中考数学试题分类-矩形、菱形、正方形练习题（含答案）

中考数学真题专题分类精选汇编

专题19矩形、菱形、正方形

一、选择题

I.（2024甘肃威武）如图，在矩形ABCO中，对角线AC，相交于点O,NA血=60。，AB=2,

则AC的长为（）

A.6B.5C.4D.3

2.（2024四川成都市）如图，在矩形A3C。中，对角线AC与8。相交于点。，则下列结论一定正

A.AB=ADB.AC1BDC.AC=BDD.

ZACB=ZACD

3.（2024四川德阳）宽与长的比是史二1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界

2

各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABC。是黄金矩

形.（48V8C）,点尸是边AD上一点，则满足PBLPC的点尸的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

4.（2024黑龙江绥化）如图，四边形A3CD是菱形，CD、BD=8,AE上BC于点、E，则AE

的长是（）

c-yD.12

5.（2024广西）如图，边长为5的正方形ABC。，E,F,G,"分别为各边中点，连接AG,BH,

CE,D卜,交点分别为M,M",Q,那么四边形MNPQ的面积为（

A.1B.2C.5D.10

6.（2024重庆市B）如图，在边长为4的正方形43CO中，点£是上一点，点尸是CO延长

线上一点，连接AE,A/，AM平分交CD于点M.若BE=DF=1，则DW的长度

12

B.亚C.76D.—

5

7.（2024山东烟台）如图，在正方形A8CQ中，点E,尸分别为对角线8DAC的三等分点，连接

4E并延长交CO于点G,连接斯，/G,若NAGb=a，则ZE4G用含。的代数式表示为（）

C90°-a45。+。、a

A.B.-----------C.-----------D.—

2222

8.（2024陕西省）如图,正方形CEFG的顶点G在正方形ABC。的边C。上，4尸与交于点

H,若AB=6,CE=2,则DH的长为（）

B.3C，2Di

二、填空题

I.（2024黑龙江绥化）在矩形中，A9=4cm,=8cm,点E在直线上，且QE=2cm,

则点E到矩形对角线所在直线的距离是cm.

2.（2024四川德阳）如图，四边形ABC。是矩形，△ADG是正三角形，点尸是G。的中点，点产

是矩形A8CQ内一点，且,P8C是以8c为底的等腰三角形，则-PCD的面积与&FC。的面积的

比值是.

3.（2024广西）如图，两张宽度均为女m的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60。，则重合

部分构成的四边形48co的周长为cm.

4.（2024四川眉山）如图，菱形ABC。的边长为6,ZBAD=nO°,过点。作DEJ.8C,交BC

的延长线于点E，连结AE分别交B。，。。于点尸，G,则户6的长为.

5.（2024贵州省）如图，在菱形A3CO中，点、E,尸分别是BC,CO的中点，连接AE,AF-若

4

sinZE4F=—,AE=5，则A3的长为______.

5

6.（2024天津市）如图，正方形ABCO的边长为3正，对角线相交于点。，点E在C4的

延长线上，OE=5,连接DE.

（1）线段4E的长为；

（2）若尸为OE的中点，则线段AF的长为.

7.（2024吉林省）如图，正方形A8C。的对角线AC,8。相交于点。，点上是。4的中点，点尸

EF

是。。上一点.连接石厂.若/FEO=45°,则标的值为

BC

8.（2024北京市）如图，在正方形ABCO中，点石在AB上，AF1OE于点尸，CG1,DE于点、G.若

4）=5,CG=4,则△AM的面积为.

9.（2024福建省）如图，正方形48co的面积为4,点、E，F,G,”分别为边A8,BC,CD,

的中点，则四边形上尸的面积为.

HD

三、解答题

1.（2024贵州省）如图，四边形48co的对角线AC与相交于点O,AD//BC,ZABC=90°,

有下列条件：

①A3〃CO,②AD=BC.

