广西来宾市象州县2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷（试卷+解析）

广西来宾市象州县2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求.

1.下列各式是分式的是（）

XXXc尤+:

A.-B.-C.----D.---

713x+23

2.若二次根式有意义，则x的取值范围为（）

A.x>4B.JV<4C.x<4D.x24

3.下列各组线段首尾相接，不能组成三角形的是（）.

A.11,6,7B.3,4,8C.8,3，6D.5,3,4

11

4.分式二丁，—的最简公分母是（）

x'yxy

A.刈RJQ，3C.X2y3Dr3y5

5.如图，ZBDA=ZBDC,现添加以下哪个条件不能判定儿48。丝ACBO的是（）

A.ZA=ZCB.幺BD=/CBDC.AB=CBD.AD=CD

6.下列命题中，属于真命题的是（）

A.三角形的外角等于任意两内角之和

B.等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合

C.两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

D.直角三角形一边上的中线等于这条边的一半

7.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点。是上一点.下列条件不能说明AO是VABC的角

平分线的是（）

A./ADR=/ADCB.RD=CDC.RC=2ADD..,\BD=SACD

8.下列运算结果正确是（）.

A.aycr=a5B.卜/汐）=“方

C（叫\不D.da、/

9.如图，VA8C中，D,E分别为BC,AO的中点，且VA8C的面积为4,则图中阴影部分面积为

（）

A.3B.2C.1D.J

10.下面是小军求解分式方程匕|=2+—!■；的过程中存在的错误，请指出他从第几步开始出现错

y-3y-3

误.（）

方程两边都乘（y-3）,得

y—2=2（y-3）+l第一步

解这个方程得：y=3第二步

检验：将y=3代入第一步方程，左边二右边笫三步

所以，）=3是原分式方程的解第四步

A.第一步B.第二步C.第三步D.第四步

11.如图，C是线段A3上的一点，，/C力和二8CE都是等边三角形，AE交CD于M,BD交CE于N,

交AE于0,连接MV,则下列结论错误的是（）

A.VACE^VDCBB.DN=AM

C.404=150。D.4cMN是等边三角形

12.如图，中，NAC8=90。，VA8C的角平分线A。、破相交于点P,延长4c至P,

△BAP沿着折叠与直合，PF交AC于点、H,则下列结论：①ZAP3=135。；

②P尸J.AO；③AAPH'FPD；④AH+BD=AB,其中正确的有（）

A.①②③©B.①®③C.①®©D.①③@

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.

13.请写出一个比6大的数：.

14.我国“祖冲之号”量子计算机的超导比特尺寸约为0.00000025米，请用科学记数法表示该尺寸为

（单位：米）.

15.在VA3C中，已知A8=AC=1（）,AC的垂直平分线分别交AC,A3于点。、E,连接CO,若

VA3C的周长为24,则/XBC。的周长为.

16.如图所示，由RlZ^ABC经过两次折叠得到，首先将Rl/VIBC沿C。折叠，使点A落在斜边上的点

A处，再沿OE折叠，使点B落在"V的延长线上的点9处.若图中NA=90。，DE=3cm,

CD=4cm,则DA!的长为.

三、解答题：本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(I)因式分解：2f+4x+2;

(2)计算:我+(%-2026)°-丘.

18.先化简，再求值:

(1)化简:

(2)从一3<xW0给定的范围内选择一个整数代入(1)的化简结果中，并计算其值.

19.如图，在a/WC中，AB=AC,ZA=40°.

A

B

(1)尺规作图：作线段48的垂直平分线交AC于点。(不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，连接8。，求的度数.

20.如图，在VA3c中，D是A8边上一点，过点。作。/〃AC交3c于点F,E是AC边上一点，并

且FD=CE.过点E作EG〃舫交8c于点G.

(1)求证：LBDF0“GEC；

⑵若AB=BC，求证：BD=CG.

21.为积极推进五育融合的素质教育理念，某学校打算打造劳动实践与美育展示相结合的区域，准备购买

4.8两种不同功能的工具.通过市场调研得知：人种工具每组的价格比B种工具每组的价格030元，且

用9000元购买A种工具的组数是用6000元购买B种工具的组数的2倍.

