleosC）

=0ABC+M-瓦I+|园）=0A-BC,

贝|JO?♦丽一初•就=0,即而•就=0,

故4P1BC,即点P的轨迹经过△48c的垂心.

故选：B.

【变式2-1］（24-25高一下•河南•期中）已知在△ABC中，〃为△48。的垂心，。是△4BC所在平面内一点，

且瓦？+而=而，则以下正确的是（）

A.点。为△力BC的内心B.点。为△力BC的外心

C.Z-ACB=90°D.△4BC为等边三角形

【答案】B

【解题思路】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解.

【解答过程】在△48C中，由”为△力BC的垂心，得CH1力B,

由讪+0B=CH,得（况+^y（0A-0B）=CH-（0A-0B＞）=CH-BA=（）,

则a2=丽2,即|褊|=|而乂而=而+反+而=而+反+（褊+而）=沆+赤，

显然而_L而，同理得|沆|二|而因此点。为A/IBC的外心，B正确，无判断ACD成立的条件.

故选:B.

【变式2-2］（2025高三・全国•专题练习）已知△ABC,P为三角形所在平面上的动点，且满足港•丽=西•

PB=PB-PC,贝UP为三角形的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】D

【解题思路】由向量的数量积运算可得•无一回彳・丽=VA-।P?一方）=PA.前=0,即241BC,同

理可证P81AC,PC148即可得出结果.

[解答过程】fhPA-PC=PA-PB,所以西•而一百•丽=瓦？•（丽一丽）=西•丽=0,

则P4J.BC,同理可证P814C,PC188,

所以P为三角形的垂心.

故选:D.

【变式2-3]（24-25高一下•广东汕尾•期末）在△力BC中，/B=4C,点。为△4BC的垂心，且满足而=》而+

yAC,cosZ-BAC=则x+y=（）

A.--B.-1C.-D.-

242

【答案】D

【解题思路】一方面：根据已知得出m=3荏，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解.

【解答过程】由题意可知△ABC是UA为顶角的等腰三角形，

如图所示：AD±BC,BE±AC,贝必。CRE=0,

在直角三角形△48E中，cosMAC=丝=黑=3即尼=3区.

AB|71C|3

设刀=入丽丽=〃福

则；IG超+=xAB+yAC=>A=2%=2y,

方=而+iiBE=~AB-Vn(AE-而)=(1-+pAE=xAB+yAC=xAB+3yAE,

所以x+3y=4%一2(x+y)=1,所以义+y=/

故选:D.

【题型3内心问题】

（例3】（2025高三•全国•专题练习）已知△ABC,P为三角形所在平面上的一点，且点P满足a万？+bPB+cPC=

0,则户为三角形的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【解题思路】由题可得而=嬴（需[+点；），可得点P在乙的角平分线上，同理点P在乙48c的角平分

线上，可得P为aABC的内心.

【解答过程】因为a而+b丽+c正=1

=>aPA+b（PA+通）+c（PA+^C）=0,

=（a+b+c）R4+bAB+cA?=0

一而=康（厢+网=嬴儒+勖

所以点P在乙的角平分线上.

同理可得：点P在乙的角平分线上.

所以点P为△ABC的内心.

故选：B.

【变式3-1]（2025高一•全国•专题练习）设/为△ABC的内心，且2位+375+777?则角C为（）

AU

C空D.当

•3

【答案】B

【解题思路】由内心的向量表示可得a：8：c,结合余弦定理的推论计算即可得.

【解答过程】为△ABC的内心,

：.d!A+bTS+cTC=0,

.*.c:b:c=2:3:A/7,

设c=djk,b=3k,a=2k,(k>0),

则“嗖

又CE(0m),所以c=g.

故选:B.

【变式3-21（2025高三•全国・专题练习）A、8、C是平面上不共线的三个点,动点P满足通=入（焉+急）。W

[0,+8））,则点P的轨迹一定经过△ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【解题思路】根据噌?+器是以A为始点，向量黑与离为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知P点轨迹，

\AB\\AC\\AC\

据此可求解.

