碰撞模型及其拓展（模型与方法讲义）（全国适用）原卷版及解析

专题07碰撞模型及其拓展

目录

1.碰撞问题遵循的三条原则...................................................................................1

2.两种碰撞模型的特点........................................................................................1

3.碰撞模型拓展................................................................................................2

⑴“保守型"碰撞拓展模型....................................................................................2

⑵“耗散型"碰撞拓展模型....................................................................................2

〔模型剖析:

1.症搐曲前造宿加三条原则

动量^4^卜I

动能彳:增加一或今+短N熊+短

两物体同向运动，则碰撞前应有心.>〃前,

碰撞后原来在前的物体速度一定增大.

若碰撞后两物体同向运动•则应有

。前'后'

速度合理

两物体相向运动，碰撞后两物体的运

动方向不可能都不改变

2.两种碰撞模型的特点

(1)弹性碰撞

两球发生弹性碰撞时应满足动最守恒定律和机械能守恒定律。

以质量为初、速度为S的小球与质量为，小的静止小球发生弹性正碰为例，有

ni]V\=m\V\1+//12O2'

3加2+5"2。2’

2加5

解得5,V2

如+，〃2l+/〃2°

结论：

①当加1="22时，V}'=0,Vl=V]t两球碰撞后交换了速度。

②当〃?1>阳2时，V\'>0,②>0,碰撞后两球都沿速度0的方向运动。

③当〃2|V/%2时，<0,V1'>0.碰撞后质量小的球被反弹回来。

④当如》"12时，V\'=V\,Vl'=2V}o

(2)完全非弹性碰撞

动最守恒，末速度相同，"7101+m2。2=(〃?1+m2)。共，机械能损失最多，机械能的损失△石斗川疗+少吸疗

1+〃?2)。共2。

3.碰撞模型拓展

(1)“保守型”碰撞拓展模型

rB+7+q

图例(水平面光滑)〉)，〃〃〃〃，〃,力〃〃

小球一弹簧模型小球一曲面模型小球一小球模型

相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足共，

达到共速

损失的动能最大，分别转化为弹性势能.重力势能或电势能

相当于弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足MDO=〃WI+M3,机械

再次分离

能守恒，满足%?加=品疗+加疗

(2)“耗散型”碰撞拓展模型

图例(水平面或

dA

水平导轨光滑)a%!/

相当于完全非弹性碰撞，动量满足〃处)=Q〃+M)o共，损失的动能最大，分

达到共速

别转化为内能或电能

【典例1】如图(a),一质量为〃?的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；物块B向A运动，，=0

时与弹簧接触，到/=2m时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的。一/图像如图(b)所示。已知从/=()到

/二a时间内，物块A运动的距离为0.36女曲。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面

上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为/sin0=0.6),与

水平面平滑连接。碰撞过程中弹簧始终处「弹性限度内。求

(I)第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值;

