中点模型（5大模型清单+模型大招）-2026年中考数学一轮复习解析版

专题02中点模型

01：模型识别•一眼定位

等腰三角形的三线合

/直角三角形斜边上的中线

（中点模型y倍长中线构造全等三角形

,中位线

V圆中垂径定理

01：模型突破•变式通关

模型一：等腰三角形的三线合一

【典例1】（2024•云南）已知4户是等腰△ABC底边BC上的高，若点尸到直线A3的距离为3,则点尸到

直线AC的距离为（）

37

A.~B.2C.3D.

22

【解答】解：TA”是等腰△ABC底边3c上的高，

・・1厂是顶角N84C的平分线，

•・•点产到直线A8的距离为3,

・•・点尸到直线AC的距离为3,

故选：C.

【变式1】（2025•湖南模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC,4。平分/B4C交BC于点D,AD=5,

CD=3,则△力风?的面积为.

BDC

【答案】15

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得4。•LBC,BC=2CD=6,再根据三角形面积公式求解即

可.

本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【详解】解：•••在中，AB=AC,4。平分484c交于点D,

・••ADIBC,BC=2CD=2x3=6,

•••AD=5,

：•S"8c=-/ID=Ix6x5=15,

即AABC的面积为15,

故答案为：15.

【变式1-2］（2025•湖南湘潭模抵预测）如图，在等腰三角形ABC中，乙6=70。，点。是边BC的中点，则

4B4D的度数为度.

B

D

【答案】20

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，根据三线合一可得NADB=90。，

进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解.

【详解】解：二•在等腰三角形48C中，点。是边8c的中点，

r.AD1BC,^\Z-ADB=90°,

vLB=70°,

「"A。=90。-70。=20。

故答案为：20.

【典例2】（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB=AC.分别以点3和点C为圆心，大于?8。的长为半径作

孤，两弧交于点。，作直线AZ）交8c于点E.若NB4c=11。°,则N84E的大小为度.

【解答】W：*：AB=AC.

•••△A8C是等腰三角形，

•・•分别以点8和点C为圆心，大于18c的长为半径作弧，两孤交于点。，作直线AQ交4C于点£

・・・AE垂直平分BC,

・・・AE是N8AC的平分线，

：.ZBAE=^BAC=55°.

故答案为：55.

【变式2-1］（2025•阎良区一模）如图，ZkABC为等腰三角形，AB=AC,人。为BC边上的中线，点P在人/）

上，连接PC,若P/3=13,PD=5,则C。的长为（）

A

【解答】解：•••AB=AC,AD为BC边上的中线,

：.AL）A-HC,BD=CD,

•；PB=13,PD=5,

ABD=\lBP2-PD2=V132-52=12,

故选：C.

【变式2-2］（2025•婺城区二模）如图，在△A4C中，A6=AC,点。是BC的中点，点上在8。上，连结

AO,AE,AE=BE.

（1）若N8=40°,求ND4E的度数.

（2）若CA=CE,求N8的度数.

【解答】解：（1）由条件可知/C=NB=40°,

・・・NZMC=180°-40°-40°=100°,

•・•点。是3c的中点，

AZBAD==50°,

•：AE=BE,

/.ZfiAE=ZB=40°,

：,ZDAE=ZBAD-ZBAE=\\）°；

（2）由条件可知/C4E=/CEA,

根据解析（1）可知：NB=NBAE,N8=NC,

ZCAE=NCEA=NB+NBAE=2NB,

:.NBAC+/B+NC

=/BAE+NCAE+/B+NC

=5ZB,

VZBAC+ZB+ZC=180°,

・•・5/8=180°,

解得：N8=36°.

【典例1】（2025•陕西）如图，在△A8C中，NAC8=90°,ZA=20°,CQ为A8边上的中线，DEA.AC,

则图中与NA互余的角共有（）

【解答】解：•••/ACB=90°,CD为AB边上的中线,

CD=夕8,

:.CD=AD=BD,

：・NB=NBCD,

*：AD=CD,DE工AC,

ZADE=ZCDE,

•••/A+N4OE=90",NA+N8=90°,

・•・图中与NA互余的角共有4个.

