解析几何新概念多选压轴中的八种命题形式-2026高考数学一轮常考题

85.解析几何新概念多选压轴中的八种命题形式

★1.卡西尼卵形线

定义：到两个定点(叫做焦点)的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.

设两定点为6,玛,且阳闾=2,动点定满足|尸同归周=〃2(4之0且为定值),取直线

片鸟作为九轴，CE的垂直平分线为)•轴建立平面直角坐标系.设尸(人,)，)，则

向+1)2+丫2.必―1)2+),2=〃2,整理得：(/+,2)2-2*2-/)=/一］,解得

y2=(-x2-1)+V4x2+a2(l-a<x2<l+«).

于是曲线。的方程可化为V=(-X2-1)+"/+/>一aw/工1+。).

进一步，对于常数。NO

当。=0时,图像变为两个点可(一1,0),马(1,0)

当0<。<1时，图像分为左右两支封闭曲线，随着力的减小而分别向点耳，鸟收缩

当〃=1时，图像呈8字形交叉，称为双纽线

当1<4<2时，图像为中部凹陷的光滑曲线

当。=2时，图像中部接近水平

当。>2时，图像为光滑卵形封闭曲线

例1.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形

线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲

线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为

常数.已知：曲线C是平面内与两个定点耳(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数/(a>1)的

点的轨迹，则下列命题中错误的是()

1

A.曲线C过坐标原点B.曲线C关于坐标原点对称

C.曲线C关于坐标轴对称D.若点P在曲线C上，则△打尸鸟的面积不大于go?

解析：由题意设动点坐标为(芭)，)，则"*+1)2+尸正一])2+),2=〃2,

即[*+l)2+y2][(x_l)2+),2]=，，

即曲线C的方程为[(x+4+r][(r-1)2+J?]=/(〃>1),

若曲线C过坐标原点(0。)，将点(0,0)代入曲线C的方程中可得/=1与已知矛盾，

故曲线。不过坐标原点，故A错误；把方程中的X被T代换，)'被-「代换，方程不变，

故曲线C关于坐标原点对称，故B正确；因为把方程中的X被T代换，方程不变，故此曲

线关于y轴对称，把方程中的)'被一)'代换，方程不变，故此曲线关于X轴对称，

故曲线。关于坐标轴对称，故C正确；若点?在曲线C上，则归附|帆|=/,

2

w=!|^||W|sinZ^<1«,当且仅当尸鸟=90。时等号成立，

故△片2人的面积不大于[/，故D正确.故选：BCD.

Z

例2.(2023届广州一模)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线,

它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xQy

中，M(-2,0),N(2,0),动点尸满足|PM|・|PN|=5,则下列结论正确的是()

A.点P的横坐标的取值范围是卜石，石[B.|OR的取值范围是[1,3]

C.A/WN面积的最大值为gD.|PM|+|PN|的取值范围是[2逐,5]

解析：设点尸(MN),依题意，[(X+2尸+用妙—2)2+也=25,

对于A,25=[(X+2尸+y2][(x-2)2+/]>(x+2)2(x-2)2=(f一4/，当且仅当.V=0时取等号,

解不等式(丁-4-425得：-3<x<3,即点P的横坐标的取值范围是[-3,3],A错误；

对于B,[(x2+/+4)+4A][(X2+y2+4)-4x]=25,则+9+4=,25+16/，

显然因此|OP|=J9+y2=用5+16/-4€[1,3]，B正确；

对于C,3。必\的面积5=3|〃加||/^恒访/时07«3|。"||呐|=2，当且仅当/“呐=90

时取等号，当/M/W=90时，点P在以线段MN为直径的圆f+)，2=4上，由

2

A士叵s

X2+)3=4

4

­=解得‘,，所以▲尸MN面积的最大值为C正确;

T一

对于D,因为点(3,0)在动点尸的轨迹上，当点尸为此点时，|尸根+归2=5+1=6,D错误.

故选：BC

★2.双扭线

例3.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线

条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xQy平面上，把与定点£(-《0),乃(《())

距离之积等于/(4>0)的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当4=2近时的双纽线，P是曲

线。上的一个动点，则下列是关于曲线C的四个结论，正确的是().

