人教版九年级数学上册 第21章 一元二次方程 综合提升（含答案版）

第七讲一元二次方程综合强化

定义：一般形式ax?+云+。=0(〃,/?,(7为常数，。工0)

一元二次方程的解

(直接开平方法

配方法

解一元二次方程

公式法

因式分解法

•元二次方程.

△20,方程有两个实数根

一元二次方程根的判别式：A=b2-4ac

A<0,方程没有实数根.

b

%+工，=——

一元二次方程根与系数的关系a

一元二次方程与实际问题.

典例精析

例1已知关于x的一元二次方程(x—3)(x—2)=\m\.

⑴求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;

拓展与变式1若代数式的值等于0,则*=

拓展与变式2

⑴已知关于x的方程(m—2)好一行百工+1=0有两个实数根,则m的取值范围()

A.m>—B.mW』且mW2C.D.mW3日.mW2

22

(2)已知关于x的方程x2+2kx+A2-2k+l=0的两个实数根X1,X2满足X，+X22=4,贝!k的

值.

拓展与变式3

已知XI,X2是关于x的一元二次方程x2—2（m+l）x+m2+5=0的两个实数根.

⑴若（X1—1）（X2—1）=28,求m的值；

（2）己知等腰三角形。8c的一边长为7,若xi,X2恰好是△A8C另外两边的边长,求这个三角形的

周长.

例2如图5-1,在菱形A8C。中,AC,BD相交于点O,4C=8cm,8D=6cm,动点M从点A出发沿

AC方向以2cm/s的速度匀速运动到点C,动点N从点B出发沿BD方向以lcm/s的速度匀速运

动到点D,若M,N同时出发，问：出发后几秒钟时,AMON的面积为'em，

4

拓展与变式4现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展,据调查,长沙市某家小

型“人学生自主创业”的快递公司，今年3月与5月完成投递的快递总件数分别为10万件和

12.1万件,现假定该公司每月发递的快递总件数的增长率相同.

⑴求该快递公司投递总件数的月平均增长率.

⑵如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成

今年6月的快递投递任务？如戾不能,至少需要增加几名业务员？

拓展与变式5若实数a,b满足（4a+4b）（4a+4b—2）—8=0,求a-\-b的值.

专题突破

1.（1）如果正数a是关于x的一元二次方程x2—5x+m=0的一个根，一。是关于x的一元二次方

桂x2+5x—m=0的一个根，则a的值是.

2222

⑵若m,“是两个不相等的实数，且m—m=3,n~n=3,那么代数式2n-mn+2m-^2018

2.如果x2-x~l=（x+1）2,那么x的值为（）

4.2或一18.0或1C.2D.-1

3.有两个关于x的一元二次方程,M:ax2-\-bx-\-c=0,A/:cx24-bx+o=0,其中a•c#0,aWc,下列

四个结论中，错误的是（）

A如果方程M有两个相等的实数根,那么方程N也有两个相等的实数根；

B.如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；

C.如果5是方程M的一个根,那么-是方程N的一个根；

5

D.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=l.

4.己知关于x的一元二次方程x2-（2k+l）x+k2+2k=0有两个实数根xi,X2.

⑴求实数k的取值范围；

⑵是否存在实数k,使得X1X2-X12-X22^O成立?若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由.

9女」图，在等边AA灰?中，。是6c下方一动点，且N8PC=120。，PB,PC是关于x的一元二次方程

（〃一2）1一432—2.—3=0的两根，求办的长度.

10.如图，在平面直角坐标系中，阳山403的两直角边（）A,03分别在x轴，y轴的正半轴上（0AVO3）,且

0A,03的长分别是一元二次方程『一14x+48=0的两个根.线段A8的垂直平分线C。交AB于点C,交工轴

于点D,点、P是直线CD上一个动点，点、Q是直线AB上一个动点.

（I）求A,8两点的坐标；

（2）求直线C。的解析式；

（3）在坐标平面内是否存在点M,使以点C,P,°,M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为

长？若存在，请直接写出点历的坐标；若不存在，请说明理由.

2

第七讲一元二次方程综合强化（解析版）

定义：一般形式ax?+法+。=0（凡/?,。为常数，。工0）

一元二次方程的解

直接开平方法

配方法

解一元二次方程

公式法

因式分解法

一元二次方程《△20,方程有两个实数根典例精析

一元二次方程根的判别式：A=b2-4«c

A<0,方程没有实数根.