故选：C.

【变式IT】(2023•株洲)一技术人员用刻度尺(单位：c〃?)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知/

4c8=90°,点。为边A8的中点，点小8对应的刻度为I、7,则CQ=()

D.6cm

【解答】解：由图可得，

ZACB=9(r,AB=7-1=6(c/n),点O为线段A5的中点,

CD=^AB=3cm,

故选：B.

【变式1-2］（2025•德阳）如图，在RtZXABC中，NAC8=90。，将△A4C沿C5方向向右平移至△EG"

处，使EF恰好过边A5的中点。，连接CQ,若CD=l,则GE=（）

1

A.3B.2C.1D.-

2

【解答】解：在RCABC中，NACB=90°,。是边48的中点，

・・・C。是RtZ\ABC斜边上的中线，

：,AB=2CD,

,:CD=1,

，A8=2,

由平移得，GE=AB=2,

故选：B.

【典例2】（2025•浙江）如图，在RtZXABC中，NA=35°,CZ）是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD

长为半径作弧，与A8的另一个交点为点£若48=2,则历的长为（）

C

:

>B

ADE

12

A.非B.不c.

【解答】解：・・・NAC3=90°，。是AB的中点,

1

/.CD=:八9,

:・CD=AD,

，/ACO=N4=35°,

：,ZCDE=NA+N4CQ=70°

由题意知：CD=CE,

:・/CED=/CDE=70°,

・・・NQCE=180°-70°-70°=40°,

VAB=2,

ACD=Ix2=l,

•rCr'AA|Z407rx12

・・£^的长=[^-=短1.

故选：B.

【变式27】（2025•绥中县二模）如图，在△ABC中，N4/3C=90°,。是AC的中点，过点A,4分别作

AE//BD,BE//AC.若A8=5,8c=12,则四边形AE8。的面积为（）

A.15B.30C.45D.60

【解答】解：由条件可知=2x12x5=30,

•・•点。是AC的中点，

,•S&ABD=4sAz18c=3X30=15,

,:AE〃BD,BE//AC,

・•・四边形AEBD是平行四边形，

SQAEBD~2,S^ABL)—2X5—30.

故选：B.

【变式2-2］（2025•山阳县模拟）如图，在RlZ\ABC中，N84C=90°,/8=3NC,AM为Z\ABC的一条

中线，AN为△人8C的一条高，则图中的等腰三角形共有（）

BNM

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：VZBAC=90°,ZB=3ZC,

AZB+ZC=1800-ZBAC=90°,

・・・4NC=90°

AZC=22.5°,

二•AM为AABC的一条中线，

：,AM=BM=CM,

△4MC都是等腰三角形,NMAC=22.5°,

•••AN为△/WC的一条高，

••・NANC=90°,NNAC+NC=90°,

AZM4C=90°-22.5°=67.5°,

则ZAMC=67.5-22.5=45°,

/.ZAMN=22.5°+22.5°=45°,

•••△ANM是等腰直角三角形，

故选：C.

模型三：倍长中线构造全等三角形

海模型大招

将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形(倍长中线)，例：

(1)如图，在中，为的中线，延长49至点£使得。£=力。连接8£则△力。小2X£。8

E

(2)如图，在中，£。为的中线，延长力。至点£使得。£=力。连接则四边形力•是

平行四边形.

A

【典例1】（2025•南山区校级三模）如图，在△A3C中，NZMC=90°,。为8。中点，BE=3,DEVDF,

CF=V7,则七尸=

连接4G、EG,

G

•・・。为BC中点,

:・BD=CD,

在△3QG和△CO厂中,

<BD=CD

{Z.BDG=乙CDF,

<GD=FD

:ABDG/4CDF(SAS),

：.BG=CF=V7,NDBG=NC,

DEIDF,GD=FD,

:・EF=EG,

•・・NZMC=90°,

・・.NA8C+NC=90。，

••・N48C+NO8G=90°,

即NEBG=90°,

：.EG=yjBE2+BG2=J32+(V7)2=4,

.\EF=EG=4,

故答案为:4.