【解答过程】而=入儒+菊，

令器+导丽，

则就是以人为始点，向策空与黑为邻边的菱形的对角线对应的向量，

|A8|\AC\

即病在乙84。的平分线上，

vAP=AAM,二而，祠共线，

故点P的轨迹一定通过^ABC的内心，

故选：B.

【变式3-3]（24-25高一下•山东黄泽•期中）已知。为△力8c的内心，三个角对应的边分别为4九ca,b,c,

已知a=3,b=26,c=5,则丽•元=（）

A.V6-7B.-2C.2V3-8D.3V2-9

【答案】C

【解题思路】利用向量的线性运算结合角平分线性质可得而=£不（5近+3瓦?），再利用余弦定理和数

214+v3）x'

最积的运算律可得计算结果.

【解答过程】连接B0并延长，交力C于E,

因为。为△ABC的内心，故BE为角平分线，由角平分线的性质可得差=翳=£

同理吧=

OEAE

而然=26，故4£1=豺0=平，且荏='宿故所=’亦

故丽=人星，

而就一而=高（近一函），故丽=3近+T/，

故的=品（7+9网=整面（5而+3网，

故丽•AC=（5BC+3R4）•（BC-BA）

=/1=、（5裕-3薪一2丽.阚

2（4+V3）V）

=2（4+1V5）（/sx9-3X25—2X3X5X9+25-12

二小、（-52）=福=-2（4-6）=28一&

故选：C.

【题型4外心问题】

【例4】（2025•辽宁•模拟预测）设锐角△ABC的外心为0,满足3况•丽=丽•而,sinC=ySin/l,则sinB=

（）

.2夜+百D2V5+1厂用c70

A--r-B.c.—D,—

【答案】A

【解题思路】结合图形，利用向量数量积的定义和二倍角公式将题设等式化成①式，再利用同角的三角函数

关系将另一式化成②式，联立求出三角函数值，借助于和角公式即可求得答案.

【解答过程】

如图，圆。是锐角△力8C的外接圆，设其半径为R,

贝*=\0B\=\0C\=R/AOB=2乙ACB,乙BOC=2/.BAC,

由36(OB=0B-元可得3R2cos2c=R2cos24即3(2cos2c-1)=2cos2A-l,

也即3cos2c—cos2A=1①.

又由sinC=?sin4两边平方可得4sin2c=3siM力，即4-4cos2c=3-3cos2%,

也即4cos2c—3cos2A=1②

।cos2c=W

联立①和②，解得1一3因为锐角三角形，故有3。=等cos/l二雪，

（cos2A55

从而sinC=V1-cos2C="，sinA=V1-cos2/l=

于是，sinB=sin（A+C）=cosCsin/1+cos/lsinC=2y.

故选:A.

【变式4-1］（2025高三・全国•专题练习）设P是△/IBC所在平面内的一点，若而•（方+石?）=2荏•福，

EL\AP\=\CP\,则点P是△48。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】A

【解题思路】取力8中点。，根据条件化简得AB1PD,所以点尸在A8中垂线上，所以|而|=|而|=|而

所以P为三边中垂线交点，即为△力BC的外心.

【解答过程】

如图，取48中点。，

.-.CB+CA=2CD.

•:AB（CB+CA）=2ABCP,

AB•2CD=2AB-CP,

24F-（CD-CP）=O,

二2松•丽=0,

AAB1PD,

.•.点。在718中垂线上.

.♦.网=|研,又府|=|四,

所以|而|=\CP\=|研,

AP为△48C的外心.

故选:A.

【变式4-2]（24-25高三上•江苏盐城•期中）已知点。为△ABC的外心,且向量同=AAB+（l-A）^CUGR,

若向量瓦?在向量瓦上的投影向量为;近，则cosB的值为（）

A.苧B.gC.竽D"

【答案】B

【解题思路】由题可得而=4而，从而得到△4BC为直角三角形，由投影向量的概念畸竺二：=COS28=：

BCI55

求解.