①曲线C关于原点对称

②曲线C上满足|P周=|P周的?有且只有一个

③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4

④若直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(f1)=(1,m)

A.①②③B.®@®C.①®@D.②③④

解析：根据双纽线的定义可得，历赤7而二加彳=/，当〃=2行时，曲线C：

1(4+2a)2+丁1一20)2+),2=8,gpy4+2y2(x2+8)+(x2-8)2=64,整理，得

(x2+r)2=i6U2-r),①：用(T,-y)替换方程中的ay),原方程不变，所以曲线C关于

原点中心对称，故①正确；

②:若曲线C上点尸满足PK1=1尸玛I，则点尸在y轴上，即A0,代入曲线方程，解得y=o,

所以这样的点仅有一个，故②正确；

③：由。2+>，2)2=16(.一一,，2),得「+),2=16(,—;)金6,所以曲线C上任意一点到原点

r+y-

的距离〃=后丁工4,即都不超过4,故③正确；

④：直线、=匕与曲线C一定有公共点(0,0),若直线)，=依与曲线C只有一个交点，

2222222

将)，=辰代入方程(x+y)=16(/一V)中，得攵+2kx(A2+8)+(x-8)=64,

3

整理，得（1+公）2%4=16（1-公）炉,方程无解，则1_公40,解得或左“故④错误.

故选：A.

例4.中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符

合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与

智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现,它有着复杂曼妙的曲线，

却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线,曲线C：

（/+）,1=912-力是双纽线，则下列结论正确的是（）

A.曲线C的图象关于原点对称

B.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线。上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

D.若直线产履与曲线c只有一个交点，则实数〃的取值范围为技）

解析：把（f—A代入（丁+力，9（/—力得（/+力2=91一川，所以曲线C的图象关

于原点对称，故A正确；令y=0解得“0,或x=±3,即曲线经过（o,o）,（3,0）,（-3,0）,

结合图象，一3三工三3,令工=±1,得产=二11铲11<1,令工=±2,得1<）,2=~I7+X/369<2>

因此结合图象曲线。只能经过3个整点，（0,0）,（2,0）,（-2,0）,故B错误；

+）/y=9（、_力可得y+）尸;9（：：：）三9,所以曲线。上任意一点到坐标原点。的

距离心巧刀公，即都不超过3,故C正确；直线产"与曲线（寸+力2=912_力

一定有公共点（0，。），若直线片床与曲线。只有一个交点，所以卜厂+厂）=9（『一））

）=履

整理得/（1+公y=9f（l—22）无解，即「公<0,解得攵，T3L”），故D正确.故

选：ACD.

4

★3.心形线

例5.（2019年北京理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：V+）,2="|刈）,

就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线。恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过人;

③曲线。所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A.①B.②C.①0D.①②③

解析：由/+9=1+国）,得,），2TMy=1一12一学=1--,1-—S）,X2

\y443

所以X可为的整数有从而曲线=1+W），恰好经过（0,1）,（0,.1）,（1,0）,（1/），

（-1,（））,（•1,1）六个整点,结论①正确.

由f+y2=1+国）,得,/+媪1+，解得犬十）,202,所以曲线。上任意一点到原

点的距离都不超过夜.结论②正确.

如图所示，易知40,-1）1（1,0）,。（11,）,。（0,1）,四边形488的面积

S.8m=1xlxl+lxl=1，很明显“心形”区域的面积大于2SABCD，即“心形”区域的面积大

5

★4.阿波罗尼斯圆

定义：已知平面上两点则所有满足=的动点P的轨迹是一个以定比为

IPB\

m:〃内分和外分定线段A3的两个分点的连线为直径的圆.若4（。。）,8（-0）,则圆的半径

功2.1

为I川明,圆心为（彳？|明,。）.

解析：设A（—c,0）,4（c,0）,P（x,y）.因为AP=/l3P（c>0,/l>。且2¥1）由两点间距离公

式得而三再了"Md）?十丁，化简得x

O2

所以点P的轨迹是以为圆心,以F7c为半径的圆.

