高考数学考前复习模拟专练（五）

专练（五）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1J2019•福建福州质检］已知集合A={x|2x+1>3},B={4r-x-2<0},则AUB=（）

A.{x|l<r<2}B.{.v|-l<v<l}

C.{R—2<t<l或}D.{A|A>—1}

答案：D

解析：因为3£A,所以3£（4UB）,排除A,B.因为一1由4且一1GB,所以一ie（4U8）,

排除C,故选D.

2.［2019•北京八十中学月考］若a",c是常数，则“a>0旦店一44<0”是“对任意

有aF+bx+c>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：A

解析：:4>0且从一44c<0时，函数的图象开口向上且与x轴没有交点，

所以对任意有ad+^x+c>。；又a=b=O,c>0时，对任意x£R,有加+队+c>0,

而此时«>0且4ac、<0不成立，所以“〃>0且4〃c、<0"是“对任意x£R,有ajr+hx

+c>0”的充分不必要条件，故选A.

3.［2019•辽宁沈阳育才学校联考］欧拉公式b=cosx+isinx（i为虚数单位）是瑞士数学家

欧拉发明的，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式

可知，吟i+奇表示的狂数的模为（）

A^±lB^Z11

♦2。・2

V6+V2#一审

J22

答案：C

isin?=^cos^+si哈)+(cos731+s啕，所

6

4.［2019•湖北鄂东南省级示范高中联考］若幕函数y=”，），=〈"与y=/在第一象限的

图象如图所示，则〃，与〃的取值情况为（）

A.­1</?z<0</?<1

B.—1<n<0<m

C.-1<m<O<n

D.—1<n<O<m<I

答案：D

解析：由察函数的图象可知，-l<n<0,故选D.

5.［2019.吉林期末］若函数於）=sin2r一由cos2x在［0,4上的值域为［一小,2］,则/

的取值范围为（）

7t57t"5K

AB

y7",-苻

n~5n

C71D.,苧

｛?V2

答案:B

依题意，知）（空），因为［力，所以一拉一争一空.又危）

解析:/U=2sin2v—x£0,2x21

在［0,1］上的值域为［一小，2］,则2可W5,y，即，&周看斗故选B.

6.［2019・广东七校联合体第二次联考］已知等差数列｛为｝的前〃项和为&,%+。=6,

S9—S6=3,则S”取得最大值时"的值为（）

A.5B.6

C.7D.8

答案：D

解析：解法-设.的公差为d,则由题意叱ai+65〃d++aie+7"d=06,+8f解得

“1=15,

,所以。〃=一2〃+17.由于48=1>0,。9=—1<0,所以S”取得最大值时〃的值为

（1=-2

8.故选D.

十5〃+“1十7d=6,

解法二设｛小｝的公差为d,则由题意得一一「八,.解得

m+6d+m+7d+ai+8odj=3,

0=15,ri13(〃-I)

则Sn=157?+'1X（—2）=一（〃-8）2+64（〃wN）,所以当〃=8时，S”取得最

d=~2,2

大值.故选D.

7.［2019•陕西黄陵中学模拟］中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，后来用它表示

上、下两个底面均为矩形（不能全为正方形）、四条侧棱的延长线不交于一点的六面体.关于

“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之.各

以其广乘之，并，以高乘之，六而一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长

相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；

把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童.”的下底面是周长为18

的矩形，上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值

为（）

A39卜75

A.-B.-

C.39D.端

答案：B

解析：设下底面的长、宽分别为文，y,则2（x+y）=18,x+y=9,则正9）.则“刍

童”的体积为卷乂3义［2（6+幻+（2工+3）3］=/30+2“+月=；（一2『+1女+39）=—/+斗+

y,当.1号时，“刍童”的体积取得最大值，最大值为空，故选B.

8.［2019•河北正定中学月考］设函数<x）=4cos（s+缶对任意的x£R,都有/（一此=

信+“），若函数g（x）=sin（①x+夕）-2,则的值是（）

A.IB.-5或3

C.1D.-2

答案：D

解析：因为对任意的XER,都有人一不）=府+，，所以函数yu）=4cos（Q）x+e）的图象关

于直线尸装对称，所以痣）=4cos（詈+勿）=±4,即cos管+夕）=±1,所以sin（詈+到=0,

所以）=-2,故选D.