【解答过程】因为而=/1而+（1-；1）尼=入荏+前-2航，

所以不+A0=AAB+ACA=A（CA+而），

BPCO=ACB,所以。在8c上，故&/WC的外接圆以。为圆心，BC为直径,

所以A/IBC为直角三角形，且ACLAB,。为BC中点，

因为向量而在向量近上的投影向量为：BC,

故网ICOSBJIJ=3前==>WB=i

由干B为锐角，所以cosB=^

故选：B.

【变式4-31（2025高三・全国•专题练习）已知。是AABC所在平面内的一定点，平面内动点P满足而="产+

则动点尸的轨迹一定通过△的（）

vM5|cosZ/lBC\AC\cos£ACByR4BC

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】B

【解题思路】令8C的中点。，利用向最的线性运算及数最积的运算律、数量积的定义计算判断.

【解答过程】令8c的中点D,则赤+瓦=2而，由而=等竺+〃而+的

2、|AB|cos4ABC|AC|COSNACB，

得丽=0D+—+—）,即而=1（-^^—+—）,

、AB|COSK4BC\AC\COS^CBJk|4B|cosz4BC|AC|COSNACB，

因此前后="T鬻黑:渭+

=7(一|丽|+|而|)=0,则DP18C,点P在8c的垂直平分线上,

所以动点P的轨迹一定经过^ABC的外心.

故选:B.

【题型5奔驰定理】

【例5】(24-25高三上•江西・月考)奔驰定理：已知点。是△力BC内的一点，若△8。。4力。。心力。8的面积

分别记为Si，S2，S3,贝US1•瓦i+s?•而+S3•沅=6.“奔驰定理”是平面向最中一个非常优美的结论，因为

这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，己知。是△力BC的

垂心，且0X+2万方+3反=6,则cosC=()

厂2\[5

c・丁D.

【答案】B

【解题思路】延长CO交/1B于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得S［：Sz：S3=tan>l:tanfi:tanC,

再利用Si•耐+S?•丽+S3•沅=6和方+20B+30C=6可得tanAtanF:tanC=1:2:3,穴妨设tan/l=

k,tanZ?=2/c,tanC=3k,利用tanA=—tan(B+C)=-型丝且工可求出k的值，从而可求出cosC的值.

''1-tanetanC

【解答过程】延长C。交4B于点P,

•••0是AABC的垂心，.•.OP1AB,

二工：S2=g".时:

=BP:AP=(OPtan/POB):(0Ptanz_P04)=tanz_COB:tanz.COA=tan(7r-A):tan(;r—B)=tan/l:tanB.

同理可得Si：S3=tan4:tanC,S]S?：S3=tan/1:tanF:tanC.

又Si•57+S?•赤+S3•近=6,

:.tanA-OX+tanB•08+tanC-OC=0.

又殖+20B+30?=0,

•••tan/1:tan/?:tanC=1:2:3.

不妨设tanA=k,tanB=2k,tanC=3k,其中々*0.

tanB+tanC

vtan/1=—tan(8+C)=—

1-tanBtanC*

2k+3k解得k=±l.

l-2k-3kf

当A=-l时，此时tan4<0,tan8V0,tanCV0,贝1]4,B,C都是钝角，不合题意，舍掉.

故A=l,则tanC=3>0,故C为锐角，

sinC_&-

:.cost?—,解得cosC=缪，

sin2c+cos2c=11

故选：B.

【变式5-1](2025・安徽・三模)平面上有及其内一点。，构成如图所示图形，若将△OAB,△08C,△OCA

的面积分别记作又，Sa，Sb，则有关系式儿・瓦？+5》・赤+Sc•近=6.因图形和奔驰车的Logo很相似，

常把上述结论称为“奔驰定理”.已知A/IBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足+b•赤+

c0C=0,则。为△4BC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【解题思路】根据平面向量基本定理可得普=2，去=」延长C0交48于E,延长8。交4c于凡根据面积比

SaaSaa

推出黑=盥，结合角平分线定理推出“为〃8的平分线，同理推出B尸是"WC的平分线，根据内心的

定义可得答案.