【变式IT】（香坊区校级四模）如图，点。是RtAABC的斜边8C的中点，点七、厂分别在边AB、4c上,

HBE=BD=CF,连接。E、DF,若DE=7&，DF=\0,则线段BE的长为

【解答】解：如图，延长尸。至点P,使得。P=OF,连接BP,EP,过点E作EQ_LFO于点

在△8。〃和/中，

[BD=CD

\/.BDP=乙CDF,

lPD=FD

:.△BDP"ACDF(SAS),

:・BP=CF,NPBD=NC,

VZC+ZABC=9O0,

：,ZPBD+ZABC=90°,

即NA3，=90。，

YBE=CF,

:・BE=BP,

・•・△3EP为等腰直角三角形，

:・EP=显BE,

•・・NA8C+NC=90°,BD=BE,CD=CF,

：.ZBDE+ZCDF=\35°,

：.^EDQ=45°,

♦：ED=7\/2,

:.EQ=DQ=7,

:・EP=y/EQ2+PQ2=13a

；・3E=13.

故答案为：13.

【变式1-2］（2024•邢台模拟）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,在4

4BC中，若AB=13,AC=9,求BC边上的中线AO的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长40至点E使。连接BE,容易证得

△ADC2EDR,再由“三角形的三边关系”可求得人。的取值范围是.

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件

和所求证的结论集中到同一个三角形之中.

（2）【初步运用】如图2,A。是△ABC的中线，BE交AC于E,交4。于尸，且若AE

=4,EC=3,求线段8尸的长.

（3）【拓展提升】如图3,在△ABC中，D为BC的中点，OE_L。/分别交A8,AC于点E,F.求证：

BE+CF>EF.

图1图2

【解答】（1）解：延长AQ至点£,使。E=4。，连接3£,

在△AQC和△EQ8中，

fBD=DC

1/.BDE=/.ADC,

lAD=DE

:.丛ADC沿4EDB(SAS),

，8E=AC=9,

,：AB-BE<AE<AB+BE,

：.4<AE<22

：,2<AD<\\,

故答案为：2VADVI1.

(2)延长AQ到M,使4。=。例，连接8W,如图2,

A

.1/

;人。是△48C中线，

:.BD=DC,

在△AQC和△M。“中，

(BD=DC

\z-ADC=乙BDM,

lAD=DM

:.XADCm4MDB(SAS),

：,BM=AC,NC4O=NM,

ZAFE=NAEF,

：.AE=EF=4,

：,AC=AE+CE=1,

：,BM=AC=1,

：.NCAD=/AFE,

'：ZAFE=ZBFD,

・•・ZBFD=ZCAD=NM,

：・BF=BM=AC,

即AC=BF=7；

(3)证明：如图3,延长ED到点G,使GO=E。，连接CG、GF,

图3

丁。是8C边上的中点，

:.CD=BD,

在ZXCOG和△8OE中，

fGD=ED

\LCDG=乙BDE,

[CD=BD

：.^CDG^ABDE(SAS),

:,CG=BE,

,：CG+CF>GF,

:.BEtCF>GF,

♦：DE工DF,GD=ED,

・・.。尸垂直平分£G,

:・GF=EF,

：,BE+CF>EF.

【典例2】(沙坪坝区校级模拟)如图，△ABC中，。在48上，E在上，ZAED=ZABC,尸在4E上,

EF=DE.

(1)如图I,若CE=BD,求证：BE=CF；

(2)如图2,若CE=AD,G在上，NEFG=NEFC,求证：CF=2GF；

(3)如图3,若CE=AD,EF=2,ZABC=30°,当周长最小时，请直接写出△比了的面积.