A-1

例6.在平面直角坐标系中，三点A（-l,0）,5（1,0）,C（0,7）,动息P满足PA=yfiPB,

则

A.点P的轨迹方程为（x-3『+/=8B.面积最大时PA=25/6

C.NQ4B最大时，PA=2瓜D.P到直线AC距离最小值为殍

解析：由题意可设夕（乂丁），由PA=6PB,可得PT=208。

即（工+1）2+），2=2设+11+），2],化简可得（工一3）2->，2=8,故选项A正确；

对于选项B,|4却=2,且点尸到直线AB的距离的最大值为圆（工一3『十丁=8的半径r,

即为2&,所有△尸A8面积最大为:x2x2夜二20,此时P（3,2夜），所以

PA“（3+1）2+（2gj=2&,故选项B正确；

对于选项C,4W最大时，为过点A作圆（工-3『+>2=8的切点，求得切点不为

（3,±272）,贝j24工2卡，故选项C错误；

6

对于选项D,直线AC的方程为7x—y+7=0,则圆心（3,（））到直线AC的距离为

7x3+7=U>/2所以点尸到直线AC距离最小值为应2-2立=逑，故选项D正

yfrTl555

确；故选ABD.

结论一已知圆“-。尸+（y-加2=/上任意二点p和坐标轴上任意两点人员,…求形如

储乂土P伏尸4±2PB）的最值问题,…可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算,.

例7.已知圆。是以点M|：2,2G）和点N（6,-26）为直径的圆，点尸为圆。上的动点，若点

A（2,0）,点8（1,1）,则21MT咫的最大值为（）

A.V26B.4+丘C.8+5播D.近

解析；由题设，知；。（4,0）且|MN|=］（一2百一26）'+（6-2），=8，即圆。的半径为4,

工圆C:@一4尸+），2=16,

如上图，坐标系中a-4,0）则OD=2AC=CP=OC=4,・・・一=一=2即4/1。。△PCQ,

2

pA1

故言（亦可逆用阿氏圆，其实就是阿氏圆的几何推导）.

・・・2|网-1期=|PD|T尸6|,在△口。中|PD|一|P5|<|8D|,・・・要使IPDITP例最大,

P，丛。共线且最大值为1班）|的长度..・.|町="+4尸+1=后.故选：A

★5.四叶玫瑰线

例8.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线。：（/+），2丫=4/）,2被称为“四叶玫瑰线”（如图

所示）.给出下列三个结论：

①曲线C关于直线>=X对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1;

7

③存在一个以原点为中心、边长为行的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）.

其中，正确结论的序号是（）

A.①②B.®®C.®®D.①②③

解：对于①，用（），/）替换方程中的（g），），方程形式不变，所以曲线C关于直线）对称，

故①正确，

对于②，设点p（xy）是曲线上任意一点，贝|」（/+），2了=4/），2,则点P到原点的距离为

后17,由（/+），2）3=4/乂,4乂（£1£），解得当且仅当/=丁=3时取

等号，故②正确，对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1,

所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2,故③错误.