（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形A8CO是矩形；

（2）在（1）的条件下，若A8=3,AC=5,求四边形A3CO的面积.

2.（2024陕西省）如图，四边形ABCO是矩形，点E和点F在边BC上,且BE=CF.求证:

3.（2024上海市）如图所示，在矩形ABCO中，E为边CD上一点、,且

（1）求证：AD?=DEDC：

（2）F线段AE延长线上一点，且满足求证：CE=AD.

2

4.（2024云南省）如图，在四边形A3CO中，点E、F、G、〃分别是各边的中点，且A8〃CQ,

AD//BC,四边形瓦'G”是矩形.

H

AD

KA

BL——¥~~fc

(1)求证：四边形A3CO是菱形；

(2)若矩形EPG”的周长为22,四边形A8CO的面积为10,求A8的长.

5.(2024四川德阳)如图，在菱形A8CO中，NA3c=60。，对角线AC与相交于点O，点厂

为BC的中点,连接■与8D相交于点E，连接CE并延长交AB于点G.

(1)证明：SEI”二BCO；

(2)证明：△BEG之Z\AEG.

6.(2024四川广安)如图，在菱形A8CO中，点E,尸分别是边人8和8C上的点，且凡求

证：ZDEF=ZDFE.

7.(2024福建省)如图，在菱形A3C。中，点E、尸分别在BC、CD边上，ZAEB=ZAFD,求

证：BE=DF.

8.(2024江苏扬州)如图1,将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCQ.

"XTF

图1图2

（1）试判断四边形ABC。的形状，并说明理由；

（2）已知矩形纸条宽度为2cm,将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形A8CO的面积为8cm2,

求此时直线A。、CZ）所夹锐角Z1的度数.

9.（2024江苏盐城）如图1,E、F、G、〃分别是平行四边形A3CQ各边的中点，连接Ab、CE交

于点M,连接AG、C”交于点N,将四边形AMCN称为平行四边形A8CO的“中顶点四边形”.

图1图2图3

（1）求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；

（2）①如图2,连接AC、BD交于点、0,可得“、N两点都在3。上，当平行四边形A8C。满足

时，中顶点四边形/LWCN是菱形；

②如图3,已知矩形AA/CN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行

四边形.（保留作图痕迹，不写作法）

10.（2024四川达州）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的五倍，某

数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1.

(1)四边形ABC。是菱形，

AC1BD,AO=CO,BO=DO.

AB2=AO2+BO2.

又・・・4C=2AO，BD=2BO,

/.AB2=--------+--------,

化简整理得AC2+BD2=.

【类比探究】

(2)如图2.若四边形A3CD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系.

图2

【拓展应用】

(3)如图3,四边形45CO为平行四边形，对角线AC,8。相交于点。，点E为A。的中点，点

产为3c的中点，连接放，若A3=8,30=8,AC=12,直接写出所的长度.

图3

中考数学真题专题分类精选汇编

专题19矩形、菱形、正方形

一、选择题

I.（2024甘肃威武）如图，在矩形ABCO中，对角线AC，相交于点O,NA血=60。，AB=2,

【答案】C

［解析］根据矩形ABCD的性质，得。4=OB=OC=0。=,4C,结合ZABD=60°,得到^AOB

2

是等边三角形，结合A5=2,得到QA=O8=A8=LAC,解得即可.

2

本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

【详解】根据矩形ABCD的性质，得04=08=OC=0。=』4C,

2

VZABD=60°.

••・是等边T角形，

•••A3=2，

：,OA=OB=AB=-AC=2,

2

解得AC=4.

故选C.

2.（2024四川成都市）如图，在矩形ABC。中，对角线AC与相交于点。，则下列结论一定正

确的是（）

A.AB=ADB.ACJ.BDC.AC=BDD.

ZACB=ZACD

【答案】c

【解析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可.