⑵第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；

⑶物块A与斜面间的动摩擦因数，

【题后总结】

水平方向

相当

呼叫孙的（如+，〃闻

两小球速于完

度相同时全非

弹性能用八%2=:(,小+〃独户

碰撞

守恒+%

G7VWWWQ一

mim2

当

小球一弹簧模型器上相篇孙3〃必+，*

弹

于

碰

（水平面光滑,不、性112

-I=-叫阳+

撞22

计空气阻力）1

-

la22

【典例2】如图，质量为/乐=山8、半径R=0.5m的，圆弧形凹槽N放在光滑水平面上，质量为%=1kg、

4

初速度％=5m/s的小球P从凹槽底端水平滑入。已知小球从滑入凹槽到分离过程中因两者的摩擦而产生的

热量Q=4J,重力加速度g=10m/s2。

在此过程中，下列说法正确的是（）

A.小球和凹槽组成的系统因合外力不做功而机械能守恒

B.小球和凹槽组成的系统因水平方向合外力为零而水平方向动量守恒

C.小球能从凹槽顶端冲出并继续上升的最大高度为0.125m

D.小球与凹槽分离后并以u=lnVs的速度向右做平抛运动

【总结提升】

相当

完

于晶徽〃”回

非

小球上升全

性

至最高点弹

能量），"国,2=，阳［安两12

推

碰

守恒3期

当

相动量（--------------

京融国,="也+52的

弹

于

碰

小球一曲面模型I小球返回性

（水平面光滑.不曲面底端

撞能M

计空气阻力）w

【典例3】在光滑水平面上，A、B两个物体在同一直线上沿同一方向运动，A的动量为18kg-m/s,B的动量

为24kg-m/s。A从后面追上B,它们相互作用一段时间后，B的动量增大为32kg-m/s,方向不变。下列说

法正确的是（）

Ifl

A.若此过程为弹性碰撞，则两物体的质量之比为一^二三

B.若此过程为非弹性碰撞，则两物体的质量之比可能为“

C.若此过程为弹性碰撞，则两物体的质量之比为吆=；

tnR4

m.9

D.若此过程为非弹性碰撞，则两物体的质量之比可能为-广=77

【典例4】如图所示，在光滑的水平面上有一质量M=4kg的平板车，小车右端固定一竖直挡板，挡板的质

量不计，一轻质弹簧右端固定在挡板上，在平板车左端尸处有一可以视为质点的小滑块，其质量〃?=2kg。

平板车上表面。点的左侧粗糙，右侧光滑，PQ间的距离L=10m。某时刻平板车以功=1mA的速度向左

滑行，同时小滑块以改=8m/s的速度向右滑行。一段时间后，小滑块与平板车达到相对静止，此时小滑块

与。点相距d=5m,取g=10m/s2,求：

（1）小滑块与平板车相对静止时的速度v；

（2）小滑块与平板车之间的动摩擦因数"；

（3）弹簧可能获得的最大弹性势能Ep。

【提炼总结】1.木板在光滑地面上滑动时，滑块和木板组成的系统满足动量守恒。

2.滑块不从木板上掉下的条件是两者达到共同速度，恰好不掉下的临界条件是滑块到达木板末端时两者共

速C

3.应注意区分滑块、木板各自的相对地面位移和它们的相对位移，用运动学公式或动能定理列式时位移指

相对地面位移；求系统摩擦生热时用相对位移（或相对路程），即。为相对位移）。

1.在水平气垫导轨上，运动的滑块〃与静止的滑块从碰撞，碰后二者结合在一起。碰撞前后两滑块的速度v

随时间f的变化如图所示，根据图像可知（）

A.碰撞过程中滑块〃动能的减小量等于滑块〃动能的增加量

R.碰撞过程中滑块。速度的减小量等于滑块〃速度的增加量

C.碰撞过程中滑块。动量的减小量等于滑块〃动量的增加量

D.滑块”的质量大于滑块。的质量

2.如图所示，光滑的水平地面上放置了两个完全相同的物块A、B,一竖直轻杆固定在物块A上，轻杆上

端系一长L=1.2m的不可伸长的轻绳，轻绳另一端连接小球C。现用外力将球C拉起直至轻绳处于水平状态

后，将小球C由静止释放，小球C摆到最低点的同时物块A、B恰好发生碰撞，此后A、B粘在一起运动,

不计一切阻力，已知小A=/%=2kg,〃?c=1kg,A、B、C均可视为质点，重力加速度&取lOm/sz,下列说

法正确的是（）

A.整个运动过程中，A、B、C组成的系统动量守恒

B.木块A、B碰撞后的速度大小为2m/s

C.木块A、B间的初始距离为0.8m

D.小球C经过最低点后向左摆动所能上升的最大高度为〃=lm

3.（多选）如图所示，光滑水平面上静止一小球B,小球B的左端固定一轻弹簧，小球A位于小球B的左

侧，某时刻小球A获得向右的初速度，动能的大小为心，已知小球A的质量为小球B质量的一半。下列说

法正确的是（）

AO^WWWWWVWQB

7777/7/777777777777777777777777^77"