(1)求A、8两种工具每组的价格分别是多少元？

(2)该学校计划用不超过2100元购买A、8两种工具共20组，其中：要求8种工具的数量不少于A种工

具数量的一半，问：在满足资金和数量要求的前提下，最多可以购买8种工具多少组？

22.(1)如图①，在VA3c中，AB=ACrNB4C=90。，DE是过点A的直线，BD工DE于点D,

CE工DE于点、E,且bD=AE，求证：DE-DD+CE.

B

R

DAEDAE/D4£/

图①图②图③

（2）如图②，在V48C中，AB=CA,D,A,E三点都在直线/上，并且有

/BDA尸ZAEC=/BAC=a,且aw90。，请问O-3O+CE是否成立？若成立，请给出证明，如

不成立，请说明理由.

（3）拓展与应用：如图③，D,E是。,A,E三点所在直线/上的两动点（。，A,E三点互不重合），点

产为N8AC平分线上的一点，且△回/和△ACV均为等边三角形，连接43，CE.若

/BD*ZAEC=/BAC,试判断JDEF的形状.

23.某景区内有一片夹角为NA08（ZAOB=30°）的游览区域，点尸是区域内的核心观景台，观景台到

夹角顶点。的距离OQ=10m.景区计划基于此设计导览路线，相关规划如下：

材料1：为优化观景体验，先在射线。8上设置临时停靠点P,点P在08上，并规划从P点出发，关于

游览步道。4对称的备选观景点片，连接0＜、PP.（如图①）.

材料2：为丰富路线选择，过核心观景台。分别作关于步道04、OB对称点《、?，连接

O小OP?、*（如图②）.

材料3：为设计最短游览路线，需在步道。4、OB上各选一个伏憩点M、N,使游客从观景台P出发，经

M、N后返回P的路线（即APMN）周长最小（如图③）.

请根据以上材料，解决下列问题：

图①

（1）结合材料1,求备选观景点与临时停靠点的距离的长度:

（2）结合材料2,求对称点小巴之间的距离片鸟；

（3）结合材料3,先补全图③，再求出周长最小值.

广西来宾市象州县2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求.

1.下列各式是分式的是（）

xxxc尤+2

A.——B.-C.-------D.-------

713x+23

【答案】C

【解析】

【详解】解：A、・・•选项中的分母乃是常数，不含字母，JA是整式，不是分式，故此选项不符合题意；

B、•・,选项中的分母3是常数，不含字母，・・・B是整式，不是分式;，故此选项不符合题意；

C、•・,选项中的分子、分母都是整式，分母X+2含有字母x,是分式，故此选项符合题意；

D、•・•选项中的分母3是常数，不含字母，・・・D是整式，不是分式，故此选项不符合题意.

2.若二次根式有意义，则x的取值范围为（）

A.x>4B.x<4C.x<4D.x"

【答案】D

【解析】

【分析1本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即1-420,

解不等式即可确定x的取值范围.

【详解】•・•二次根式有意义，

Ax-4>0.

解得：XN4.

故选：D.

3.下列各组线段首尾相接，不能组成三角形的是（）.

A.11,6,7B.3,4,8C.8,3,6D.5,3,4

【答案】B

【解析】

【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三

条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断.

【详解】解：对选项A,两短边为6,7,最长边为11,6+7=13>11,故能组成三角形，不符合题

意；

对选项B,两短边为3,4,最长边为8,3+4=7<8,故不能组成三角形，符合题意;

对选项C,两短边为3,6,最长边为8,3+6=9>8,故能组成三角形，不符合题意；

对选项D,两短边为3,4,最长边为5,3+4=7>5,故能组成三角形，不符合题意.

11

4.分式―二，—的最简公分母是（）

xy

A.盯B.盯3c.x2y3D.x3y5

【答案】c

【解析】

【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指

数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数累取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母.

11

【详解】解：分式FT，）佗分母分别是：炉炉、冷口，各分母系数的最小公倍数是1,则最简公分母是

x~y~xy

凸2

故选：C.

本题考杳了最简公分母.通分关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一

定要掌握.

5.如图，4BDA=4BDC,现添加以下哪个条件不能判定A4血泾AC8O的是（）

A.ZA=ZCB.ZABD=/CBDC.AB=CBD.AD=CD

【答案】C

【解析】

【分析】一般全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理逐个判断即可.