AA

BECBECBEC

图1图2图3

【解答】(1)证明：二/DEC=/AED+乙卜EC,/DEC=/ABC+4EDB,NA")=NA〃C,

:・/FEC=NEDB,

■:EF=DE,CE=BD,

:•△FEgAEDB(SAS),

:.BE=CF；

(2)证明：延长AB至“使D”=A。，由(1)得4FEC冬AEDH,

:・FC=HE,NCFE=/HED,

延长EO至/使。/=EQ,连接A/,EF=DE=^1E,

f：DH=AD,/ADI=/HDE,

：.△AD/^AHDE(SAS),

:・AI=HE,NHED=NAID,

：.AI=FC,NAID=NCFE,

■:ZEFG=NEFC,

：.ZEFG=ZA1D,

•:/FEG=/IEA,

:.丛FEGs丛IEA,

*GFEF

••=,

AIIE

*GF1

CF2

：,CF=2GF；

(3)解：延长FE至/使

"：EF=DE

：.EJ=DE

■:/FEC=NEDB,

AZCEJ=ZADE,

•:CE=AD,

•••△CE/也△AOE(SAS),

/.ZCJE=NAED,

VZAED=ZABC,NABC=3D°,

・・・NC7E=30°,

过E作JC的对称点£7,连接CE、FE、CE、JE

,,

CACEF=EF+CF+CE=2+CF+CE^2+FE,

・••当RC、&三点共线时周长最小，

当周长最小时如图所示:

A

D

VZCJE=30°,

AZ£J£,=60°,

,:JE=JE,

•••△E/E是正三角形，

AZJEF=60°,EE=EJ=EF,

：・/EFE=/EEF=30°,

VCE=CE,

.,.ZCEE=ZFFF=30°,

/.ZCE/=90°,

AZFEC=90°,

・FE2273

:EC=百=75=丁

VZAED=30°,

AZBED=60a,

・・・N8DE=90°,

：.BE=2DE=4,

・•・SMCF=|xBCXEF=BC=BE+EC=4+竽

【变式2-1](2024•兴宁区校级模拟)【模型启迪】

(1)如图1,在△A8C中，。为4C边的中点，连接AO并延长至点H,使Q4=A。，连接64,则AC

与4〃的数量关系为,位置关系为;

【模型探索】

(2)如图2,在△ABC中，。为8c边的中点，连接A£>,E为AC边上一点，连接3E交AZ)于点F,

nBF=AC.求证：AE=EF；

【模型应用】

(3)如图3,在(2)的条件下，延长AC至点N,使AN=A&连接BN,交AD的延长线于点若A3

9

=7,AC=5,DM=求线段C。的长.

图1图2图3

【解答】（1）解：•・•。为3c边的中点，

：・BD=CD,

二△ACO和△〃3O中，

CD=BD

/.ADC=乙HDB,

AD=HD

:,△ACD/»HBD（SAS）,

:.AC=BH,NACD=NHBD,

:・AC〃BH,

故答案为：AC=BH,AC〃BH：

（2）证明：延长A3至点G,使。G=AD连接4G,

、・

G

由(I)同理可得：AACDgGBD(SAS),

：.AC=BG,NCAD=NBGD,

,：BF=AC.

:.BG=BF,

；・ZBGD=ZBFG=ZAFE,

AZAFE=ZCAD,即

：.AE=EF；

（3）解：延长A。至点G,使OG=4。，连接8G,

由（2）可知，△ACO0G8O,

：.AC=BG=5,NCAD=/BGD,

.\BG//AC,

:ZMGSRNMA,

•_B_G__M_G_

・'AN-AM'

设AD=DG=Xy

22

：,AM=AD+DM=x+^MG=DG-DM=x-^,

，：AN=AB=Q,

5

•■•

7

整理得：6.v-24=0,

解得:x=4,

经检验，x=4是原方程的解，

，AO=4.

【变式2-2］（2024•二道区校级模拟）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在△ABC

中，若AB=5,AC=3,求8c边上的中线AO的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解

决方法：延长AO到E,使得，DE=AD,再连接/法（或将△AC。绕点。逆时针旋转180°得到△£/，）），

把48、AC、24。集中在△48E中，利用三角形的三边关系可得2VAEV8,则1VAQV4.

【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延

长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的

方法称为“中线加倍”法.

【解决问题】如图②，在△A3C中，点。是边5。的中点，点E在边43上，过点。作。交边

4C于点F,连接£/.

（2）若乙4=90°,则线段BE、CF、之间的等量关系为.

（3”应用拓展】如图③，在△A8C中，NABC=90°,点。为边AC的中点，点£和点尸分别在边A8、

BC上，点M为线段E尸的中点.若AE=2,CF=5,则。M的长为.