2

A.弹簧的弹性势能最大时，小球B的动能为

B.弹簧的最大弹性势能为］当

C.弹簧恢复原长时•，小球A与小球B的速率之比为2：1

D.弹簧恢复原长时，小球A的动能与初动能之比为1：9

4.（多选）如图所示，质量为2m的小球B静止在光滑水平面上，质量为m的小球A以某一速度向右运动,

经过一段时间与小球B发生碰撞，已知碰前小球A的动能为下列说法正确的是（）

加000000^0^^0000^000^0^0^

A.若两球发生的是完全非弹性碰撞，则碰后小球A的动能为告

B.若两球发生的是完全非弹性碰撞，则碰后小球B的动能为与

C.若两球发生的是弹性碰撞，则碰后小球B的动能为争

D.若两球发生的是弹性碰撞，则碰后小球A的动能为A

9

5.（多选）如图所示，三个半径相同的刚性小球A、B、C穿在光滑、足够长的硬杆MN和M/M上，硬杆

MN和M/M在同一竖直平面内且相互平行，A、B、C的质量分另］为〃?八=lkg、〃?"=2kg、〃?c6kg,刚开始三个

小球均静止，B、C两球之间连着一根轻弹簧，轻弹簧处于原长且与硬杆垂直。某一时刻小球A获得大小为

vo=18m/s的速度向左匀速运动，与同一杆上的B球碰撞后粘在一起（作用时间极短），则下列说法正确的是

3

同

A.A球与B球碰后瞬间AB的速度大小为6m/s

B.在以后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能为54J

C.在以后的运动过程中，C球的最大速度为4m/s

D.在以后的运动过程中，B球的最小速度为2m/s

6.（多选）在某次冰壶比赛中，红壶沿直线运动，一段时间后与静止的蓝壶在大本营中心发生对心碰撞（时

间极短），如图甲所示，碰撞前后两壶运动的X图像如图乙中的实线所示，其中红壶碰撞前后的图线平行，

两冰壶的质量相等，取红壶的初速度方向为正方向，下列说法正确的是（）

A.蓝壶与冰面的动摩擦因数更小

B.红壶碰撞前后瞬间的速度变化量为lm/s

C.碰撞后蓝壶的位移大小为2m

D.碰撞后蓝壶的位移大小为4m

7.如图所示，小球b从距水平地面高度为/，处开始做自由落体运动，运动!时，小球。速度水平向右，与

O

小球〃在水平方向上发生弹性碰撞，碰撞时间极短，两球碰前瞬间的速度大小相等，以=3〃?“，重力加速度

大小为片,不计空气阻力，求：

”…一

a4h

(1)小球〃碰前瞬间的速度大小v：

(2)小球〃碰后瞬间的速度大小";

⑶两小球落地的时间差加：

⑷两小球在水平地面上的落点间的距离d。

8.如图所示，足够长的光滑水平面上静止放置两个形状完全相同的弹性小物块A、B,物块A的质量

/HA=0.5kgo在物块B右侧的竖直墙壁里有一水平轻质长细杆，杆的左端与一轻质弹簧相连，杆、弹簧及两

物块的中心在同一水平线上，杆与墙壁作用的最大静摩擦力为9N。若弹簧作用一直在弹性限度范围内，弹

簧的弹性势能表达式为耳=gh2,4=i50N/m。现给物块A施加一水平向右的恒力厂，其大小为10N,

作用1.6m后撤去，然后物块A与物块B发生弹性碰撞，碰撞后两物块速度大小相等，B向右压缩弹簧，并

将杆向墙里推移。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：

^7777777777777777777777777777777777777777/

⑴撤去恒力/瞬间物块A的速度大小;

⑵物块B的质量及物块A的最终速度;