•••四边形ABC。是矩形,

:・AB=CD,AC=BD,AD//BC,则NAC8=ND4C，

・••选项A中=不一定正确，故不符合题意；

选项B中AC18。不一定正确，故不符合题意；

选项C中AC=8£＞一定正确，故符合题意；

选项D中NAC8=NACD不一定正确，故不符合题意，

故选：C.

3.（2024四川德阳）宽与长的比是避二1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界

2

各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABC。是黄金矩

形.（A8＜8C）,点尸是边A£＞上一点，则满足的点尸的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判

断一元二次方程解的情况是解题的关键.设=BC=b,假设存在点P,且AP=x,则

PD=b-X,利用勾股定理得到8「2=482+从尸=/+/，二打下十。。2=S一工）2十。2

BC2=BP2+PC2，可得到方程/一区+/=0,结合丝=@=@二1,然后根据判别式的符号

BCb2

即可确定有几个解，由此得解.

【详解】如图所示，四边形ABCO是黄金矩形，ABvBC,纯二避二1,

BC2

设=BC=b,假设存在点?，且AP=x,则尸£)=〃-%,

在Rt=A3P中，BP2=AB2-¥AP2=a2+x\

在Rt.PDC中，PC2=PD2^-CD2=(b-x)2+a\

PBA.PC,

BC2=BP2+PC2»^b2=a2+x2+(b-x)2+a2,

整理得x2-bx+a2=0>

A=Z?2-4ac=b2-4a2，又=—=-―-，即。=—―-b，

BCb22

A=/?2-4ac=b2-4a2=b2-4x(布―“b2=(2y/5-5)b2

4

26-5<0，b2>0.

A=/?2-4tz2=(2>/5-5)/22<0,

••・方程无解•，即点P不存在.

故选：D.

4.(2024黑龙江绥化)如图，四边形A8CD是菱形，8=5,BD=8,AE上BC于点、E，则AE

的长是()

A.—B.6C.—D.12

55

【答案】A

【解析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得OC,进而得出AC=6,进而根据

等面积法，即可求解.

【详解】解：:四边形A8CQ是菱形，8=5,BD=8,

/.DO=-BD=4,ACJ.I3D,BC=CD=5,

2

RtzXCOO中，CO=NDC2-DQ2=3,

AC=2OC=6,

•••菱形ABCD的面积为一ACxBO=3CxAE,

2

-x8x6

在

AE=-2-------=—24,

55

故选:A.

5.（2024广西）如图，边长为5的正方形ABC。，E,F,G,4分别为各边中点，连接AG,DII，

CE,DF，交点分别为例，MP,Q,那么四边形MNPQ的面积为（）

A.1B.2C.5D.10

【答案】C

【解析】先证明四边形MNP。是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得比QQ=PQ,

AW=QM,证明-ADG四.84”（SAS）得出功4G=N/W〃，则可得出NQMN=乙4M8=90。，

同理NAQO=90。，得出平行四边形MNPQ是矩形，证明「ADQ段384M（AAS）,得出

DQ=AM,进而得出"2=A"=PQ=QM,得出矩形MNP。是正方形，在RtZXAOQ中，利用

勾股定理求出QM?=5,然后利用正方形的面积公式求解即可.

【详解】•・•四边形A3CO是正方形，

AAB=BC=CD=DA,AB//CD,AD//BC,ZDAB=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°,

YE,F,G,”分别为各边中点，

:.CG=DG=、CD=AH,AE=-AB,

22

・•・DG=CG=AE,

・•・四边形AECG是平行四边形，

・•・AG//CE,

同理。尸BH,

・•・四边形MNPQ是平行四边形，

AG//CE,

・地=四=1

PQCG，

・•.DQ=PQ,

同理4M=QM,

*/DG=AH^NADG=NH4”=90°,AD=BA^

/.ADG^zBAH(SAS),

・••^DAG=ZABH,

'：ZDAG+ZGAB=90°,

，ZAB"+NG4B=90°,

NQMN=NAMB=90°,同理ZAQD=90°,

.•.平行四边形MNPQ矩形，

VZAQD=ZAMB=90°,^DAG=ZABH,AD=BAf

・・.一AOQ空RAM(AAS),

・•.DQ=AM,

又DQ=PQ,AM=QM,

==PQ=QM,

・•・矩形MN尸。是正方形，

在RCADQ中，AD2=DQ2+AQ2,

・•・52=QM2+(2QMy,

：.QM2=5,

•♦・正方形MNPQ的面积为5,

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理

等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键.