【解答】（1）证明：如图，延长EO到点G,使得EO=OG,连接GF、GC,

:.EF=FG,

•••。是8c的中点，

：.BD=CD

又二4BDE=/GDC,

工△DBE94DCG(SAS),

:・BE=CG,

在△C/G中

*/CG+CF>GF,

：,BE+CF>EFx

(2)解：如图，延长到点G,使得EO=OG,连接G"、GC,

VZA=90°，

・・・N8+NAC3=90°,

由（1）可知△Q3EgZ\QCG,EF=FG,

:・BE=CG,乙B=^BCG,

・•・ZGCA=ZBCG+ZACB=W

在Rt^CFG中，

VGC2+CF2=GF2,

:.BE2+CF2=EF2,

故答案为：BEr+CF1=EF1x

(3)如图，如图，延长EO到点G,使得EO=QG,连接GF、GC,

VZfi=90°,

AZA+ZACB=90°,

由（1）可知△»!£：且ZkOCG,

・・・A£=CG=2,ZA=ZACG,

：.ZGCB=ZBCA+ZACG=9^,

在Rl^CFG中，

'：GF=>/GC2+CF2=<22+52=V29,

VM,D是EF、£G的中点，

：.DM是XEFG的中位线，

:.DM=#6=学

故答案为：|V29.

模型四：中位线

【典例1】（2025•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在网格线的

交点上，点。，石分别是边8人，CA与网格线的交点，连接OE,则。石的长为（）

A.-B.1C.V2D.V3

2

【解答】解：如图，由题意可知，BC=AF=BG=2,NAH）=N8GO=90°,

又：/ADF=/BDG,

:AADF@4BDG(A4S),

:・AD=BD,

同理：AE=CE,

・・・OE是△A8C的中位线，

1

・，DE=扣。=I,

故选：B.

【变式1T】（2025•广东）如图，点。，E,尸分别是△A8C各边上的中点，ZA=70°—DF=()

A.20°B.40°C.70°D.110°

【解答】解：丁点Q，E分别8C、A3的中点，

・•・£）£是△A8C的中位线，

：.DE//AC,

，NOEB=NA=70°,

同理可得：DF//AB,

1/EDF=/DEB=70°,

故选：C.

【变式1-2］（2025•内蒙古）如图，A6C。是一个矩形草坪.对角线AC、8。相交于点O,“是6c边的中

点，连接且。"=20/〃，AD=30m,则该草坪的面枳为（）

1800层C.1200,7rD.600后

【解答】解：:四边形ABC。为矩形,

：.CO=OAf

•・•〃是BC边的中点,

二。”是△A8C的中位线,

・・・AB=20，=2X20=40(/«),

,该草坪的面积为:40X30=1200（m2）,

故选：C.

【典例2】（2025•碑林区校级二模）如图，/XABC中，”是8c的中点，4。平分N84C,_LA£>于点D,

若AB=4,AC=6,则M。等于（）

C.2D.1

【解答】解：延长8。交AC于从

在△AO8和△/1/)〃中

(ZBAD=/HAD

]AD=AD，

(Z.ADB=乙ADH

AAADB^/^ADH(ASA)

：,AH=AB=4,BD=DH,

・・・HC=AC-AH=6-4=2,

，：BD=DH,BM=MC,

・•・DM是△8CH的中位线，

：,DM=^HC=1,

故选：L).

【变式2-1］（2025•潢川县一模）如图，DE是△ABC的中位线,N人C8的平分线交。后于点尸，连接人尸并

延长交8c于G,若AC=12,DE=1（）,则8G的长为（）

A.6B.8C.10D.12

【解答】解：石是△人BC的中位线，

：,DE//BC,EC=^AC=6,

是NAC/3的平分线，

AZGCF=ZACF,

*：DE//BC,

：.ZGCF=ZEFC,

・•・ZACF=ZEFC,

1

:,EF=EC=^AC=

：.DF=DE-EF=10-6=4,

，4G=2Q〃=8,

故选:B.

【变式2-2］（2024•凉州区二模）如图，在四边形A8CO中，AC=BD,4C、8。交于点O,E、尸分别是A8、

CO中点，即分别交AC、BD于点、H、G.求证：OG=OH.