⑶物块B的最终速度大小。

9.如图所示，一质量为小的小球A从某位置以初速度%平抛后从”点无碰撞进入光滑圆孤形轨道〃入已

5片

知弧形轨道对应的圆心角N"O尸=60。，。/竖直，半径R二.弧形轨道固定在光滑的水平面上，尸点右

g

侧某处放置有两个大小与A相同的球B、C,质量分别是2〃?与防，两球用轻质弹簧相连，弹簧初始处于原

长状态，A、B碰后结合成一个整体。重力加速度为g,小球均可视为质点，忽略空气阻力。

⑴求小球A在”点的速度大小及在F点对轨道的压力大小；

⑵求之后弹簧弹性势能的最大值：

⑶若在A、B碰撞的同时，在C球的右侧某位置放置一个竖直弹性挡板，C球与挡板碰后原速率反弹，且碰

后瞬间撤去挡板及轨道。由于档板所放位置的不同，弹籥最大压缩后也可能不同，求C球与挡板碰后弹

簧弹性势能最大值的取值范围。

10.如图所示，质量为2〃?的长木板c•锁定在光滑水平面上，质量为3"?的物块人放在c•上，质量为用的物块

。以初速度％从。的左端滑上长木板，〃与。碰撞前瞬间的速度为在〃、。弹性碰撞后瞬间解除。的锁

定，已知。、〃与c的动摩擦因数均为0.5,最终〃没有滑离c,重力加速度为8,不计物块的大小，求：

ab

P=^□-------------1c

/ZZZZZZZZ//////ZZ/ZZZZZZZZZZ//Z

(1)初始〃、〃间的距离；

(2)“、〃碰撞后瞬间的速度大小；

⑶开始时〃到。右端的距离至少为多少。

11.如图所示，置于光滑水平面上的轻弹簧左端固定，右端放置质量为2〃?的小球A,小球A置于弹簧原长

位置。质量为，”的小球B和质量为4相、半径为/?的光滑四分之一圆弧体C静止在足够长的光滑水平面上,

圆弧体C的水平面刚好与圆弧面的最底端相切。用力向左推动小球A压缩弹簧，由静止释放小球A后A与

小球B发生弹性碰撞。小球B运动到圆弧体的最高点时，恰好与圆弧体相对静止。两小球均可视为质点，

(1)小球A压缩弹簧时弹簧所具有的弹性势能；

(2)小球B与圆弧体C第一次分离时小球B的速度大小；

⑶小球B第一次返回到圆弧体底端时对圆弧面的压力大小。

12.如图，一竖直固定的长直圆管内有•质量为3阳的静止薄圆盘，圆盘与管的.上端口距离为/,圆管长度

为6/。一质量为机的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力是

其重力大小的々倍。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为用性碰

撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度为g。求：

O-

6/

⑴第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度；

⑵在第二次碰撞前圆盘下滑的距离；

⑶圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。

13.如图所示，光滑水平地面的右侧平滑连接一竖直放置的半圆形光滑轨道CD,轨道半径R=0.5m。物块A

和B分别置于水平地面的不同位置，/加=3kg,〃m=2kg。现使物块A以某一初速度向右运动，一段时间后与

静止的物块B发生正碰，碰后物块A恰好通过圆轨道最高点7)。物块A、B通过。点后做平抛运动，平抛运

动落地点间的距离为m,重力加速度g取lOm/s?。

⑴求物块B通过。点时的速度大小

⑵求物块B通过半圆形光滑轨道8的过程中，所受合外力的冲量大小

⑶判断A、B间的碰撞是否为弹性碰撞(不要求写计算过程)

14.如图所示，水平面上有两相同滑块c、=2kg,滑块d静止，其左边水平面光滑，右边水平

面粗糙，滑块c•以％=8m/s的速度与滑块d相碰，碰撞时间极短，碰后两滑块粘在一起，已知滑块与粗糙

面间的动摩擦因数〃=0.4,取重力加速度大小g=l0m/s2,求：

n。nd____________________

⑴滑块d滑行的位移大小x；

(2)因摩擦产生的热量Q。

15.如图所示，在一段水平光滑直道上每间隔4=2m铺设有宽度均为4=lm、与光滑直道等高的固定矩形

防滑带。在第1个防滑带的左边缘。点静止有质量为町=4kg的小物块P,另一质量为色=2国的小物块Q

以垂直于防滑带边缘、大小为％=12m/s的水平速度向右运动并与P发生正碰，碰后Q的速度恰好为0,碰

撞时间极短。已知P与防滑带间的动摩擦因数均为4=。5。P、Q可视为质点，重力加速度8取lOm/s?。

3

⑴碰撞前后P、Q组成的系统的机械能的变化量AE机，并判断碰撞类型;