【详解】解：A、ZA=ZC,ZBDA=ZBDC,BD=BD,符合AAS,即能推出也△（%£>,故本选

项错误：

B、ZABD=/CBD,NBDA=NBDC,BD=BD,符合ASA,即能推出AABZ运ACB。，故本选项错

误；

C、AB=CB"BDA=NBDC,BD=BD,不符合全等三角形的判定定理，即不能推出AA3Q&ACBO,

故本选项正确；

D、AD=CD,/BDA=/BDC,BD=BD,,符合SAS,即能推出,故本选项错误.

故选：C.

本题考查了全等三角形的性质和判定，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：

一般全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS.

6.下列命题中，属于真命题的是（）

A.三角形外角等于任意两内角之和

B.等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合

C.两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

D.直角三角形一边上的中线等于这条边的一半

【答案】B

【解析】

【分析】本题考杳全等三角形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质.由全等三角形的

判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线的性质，即可判断.

【详解】解：A、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角，故A不符合题意；

B、命题正确，故B符合题意；

C、两边其夹角对应相等的两个三角形全等，两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，

故C不符合题意；

D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故D不符合题意.

故选:B.

7.如图，在等腰三角形A3C中，AB=AC,点。是8c上一点.下列条件不能说明AO是VA8c的角

平分线的是（）

AZADB=ZADCB.BD=CDC.BC=2ADD.S,皿=5皿

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质.根据等腰三角形三线合一的性质，可得4、8、D都

能够说明AO是VA4C的角平分线，而C选项不能，由此即可求解.熟练掌握等腰三角形三线合一的性

质是解题的关键.

【详解】解：A、•：ZADB=ZADC,且NA£）B+NAOC=180。，

ZADB=ZADC=90°,

：.AD_LBC,

'：AB=AC,

・•・AZ）是等腰VAAC的角平分线，

故A选项能说明AO是VA8C的角平分线，不符合题意；

B、•・,在等腰三角形A3。中，AB=AC,BD=CD,

・•・A。是等腰VABC的角平分线，

故B选项能说明A。是VABC的角平分线，不符合题意；

C、8C=2AD不能说明4D是VA3C的角平分线，符合题意；

D、:△ABO和AACD的高相同，而S八Q二SACC，因此底边80=CD,

・•・A£＞是等腰VA6C的角平分线，

故D选项能说明4。是VAAC的角平分线，不符合题意；

故选：C.

8.下列运算结果正确的是（）.

A.ay-a2=a5B.（。汐）=/b7

C.（6/3）=6/6D.as-i-a4=a2

【答案】A

【解析】

【详解】解：选项A,/./=d+2=/，故符合题意：

选项B,（///）'=（/）3仅4）3=々6y2工/乂，故不符合题意；

选项C,=aM=a9^a\故不符合题意；

选项D,〃8+/=〃8_4=/*/,故不符合题意.

9.如图，NABC+,D,E分别为8C,AD的中点，且V48C的面积为4,则图中阴影部分面积为

()

A

A.3B.2C.1D.y

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了三角形的中线的性质，关键是熟练应用知识点解题；

根据中线平分三角形的面积即可得到.

【详解】解：•・•/），石分别为8C，4力的中点，S.ABC=4

:，S.ACD=gs.MC=；*4=2,

AS.ACE'"CD=乎2=1,

故选：c.

10.下面是小军求解分式方程匕|=2+—的过程中存在的错误，请指出他从第几步开始出现错

），一3），一3

误.（）

方程两边都乘（y-3）,得

y-2=2（y-3）+1第一步

解这个方程得：y=3笫二步

检验：将y=3代入第一步方程，左边二右边第三步

所以，y=3是原分式方程的解第四步

A.第一步B.第二步C.第三步D.第四步

【答案】C

【解析】

【分析】根据解分式方程的步骤，逐一判断每一步的正误即可.

【详解】解：•・•第一步方程两边同乘3,得到）,—2=2（y—3）+1,去分母操作正确，

・•・第一步无错误;

•・・对），-2=2（y-3）+l整理计算，得y=3,代数运算正确，

・••第二步无错误；

•・•分式方程检验需要将所得解代入原方程，判断原方程是否有意义.当），=3时，原方程分母），-3=0,

原方程无意义，y=3是增根，小军错误地将解代入去分母后的方程检验，因此第三步开始出错.

・•・错误从第三步开始.