【解答过程】由Sa•6?+Sb•赤+Sc•瓦=6得6?=-^OB-^oc,

S。Sa

由a+b•丽+c•沆=6得正=--OB--OC,

aa

根据平面向量基本定理可得-金=,,4=，,

5aQ5aQ

所以各=2,H=£,

S。QSaQ

延KC。交AB于E,延长BO交4c于F,

所以CE为4ACB的平分线，

同理可得8r是4ABC的平分线，

所以。为△力BC的内心.

故选:B.

【变式5-2](25-26高三上•江西南昌•月考)奔驰定理：已知。是△ABC内的一点，若△80C、△40C、△力。8

的面积分别记为£、SB、S「则丛•历f+S》•而+S。•沆=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，己知。是△48。的

内心，AB-8,且满足2五？十3砺十4沆=1设△ABC的内切圆半径为小外接圆半径为R,则千=()

A

【答案】D

【解题思路】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解.

【解答过程】由奔驰定理力・刃+SB•赤+Sc•无二日

结合已知2瓦？+3万+4觉=注得S1Sc=2:3:4.

因为。是内心(到各边距离为内切圆半径r)，

所以

SA=;8C,SB=-AC,Sc=-AB,

因此边长BC:AC:AB=2:3:4.

AB=8,­-BC=4,AC=6,半周长p=9,

由海伦公式，SABC=J9(9-8)(9-4)(9-6)=3房,

又SABC=[(48+BC+AC)r=pr=9r,r=—,

由余弦定理，cosC=BcyB2=_：,sinC=苧，

代人正弦定理:2"含=备=房,”提，

4

r丫VlSx/15S

=

>K7="—i7s="=0X101O

故选：D.

【变式5-3](24-25高一下,上海奉贤・月考)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理

对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理奔驰定理：已知。是△48C内

的一点，ABOC,AAOC,△A08的面积分别为&、SB、S「则有当而+S8丽+Sc沆=祝设。是锐角

△A8。内的一点，ZBAC,/ABC,NAC8分别是△A8C的三个内角，以下命题错误的是()

A.若刀+赤+元=6,则。为AABC的重心

B.若瓦5+2而+3沆=6,则Sc=1:2:3

C.若0为△ABC（不为直角三角形）的垂心，WiJtanzffzlC-0A+tan^ABC-OB4-tanz/lCF♦OC=0

D.若|就|=|而|=2,AAOB=^,2OA+3OB+4OC=0,贝/沙8c=

【答案】D

【解题思路】对于A,假设。为48的中点，连接。D,由已知得0左中线CO上，同理可得。在其它中线上，即

可判断:对于选项B,利用奔驰定理可直接得出B正确;对于C,由垂心的性质、向量数量积的运算律丽•衣=

OBOC-OB-OA=0,得到|65|:|而\0C\=cos2B4C:cos〃BC:cos/BCA,结合三角形面积公式及角的

互补关系得结论，可判断C正确；选项D,根据奔驰定理可得当:SnSc=2:3:4,再利用三角形面枳公式可

求得&=1,即可计算出S-8c=5,可得D错误;

【解答过程】对于A：如下图所示,

假设。为4B的中点，连接。。，则方+方=2赤=前，故C,。,。共线，即。在中线C。上,

同理可得。在另外两边8C,4C的中线上，故0为△48C的重心，即A正确；

对于B：由奔驰定理。是△力8c内的一点，△30。公力。04。8的面积分别为»,58,5（?,

则有丛-OA+SB-OB+SC-OC=6可知，

若m+2砺+3。？=6,可得SA：SB：SC=1:2:3,即B正确；

对于C：由四边形内角和可知，乙BOC+乙BAC=n,则赤•0C=\OB\\OC\cos^BOC=-\OB\\OC\cos^BAC,

同理，OB-OA=\OB\\OA\cos^BOA=-\OB\\OA\cosZ-BCA,

因为O为JA力BC的垂心，则砺-AC=OB-（OC-OA）=OB-OC-OB-OA=0,

所以|说IcosiBAC=\OA\cosz.BCA,同理得|ZJ?|cosz748c=\OB\cosZ.BCA,\OA\cos^ABC=\OB\cos£.BAC,