(2)P最终停在第几个防滑带上，并求出其停止位置到。点的距离。

16.如图所示，长木板在光滑水平面上以％=2m/s的速度做匀速直线运动，长木板质量M=0.5kg,某时

刻在长木板的右端轻放一个可视为质点的小物块，小物块的质量〃?=L5kg,长木板右侧有一固定挡板，挡

板下方留有仅允许长木板通过的缺口，小物块与木板之间的动摩擦因数〃=0.1，木板右端到挡板的距离足

够大，使得木板与物块共速后，小物块与挡板发生正碰，碰撞是弹性碰撞。g=10m/s.

⑴若要小物块不从长木板上滑下，试求长木板的长度至少是多少？

(2)若长木板的长度足够长，质量变为4.5kg,试求小物块和挡板第一次与第二次相碰之间的时间。

⑶在第二问的基础上，小物块与挡板第〃次碰撞到第〃+1次碰撞过程中，物块相对于长木板的位移是多少？

17.某同学研究小球碰撞现象.如图所示，光滑水平面上放置有两个半径相同的小球A、B,质量分别是，小

km,两小球一开始均处于静止状态.现给A球一个水平向右的瞬时冲量/,A球向右运动与B发生正碰，不

计一切摩擦.求：

AB

水平面。O

⑴A运动的初速度%;

4

⑵若&=1,A与B发生碰撞后系统总动能损失了可，求碰后两球的速度小2、%2；

⑶若A与B碰撞后，系统的总动能损失了75%,求A可能的取值范围.

18.一光滑圆弧轨道与粗糙水平面相切，一质量为，〃的物块P静止在圆弧轨道底端，另一质量为2机的物块

Q从圆弧轨道上距水平地面高为人处由静止释放，Q与P发生非弹性碰撞后，两者均向前运动最终均停在水

平面匕且P在水平面上的运动时诃是Q在水平面上运动时间的2倍，p、Q与水平面间的动摩擦因数相同，

(2)碰撞结束瞬间p、Q的速率之比；

⑶碰撞结束瞬间物块P的速率。

19.如图所示，C球固定一轻质弹簧静止于光滑的水平面上，A球以速度卯沿B、C两球球心的连线向B球

运动，碰后A、B两球粘在一起，然后压缩弹簧，已知A、B球质量都为〃?，(:球质量为2〃?，弹簧始终在弹

性限度内。求：

⑴整个过程中弹簧弹性势能最大值Ep；

(2)C球速度的最大值vc

20.内壁光滑的“8〃字形的管道平放并固定在水平地面上，俯视图如图所示。管道的左右两部分均可看作

半径为R的圆，圆心分别为P、Q,衔接点为K。C、。为过P、。、K直线与管道的两交点。将质量为心的

小球A放置于C点、,质量为恤的小球B放置于K点。，=0时小球A从。点以速度％开始在管道内运动，

小球运动过程中不考虑管道置放部分的高度差。

(1)若〃入=,他，两小球发生弹性碰撞且碰撞时间极短，求小球A第1次回到。点的时刻；

(2)若/%=3/%,〃£=机，两小球发生弹性碰撞且碰撞时间极短，求小球A、B发生第2次碰撞的时刻；

⑶物体在实际碰撞过程中，其形变并不能完全恢夏，为描述此现象可引入恢复系数e。若a=3"?,〃％=机，

小球A、8每次发生碰撞恢复系数均为e=0.5,求小球A、B发生第3次碰撞的时刻。(恢复系数e等于碰撞

后两物体的分离速度(岭-H)与碰撞前两物体的接近速度(匕。-彩J的比值，即八上二L，式中为、%为

匕0—V20

两物体碰撞前的速度，匕、叱为两物体碰撞后的速度。)