故选：A

★6.包络曲线

例9.（湖北省部分地市州25届高三元月联考）.直线族是指具有某种共同性质的直线的全

体，例如），=丘+1（左£可表示过点（0/）的直线族（不包括直线x=0）.直线族的包络曲线

定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切

线都是该直线族中的某条直线.已知直线族曲•+勿=l（a。eR）,则下列说法正确的是[）

A.若a=cosa〃=sine（ew[0,27i））,则该直线族的包络曲线为圆

B.若。=史"/=包里（加>〃>0力40,2兀）），则该直线族的包络曲线为椭圆

mn

C.当4=*〃=-止（/>0）时，点（%,2需）（%>0）可能在直线族上

8

D.当/+方=0时，曲线/=4)，(］±0)是直线族，”与0的包络曲线

解析：对于A,设圆。：/+),2=］上的点为「(8$夕如®,直线0P的斜率为％=吗，

8s夕

过点P作圆的切线/,由女84二-1,得勺=-铛，所以切线/的方程为

s】n〃

ms。

y-sin0=一一T2—(x-cos^),即.tcos〃+ysin〃=1,故A正确；

sin。

对于B,设椭圆£+£=1上的点为P("gs8,〃sine),过点”作圆的切线/,当切线斜率存

m~n~

77

三+二=1

在时，设了=米+人，m~n2,联立得：(//+〃厂+2幼〃?%+〃厂。2-小、~=0,

y=kx+b

22

由河〃kbM.„.n.nb止有mcosOkm殂

/zTkAincos0——-----T_79nsinu—K/TICOS6+b=-；----—不•ip荷：------=---彳—,

n~+m~k~n~+m~k~nsinOn~

k=_ncos^t所以切线/的方程为y_〃sme=-照^(x-mcos。)，即笆"+凶生=］；

msinUwsin^mn

当切线斜率不存在时，e=o或。=乃，则切线方程)'=〃和〃亦满足笆"+网皿=1,

mn

故B正确；

对于C,将卜0,2$)代入v=3rx-2f得2/-3t\+2寸=0,构造/⑺=2r3-3r\+24,

r(O=6r(r-xo),当，e(Q.0)时，A0＜0；当优(%,”)，八。＞。.所以/⑺在((V%)上单调

递减，/⑺在(.,”)上单调递增，因而当，=/时，/⑺取到最小值

/(*0)=2豌：-34玉+24=4＞。，所以/⑺在(。，+°0)无零点，2/-3产.％+2£=0无解，故C错

误；

对于D,若小,为)不在直线族上，则将小,为)代入直线)二%-5得)/-/+1=0无解,

则4=片-4%＜0,所以尤＞因而可得当小,.%)在曲线产=”上时，则一定在直线族上，

联立,'=*摄和"j得丁—=。，所以△=【吟=。，故直线尸*摄

和f=4)，相切，又，…―不包括直线y=0,所以.F=4.y(xw0)是直线族，…的包络曲线,

故D正确.故选：ABD.

★7.高次曲线

9

y_

例10.（2025•江西•一模）我们把形如-+=1（〃,A，ICR）的曲线叫作拉梅曲线，该曲

a~b

线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的.下列说法正确的

是（）

A.若〃=1,则拉梅曲线二"+上”=1围成的封闭区域的面积为4而

ah

B.若〃=:，则拉梅曲线±"+4”=1围成的封闭区域的面积小于（4-兀）/

2aa\

C.若拉梅曲线4'+f”=1与曲线⑻=1恰有4个公共点，则〃=1幅,2

aa

D.若P（』,），o）为拉梅曲线厂+邸=1上第一象限内一点，则

ab4

解析：当〃=1时，拉梅曲线方程为:+方=1为菱形，与坐标轴交于点（土。,0）,（0,±/?）,

则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为2ab,A不正确.

当〃=!时，根据对称性，不妨考虑拉梅曲线|[“+?

=1在第一象限的情形,

2\a\b

此时由小土+J，=1可得,下证-4）＜a-yja2-（x-«）2,

即证。一2y/ax+x<a-yj2(L\-x2，即证+y/2ax-x2<0，

即证4+<26,即证2a+2回(2〃-工)v4a,即证Jx(2a-x)va,

即证何加-x）v〃，即证（x-of,。，这显然成立.

因为.），=4-&2一（。一4（o＜x＜。）表示圆心为（〃,〃），半径为a的四分之一圆弧,

所以其与第一象限围成的封闭区域的面积为（1-；冗）/,

=I与第一象限围成的封闭区域的面积小于（1兀）/

则拉梅曲线二"+

a2b

则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于（4-兀）/,B正确.

当拉梅曲线£=【与曲线|对=I恰有4个公共点时,

a4

10

=1

根据对称性可知，它们在第一象限恰有1个公共点，由

孙=1,

整理得/”-"父+1=0恰有1个正根，则A=〃2"_4=0,

解得4=2,即〃=log02,C正确.

若。（%丹）为拉梅曲线［"片”=1上第一象限内一点，

*圉1+修"2超'闱，从而⑹。卜等,D正确.

故选：BCD.