11.如图，C是线段A3上的一点，&AC/）和二8CE都是等边三角形，AE交C。于M,BD交CE于N,

交AE于。，连接MV,则下列结论错误的是（）

A.NACE^/DCBB.DN=AM

C.404=150。D.6cMN是等边三角形

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质等知识点，证得

VACE^VDCB和AACM四△OCN是解题的关键.

先利用等边三角形的性质可证明ACE"0cB（SAS）即可判断A选项；根据全等三角形的性质、角的和

差以及三角形内角和定理可得ZAOB=120°,即可判断C选项;再证明AACMgZVXW可得DN=AM、

CM=CM即可判断B选项；再证明NDCE=60。，即可证明aC/WN是等边三角形，从而判断D选项.

【详解】解：:ACZ）和©BCE都是等边三角形，

VZACD=ZBCE=60°,AC=DC,CB=CE,

・•・/DC£=60。，

・•・ZACE=ZDCB,

在£MCE和△£）C8中，

AC=DC

<ZACE=NDCB,

CB=CE

AMCE^ADCB（SAS）,即A选项正确，不符合题意;

；・/BDC=NEAC,DB=AE，4CBD=ZCEA

■:ZAOB=180°-ZOAB-/DBC,

/.=180°-ZOAB-ZAEC=ZACE=60°+60°=120°,故C选项错误，符合题意；

在GACW和4OCN中，

NBDC=ZEAC

<DC=AC,

ZACD=ZDCN=60°

・•..ACM-DCN（ASA）,

:・DN=AM、CN=CM,即B选项正确，不符合题意；

•・,Z£>CE=60o,

：.」CMN是等边三角形,即D选项正确，不符合题意.

故选C.

12.如图，RtAiABC中，NAC8=90。，VA8C的角平分线A。、座相交于点P,延长8C至R

△B4P沿着鳍折叠与△80亘合，P厂交AC于点，，则下列结论：①NAP8=135。；

②P/_LA。；③、APH"&FPD；®AH+BD=AB,其中正确的有（）

A.①②③®B.①®③C.®®@D.①③©

【答案】A

【解析】

【分析】①利用直角三角形两锐角和为90°，结合角平分线定义，得N/M3+NP34=45。，由三角形外

角或内角和定理，推出NAP3=135°.②由折叠性质得八84%,..8万，故/尸PB=NAP8=135。，

AP=FP，计算得NA尸产=90。，即尸产_LAD.③在J.A£）的基础上，利用同角的余角相等得

/PAH=NF，结合AP=fP、ZAPH=/FPD=9Q。，由ASA证得△AP”四△fPD.④延长HP

交AB于Q,先由ASA证，AP"qAPQ得A”=AQ,再证』BPDmABPQ得BD=BQ,最终得

AH+BD=AQ+BQ=AB.

【详解】解：・.・RtAA5C中，ZACB=90°,

.•.NC43+NC8A=90。，

•••《ABC的角平分线AO、BE相交于点尸，

:"PAB=NPAC=-NCAB,NPBA=NPBC=-NCBA,

22

/.zLBPD=zLPAB十/PBA=^(zlCAB十/CBA)=45°,

ZAPB=180°-/BPD=135%

故①正确：

•••△84P沿着BP折叠与△BFP重合，PF交.AC于点、H,

；・"PB=NAPB=135。,AP=FP，

・•・ZAPF=360°-ZFPB-/APB=90°，

・•.PF±AD.

故②正确；

...ZAPH=NFPD=90°,

vZPAH+ZADC=90°,Nb+ZADC=90。，

:"PAH=NF，

在VAQ"和AFPD中,

ZAPH=ZFPD

<AP=FP,

NPAH=ZF

:.^APH^FPD(ASA),

故③正确：

延KHP交AB于点、Q,则乙4PH=NAPQ=/OPQ=90。，

5鼠

B

CD

:"BPQ=4DPQ-/BPD=45°,

/BPD=/BPQ,

在VAP/7和△APQ中，

/PAH=ZPAQ

<AP=AP

ZAPH=ZAPQ

.qAP”空APQ（ASA）,

AH=AQ,

在和V8PQ中，

ZPBD=ZPBQ

<BP=BP

/BPD=NBPQ

:二BPDgBPQgA）,

BD=BQ,

?.AH-^BD=AQ+BQ=AB,

故④正确.

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.

13.请写出一个比G大的数：.

【答案】2（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题考查了实数比较大小，解题的关键是掌握实数比较大小的方法.

