整式及其因式分解（十大考点）-2026中考数学总复习考点突破（解析版）

专题02整式及其因式分解（十大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习-考点

强化讲与练

式的相关概念

（1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,单独一个数或一个字母也叫单项式，所有

字母指数的和叫做单项式的次数,单项式中的数字因数叫做单项式的系数.

（2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式,多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次

数，不含字母的项叫做常数项.

（3）整式：单项式和多项式统称为整式.

（4）同类项：多项式中，所含字母相同,并且相同字母的指数也枉同的项,叫做同类项.

（5）代数式及求值

①概念：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的宣典连接而成的式子叫代数

式.单独的一个数或一个字母也是代数式；

②列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；

③代数式的值：用具体数代替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；

④代数式求值的步骤：a.代入数值（注意利用整体代入思想，简化运算）；b.计算.

（二）整式运算

（1）整式加减

①合并同类项：①字母和字母的指数不变；⑵同类项的系数相加减作为新的系数.

②添（去）括号，括号前面是“+”，把括号去掉，括号里各项符号不变;括号前面是“一”，把括号去掉，括号里

各项加号变减号.减号变加号.

（2）辕的运算法则

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①同底数幕相乘：am.an=am+n（m,n都是整数，a,0）.

②靠的乘方：（am）n=amn（m,n都是整数，a,0）.

③积的乘方:（ab）n=a~bn（n是整数，a和，尔0）.

④同底数累相除：anH-an=amn（m,n都是整数,a和司

（3）整式乘除

①单项式x单项式：①系数和同底数需分别相乘；②只有一个字母的照抄.

②单项式x多项式：in（a+b）=ma+mb.

③多项工［X多项工］：（〃?+〃）（4+/力=〃心+"力+〃4+〃/九

④单项式♦单项式：将系数、同底数事分别相除.

⑤多项式♦单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加.

（4）乘法公式

平方差公式：（〃+〃）3—5）=。2—62.

完全平方公式：（a±8）2=〃2±2a〃+乒

完全平方公式的变式：a2+h2=（a±b）2+2abab=［（a+b）2—（加+加）J-?2

（三）因式分解

（1）提公因式法：ma+mb+mc=m（a+b+c）.

（2）公式法：①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）;

②完全平方公式：a2+2ab+b2=［a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2

（3）分组分解法：通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分组方式一般分为

“1+3”式分组和“2+2”式分组。

（4）十字相乘法：x2+（p+q）x+pq^x+pKx+q）

因式分解的一般步骤：

一“提”（取公因式），二“套”（公式）,三“分”（分组）,四“查”（检查）

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式.

（2）如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解:

（3）如果项数较多或无法直接分解时，要分组分解.

（4）分解因式必须分解到不能再金解为止.每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写

成寤的形式.

易错知识辨析：

（1）注意因式分解与整式乘法的区别：

（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式

模块三R考点一遍过o

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考点1求代数式的值

典例1:

1.从n个不同元素中取出机（租工九）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合

数，用符号制表示，制=竺二喘综二产“（九二加，n、m为正整数）；例如：或=鬻，武=

裳笠，则成+稿=（）

A.B.」C.CfoD.Cfo

【答案】C

【变式1】

2.已知（x+2）（x—2）—2x=1,贝!2%2-4%+3的值为（）

A.13B.8C.-3D.5

【答案】A

【变式2】

3.若一元二次方程2/一4%-1=0的两根为m,n,则3nlz-4m4-九'的值

为_______________________________________________________________________________________________

【答案】6

根据根与系数的关系得m+n=2,mn=-2»2m2-4m=1,再把3m2-4m+M变形为2?九2一4TH+

m2+n2,然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可.

【变式3】

4.已知实数m满足巾2一3加+1=0,则代数式m2的值等于.

【答案】9

考点2

典例2：

nn

5.已知整式M：a〃x+an_6一〔+…+a6+a。，其中n,0nt，…,也为自然数,0n为正整数，且n+0n+

0n_i+…+%+。0=5.下列说法：

①满足条件的整式M中有5个单项式；

②不存在任何一个九，使得满足条件的整式M有且只有3个；

③满足条件的整式M共有16个.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

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【答案】D

【变式1】

6.下列整式中，是二次单项式的是（）

A.x24-1B.xyC.x2yD.-3x

【答案】B

【解析】【解答】・・52+1是二次两项式，孙是二次单项式，三次单项式，一3%一次单项式,・,•选项

ACD都不符合题意，选项B符合题意，

故答案为：Bo

【分析】此题考察整式的基础知识，难度较低。

【变式2】

7.按规律排列的单项式：x,-x3,x5,-%7,%9,...»则第20个单项式是.