【解答】解：取8c边的中点连接EM,FM,

・・・M尸分别是SC、CO的中点,

:.MF〃BD,MF=』BD,

同理：:〃AC,ME=^AC,

\'AC=BD,

:.ME=MF,

：.NMEF=NMFE,

*：MF//RD,

/MFE=NOGH,

同理NM£F=NO"G,

：,ZOGH=ZOHG,

：.OG=OH.

模型五：圆中垂径定理

»模型大招

当圆心与弧(或弦)的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：

Z--X~-S

(1)如图,AB=BC连接HC、08.贝IJO8_L/C08平分力C

【典例1】（2024•通辽）如图，圆形拱门最下端A8在地面匕。为A8的中点，。为拱门最高点，线段CD

经过拱门所在圆的圆心，若AB=1〃?,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（）

©

A.1.25〃?C.1.4〃?D.1.45/n

【解答】解：如图,连接OA,

•••。为的中点，C为拱门最高点，线段C。经过拱门所在圆的圆心，AB=\m,

：.CDLAB,AD=BD=0.5,

设拱门所在圆的半径为厂小,

：,OA=OC=r,而C'O=2.5〃?,

，00=2.5-r,

A?-2=O.52+(2.5-r)2,

解得：r=1.3,

・•・拱门所在圆的半径为1.3加；

故选B.

【变式1-1］（陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西丸方特色美食之一.图②是从正面看到的一

个“老碗”（图①）的形状示意图.AS是OO的一部分，。是油的中点，连接0。，与弦A8交于点C,

连接0A,0B.已知AB=24c/〃，碗深CO=8cm,则。。的半径。4为（）

图①图②

A.13cmB.16cmC.11cmD.26cm

【解答】解：：油是。。的一部分，。是能的中点，AB=24em,

：.OD±AB,AC=BC=^AB=\2cni.

设。。的半径。4为Rem,则0C=0D-CD=（R-8）cm.

在RtZXOAC中，・・・NOCA=90°,

：.OA2=AC2+OC2,

A/?2=122+（R-8）2,

.*./?=13,

即。。的半径。4为13cm.

故选：A.

【变式1-2］（2025•芾田模拟）如图，将。。沿A8折叠，半径。。长12,fL0C±AB,肪恰好经过0C的

中点。，则折痕4B长为（）

—

A.3同B.6V15C.12D.6百

【解答】解：延长。。交48于£点，连接。8,

\*CELAB,

・•・£为的中点，

V00=12,。为OC的中点，

：.CD=OD=6,OB=\2,

：.DE=^(12X2-6)=|xl8=9,

；・OE=9-6=3,

在RtZUMT?中，根据勾股定埋可得：(用2+1正2=(加2,即32+3£2=122,

解得BE=3同，

ZM^=6V15.

故选:B.

【典例2】（2025•海珠区校级二模）如图，点4,B,C在半径为2的。0上，AC与OB交于点。，点。是

4c的中点，OC〃NB,则AC=.

【解答】解：•••点。是AC的中点，

・•・OBLAC,

：.AD=CD,乙ODC=/BDA=90°,

•.*OC//AB,

：・NOCD=NBAD,

:.△OCDW4BAD(ASA),

・•・OC=AIi,

•：OA=OB=OC,

：,OA=OB=AB,

•••△OA3是等边三角形,

AZAOD=60°,

/.sinZAOD=黑=孚

\'0A=2,

：.AD=V3,

A/\C=2V3,

故答案为：2国.

【变式2-1］（2025•武汉模拟）如图，在。。中，点C是油的中点，CO垂直平分半径。4,BD=2>/7,则

该圆的半径为（）

D.V7

：.OA=OC=OB,

设OD=a,

•・・C。垂直平分半径Q4,

：.AC=OC,AD=OA=a,

:.OA=OC=AC=2a,

•••△04C是等边三角形,

・・・NOC4=60°,

：,ZOCD=^ZOCA=30°,

在RtZSOCD中，由勾股定理得：CD='"2_0"=J（2E）2-M二岛,

•・•点C是弧AB的中点，

：.AC=BC,

：.OB=OC=BC,

•••△O8C'是等边二角形，

VOB=OC=BC=2a,/0。=60°,

:・NBCD=NOCB+NOCD=6T+30°=90°,

•••△4CO是直角三角形，

在Rl^BCO中，由勾股定理得：CD2+BC2=BN,

,:BD=26

・•・（（图）2+（2。）2=（2⑺2,

整理得：d=4,

解得：4=2,a=-2（不合题意，舍去），

：.OA=2a=4,

即该圆的半径为4.