9.［2019•黑龙江哈尔滨六中二模］某日5名同学去食堂就餐，有米饭、花卷、包子和面

条4种主食.每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种.花卷数量不足，仅

够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则不同的选择方案种数为（）

A.96B.120

C.132D.240

答案:C

解析：分三种情况：（1）甲选花卷，有C*C4A9=36种方案；（2）甲选包子或面条中的一种

且只有甲一人食用，有C!CJGA¥=48种方案；（3）甲选包子或面条中的一种且有两人食用，

有C1C1AS=48种方案.综上，不同的选择方案共有36—48+48=132（种），故选C.

10.［2019•河南开封定位考］执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3,则输入的x

为（）

A.-1

B.0

C.-1或I

D.一I或0

答案：D

—4x＜0,

解析：由题意得了=’”|八、八当工＜0时，由一~+4=3,得4=±1,工］

3।2,

=一1.当x20时，由3、+2=3,得x=0.・・・x=-l或0,故选D.

,2

11.［2019•福建厦门一检］双曲线£，一%=1（〃＞（）,》＞（））的左、右焦点分别为Q，乃，

过凡作一条直线与两条渐近线分别相交于A,8两点，若用=2户|QBI=2|O3|,则双

曲线的离心率为（）

A.小B.小

C.2D.3

答案：C

解析：如图，连接因为历&I=2|OB|,

且O为尸I,尸2的中点，所以/Q6f2=90°.

因为F田=2RA,所以A为线段产田的中点，

所以所以Q4_LFiB,所以NA0R=NA0B

因为直线0A与。8是双曲线的两条渐近线，

所以/A0Q=N80B,所以/8。尸2=60。，

则§=tanZBOFi=小,

所以双曲线的离心率e弋1+俳

=2,故选C.

12.[2019•江西两校联考]已知定义在R上的函数)=仆)对于任意的x都满足八LH)=

一人1)，当一11时，4¥)=4,若函数g(x)=/*)—lo&JW至少有6个零点，则实数a的取

值范围是()

|U(5,+8)B.for

A.0,U[5,+8)

呜r

5U(5,7)D.U[5,7)

答案:A

解析:由yu+1)=—/U)得yu+1)=-/u+2),

因此yu)=/5+2),即函数人幻是周期为2的周期函数.

函数g(x)=/(戈)一log“LM至少有6个零点可转化成函数J(x)与/?(A-)=logd|x|的图象至少有6

小泰占需对•〃进行分非讨论

®^a>l,画出满足题意.图象，如图1所示，贝心。g〃5〈l,即公>5.

4-

3

2

-6-^4-^2/0/2y^67.r

图1

②若画出满足题意的图象，如图2所示，则〃(-5)=log〃52—1,即0<〃wg.

综上所述，所求实数。的取值范围是(o,1]u(5,4-OO).故选A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共2()分.将正确答案填在题中的横线上.)

13.[2019•河南洛阳第一次统考]已知ta｛a+；)=2,则2sina

3sinQ+COSa

答案：|

tan«+1-4/kI/…2sina2tan«

解析：由同呜)=2,得1砧=2,求付tan片不所以

3sincosa3tana4-1

2x|1

3-

3X^+1

14.[2019•东北三校第一次模拟]等比数列｛斯｝的各项均为正数，是其前n项和，253

=8ai+3s，出=16,则$4=.

答案：30

2S3=8ai+3〃2,

解析：设等比数列｛知｝的公比为《4>0）,因为，

44=16,

2s(1+9+/)=m(8+3幻,41=2,

所以得

40=16,,4=2,

2(1—2,

所以S4==30.

1-2

15.［2019•安徽黄山模拟］若困数段）=炉一1,对任意x匕*十8）,八金一4冠八不。/（工

-1）+领〃?）恒成立，则实数m的取值范围是________.

答案：（一8,一叫u［坐，+8）

解析：依据题意，得对任意+8）,♦―1—4评年—1）W（X—1）2—1+4（血2—］）

恒成立，即对任意间|,+8）,+—4〃飞一.一1+1恒成立.当x=?时，函数尸一5一

1+1取得最小值一|,所以十一4加2W—/即（3〃尸+i）.（4〃p—3）2（）,解得加W一坐或加2坐,

故/〃的取值范围为（一8,一坐］Up，，+8）.