21.如图所示，在一头固定在。点且不可伸长的轻绳上系一个可视作质点的小球A,当把小球A拉到使轻

绳与水平面成。=30角时，轻轻释放小球A,运动到最低点时，小球A恰好与放在光滑水平面上同可视作

质点的小球B对心正碰。碰后粘在一起向左摆动，此后轻绳与竖直方向之间的最大偏角a=60,忽略空气

B

(1)小球A、B的质量比"入："%;

(2)小球A、B在碰撞过程中损失的机械能石与小球A在碰前的最大动能七八之比。

22.将质量为2切的物体A以一定初速度％从地面竖直向上抛出，A到达最高点时与水平飞来的质量为机的

物体B发生碰撞，已知碰前物体B的速度大小为也碰后两物体粘在一起，碰撞时间极短。空气阻力不计,

两物体均可视为质点，重力加速度大小为且。求：

⑴物体A从抛出到最高点所用的时间，；

⑵两物体粘在一起后的落地点与A抛出点的间距4；

⑶两物体碰撞中扳失的机械能AE。

23.如图所示，质量为班=2kg的物块A静止在光滑水平轨道上，轨道右端与一半圆形粗糙轨道相切，轨

道半径。质最为，％=3kg的物块B以初速度%=10m/s滑向A,A和B碰后粘在一起运动，恰好通

过圆弧轨道最高点P。物块A和物块B可视为质点，重力加速度g取10m/s2,求：

(1)A和B碰撞过程中损失的机械能AE；

(2)A和B粘合体在刚进入圆轨道时，对轨道的压力大小F：

(3)A和B在半圆形粗糙轨道上运动过程中摩擦力所做的功W。

24.如图所示，可看成质点的B物体叠放在上表面粗糙的A板上，一起以"的速度沿光滑的水平轨道匀速

运动，A与静止在同一光滑水平轨道上的C物体发生完全非弹性碰撞，且A与C碰后立即取走C(该操作对

A不产生影响)，B在A上滑行，恰好能到达A板的最右端。已知A、B、C质量均相等，且为〃?，木板A长

为L,重力加速度为g。求：

B

~A|四

勿勿勿勿勿勿切切M

(1)B物体最终的速度大小；

(2)A、B之间的动摩擦因数；

(3)B在木板A上滑行的时间。

25.如图所示，质量为2〃?的小球Q静止在光滑水平面上，其左侧有一光滑弧面槽A静止在水平面上，弧

面槽A轨道的截面可视为在竖宜立面内半径为R的四分之一光滑圆弧，轨道的最低点与水平面相切。球Q

的右侧有与轻弹簧一端连接的小球P,质量为〃?。当球P以%=3廊的速度沿水平地面向左运动，与球Q

发生相互作用，分离后，球Q冲上弧面槽A恰能到达圆弧轨道的最高点。小球P、。均视为质点，弹簧始

终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度为g,求：

⑵孤面槽A的质量。

专题07碰撞模型及其拓展

目录

1.碰撞问题遵循的三条原则...................................................................................1

2.两种碰撞模型的特点........................................................................................1

3.碰撞模型拓展................................................................................................2

⑴“保守型"碰撞拓展模型....................................................................................2

⑵“耗散型"碰撞拓展模型....................................................................................2

〔模型剖析:

1.症搐曲前造宿加三条原则

动量^4^卜I

动能彳:增加一或今+短N熊+短

两物体同向运动，则碰撞前应有心.>〃前,

碰撞后原来在前的物体速度一定增大.