【详解】解：C<C=2,

故答案为：2.

14.我国“祖冲之号”量子计算机的超导比特尺寸约为0.00000025米，请用科学记数法表示该尺寸为

（单位：米）.

【答案】2.5x107

【解析】

【分析】根据科学记数法的定义，绝对值小于1的正数可以表示为axl(r的形式，其中〃为原

数左起第一个非零数字前面零的个数(包括小数点前的零).

【详解】解：0.0(X)00025=2.5X1O-7.

15.在VABC中，已知A8=4C=10,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点、D、E,连接CO,若

VH3c的周长为24,则ZXBC力的周长为.

【解析】

【分析】根据三角形的周长求出8C,然后根据垂直平分线的性质，得到。4AQ,进而得到的周长为

BC+AB,即可得出结果.

【详解】解：•・•A5=AC=1(),VA3C的周长为24,

・•・8。=24-10-10=4,

•••。石垂直平分AC,

:.DC=AD,

・•・△48的周长=3C+BZ)+CD=BC+(BD+AD)=3C+A6=4+10=M.

16.如图所示，由Rtz\A8C经过两次折叠得到的，首先将RtZVIBC沿CO折叠，使点A落在斜边上的点

4处，再沿OE折叠，使点8落在Q4的延长线上的点9处.若图中NA=90。，OE=3cm,

CD=4cm,则DA'的长为.

【解析】

【分析】根据折叠的性质可得出NCZ)K-90。，再利用勾股定理求出CK-5cm，最后根据等而枳法求解.

【详解】解：•・•将RtAAAC沿CQ折叠，使点4落在斜边上的点A处，ZA=90°,

・•.ADAC=ZA=90。，NAOC=ZADC=-ZADA1,

2

・•・DA:VBC,

•・•再沿。E折叠，使点B落在DT的延长线上的点9处，

:.ZADA+/BD夕=180。，NB'DE=NBDE=-NBDB',

2

・•・ZCDE=ZArDC+ZB'DE=+NBDB)=90°,

*.*DE=3cm,CD=4cm,

:.CE=y/DE?+CD2=5(cm),

•・•-SL”C匕DF=2-CEDA!=2-DECDt

一,DECD12/、

DA=----------=—(cm).

CE5v7

三、解答题：本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)因式分解：2X2+4X+2;

（2）计算：次+（乃-2026）°-及.

【答案】（1）2（%+1汽（2）V2+1

【解析】

【分析】（1）先提出公因式2,再利用完全平方公式分解因式即可:

（2）先化简二次根式，计算零次累，再合并同类二次根式.

【详解】⑴解:2X2+4X+2

=2（x?+2x4-1）

=2（x+l）2；

（2）解：返十（4一2026）“一血

=20+1-血

=^2+1.

18.先化简，再求值:

211

（1）化简:

x—2A•42r2-4

（2）从一3<x〈0给定的范围内选择一个整数代入（1）的化简结果中，并计算其值.

【答案】（1）x+6

（2）当x=T时，值为5；当人=0时，值为6

【解析】

【分析】（1）利用分式的除法法则和平方差公式进行化简；

（2）先判定出不合适的数，然后选取合适的数代入求值.

【小问1详解】

{x-2x+2)'X2-4

展-+"+2)(7

2

x(x+2)(x-2)x(x+2)(x-2)

7^2x+2

=2（x+2）-（x-2）

=2x+4—x+2

=x+6；

【小问2详解】

解：一3<xW0的范围内的整数解为-2,—1,0,

(x+2)(x-2).0,

32且x工一2,

当上=一1时，式+6=-1+6=5；

当上=0时，x+6=0+6=6；

19.如图，在A48C中，AB=AC,ZA=40°.

（1）尺规作图：作线段44的垂直平分线交4c于点。（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接B。，求/DBC1的度数.

【答案】（1）见解析(2)ZDBC-3O。

【解析】

【分析】（1）利用基本作图作人4的垂直平分线.

（2）根据到腰三角形的性质和三角形的内角和可得出...NABC=NAC8=70。,再线段的垂直平分线的性

质得到D4=得到=乙4=40。,再计算出NABC-N48。即可.

【小问1详解】

如图设所示：

，直线MN和点。就是所求作的图形.

VAB的垂直平分线交AC丁点D,

:・AD=BD.

AZABD=ZA=40°.