故选：儿

【变式2-2］（2025•雁塔区校级四模）如图，点A是优弧8C的中点，过点8作AC的垂线交AC于点E,

与圆交于点。.若N8OC=6（T,且AE=3,则圆的半径为（）

C.3V2D.3V3

【解答】解：如图所示，连接3C,

A

・・・乙4=/。=60°,

■:BD1AC,

：.ZABE=30°,

：.AB=2AE=(),

•・•点A是优弧8c的中点，

：,AB=AC,

：.AC=2AE=6,

：.AE=CE,

VZAEB=ZCEB=9Q°,BE=BE,

:.△ABE/MBE(SAS),

：.ZABE=ZCBE=30°,BC=AB=6,

VZfiDC=60°,

AZ«CD=90°,

・M。是圆的直径，

VBD=2CD,BC2+CD2=BD1,

：.61+CD1=(2CD)2,

:・CD=2>/3,

：.BD=2CD=4V3,

・•・圆的直径为4百，

・•・圆的半径为275.

故选:故

03：模型闯关•能力达标

1.（2025•中山市校级模拟）如图，P是线段A8所在直线上的一动点，点C,。在A8的两侧，CA1AB,

DBA.AB,AB=4,AC=3,DB=2,连接PC,PD,分别取PC,P。的中点M,N,连接MM随着点尸

的运动，线段MN的长（）

B.保持不变，长为|

C.保持不变，长为2

D.保持不变，长为今

【解答】解：如图，连接CO,过点C作CE_LOB,交。8的延长线于E,

则四边形4BEC为矩形，

ZE=90°,BE=AC=3,CE=AB=4,

：.DE=DB+BE=2+3=5,

由勾股定理得：CD=VOE2+CE2=V52+42=x/41,

•.•点M,N分别为PC,P。的中点，

:.MN为丛PCD的中位线，

:,MN=|CD=竽，且MN的长保持不变，

故选：。.

2.（2025•榆阳区校级三模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形.如图是某地

的石拱桥局部，其跨度/W为24米，液所在圆的半径为20米，则这个弧形石拱桥的拱高1然的中点C

到弦A8的距离）。。为（）

D.2米

【解答】解：点0为砂所在圆的圆心，连接OA，OD,

由题意得：AD=BD=^AB=12,ODLAB,AO=20,

设CO=x,则。0=20-x,

*：AD1+DO2=AO2,

即122+(20-X)2=2。2,

Axi=4,X2=36（舍去）.

故选：C.

3.（2024•石泉县模拟）如图I是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示

的圆弧血（.AB所在圆的圆心为O）,弓弦部分人8的长为4力力，点£）是弓臂AB的中点，ODART

点C,。、C两点之间的距离为1dm,则弓臂AB所在圆的半径为（）

C.3dmD.4dm

【解答】解：•・•点。是弓臂AB的中点,

，OD上AB,

.\AC=2dm,

,**CD—1dm,

：・0C=（r-1）dm,

*：0A2-0（^=AC2,即J-（「-1）2=22,

r=2.5（dm）,

故选：B.

4.（2025•赤峰模拟）如图，在RtZ\A8C中，ZC=90a,AC=3,8c=4,点。是BC边上一点，点E为

4B边上的动点，点F,G分别为CD,OE的中点，则尸G的最小值为（）

A.1B.1.2C.1.5D.1.8

【解答】解：如图，连接C£,

・・•点F,G分别为CD,DE的中点,

:・FG

当CEJ_A8时，CE的值最小，此时FG的值也最小，

VZC=90°,AC=3,BC=4,

：.AB=yjAC2+BC2=5.