【答案】-X39

【变式3】

8.观姿ma2,Q3,Q3-根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为

【答案】a100

【解析】【解答】解：观察得：第n个式子为：叫

故第100个式子为：a100.

故答案为：Q100

【分析】观察发现第n个式子的次数为n,即可得到答案.

考点3幕的运算

典例3：

9.下列计算正确的是（

/1\-2

A.%2-x3=x6B.(%-I)2=x2-1C.(xy2)2=x2y4D.(-2)=-4

【答案】C

【变式1】

10.下列计算正确的是()

A.次+Q3=QSB.Q8+Q4=Q2C.a2-a3=a6D.(3a2)3=27a6

【答案】D

【变式2】

11.若x,y均为实数，43'=2021,47y=2021,则43。.47号=

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【答案】2021；I

【变式3】

12.计算23x4’x6『的结果是.

【答案】白

考点4整式的乘除运算

典例4：

13.设有边长分别为。和仇Q>b）的A类和6类正方形纸片、长为〃宽为匕的C类矩形纸片若干张.如图所

示要拼一个边长为Q+b的正方形，需要1张A类纸片、1张8类纸片和2张。类纸片.若要拼一个长为

3a+匕、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（）

D.9

【答案】C

【变式1】

14.下列运算正确的是（）

A.（a+b）（a—2b）=a2—2b2B.(a-i)=a2-i

C.-2（3a-l）=-6a+lD.(a+3)(a—3)=a2—9

【答案】D

【解析】【解答】A、原式=a2-2ab+ab-2b2=a2-ab-2b2，故此选项不符合题意;

B、原始=Q2—Q+；,根据完全平方公式可以做出判断，故此选项不符合题意；

C、原式=-6a+2,根据乘法分配律可以做出判断，故此选项不符合题意；

D、原式=a2—9,故此选项符合题总、.

故答案为：D.

【分析】本题根据代数式运算法则及公式即可做出选择.

【变式2】

15.如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1x1个正方形，所有线段的

和为4,第二个图形有2x2个小正方形，所有线段的和为12,第三个图形有3x3个小正方形，所有线段的

和为24,按此规律，则第〃个网格所有线段的和为.（用含〃的代数式表不）

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77=117=277=3

【答案】2n2+2n

【变式3】

16.1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表

称为“杨辉三角”.

1(a+by=a+b

I121](a+b)2=a2+2ab+b2

1331(a+b)3=a3+3a2b+3ab2-^-b3

14641(。+份4=^+4。36+6。2〃+4。〃+〃

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+展开的多项式中各项系数之和

为.

【答案】128

考点5

典例5：

17.已知2a2—a—3=0,则(2Q+3)(2a-3)+(2a-的值是()

A.6B.-5C.-3D.4

【答案】D

【解析】【解答】解：•・•2a2_Q_3=0,

:.2a2-a=3,

•••(2Q+3)(2。-3)+(2。-I/,

=4a2-9+4a2-4a4-1,

=8a2-4a-8,

=4(2。2—a)—8,

=4x3-8,

=4,

故答案为：D.

【分析】先化简多项式，再整体代入变形后代数式的值，进行计算即可.

【变式1】

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18.己知a>b>0,且Q2+b2=3°b，则@++(3一的值是()

A.V5B.-V5C,络D.弋

【答案】B

【变式2】

19.计算：(V3+V2)(V3-鱼产=.

【答案】V3-V2

【解析】【解答】解:(V5+&)(V5-企y

=(V3+V2)(V3-V2)(V3-V2)

=[(V3)2-(V2)2](V3-V2)

=>/3-V2.

故答案为V3-V2.

【分析】先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可.

【变式3】

20.若m,n是一元二次方程X?-5x+2=0的两个实数根，则m+(n-2尸的值为

【答案】7

【解析】【解答】解：・・・m,n是一元二次方程乂2-5*+2=0的两个实数根，

h

no2—5n4-2=0,m+n=——=5，

a

则M=5n—2,

Am+(n—2产

=m4-n2-4n4-4

=m+5n-2-4n+4

=m+n+2

=5+2

=7,

故答案为：7.

【分析】先利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到机2一5771+2=0,771+九=5,即可得到

m2+5m=-2,n=5-m,则m+(?i-2)2可化为m+n+2,然后利用整体代入的方法计算.

考点6乘法公式的几何背景

典例6；

21.我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式.给出以下4组图形及相应的代数恒等式:

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其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【变式1】

22.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间

的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为n（m>n）.若小正方形面积为

5,（m+n）2=21,则大正方形面积为（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】B

【变式2】

23.现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）.

（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为;

（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大止方形，先取甲纸片1块，冉取乙纸片4块，还需取内纸片

块.