X+=一

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程与实际问题.

例1已知关于x的一元二次方程（X-3）（、-2）=同.

⑴求证:对于任意实数初方程总有两个不相等的实数根；

⑵若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根

【分析】（1）将原方程展开成一般式，求判别式△;（2）利用根与系数的关系求解.

【解】（1）将原方程展开可得好-5x+6一|时=0,cr=l,b=—5,c=6~\m\

」二〃一4m=1+4|小|>0,・••方程总有两个不相等的实数根

将x=l代入原方程,得至l」|m|=2,，m=±2.

综上所述,m=2或m=~2,另一个根为x=4

【点评】根据题中所给信息，灵活运用判别式及根与系数的关系来处理问题.

拓展与变式1若代数式的值等于0,则x=_2_____.

4x-6

拓展与变式2⑴已知关于x的方程（m-2）x2-F/工+1=0有两个实数根,则m的取值范围

答案：8提示:由△»(),可求得mW工，同时小一2r0,故选6.

2

A.m>—B.且mW2C.m23D.mW3且mW2

22

22

(2)已知关于x的方程x2+2kx+k2—2k+1=0的两个实数根XI,X2满足XI+X2=4,贝！k的值

1.

拓展与变式3已知XI，X2是关于x的一元二次方程M—2(m+l)x+m2+5=0的两个实数根.

(1)若(X1—1)(X2—1)=28,求m的值:

(2)已知等腰三角形48c的一边长为7,若xi,x2恰好是8c另外两边的边长,求这个三角形的

周长.

2

解:⑴由根与系数的关系得xi+x2=2(/n4-1),x1x2=m+S；

V(K1—1)(X2—1)=28.

Z.X1X2-(X1+X2)+1=28,

(m?+5)-2(m+l)+l=28.

•*•13~2m-24=0

4,f7?2=6.

由△》()得m22,：.m=6.

(2)当底边为7时，则两根相等，

[―2(m+l)]2—4(m2+5)=0.

，m=2,代人原方程解得XI=X2=3,不能构成三角形.

当腰为7时，代人原方程可得m=4,m2=10.

当m=4时，原方程变为x2-10x+21=0.

解得Xi=3,X2=7,周长为17：

当阴=10时，原方程变为x?-22x+105=0,

解得xi=7,X2=15,不能构成三角形

综上所述，三角形的周长为17.

【反思】解题时,若方程有根,不能忽略△20这个条件

例2如图5—1,在菱形ABCD中,ACyBD相交于点O,4C=8cm,8。=6cm,动点M从点A出发沿

4c方向以2cm/s的速度匀速运动到点C,动点N从点B出发沿BD方向以lcm/s的速度匀速运

动到点D,若M,N同时出发，问：出发后几秒钟时,AMON的面积为LcmL

4

图5-1

【分析】根据运动中M,N,O三点的位置关系,可分为点M在线段A。上，点N在线段BO上；

点M在线段OC上，点N在线段BO上；点M在线段OC上，点N在线段。。上三种情况分别讨

论

【解】设出发后ts时,SZI.MON=—cm）.

4

（1）当t<2时，点M在线段A0上，点N在线段BO±,-（4-2t）（3-t）='

24

解得上==也，,・丁<2,・・・t==也.

222

⑵当2<t<3时，点M在线段0C上，点N在线段BO±,-（2t-4）（3-t）=

24

解得fi=t2=|-.

2

⑶当t>3时，点M在线段0C上，点/V在线段0D上,，!⑵-4）（L3）=L

24

解得：t2==g（舍去）,

22

综上所述，出发后士也5,3$,”正s时，△MO/V的面积为‘cm2

2224

【点评】本题考查分类讨论的思想及一元二次方程的应用，通过点的不同位置来进行分类讨论.

拓展与变式4现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展,据调查,长沙市某家小

型“大学生自主创业”的快递公司，今年3月与5月完成投递的快递总件数分别为10万件和

12.1万件,现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.

⑴求该快递公司投递总件数的月平均增长率.

⑵如果平均每人每月最多可投递0.6万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成

今年6月的快递投递任务?如具不能,至少需要增加几名业务员？

.解乂1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为X.

依题意，得10（1+X）2=12.1

解得X1=O1,X2=-2.1（不合题意，舍去）.