6.(2024重庆市B)如图，在边长为4的正方形43co中，点£是8c上一点，点尸是CQ延长

线，一点，连接AE，Ab，AM平分ZE4厅.交8于点若8£=D尸=1，则DW的长度

12

A.2B.5/5C.5/6L).

T

【答案】D

【解析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得

到ZABE=ZADC=ZADF=ZC=90°,AB=AD=CD=BC=4，再证明

△ABEgAAW^SAS）得至进一步证明八钻历四△4FA/（SAS）得到=,

设。M=x,则==O/+。”=戈+1,CM=CD-DM=4—x,

在中，由勾股定理得(x+1)2=3?+(4-力2,解方程即可得到答案.

【详解】•・,四边形A8C。是正方形，

/.ZABE=ZADC=ZADF=ZC=90°,AB=AD=CD=BC=4,

又：BE=DF=1，

・•・AA8虑AADF(SAS),

・••AE=AF,

•••AM平分ZE4/,

•••ZE4M=NMM,

乂;AM=AM，

・•・/\AEM^/\AFM(SAS),

:♦EM=FM，

设。M=x,则石"=而=。9+0〃=工+1,CM=CD-DM=4-x,

在Rt^CEM中，由勾股定理得目02=。炉+。加2,

/.（X+1）2=32+（4-X）\

解得x——>

5

：.DM=—,

5

故选：D.

7.（2024山东烟台）如图，在正方形ABCO中，点E,尸分别为对角线8DAC的三等分点，连接

4E并延长交CO于点G,连接EF,歹G,若NAGb=a，则NE4G用含a的代数式表示为（）

AD

G

45。一a90。-a450+aa

A.------------B.--------D.

22~2

【答案】B

【解析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的

外角性质.证明AEOFSADOC，求得Z6>FE=45°，证明..ABE^GDE,证得

DG=gcD=CG,推;LUQEG^-CFG(SAS),得到G£=Gb,据此求解即可.

【详解】解：•••正方形A8CQ中，点七，尸分别为对角线3D,AC的三等分点，

・・・8=oc,/ODC=/OCD=45。,DE=CF,

：,OE=OF,

OEOF

IZHyF=ZDOC,

OD~OC

・••AEOFs^DOC，

•••ZOFE=ZOCD=45°,

•••点旦产分别为对角线BDAC的三等分点,

.DEI

••一___，

BE2

•••正方形ABCO，

・•・AB//CD^

：.&ABEs.GDE,

DGDE1

・•・——=——=-，

ABBE2

DG=-CD=CG,

2

・•・OEG-bG(SAS),

：.GE=GF,

・•・ZGEF=^(180o-ZAGF)=90°-^a,

11900-a

/.ZE4G=/GEF-ZAFE=90°一一a-45°=45°--a=----------，

222

故选：B.

8.（2024陕西省）如图，正方形CWG的顶点G在正方形A8C£＞的边CO上，4尸与。C交于点

H,若AB=6,CE=2,则DH的长为（）

23

【答案】B

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质.证明△尸G"，利用相似

二角形的性质列式计算即可求解.

【详解】解：；正方形A8CQ,A3=6，

AB=AJD=CD=6，

•:正方形CEFG,CE=2,

:・CE=GF=CG=2,

・•・DG=CD-CG=4,

由题意得八D〃GF,

・•・AADHs^FGH,

:.也=也,即里①，

GFGH24-DH

解得OH=3,

故选:B.