则|0川：\0B\:\0C\=cosZ-BAC:cosz.ABC:cosz.BCA,

令|。川=mcosz.BAC,\0B\=mcosz.ABC,\0C\=mcos乙BCA,

由5人=-\OB\\OC\s\n^BOC,^\S=-\OB\\OC\sin^BAC=—casz.ABCcosz.BCAsinz.BAC,

22A2

同理：SB=^\OA\\OC\sin^ABC=^­cos^BACcos^BCAsinzABC,Sc=^[OA\\OB\sinz.BCA=

—cos^.BACcosZ.ABCs\nZ.BCA,

2

sin£BACsinzXFCsinzBCX

综上,SA：SB：Sc==tanz.fi/4C:tanz.ABC:tanZ-BCA,

COSZB/4C'COS/.ABC'cos/BCA

根据奔驰定理得tan4871c•OA+tanz/lFC•OB+tanz/lCF-OC=0,即C正确.

对干D：由|瓦5|=|励|=2,4/10B=里可知，S=-x2x2xsin-=l,

6c26

又2褊+3赤+4觉=6,所以SA：SB：SC=2:3:4

由S’=1可得，SA=^,SB=^；

所以S.8c=SA+SB+SC=5+Z+1=[,即D错误;

故选：D.

■课后提升练

一、单选题

1.（2026•河南南阳•模拟预测）已知△ABC的重心为G,而=3反，延长。G交AB于点E,则近=（）

A.-BAB.-^4C.-BAD.-BA

5253

【答案】A

【解题思路】根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合向最线性运算，利用共线向最定理的推论列

式求解.

【解答过程】由G是△力8c的重心，得+冠），令方=入定，

由而=3反，得m=（而，则正=：（/1族+3而）=：族+：而，

又点。,G,E共线，即升3=1，解得入=今即荏J症，所以而=［瓦?.

故选：A.

2.（2026・重庆•一模）边氏为2的等边三角形ABC的外心为。，则为•屈=（）

A.-2B.2

C.2V3D.-V3

【答案】A

【解题思路】取8c边的中点。，连接AO,可得函=-：（而+而），利用向量的数量积的运算法则计算可

求得而•AB.

【解答过程】取4c边的中点Q,连接AO,

因为O为边长为2的等边三角形的外心，

所以而=2而=2xL（7§+亚），所以耐=一工（常+正），

•53/«5

所以方.通二-^(AB+AC)-AB=-^(AB2+AC-AB)

=~~(^.2+2x2cosm=—2.

故选:A.

3.（2025♦四川南充•三模）已知点尸在△48C所在平面内，若可,（备一喘p=丽,（点J一赢）=。，则点

尸是A/IBC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

【答案】D

【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得4P平分NBA。，BP平分乙4BC,结合

三角形内心定义判断即得.

【解答过程】在△说中,由港磕一彘=0,得或情=可稿

即而舟"•焉由两嚅-箫）=0,同理胸濡=前翳

显然而。6,即P与A不重合，否则COS418C=1,同理而中祝

则|而|cosz_PAC=\AP\COSLPAB,即coszPAC=cos^PAB,乙PAC=Z.PAB,

于是力P平分/BAC,同理3P平分/ABC,

所以点P是△ABC的内心.

故选：D.