若碰撞后两物体同向运动•则应有

。前'后'

速度合理

两物体相向运动，碰撞后两物体的运

动方向不可能都不改变

2.两种碰撞模型的特点

(1)弹性碰撞

两球发生弹性碰撞时应满足动最守恒定律和机械能守恒定律。

以质量为初、速度为S的小球与质量为，小的静止小球发生弹性正碰为例，有

ni]V\=m\V\1+//12O2'

3加2+5"2。2’

2加5

解得5,V2

如+，〃2l+/〃2°

结论：

①当加1="22时，V}'=0,Vl=V]t两球碰撞后交换了速度。

②当〃?1>阳2时，V\'>0,②>0,碰撞后两球都沿速度0的方向运动。

③当〃2|V/%2时，<0,V1'>0.碰撞后质量小的球被反弹回来。

④当如》"12时，V\'=V\,Vl'=2V}o

(2)完全非弹性碰撞

动最守恒，末速度相同，"7101+m2。2=(〃?1+m2)。共，机械能损失最多，机械能的损失△石斗川疗+少吸疗

1+〃?2)。共2。

3.碰撞模型拓展

(1)“保守型”碰撞拓展模型

rB+7+q

图例(水平面光滑)〉)，〃〃〃〃，〃,力〃〃

小球一弹簧模型小球一曲面模型小球一小球模型

相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足共，

达到共速

损失的动能最大，分别转化为弹性势能.重力势能或电势能

相当于弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足MDO=〃WI+M3,机械

再次分离能守恒，满足%?加=品疗+加疗

(2)“耗散型”碰撞拓展模型

图例(水平面或

dA

水平导轨光滑)a%!/

相当于完全非弹性碰撞，动量满足〃处)=Q〃+M)o共，损失的动能最大，分

达到共速

别转化为内能或电能

【典题示例

【典例1】如图(a),一质量为〃?的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；物块B向A运动，，=0

时与弹簧接触，到，=2m时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的。一/图像如图(b)所示。已知从/=()到

/二a时间内，物块A运动的距离为0.36女曲。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面

上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为/sin0=0.6),与

水平面平滑连接。碰撞过程中弹簧始终处「弹性限度内。求

(a)(b)

(I)第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；

⑵第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；

⑶物块A与斜面间的动摩擦因数，

【答案】(1)0.6加的2(2)O.768VO/O(3)0.45

【解析】(I)当弹簧被压缩最短时，弹簧弹性势能最大,此时A、B速度相等，即在/=/o时亥上

根据动量守恒定律有〃3•1.2。()=+m)v()

根据能量守恒定律有

Epmax=%?B（1.2。0）2-+

2

联立解得=5m,Epmax=0.6mv（）

（2）B接触弹簧后，压缩弹簧的过程中，A、B动量守恒，有〃?B4.20O=〃IBOB+〃2A

对方程两边同时乘以时间△/,有

6机%）加=5〃WBA/+"缈A△/

0〜而之间，根据位移等于速度在时间上的累积，可得6mvot（）=5〃?SB+"ISA,将SA=0.36&）m

代人可得SB=1.128vo/o

则第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值

A5=5B—5A=O.768Z^O

（3）物块A第二次到达斜面的最高点与第一次相同，说明物块A第二次与B分离后速度大小仍为2%，方向

水平向右，设物块A第一次滑下斜面的速度大小为。A',取向左为正方向，根据动量守恒定律可得A'

-5"ZO.8UO="M-2VO）+5〃/B'