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【答案】(1)a2+b2

(2)4

【变式3】

24.如图，从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如

图所示的长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是.

□。匚卜匚/八

/a

/w

【答案】。+6

整式的混合运算

典例7：

25.已知3/一2%一3=0,求(第-1)2+不卜+|)的值.

【答案】解：原式=%2—2%+1+x2+

=2/-&+L

V3X2-2X-3=0,

?.%2—%=1.

:.原式=2(%2—枭)+1

=2x1+1=3.

【变式1】

26.先化简，再求值：

(2%4-y)2+(%+2y产-x(x+y)-2(%4-2y)(21x+y)，其中汇=或+1,y=>/2—1-

【答案】y2—3孙;-2V2.

【变式2】

27.先化简，再求值：

x(y-4x)+(2x4-y)(2x-y),其中x=y=2.

【答案】解：x(y-4%)+(2x+y)(2x-y)

=xy--4x2+4x2-y2

=xy-y'2,

当x=y=2时，

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原式=/X2-22=I-4=-3.

【变式3】

28.先化简，再求值:[(2a+d)2-(2a4-b)(2a-b)]4-2b,其中a=2,b=-1.

【答案】解：[(2Q+b)2—(2a+b)(2a—b)]+2b

=[(4a2+4ab+62)-(4a2-b2)]+2b

=(4a2+4ab+b2-4a24-b2)+2b

=(4ab+2b2)+2b

=2a+b,

当Q=2,b=—1时，原式=2x2+(—1)=3.

考点8因式分解——提公因式、公式

典例8：

29.若人为任意整数，则(2k+3)2-4后的值总能()

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

【答案】B

【变式1】

30.下列分解因式正确的一项是()

A.x2-9=(x+3)(x-3)B.2xy+4x=2(xy+2x)

C.x2-2x-1=(x-1)2D.x2+y2=(x+y)2

【答案】A

【解析】【解答】解：A、原式=(x+3)(x-3),符合题意;

B、原式=2x(y+2),不符合题意;

C、原式不能分解，不符合题意；

D、原式不能分解，不符合题意.

故答案为：A.

【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，因式分解必须分解到每一个因式

都不能再分解为止，从而即可一一判断得出答案.

【变式2】

31.多项式2a2b3+8a4b2因式分解为()

A.a2b2(2b4-8a2)B.2ab2(<ab+4a3)C.2a2b2(b+4a2)D.2a2b(b24-4a2b)

【答案】C

【变式3】

32.下列分解因式正确的是()

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A.-x24-4x=-x(x+4)B.x2+xy+x=x(x+y)

C.x(x-y)十y(y—汇)=(%—y)2D.一—4x十4一(x+2)(x-2)

【答案】C

【解析】【解答】A.-/+4%=一%(%一4),故A不符合题意；

B.x2xy+x=x(x4-y4-1),故B不符合题意；

C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2,故C符合题意；

D.x2-4x+4=(x-2)2,故D不符合题意，

故答案为：C.

【分析】根据提公因式法的技巧，可对A、B、C作出判断；根据平方差公式和完全平方公式的特点，可对

D作出判断；从而可得出答案。

【变式4】

33.若mn=2,M—九=1,则代数式瓶2九-租层的值是.

【答案】2

【解析】【解答】解：•「mn=2,m-n=1,

Am2n-mn2=mn(m-几)=2x1=2,

故答案为：2.

【分析】把代数式因式分解，然后整体代入计算解题.

【变式5】

34.长和宽分别为a,b的矩形的周长为14,面积为10,则a2b+Qb2的值为.

【答案】70

【变式6】

35.若多项式4产-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则根的值是.

【答案】+12

【解析】【解答】解：•・•多项式4/一加0+9y2能用完全平方公式因式分解，

A4%2-mxy+9y2=(2x)2-mxy+(3y)2=(2x±3y)2,

Am=±2x(2x3)=±12,

故答案为：±12.

【分析】根据完全平方公式戌±2而+产=(a±b)2的结构特征直接将原多项式化为(2x±3y)2,据此即可求

出m的值.

【变式7】

36.因式分解：(x+2)(x+4)+l=.

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【答案】G+3)2

考点9因式分解一十字相乘法

典例九

37.以下因式分解正确的是()

A.ax2-a=a(x2-1)B.m3+m.=m(m2+1)

C./+2x-3=x(x+2)—3D.x24-2z-3=(x-3)(x4-1)

【答案】B

【解析】【解答】解：Qx2—Q=aQ2—D=Q(x+i)a—i)；故A不正确，不符合题意.

血3+机=山(巾2+1)；故B正确，符合题意.

%24-2r-3=(%+3)(%-1)；故C,D不正确，不符合题意.