二、填空题

1.（2024黑龙江绥化）在矩形ABC。中，八8=4cm,8C=8cm，点£在直线AO上，且。£=2cm,

则点E到矩形对角线所在直线的距离是______cm.

【答案】侦或述或26

55

【解析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，设AC,3。交于点。，点用在线段上，々在

AD的延长线上，过点AC作AC，BO的垂线，垂足分别为耳，工，居，进而分别求得垂线段的长度，

即可求解.

【详解】解；•・•四边形A9。。是矩形，AB-4,4。=8,

AD=BC=8，CD=AB=4,

：•AC=V/4D2+CD2=V42+82=4后

/.sinZC4D=—=-^=—,cosZC4D==—,tanZCAD=-=-

AC4A/554石582

如图所示，设AC,3。交于点。，点片在线段A。上，&在AO的延长线上，过点AC作AC，BD

•・•AO=DO

・♦.ZOAD=ZODA

当E在线段A3上时，

・•.AE{=AD-DE=S-2=6

在RLAEJ中个，EiF]=AEl^nZCAD=—x6=^-

5^5

•・•ZOAD=ZODA

在RHEE。中，E|&=。耳sinNEQG=2、¥=乎：

当£在射线AO上时，

21

在Rt/)C£,中，tanZDCE2=-=-

--42

•••ZCAD=ZDCE

・•・ZDCE+ZDCA=90°

:.E2C1AC

222

・•・E2C=yjDE^DC=V2+4=2>/5，

在RJOE?6中，EE=DE,xsinZE2DF3=DE2x^-=辿

综上所述，点E到对角线所在宣线的距离为：矩或述或2不

55

故答案为：型或逑或2布.

55

2.（2024四川德阳）如图，四边形A3CO是矩形，△ADG是正三角形，点尸是G。的中点，点产

是矩形ABCO内一点，且aP8C是以BC为底的等腰三角形，则/.PC。的面积与eFCO的面积的

比值是______.

【答案】2

【解析】本题考查矩形的性质，正三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确设出边长表示出

两个三角形的面积是解题的关建.

作辅助线如图，设8C=a，CD=b,根据相关图形的性表示出三角形的面枳即可得到答案.

【详解】如图，找8C,AO中点为M，N,连接MN,GN,连接PQ,FC,过/作FK_LCQ

交CO的延长线于R点，延长R/，与GN交于。点.

设3C=a,CD=b,

•••8c是以BC为底的等腰三角形,

・•・尸MN上，

・•・尸到。。的距离即为;。，

.«1,11

••3pm-x。xa=a7b,

"224

在.GQ/7和..OR/中

GF=DF

ZGFQ=ZDFR

NFQG=NFRD=90。

:・LGQFgDRF(AAS),

QF=RF==,

,,S.FCD

2248

-ab

SPCD_4_2,

qi

'FCD_ab

8

故答案为：2.

3.（2024广西）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在•起，交叉形成的锐角为60。，则重合

cm

【答案】873

【解析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点A作3•L3C

AN工CD于N,由题意易得四边形A3CO是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得

ANr-

AM=AN,即可得到四边形4BCO是菱形，再解RlZ\A0N可得=------=2，3cm,即可

sin60°

求解，得出叫边形A8CD是菱形是解题的关键.

【详解】过点A作于M,ANLCD于N,则Z4ND=9O。,

•••两张纸条的对边平行,

/.AB//CD.AD//BC,

・•・四边形A3CD是平行四边形,

又•・•两张纸条的宽度相等,

AM=7UV,

•:SABCD=BCAM=CDAN，

，BC=CD，

・•・四边形ABC。是菱形，

在RtZVlDN中，ZADN=60°,A7V=3cm,

AN3/r

AD=---------==2,3cm

・•・sin60°y/3，

~T

二四边形A3CO的周长为2x4=873cm.