根据能量守恒定律可得

pWAZ2+m-(O.8^o)2=22

联立解得。A'=。0

方法一：设在斜面上滑行的长度为，上滑过程，根据动能定理可得

—nigLsinO—finigLcosZ?=0—^（2z?（））2

下滑过程，根据动能定理可得

mgLsinO-pmgLcosO=^UVA'2-0

联立解得4=0.45

方法二：根据牛顿第二定律，可以分别计算出滑块A上滑和下滑时的加速度大小，

mgsin。+〃/〃geos0=mci上

mgsin。-"〃?gcos8=ma下

上滑时末速度为0,下滑时初速度为0,设在斜而上滑行的位移为L,由匀变速直线运动的位移速度关系可

得2ai.L=（2%）2—0,2aFL=V,\'2

联立可解得〃=0.45。

【题后总结】

水平方向

相当

动过守恒卜山，后（〃h+，a）q

两小球速于完

度相同时全非

弹性能量）”八必2斗犯+"独标

碰撞

37WWWQ一

mim2

当

小球一弹簧模型器上相动试

弹

于守恒

碰

（水平面光滑.不——性

]212,

计空气阻力）撞能试必+

刎2席

【典例2】如图，质量为，乐=1kg、半径R=0.5m的，圆弧形凹槽N放在光滑水平面上，质量为%=1kg、

4

初速度％=5m/s的小球P从凹槽底端水平滑入。已知小球从滑入凹槽到分离过程中因两者的摩擦而产生的

热量Q=4J,重力加速度g=10m/s2。

在此过程中，下列说法正确的是（）

A.小球和凹槽组成的系统因合外力不做功而机械能守恒

B.小球和凹槽组成的系统因水平方向合外力为零而水平方向动量守恒

C.小球能从凹槽顶端冲出并继续上升的最大高度为0.125m

D.小球与凹槽分离后并以n=lnVs的速度向右做平抛运动

【答案】BD

【详解】A.小球和凹槽组成的系统因有摩擦力做功而机械能不守恒，故A错误：

B.由于水平面光滑，球和凹槽组成的系统水平方向合外力为零，所以系统水平方向动量守恒，故B正确;

C.设小球能从凹槽顶端冲出而分离，并且从凹槽顶端冲出并继续上升的最大高度为力，小球和凹槽组成的

系统水平方向动量守恒，两者的共同速度大小是盯

5P%=(/%+〃%)匕

V1=2.5m/s

小球和凹槽组成的系统，由能量守恒定律得

3〃?P4；（〃?p+MN）4+Q+吗8（力+R）

代入数据，解得

a=-0.275m

力＜0,说明小球不能从凹槽顶端冲出，故C错误；

D.小球不能从凹槽顶端冲出，则小球从凹槽下滑后才与凹槽分离，小球从滑入凹槽到分离过程中因两者的

摩擦而产生的热量Q=4J。假设小球与凹槽分离时小球速度为L凹槽速度为入，则由动量守恒

WpV0=WpV+WNVN

再根据能量守恒

121212c

=3〃?py~+”N%+Q

乙乙乙

两式联立解得

v-lm/s

*

vN=4m/s

或

v=4m/s

vN=1m/s

因小球与凹槽需vK%,第二组解不符合实际，需舍掉；即小球与凹槽分离后并以v=lm/s的速度向右做平

抛运动，故D正确。故选BD。

【总结提升】

当

相

完

于脚词

非

小球上升全

性

至最高点弹

能讨

撞

碰

守恒

当

相

帘融出,=叫小+52%

弹

mxm2于

碰

小球一曲面模型I小球返回性

（水平面光滑.不曲面底端能读小如2=*切亚；+

撞

计空气阻力）守恒m2u2

【典例3】在光滑水平面上，A、B两个物体在同一且线上沿同一方向运动，A的动量为18kgTTi/s,B的动量

为24kg-m/s。A从后面追上B,它们相互作用一段时间后，B论动量增大为32kg•m/s,方向不变。下列说

法正确的是（）

A.若此过程为弹性碰撞，则两物体的质量之比为吆=；

7

B.若此过程为非弹性碰撞，则两物体的质量之比可能为二•=/

mn18

C.若此过程为弹性碰撞，则两物体的质量之比为”=；

%4

m.9

D.若此过程为非弹性碰撞，则两物体的质量之比可能为一j

mH16

【答案】B

【详解】AC.碰前，有

PA>PB_

，％，%

解得

吆<区=3

"5PB4

A碰8过程中，有

PA+PB=PAI+/%

+PH>PAI+一用

2%2mB.2叫2叫

解得

“_L

mH2

碰后，有

PAI<PBI

〃以一，〃B

解得

叫>5

mH16

综上可得

±<^<1

16mB2

若为弹性碰撞，则两物体的质量之比为

吆，

“2

A、C错误；

BD.若为非弹性碰撞，则两物体的质量之比为

16mH2