16.［2019•重庆一中月考］中，4B=5,BC=5小,人=$点P是内（包括

边界）的一个动点，且布=浙一浙?（2£R）,则|崩|的最大值为

JJ

答案：<37

解析：因为△A/3C中，A8=5,4c=55，A=1,BC2=AC2+AB2-2ACABcosA.

所以AC=10,AC2=BC2-^-AB\所以8=亍

以4为坐标原点，以所在的直线为x轴.

建立如图所示的平面直角坐标系，

则4（0,0）,8（5,0）,C［5,5J3）.

设点?为(x,y),0WxW5,

X7

U-

所以a,/0)—72(5,5小)=(3一2九—2小4),

x=3—2L广

所以，厂，所以1y=小。-3）,

j=-2^/3z

所以动点P在直线3）上，

如图，画出该直线，则易知当点P为该直线与BC的交点时,

I而取得最大值.

又易知此时点，的坐标为(5,273),

故由1max=^52+(2A/3)2=V37.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(12分)[2019・甘肃酒泉五校联考]已知在平面四边形48co中，NA8C=苧,A81AO,

AB=\,AC=小,AABC的面积为;.

⑴求sin/CAB的值：

(2)若乙4。。=看，求C。的长.

解析：(1)依题意知，4c的面积S=%4X8CXsinNA4C=；XlX8CX乎=!由

此可得

在△ABC中，由正弦定理得.

sinZCABsinZABC

即.£『吗'所以sin/C45="；2=坐

sinNCAB.3兀A/55

sm彳V

n2^5

(2)由题设知,ZCA^<y,贝ICOS/CA3=Y1-sin?NCAC=，

一5

因为A8_LA。，所以/D4C+/C4B=S，

乙

9h

则sinZDAC=cosZCAB=~^~.

在△A。中,由正弦定理,得嬴枭=忐八,

即吟=黑，所以8=

显芈'：I5=4.

18.(12分)[2019•山西省太原市检测]如图I,在△48C中，AB=3,DE=2,AD=2,

NB4C=90。，DE//AB,将△COE沿。E折到如图2中△©/)£：的位置，点尸在CiE上.

(1)求证：平面以B_L平面AOG；

(2)若NAQG=60。，且AP与平面A4EO所成角的正弦值为叩求二面角「一月。一3

的余弦值.

解析：（1）证明：在△ABC中，VZB/1C=90°,：.AB1AC.

,JDE//AB.ADE1AD,DEVCD.

由折叠性质得QE_LOG,又4OnOG=O,

.•・DE_L平面AOG,

.•・46J_平面A3G.

〈ABU平面以&，平面以8_L平面AQG.

(2)由(1)得A8_L平面AQG,・・.A8_LA。，ABLACi.

.CDDE

'/DE//AB,t，~CA=~AB-

：A8=3,DE=2,AD=2,：,CD=C}D=4.

•••乙4。。=60。，・・・由余弦定理得4。1=2小,

Cib1=ACHAD2,：.AC\LAD.

以点A为原点，方的方向为x轴的正方向，病的方向为)，轴的正方向，公1的方向为z

轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系4-x.yz.

则40,0,0),B(0,3,0),ZX-2,0,0),G(0,0,25)，E(-2,2,0),

设心=A3+AC.E(0<Z<1),

则第=(一2九2A,2^(1-z)),

易知43=(0,0,2小)是平面48EO的一个法向量,

_APACiV3(l-A)^/42

则cos〈4P,AC])一|痫死「、2/+3(lT)2-7

.；=1・/_22叫

r9

••43，••\33'3/

mA.AD,

设〃i=(x,)，，z)是平面以。的一个法向量，则，

mlAP,

-2A=0,

•；2,2_4y/3

[―/3，+t3z=(A),

令z=l,则m=(0,—2小，1),

.(7、m-AC\V13

..cos\m,AC\)—7T-=।7-

Iwl-lAcii、

由图知二面角。一八。一〃的平面角为锐角，

.,.二面角P—A。一B的余弦值为]，.

19.(12分)[2019•福建省福州市高三下学期质量检测]最近由中国房地产业协会主办的中

国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都

在10%以上.某部门研究成果认为，房租支出超过月收入g的租户“幸福指数”低，房租支

出不超过月收入g的租户“幸福指数”高.为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随

机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查.甲小区租户的月收入以[0,3),[3,6).[6,

9),[9,12),[12,15](单位：千元)分组的频率分布直方图如下：

频率

mST

0.160

0.070

0.060

0.030

03691215月收入•元

乙小区租户的月收入〔单位：千元)的频数分布表如下：

月收入[0,3)[3,6)[6,9)[9，12)[12,15]

户数38272492

(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件“甲小区租户的月收入低于

6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率，求M的概率；

(2)利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数：

(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元，1千元，请根据条件完成下面的2X2

列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小

区”有关.