4.（24-25高一下•河北•期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知0为44"内的一点，△BOC,△AOC,

△408的面积分别为£,SB，S「则》•而+・而+S。•近=6.因其几何表示酷似奔驰的标志，所以

称为“奔驰定理已知。为△A8C的内心，三个角对应的边分别为mb,c,已知a=3,b=26，c=5,

则而=（）

A.2V3-8B.-2C.V6-7D.3企一9

【答案】A

【解题思路】根据三边，先求出角4的余弦值，再由内心可得到SA：S8：Sc=a：b：c,进而由“奔驰定理”得到

aOA+bOB+cOC=0,在对向量进行线性运算即可.

【解答过程】因为Q=3,b=26c=5,

口-1“Ca£+c2-b^11

所以COSB=---------------=—,

2ac15

因为。为△ABC的内心，设41=NOBC,42=匕084由题意41=/2,

则*：Sc=；|BO||BC|sinNl弓|80||B4|sinz2=a:b,

同理可得当:SB：S。=a:h:c

所以根据“奔驰定理”有a历f+bOB+cOC=0,

所以Q（瓦（一瓦3）+bOB+c（BC-80）=0,

a

即而=BC+BA,

a+fe+ca+b+c

所以初•前=丽）.（BC-丽）,

=-^BC2——^=BA2——、前-^4=2V3-8.

8+2百8+2\Q8+273

故选：A.

5.（2025・全国•模拟预测）已知平面上四个点48,c,0,其中任意三个不共线.若而•而二元•而，则直

线一定经过三角形48c的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】D

【解题思路】由题意得4DJLC8,即BC边上的高所在直线为4）,由此即可得解.

【解答过程】因为而.而=尼.而，所以而.而=（而-尼）•而二而.而一尼.而=0,

所以ADJ.CB,即直线4。一定经过三角形ABC的8C边上的高，即直线一定经过三角形为8c的垂心.

故选:D.

6.（2025•河北张家口•一模）在平面直角坐标系中，4（一1,0）,5（1,0）,C。。,4）,点尸，”分别是△A8C的外

心和垂心，若丽=誉■而，则m的取值范围是（）

2-2m

A.（-oo,0）B.（-1,0）C.（一8曰D.（0,+oo）

【答案】A

【解题思路】根据直线方程求解居，的坐标，即可根据向量的坐标得％=产，且0=-竽3（n+1）-§求

1一7"2yo2

解.

【解答过程】由于48关于原点对称，故尸在y轴上,

CQ）,yo），则BC中点为（罟a），易知M）WO,

因此直线BC的垂直平分线方程为y-葭=一用11一罟），

令％=0,则y=^l（罟）+整故40,絮（罟）+3

BC边上的高所在的直线方程为y=一%二（％+1）,故H与，-沱1ao+1），

yo\>oj

故而=（x0,-^（x0+1）_个（竽）一节=卜。，一次（工。+1）一纵

黑四=匿，。），

故几=9，且。=一号°（%+1）-家

l-m2yo2

由0=一嗤+1）+季可得3（诏-1）二端

由于yo*0,因此M=3（诏-1）>0,解得一1<x0<l,

故一IV匕巴VI,解得mvo,

1-m

故选：A.

7.（24-25高一下•河南安阳•期末）已知。是△48C内的一点，若ABOCAAOQzMOB的面积分别记为S[,S2，S3,

则工・雨+S2•丽+S3•无=。.这个定理对应的图形与“奔驰”侨车的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定

理如图，已知。是ZiABC的垂心，且65+2而+3沆=6,Mtanzfi>4C:tanz>4fiC:tanz/lCF=（）

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

【答案】A

【解题思路】延长C。，BO,A。分别交边A8,AC,BC于点、P,M,N,利用同底的两个三角形面积比推得

tanz.fi/lC:tanz.ABC:tanz.ACB=S/S2:S3即可求解作答.

【解答过程】。是△力8c的垂心，廷长CO,BO,AO分别交边AB,AC,BC于点P,M,N,如图,

则CP1AB,BM1AC,AN1BC,乙BOP=^BAC,z.AOP=/-ABC,

于是得tanzi/MC:tam.ABC.tan^.ACB=SpS2:S3»

又6？+2而+3沅=6,即沆=一：而一|砺，由“奔驰定理有Si•雨+52・砺+S3•灵=6,

则瓦=一汽•万一包•赤，而与赤不共线，有&=L互=三,即S/S2：S3=1:2:3,

S3S3S33s33

所以tanz_84C:tan乙48C:tan乙4cg=1:2:3.