故选:B.

【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可解题.

【变式1】

38.下列式子变形是因式分解的是()

A.X2-5x+6=x(x-5)+6B.x2—5x+6=(x-2)(x—3)

C.(x—2)(x—3)=x2—5x+6D.x2—5x+6=(x+2)(x+3)

【答案】B

【解析】【解答】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这

个多项式因式分解，也叫做分解因式，只有B、D符合因式分解的意义，但X?—5x+6=(x—2)(x—3),

故选B

【变式2】

39.分解因式：2x3-6x2+4x=.

【答案】2x(x-1)(x-2)

【解析】【解答】解：2x3-6x2+4x

=2x(x2-3x+2)

=2x(x-1)(x-2).

故答案为：2x(x-1)(x-2).

【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用十字相乘法分解到每一个因式都不能再分解为止。

【变式3】

40.分解因式：a4-3a2-4=.

【答案】Ca2+1)(a+2)(a-2)

【解析】【解答】解：a4-3a2-4

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=(a24-l)(a2-4)

=(a'+1)(a+2)(a-2),

故答案为：(a2+l)(a+2)(a-2).

【分析】首先利用十字相乘法分解可得原式=(a2+l)(a2-4),然后对后面括号中的式子利用平方差公式分解即

可.

考点10

典例10：

41.已知实数a,b,c,m,九满足3m+n=-,mn=

aa

(1)求证:反一12ac为非负数；

(2)若a,b,c均为奇数，zn,九是否可以都为整数？说明你的理由.

【答案】(1)证明：因为3m+n==£,

aa

所以b=a(3m+n),c=amn,

2

则b?—12ac=[a(3m+n)]—12a2nm

=a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn

—a2(9m2—6mn+n2)

=a2(3m-n)2.

因为a：m,n是实数，

所以小(3?九—n)2>0»

所以反-12ac为非负数.

(2)解：m,n不可能都为整数.

理由如下：若m,n都为整数，其可能情况有：①m,九都为奇数；②m,九为整数，且其中至少有一个为偶数.

①当初,九都为奇数时，则3m+ri必为偶数.

又3m+九=、，所以b=Q(3m+n).

因为Q为奇数，所以a(3m+n)必为偶数，这与b为奇数矛盾.

②当相，九为整数，且其中至少有一个为偶数时，则m几必为偶数.

又因为所以c=amn.

因为Q为奇数，所以GTUI必为偶数，这与c为奇数矛盾.

综上所述，m,九不可能都为整数.

【解析】【分析】(1)根据题意，可得b=a(3m+n),c=amn,将其代入原式进行因式分解，可得原式二a2

(3m-n)2,结合a,m,n是实数，即可证明：

(2)根据若m,n都为整数的情况：①m,n都为奇数、②m,n为整数，且其中至少有一个为偶数、分别

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进行分析即可求解.

【变式1】

42.如果一个自然数M的个位数字不为0,且能分解成Ax8,其中4与B都是两位数，A与8的十位数字相

同，个位数字之和为10,则称数M为“合和数”，并把数M分解成M=4xB的过程，称为“合分解”.

例如609=21x29,21和29的十位数字相同，个位数字之加为10,

•••609是“合和数”.

又如•••234=18x13,18和13的十位数相同,但个位数字之刃不等于10,

234不是,♦合和数”.

(1)判断168,621是否是“合和数”?并说明理由;

(2)把一个四位“合和数”M进行“合分解"，即M=4xB.A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之

和的和记为P(M)；4的各个数位数字之和与8的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q(M).令G(M)=

厩，当G(M)能被4整除时，求出所有满足条件的M.

【答案】⑴解:168不是“合和数”,621是“合和数”.

v168=12x14,2+4工10,

168不是“合和数”,

•••621=23x27,十位数字相同，且个位数字3+7=10,

•••621是“合和数”.

(2)解：设A的十位数字为m,个位数字为九(m,几为自然数，且3WmW9,1<n<9),

则4=10m+n,B=10?n4-10—n.

；・P(M)=m+n+m+10—n=2m+10,Q(M)=|(?n+n)—(m+10—n)|=\2n—10|.

P(M)_2m+10_m+5

=Q(M)=|2n-10|=|n^5i=4k(k是整数).

3<TH<9,

•••8<m4-5<14,

•・•/是整数,

•••m十5=8或m+5=12,

①当初+5=8时，

(m+5=8/m+5=8

l|n-5|=l^l|n-5|=2,

M=36x34=1224或例=37x33=1221.

②当m+5=12时，

(m+5=12—廿俨+5=12

l|n-5|=l'Xl|n-5|=3,

M=76x74=5623或M=78x72=5616.

第14