•・•AB=AC,

・•・AABC=NC=；（180°-ZA）=70°

・♦・乙DBC=ZABC-ZABD=70。-40°=30°.

本题考查了作图■基本作图：作已知线段的垂直平分线，也考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直

平分线的性质是解题的关键.

20.如图，在VA8c中，。是A8边上一点，过点。作OF〃4C交8c于点R七是AC边上一点，并

且FD=CE.过点£作国7〃4?交8C于点G.

(1)求证：二BDFWGEC；

(2)若AB=BC,求证：BD=CG.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）先证明NBOb=NGEC，/B=/EGC,再根据AAS证明一尸即可；

（2）先证明EG=CG,再证明BO=GE,即可得出结论.

【小问1详解】

证明：・・・OF〃AC,

AZBDF=ZANBFD=NC,

•・•EG//AB,

：・4B=/EGC,NA=NGEC,

:.4BDF=NGEC，

在VB力尸与©GEC中，

ZBDF=ZGEC

</B=NEGC,

FD=CE

：・BDFaGEC（AAS）；

【小问2详解】

证明：・・・A5=BC，

:.Z4=NC,

DF//AC,

:,乙BDF=ZBFD=ZC,

・•・4BDF=/BFD，

:.BD=BF,

•・,EG//AB,

・・・ZA=NGEC,

/.NGEC=NC,

:.EG=CG,

同（1）可证上3Z）F丝aGEC,

・•・BD=GE,

・•・BD=CG.

21.为积极推进五育融合的素质教育理念，某学校打算打造劳动实践与美育展示相结合的区域，准备购买

A、“两种不同功能的工具.通过市场调研得知：A种工具每组的价格比B种工具每组的价格少30元，且

用9000元购买A种工具的组数是用6000元购买4种工具的组数的2倍.

（1）求A、8两种工具每组的价格分别是多少元？

（2）该学校计划用不超过2100元购买人8两种工具共20组，其中：要求B种工具的数量不少于人种工

具数量的•半，问：在满足资金和数量要求的前提下，最多可以购买8种工具多少组？

【答案】（1）A种工具每组的价格是90元，8种工具每组的价格是120元

（2）最多可以购买8种工具10组

【解析】

【分析】（1）设4种工具每组的价格是x元，则B种工具每组的价格是（X+30）元，根据“用9000元购买

A种工具的组数是用6000元购买B种工具的组数的2倍”，列分式方程求解并检验即可；

（2）设购买E种工具,，组，则购买A种工具（20-田组，根据“不超过2100元购买”和“8种工具的数量

不少于A种工具数量的一半”，列一元一次不等式组，取最大正整数解即可.

【小问1详解】

解：设A种工具每组的价格是x元，则8种工具每组的价格是（尤+30）元,

90(X)6000「

依题意得:=-----x2,

x-x+30

解得：x=90»

经检验，x=90是原方程的解，且符合题意,

Ax+30=120,

答：八种JL具每组的价格是90元，/种工具每组的价格是I2U元;

【小问2详解】

解：设购买8种工具），组，则购买A种工具（20—），）组，

90（20-y）+120y<2100

依题意得：,1/、，

”5（2。7）

20

解得：—<y<\0t

•.j为正整数，

；・）：的最大值为10,

答：最多可以购买B种工具10组.

22.（1）如图①，在V4BC中，AB=AC,ZBAC=90°,DE是过点A的直线，BD上DE于点、D,

CE±DE于点E,且BD=AE-求证：DE=BD+CE.

B

R

DAEDAE/D4£/

图①图②图③

（2）如图②，在V48C中，AB=CA,D,A,E三点都在直线/上，并且有

/BDA尸ZAEC=/BAC=a,且aw90。，请问O-3O+CE是否成立？若成立，请给出证明，如

不成立，请说明理由.

（3）拓展与应用：如图③，D,E是。,A,E三点所在直线/上的两动点（。，A,E三点互不重合），点

产为N8AC平分线上的一点，且△回/和△ACV均为等边三角形，连接43，CE.若

/BD*ZAEC=/BAC,试判断JDEF的形状.

【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析：（3）J）EF为等边三角形

【解析】

【分析】（1）只需要证明一AO姓二CE4,根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答；

（2）运用类比的方法，同样可以证明ADB^CE4；

（3）结合（2）及己知条件，利用SAS可以证明AOB产四△