答该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%

⑵今年6月的快递投递任务是12.1X（l+10%）=13.31（万件），因为平均每人每月最多可投递快递0.6万件，则

21名快递投递业务员能完成的快递投递任务

是0.6X21=12.6V13.31,则该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月的快递投递任务。因

（13.31-12.6）4-0.6^1.18,故需要增加2名业务员.

答:该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月的快递投递任务，至少需要增加2名业务员.

拓展与变式5若实数a,b满足(4a+4b)(4a+4b—2)—8=0,求a-\-b的值.

解:令t=a+b,则原方程可化为4i(4L2)—8=0,解得匕=一'-,t2=l,即a十b=l或一L

22

【反思】一元二次方程可应用于各种题型中，要考虑到各种题型背景下所要注意的各个方面.

专题突破

1.(1)如果正数a是关于x的一元二次方程x2-5x+m=0的一个根,一Q是关于x的一元二次方

程、2+5x—m=0的一个根,则Q的值是5.

⑵若m,n是两个不相等的实数,且m2—m=3,n2—n=3,那么代数式2n2—mn4-2m24-2018=

2035.

2.如果x2—x—l=(x+l)2,那么x的值为(C)

42或一18.0或1C.2D.-1

3.有两个关于x的一元二次方程,M:ax24-bx+c=0,N:cx2+bx+a=0,其中a,c#0,aWc,下列

四个结论中，错误的是(D)

A如果方程M有两个相等的实数根,那么方程N也有两个相等的实数根；

B.如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；

C.如果5是方程M的一个根,那么，是方程N的一个根；

5

D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=l.

4.已知关于x的一元二次方程x2—(2k+l)x+k2+2k=0有两个实数根M,X2.

⑴求实数k的取值范围；

⑵是否存在实数k,使得MX2-X12-X2220成立?若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由.

.解:(1)・・・原方程有两个实数根

(2k+1)]-4(k2+2k)20.

1—420,解得kW

(2)假设存在实数k,使得xlx：—xl-x:220成立，

则3xlx：-(xl+xl)2^0,

3伙2+2)—(2k+T)220,整理得一(女-1)220

，只有当k=l时，上式才能成立，又由⑴知kW

，不存在实数k,使得xlx：—xl—x:220成立，

5.2019年，某市一楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为

了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2021年的均价为每平方米5265

元，

（1）求平均每年下调的百分率；

（2）假设2022年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买该楼盘一套100加的住房，他

持有现金20万元，可在银行贷款30万元，问：张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均

价计算）

解:⑴设平均每年下调的百分率为x

依题意,得6500（1-x）2=5265,

解得xl=Ol,x:=1.9（不合题意,舍去）

下调的百分率为10%

⑵如果下调的百分率相同，2018年的房价为

5265X（l—10%）=4738.5（元/平方米）

则100W的住房的总房款为

100X4738.5=473850（元）=47.385i万元）

V20+30>47.385,二可以实现.

6.如图，点E,F,G,〃分别位于正方形A3CQ的四条边上，匹边形EFG”也是正方形，A8=2.（1）求正

方形EFG”的面积最小值；（2）当正方形EFG"面积为3时，，求AE的长.

答案：设贝ij8E=2—x,易证8/=AE=x

(1)S£EECH=EF2=X1-\-(2—x)2=2(x-1)2+2,当x=l时，S正EK〃公小=2；

(2)2(A—1)2+2=3,・"=1+也~E=1-巫.."£?=1+史或1-立

2222

7汝」图，已知正方形A8CQ的边长为6,E,"分别是A3,3c边上的点，且产=45。，E产=5,求3尸的

长.

答案：延长8C到G,使CG=HE,连接。G.易得△4£)£；0△COG,ZADE=ZCDG,

••・/EQF=NG。尸=45°.易证△/)FFgaOGF.，£77=FG=5.设BF=x,

则C/=6—心CG=x-1,AE=CG=x~\,BE=Lx.在RmBEF中,B产+BF?=E产,

J(7-x)2+?=52..\XI=3,及=4.・・・3尸=3或4.

8.如图，等边A/WC中，D,E为BC边上的点,BD=2CE,NDAE=30。，DE=3,求CE的长.

答案：将“〃。绕A点逆时针旋转到“仃，连接£尸，过“作FH_L£C的延长线于〃.

设C£=x,贝ij8O=2x,FC=2x,ZECF=120°,ZFCH=60°,CH=x,FH=g.

222

易证，OE=£T=3.在中，EH+FH=EF.(2A)2+(>/3x)2=32,

・_3".3>/7

••?AT-9.•»x---------，••