VSAj4BC=鼻B.CE=\AC•BC,

._12

••CC=

：,FG=\CE=1.2,

故选:B.

5.（2024•喀喇沁旗模拟）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点。为圆心的一部分，如果M是。。中

弦C。的中点，£历经过圆心。交。。于点E,若CD=4m,EM=6m,则。。的半径为m.

E

根据垂径定理：EMA.CD,

又CO=4c»则有：CM=^CD=2m,

设圆的半径是x米，

在RtZXCOM中，有。不=。^+。”2,

却：，=2?+(6-x)之,

解得：X=学,

所以圆的半径长是

故答案为：

6.(2025•通辽三模)如图，在△4BC中，AC=BC,AB=4,D,E分别是AB,AC边上的中点，点尸在BC

的延长线上，CF=^BC,若b=3,则勿'的长为.

【解答】解：如图，连接。E、CD,

・・,£>,E分别是AB,AC边上的中点,AB=4,

・・・OE是△ABC的中位线，BD=2,

:.DE=/c,DE//BC,

VCF=ifiC,CF=3,

：,DE=CF,BC=6,

・•・四边形DCF£为平行四边形.

:,EF=CD,

":CA=CB,。是A3的中点，

・・・CO_LA8,

:.CD=>JBC2-BD2=V62-22=4企,

:.EF=4五,

故答案为：4a.

7.(2025•济源一模)己知在△ABC中,AC=6cm,点。、E分别是AC、8c的中点，连接OE在〈E上有

一点立EF=\cm,连接AP,CF,若AF工CF,则A8=.

【解答】解：在RtZiAFC中，点。是AC的中点，AC=6cm,

ADF=iAC=1x6=3(cm),

♦；EF=lon,

：.DE=DF+EF=3+\=4(cm),

•1点D,E分别是AC,BC的中点，

是△ABC的中位线，

・・・A8=2OE=2X4=8(cm),

故答案为：8c7〃.

8.(2024•大渡口区模拟)如图，在四边形A2CO中，N4BC=NAOC=90°,ZDC«=120°,连接AC,

BD,点、E,F分别是线段AC,3。的中点，若EF=l,则B/)的长为.

D

【解答】解：连接。&BE,

•・・N48C=NAQC=90°,点E是线段AC的中点，

：.CE=DE=I3E=^AC,

•・•点产是线段8。的中点，

：.DF=BF,

:.EFIBD,

*：CE=DE=BE,

：,ZCDE=ZDCE,NEDB=/EBC,

VZDC5=120°,

，ZCDE+ZCBE=/DCE+NBCE=NDCB=120°,

AZDEB=360°-120°-120°=120°,

:・NDEF=NBEF=60°,

V£F=1,

:.DF=BE=痘EF=V3,

：,BD=2y/3,

故答案为：2Vs.

D

9.（2024•马鞍山校级一模）如图，在4c中，Z/MC=90°,。是AC边上一点，NC=2NCBD,E,

分别是3C,△。上的点，且NB£/=2NCAE,AB=BE.

（1）设NCBO=a,则（用含a的式子表示）：

(2)若EF=2,CE=\,则8E的长为

：.4C=2乙CBD=2a,

设/CAE=0,

：.ZBEF=2ZCAE=2p,

•・・NB4C=90°,

：.Z13AE=ZBAC-ZCAE=9()°-0,

•・•ZBEA为△ACE的一个外角，

••・N8EA=NC+NCAE=2a+0,

'：AB=BE,

：.ZBAE=ZBEA,

.\900-p=2a+p,

；・20=90°-2a,

/.ZBEF=2p=90°-2a,

故答案为：90°-2a.

(2)过点3作8G_L3c交£尸的延长线于G,如图所示:

AZG+ZBEF=90°,

由(I)可知：当NC8O=a时，NC=2a,NBEF=9()°-2a,

/.ZG=900-ZBEF=90°-(90°-2a)=2a=ZC,

设则48=4E=x,

VCE=1,

：,BC=BE+CE=x+\,

在△BEG和△ABC中，

NG=NC

Z.EBG=Z.BAC=90°，

=BE

:.XBEG二XABC(AAS),

**•EG=B