故选：A.

8.（24-25高一下.上海吉浦.期末）已知D为△/BC所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（）

①若瓦J+万N+反=6,则。为△/1BC内心

②若（篇+就•正=0,则△ABC为等腰三角形

③若万5•丽=丽•沆=沆・万?，则。为△/8C的外心

④若而=M瑞荷+篇）（屣幻，则点⑦的轨迹一定经过"4"的重心

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解题思路】利用重心向量公式判断①；利用数量积运算律及定义求解判断②；利用数量积的运算律及垂直

关系的向量表示判断③；设8c的中点为M,再根据正弦定理结合平面向晟共线定理即可判断④.

【解答过程】对于①：由万？+而+反=6得。为△/18C重心，故①错误；

对于②：由,BC=。得［瑞，+"靛;=0=忸C|COS（T—B）+忸C|cosC=0=cosB=cost1.

又B,C6（0jr）,所以8=C,所以△48C为等腰三角形，故②正确：

对于③：由万？•万斤=万豆•觉得丽•（方彳一比）=丽•g?=0=Z）8_LAC,同理得DC1A8,/M_LBC,

所以。为△ABC的垂心，故③错误；

对于④：取8C的中点为M,所以商+配=2前，由正弦定理得爆=相，令|说|sin8二|而|sinC=心

则万票G+看邑="尹=3府，所以而=?丽，点D的凯迹经过△力BC的重心，故④正确・

pB|sinH|4C|sinC1thh

故选:B.

二、多选题

9.（2025•全国•模拟预测）已知。为△48C的外心，彳5+元=万，则（）

A.南与前不共线B.而与6?+沅垂直

C.cos乙。力。=；D.cos^BOC=

【答案】BC

【解题思路】利用向量的线性运算可得2而=而，可判断A：由。为AABC的外心，可得万5+正与而垂直;

进而可得而与瓦？+能垂直，可判断B；利用已知可求得4c=1,进而可求得cosN。4c可判断C；由已知

可得丽+20C=2而，两边平方可求得COSNBOC.

【解答过程】选项A：由而+就=而二万一而得2尼=同一通=丽，则而与而共线，故A错误.

选项B：因为。为△4"的外心，所以。力=。。，所以方（+沅与近垂直，

（在△力。。中，取4c的中点。，连接。。，则雨+近=2而，所以。D_L4C,

所以（耐+沆）1.尼），因为而与配共线，所以助与瓦？+瓦垂直，故B正确.

选项C：设。8=2,则。4=0。=2,由2前=所得4c=1,

所以cos/Oi4c=婆=；，故C正确.

0A4

选项D：设△ABC的外接圆半径为1,由而+北二万得而一赤+说一而二一沅,

所以赤+20C=20A,两边同时平方得丽2+4沆2+4砺•oc=4OA2,

即l+4+4cos48。。=4,所以cos乙8。。=一±故D错误.

4

故选:BC.

10.（25-26高一上.云南昆明・期末）（多选）△4BC中，48=AC=5,BC=6,点P满足而二五而+、彳？,

设4=x+y,则()

A.若P为△48C的重心，则;1=|

B.若P为△4BC的内心，则;1=；

C.若P为△A8C的垂心，则义=看

D.若尸为△力BC的外心，则；1二：

6

【答案】ABC

【解题思路】以BC中点。为原点，DC,DA为％y轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代

入坐标列方程求出％y即可得解.

【解答过程】如图以BC中点。为原点，OC,ZM为无,y轴建立平面直角坐标系，

则4(0,4),8(-3,0),6(3,0),45=(-3,-4),AC=(3,-4),

对于A,若P为△ABC的重心，则孙=审=0,%