幸福指数低幸福指数局总计

甲小区租户

乙小区租户

总计

附：临界值表

P(K?2k)0.100.0100.001

k2.7066.63510.828

参考公式：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+cl),

解析：(1)记A表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记8表示事件“乙小区

租户的月收入不低于6千元”，

甲小区租户的月收入低于6千元的频率为(0.060+0.160)X3=0.66,

故P(4)的估计值为0.66；

24+9+2

乙小区租户的月收入不低于6千元的频率为I。。=0.35,

故P(8)的估计值为0.35.

因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，

所以事件M的概率的估计值P(M)=P(A)P(8)=0.66X0.35=0.231.

⑵设甲小区所抽取100户租户的月收入的中位数为/千元，

则0.060X3+(f-3)X0.l60=0.5,

解得f=5.

所以甲小区100户租户的月收入的中位数为5千元.

(3)将列联表补充完整如下:

幸福指数低幸福指数高总计

甲小区租户6634100

乙小区租户3862100

总计10496200

根据2X2列联表中的数据，

，…，…，200X（66X62-38X34）2

得到心的观测值k=八乂1乂二15.705＞10.828,

1LH入VO八01nUUAIUU

所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有

关.

20.（12分）［2019•湖府长沙雅礼中学月考］如图，已知椭圆a+卓=1（。＞/»0）的左、右焦

点分别为B，Fi，短轴两个端点分别为A,B,且四边形是边长为2的正方形.

（1）求椭圆的方程；

（2）若C,。分别是椭圆长釉的左、右端点，动点M满足MOLCQ,CM交椭圆于点P.

证明：而-5＞为定值.

2222

解析；(1)由题意知a=2,b=c,a=b+ct/.b=2,

・,・椭圆方程为7+^=1.

(2)易知C(-2,0),0(2,0),设例(2,泄)，Pg>|),

则0P=gyD，OM=(2,y0),

x—2厂加，即尸斗+%，

直线CM：

4yc

代入『+2），2=4,

.・.—）=龄一一2(vF)-8)8vo

4+8，）‘r+s，

2。*—8)

：.OP=M+8，

_4。留一8）8点4济+32t信

：，OMOP=一网+8+网+8一同+8-4欠值）.

21.（12分）［2019•吉权长春质检］已知函数/Alnx+aF-Qa+l）%（其中常数aWO）.

（1）当。=1时，求函数Ax）的单调区间；

⑵若人外在x=l处取彳导极值，且在（0,e］上的最大值为1,求实数〃的值.

解析：⑴当。=1时，火x）=lnx+f—3x,x＞0,

Zr2—3x+l(2x—l)(x—l)

令/'（©=0，解得工=5或x=\.

当o＜¥＜1时，f（x）＞o,所以函数y（x）在（o,

上单调递增;

当;0yl时，/Cv）＜0,所以函数/U）在（；，1）

上单调递减;

当心＞1时，/（x）＞0,所以函数./U）在（1,+8）上单调递增.

综上可知，函数7U）的单调递增区间为（0,I）,（1,十8）,单调递减区间为6，1）.

.1..2/一（2a+l）x+1（2ar—1）（x—1）

（2/（/）=;+2aL（2。+1）=-----七~--=------广-Z,

人人人

令/'（#=0,解得x=l或

因为'心）在x=l处取得极值，所以力M.

当古＜。时，/U）在（。，1）上单调递增，在（1，e］上单调递减，所以/U）在（0,c］上的最大

值为7U），令70）=1,解得。=一2.

当0弓＜1时，危）在（（），上单调递增，在忌，I）上单调递减，在（1,e］上单调递增,

所以人幻的最大值1可能在或x=e处取得，

而七）=忌+0（2"1）%=七七-1＜0,

所以＜e）=lne+ae?—（2a+l）e=I,解得。=一匕.

当1念4时，/U）在（0,1）上单调递增，在（1,划二单调递减，在倚，e］上单调递增,

所以人幻的最大值1可能在x=l