故答案为：873.

4.（2024四川眉山）如图，菱形ABC。的边长为6,ZBAD=nO°,过点。作。EJ.BC,交BC

的延长线于点E，连结AE分别交B。，。。于点尸，G,则户G的长为.

55

【解析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以

上知识点.

首先根据菱形的性质得到AD=8C=CD=6,AD〃BC.ZBCD=120°,然后勾股定理求出

DE=y/CD2-CE2=3>/3»AE=\IDE2+AD2=377'然后证明出，得到

求出从尸二处，然后证明出二

AF=4£=62EGC,得到任二四）=2,

FEBE935EGCE3

求出4G=26，进而求解即可.

【详解】解；；菱形的边长为6,NBW=120。，

AD=BC=CD=6,AD//BC,/BCD=120。，

.•.NOCE=60。，

-DEIBC,

ZDEC=90%

在RtVDCE中，,ZCDE=90°-ZDCE=30°,

:,CE=-CD=3,

2

DE=y]CD2-CE2=35/3,

:.BE=BC+CE=9,

ADBE,

/.ZADE=180°-/DEC=90°,

在Rtz^AOE中，AE=AD2=^（373）2+62=36，

ADBE,

AFD^EFB,

AFAD62

'~FE~~BE~9~3'

,4万_2._i.H

..AF——AEr——x3v7-------,

555

•:AD//CE,

:2G2XEGC，

AGA。6c

z.——=——=-=2,

EGCE3

/.AG=-/IE=-x377=2>/7,

33

:.FG=AG-AF=2y[7--=--

55

故答案为：生女.

5

5.（2024贵州省）如图，在菱形A8CD中，点£厂分别是8C,CD的中点，连接AE,Ab.若

4

sinZEAF=-,A石=5,则A8的长为.

5

【解析】延长3C,Ab交于点加，根据菱形的性质和中点性质证明「.ABE9；.ADb,

&ADF-MCF,过E点作EN_LA/交N点，根据三角函数求出EN,AN,NF,MN,在

RtAEW中利用勾股定理求出EM，根据菱形的性质即可得出答案.

【详解】延KBC,AF交于点M,

在菱形A8C。中，点£尸分别是8C,C。的中点,

.•.AB=BC=CD=AD，BE=EC=CF=DF,AD\BC,乙D=4FCM,ZB;ZD

在4.ABE和△")/中

AB=AD

</B=ND,

BE=DF

：.ABE缘AQF(SAS),

•••AE=AF,

在△AQ厂和ZiMC/中

ND=NFCM

<DF=CF,

NAFD=4MFC

LAOF-MCRASA),

；.CM=AD,AF=MF，

AE=5,

AE=AF=MF=5,

过E点作ENLAF于N点,

/.ZA\F=90°

4

sinZ.EAF=—,AE=5，

:.EN=4,AN=3,

・•.NF=AF-AN=2,

，MN=5+2=1,

在RtzX&W中

EM=dEN?+MM=V42+72=屈,

即EM=EC+CM」BC+BC=而,

2

•：AB=BC=CD=AD,

AB=BC=—A,

3

故答案为：|5/65.

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理

等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键.

6.（2024天津市）如图，正方形A8CO的边长为3后，对角线4cB。相交于点。，点E在C4的

延长线上，OE=5,连接。£.

（1）线段AE的长为；

（2）若“为的中点，则线段AF的长为

【答案】①.2②.眄林工同

22

【解析1本题考查正方形的性质，中位线定理，熟练运用中位线定理是解题的关键;

（1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解，

（2）作辅助线，构造中位线即可.