★8.圆锥曲线（前面曲线）的拼接与组合

例11.（24-25高三下•浙江•开学考试）数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两

条曲线构成，曲线C：弓+£=1,上顶点为E,右顶点为G,曲线G上的点满足到F（O「1）

和直线丁=1的距离之和为定值4,已知两条曲线具有公共的上下顶点，过尸作斜率小于0

的直线/与两曲线从左到右依次交于4反。,。且以21,则（）

A.曲线G、由两条抛物线的一部分组成

B.线段AA,的长度与A点到直线），-5的距离相等

53

C.若线段A3的长度为?，则直线/的斜率为-1

64

D.若S.E=3S△皿，则直线/的斜率为-苧

11

对于A选项，设曲线G上任意一点

由G定义可知，Ky满足&+（y++1），-1|=4,移项，平方可得:

-12y+24,y>1

+(y+1)2=(4-|j-l|)2=16-8|j-l|+(y-l)2,即炉=16_4y_8|yT|=<

4y+8,)，<1

为两条抛物线，故A正确;

对于B选项，/和直线，=5分别为抛物线A-2=-12），+24的焦点和准线，由抛物线定义可知,

故B正确

对于C选项，设/与.V轴夹角为仇尸同时为抛物线f=-12），+24和椭圆的焦点，〃=6,

|^|=|^F|-|BF|=—=^,解得cos9=：,则勺=一：,故C错误.

对于D选项，易知产为抛物线V=4），+8和Y=-12y+24的焦点，前者〃=2,后者

〃=6,A£。尸分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此

69

|^|=;——-\DF\=-^—]AF\=3\DF\，由于S-=35-，则4-/=%./，因此EG/II,

l+COS。1+COS。

所以仁=攵£6=-半，故D正确，故选：ABD

三.习题演练

1.（2025•山东潍坊•模拟预测）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形

线、卵形线等.已知卵形线C,r-?J7+/=o,贝|j（）

A.C关于直线），=0对称

B.C上横、纵坐标均是整数的点恰有4个

c.C上存在点P,使得P到点（1.0）的距离小于1

D.C围成区域的面积大于4

2.（2025•安徽合肥•一模）我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线%“优美

12

曲线，，与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于，，优美曲线”C丁+25/）,2+）,2—9=0,

则（）

A.曲线C关于直线）=工对称

B.曲线。有4个顶点

C.曲线C与直线＞'=-x+3有4个交点

D.曲线C上动点。到原点距离的最小值为变

5

3.（2025•云南昆明•一模）“四叶草”形态优美、寓意美好.已知曲线。：，+9）3=（4与，）2,

其形态极像“四叶草”，设。为坐标原点，P为C上异于原点的一点，过点P作直线OP的垂

线交坐标轴于A,B两点,则（）

A.C有4条对称轴B.C围成的面积大于4冗

C.\AB\=4D..04〃的面积最大值为4

13

参考答案

1.解析：由c：*-24+y2=o,则c：(Gi)2+y2=i,对于曲线上任意点yy),其关于％轴对

称点为y),把(人,一)，)代入工一24+(-y)2=x—2«+)J=o成立，曲线关于直线y=o对称,

A对；

所以)/=1一(五一1)241=_14)，41,得0«五《2,故0<x<4,%=0时，=0；工=1时丁=±1；

工=4时)，=(),故曲线过点(0.0),(1,±1),(4,0),曲线C上恰好有4个整点，B对；

由圆(x-l)2+)，2=l过点(0,0),(1,±1),(1,0),故圆上点均在曲线上或内，所以曲线。上不存在

点尸，使得P到点(1,0)的距离小于I,C错；

如图中，四边形38在曲线C内部，故曲线。所围成区域的面积大于S办°=；x2x4=4,

D对.故选：ABD

2.解析：对于A,将X，),交换方程依然成立，所以曲线关于y=x对称，A正确；

对于B，易得曲线有四条对称轴工轴，)'轴，直线)=x，直线y=共有8个顶点，B

错误；

14

2

x+25x~/+y--9=02222

对于c,WX+25X(-X+3)+(-X+3)-9=0,

y=-x+3

即25X2(-X+3)2+2X(X-3)=0,可得X(X-3)(25_?_75X+2)=0,对于方程25/-75X+2=0,

△=(-75)2-4X25X2＞0,则方程25/-75X+2=0有两不等实根，且方程的根不为0和3,

所以方程X(A3)(25Y-75x+2)=0有4个不等实根,

从血曲线C与直线y=-x+3