【详解】（I）•四边形A8CD是正方形,

..OA=OC=OD=OB.ZDOC=90°

•・在Rt_ZX?C中，002+0。2=。。2,

DC=342，

：.OD=OC=OA=OB=3,

OE=5

，AE=OE-OA=5-3=2

（2）延长。A到点G,使AG=AD,连接EG

由E点向4G作垂线，垂足为H

丁厂为DE的中点，A为GQ的中点，

・•・A尸为的中位线，

在RtZXEA”中，ZEAH=ZDAC=45°，

.\AH=EH

AH?+EH?=AE?，

AH=EH=42

GH=AG—AH=3尬一五=2尬

在RtZ\E”G中，.•.EG2=E”2+GH2=2+8=IO,

EG=M

AF为△£）比的中位线，

AF=-EG=—

22

7.（2024吉林省）如图，正方形ABC。的对角线4C,相交于点O,点石是Q4的中点，点产

EP

是。。上一点.连接E/.若/庄0=45。，则一的值为______.

BC

【答案】y

【解析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到

ZOAD=45°,AD=BC,再证明E/〃A£>,进而可证明△OEbs/\04。，由相似三角形的

性质可得二二殍二］印名」.

AD0A2BC2

【详解】•・•正方形A3CO的芯角线AG30相交F点。，

/.ZCMD=45°,AD=BC,

••・点E是0A的中点，

,0E_\

■■—9

0A2

•••NFEO=45。，

JEF//AD,

・・•/\OEF^/\OAD，

二空二4」，即空二L

AD0A2BC2

故答案为：4-

8.（2024北京市）如图，在正方形A8CZ）中，点E在AB上,AFLDE于点F,。6，。后于点6.若

AD=5,CG=4,则/XAM的面积为___________.

。C

区

AEB

27

【答案】—

【解析】根据正方形的性质，得4）=5=DC,CD//AB,得到NCQG=NA£F,结合CG=4,得

__________CG4CG4

至1」DG=VDC2-CG2=3，sinZCDG=sinZ4EF=—=-,tanNCOG=tanNAEF=—=-,求得

V--1—/JDG3

AE,AF,石尸的长，解答即可.

本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关

键.

【详解】根据正方形的性质，得AO=5=QC,CD//AB,

・•・NCDG=ZAEF,

VCG=4,

・•・DG=JDC'-CG?=3,

AFCG4

sinZCDG=sinZAEF=——

AECD5

rriAnA

tanZ.CDG=tanZAEF=——=—=一，

DGAE3

54

EF=—,

4

I27

••・Z^AEF的面积为二EF-AF=—；

28

27

故答案为：—.

8

9.（2024福建省）如图，正方形A3CO的面积为4,点、E，F,G,〃分别为边A8，BC,CD,

AO的中点，则四边形£打汨的面积为

【答案】2

【解析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到

HD=DG=\,进而得到S/）G〃，同理可得S"〃E=S..8=S«G“=J，最后利用四边形ER377的

面积=正方形438的面积T个小三角形面积求解，即可解题.

【详解】一正方形ABCO的面积为4,

AB=BC=CD=AD=2,ID90?,

•点E，F,G,，分别为边A5,BC，CD,AO的中点,

:.HD=DG=\,

二.Sc=-x1x1=一,

DGW22

=

同理可得SaAnt,S.匕FF1B6=SwCCCCFr=—2,

••・四边形仃G斤的面积为4一！一』一』一」二2.

2222

故答案为：2.

三、解答题

1.（2024贵州省）如图，四边形A8CO的对角线AC与5D相交于点O,AD//BC,ZABC=90°,

有下列条件：

①/W〃m②AD=BC.

（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形A8CD是矩形；

（2）在（1）的条件下，若八8=3,4c=5,求四边形45co的面积.

【答案】（I）见解析（2）12

【解析】本题考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键.

（1）先根据条件利用两组对选平行或•组对边平行且相等证明A8CD是平行四边形，然后根据矩形

的定义得到结论即可；

（2）利用勾股定理得到8C长，然后利用矩形的面积公式计算即可.

【小问1详解】

选择①，

证明：・・・A8〃CZ）,AD〃BC，

・•・ABC乃是平行四边形，

又•・•NA3C=90。，

・•・四边形A8CO是矩形；

选择②，

证明：VAD=BC,AD〃BC,

••・45co是平行四边形，

又丁ZABC=90°.

，四边形ABC。是矩形:

【小问2详解】

解：VZABC=90°,

•••BC=>]AC2-AB2=A/52-32=4>

，矩形ABCQ的面积为3x4=12.

2.（2024陕西省）如图，四边形A8C。是矩形，点E和点尸在边8C上，且3E=C尸.求证:

【答案】见解析

【解析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质.根据矩形的性质得到A3=C£）,

ZZ?=ZC=90°,再推出利用SAS讦明下且△力CE,即可得到4产=£）E.

【详解】证明：•••四边形A5CD是矩形，

/.AB=DC^NB=NC=9O0,

•：BE=CF,

:.BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

・•.ABF^DCE（SAS）,

：-AF=DE.

3.（2024上海市）如图所示，在矩形A8CO中，七为边。。上一点，且AE_L3O.

（1）求证：AD?=DEDC：

（2）F线段A£延长线上一点，且满足所=Cb=，8。，求证：C£=AQ.

2

【答案】（I）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】【分析】（1）由矩形性质得到N8AD=90。，ZADE=90°,AB=DC，由角的互余得

到NA8/)=ZZME，从而确定A4龙:S/H4。，利用相似二角形性质得到A。=ObOC：

(2)由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到。4=。。=七尸=b,

ZODA=ZOAD,NFEC=/FCE,进而由三角形全等的判定与性质即可得到.

【小问।详解】

证明：矩形ABCD中，ZZMD=90°,ZAD£=90°,AB=DC,

.­.ZABZ)+ZADB=90o,

..ZDAE+ZADB=90°,

\ZABD=ZDAE^

ZBAD=ZADE=90°,

\AADE^BAD，

ADDE,，

---=----，即(iiAD~=DE-BA，

BAAD

AB=DC，

•AD2=DEDC

【小问2详解】

证明：连接AC交30千点O,如图所示:

在矩形48C。中，NAOE=90。，则/DAE+〃\ED=9(T,

AEIBD^

NDAE+ZADB=90。,

:.ZADB=ZAED>

^FEC=ZAED.

,\ZADO=ZFEC.

在矩形ABC。中，0A=OD==BD,

2

EF=CF=-BD,

2

:.OA=OD=EF=CF,

:.ZADO=ZOAD,/FEC=/FCE,

・.ZADO=NFEC,

ZADO=ZOAD=ZFEC=ZFCE,

在Y9/M和二在C中，

NODA=NFEC

<ZOAD=ZFCE

OD=FE

.qODAgFEC（AAS）,

/.CE=AD.

【点睛】本题考查矩形综合，陟及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、

全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键.

4.（2024云南省）如图，在四边形A3CO中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且48〃CD,

AD//BC，四边形夕G”是矩形.

（1）求证：四边形A3CO是菱形；

（2）若矩形EPG”的周长为22,四边形A8CO的面积为10,求A8的长.

【答案】（I）见解析（2）JiTT

【解析】【分析】（1）连接80.AC,证明四边形ABC。是平行四边形，再利用三角形中位线定

理得到G尸〃ND,HG//AC,利用矩形的性质得到8。_AC，即可证明四边形ABC。是菱形;

（2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到?RD+，AC=OA+O8=11.利用lx面积公式得到

22

2QVOB=10,再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到AN.

【小问I详解】

解：连接BO，AC,

AH

E

BFC

AB//CD,AD〃BC、

••・四边形ABC。是平行四边形，

.四边形43C£>中，点E、F、G、”分别是各边的中点，

:.GF〃BD,HG〃AC，

.四边形EFG”是矩形，

:.HG1GF,

•.BD-LAC^

••・四边形ABC。是菱形；

【小问2详解】

解：四边形A3CD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，

GF=