河北省唐山市十校2026届高三年级上册期中考试数学试题（解析版）

河北省唐山市十校2026届高三上学期期中考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合〃={4-8<寸<216},4={川-24工<3},8={1,2,3,4,5},则@,A)cB=

()

A.{3,4}B.{4,5}

C.{3,4,5}D.{2,3,4,5)

【答案】C

【解析】{7={xl-8<?<216}={x|-2<x<6},所以={邓<戈<6},

所以(q.rA)cB={3,4,5},

故选：C.

2.己知平面向量E==(x,l),满足4〃〃，则1。1=()

A.1B.2C.73D.0

【答案】D

【解析】依题意得1一1=。，解得工印或x=-l,

当x=i时，i〃i=JF+F=应；当工=-1时，|小/+(_])2=3；

综上|ci|=>/2.

故答案为：\/2•

3.已知函数/(x)=V—6x,则/(刈在(0,+8)上的极值为()

A.-472B.1C.45/2D.-3

【答案】A

[解析】=X3_6x=r(x)=3/-6=31+0)(x-夜)，

当KE(及,”)时，/(X)>O,/(X)单调递增，

当xw(o,夜)时,r(x)<OJ(x)单调递减，

所以/*)在(0,y)上的极值为/(及)=(/)3-6x夜=-4夜，

故选：A.

,—,X>()(1

4.已知函数/A的值域为一应一，实数a的取值范围是()

?ke

ax"-x,x<0

-co,---B.S,0)

4

【答案】A

【解析】当x>0时，=U竺，故/("=二丫，

*XX

令/'(x)=0,得x=e,

当Ovxve时，/'(力>0,得函数〃冗)在(O,e)上单调递增,

当尢〉e时，/'(x)<0,得函数/(x)在(e,+o。)上单调递减，

故〃工)二皿得最大值为/(e)=L当X.o+时，-0°：

xe

当XT+8时，/(x).0,因此当x>0时，/(A-)ef-oo,l,

当X40时，函数/(%)=依2一五，

由题意可得此时的/(耳二依2一1的范围是(一8,：的子集，对〃进行分类讨论:

(1)若4=0,则/(%)=一X,

当XW0时，/(x)>0,不符合范围是(-O0」］的子集的要求，

因此。=0不满足题意；

(2)若。<0,函数/。)=必：2—工的图象是开口向下的抛物线，

且对称轴为x='-<0

2a

故当xKO时，函数/(司=以2—1在对称轴工==-处取得最大值：

由题意得一」

因为。<0,解得：a<--

（3）若。>0,函数=的图象是开口向上的抛物线,

且对称轴为x=—>0,

2a

故/（同=加一/在（一8,0］上单调递减，且/（0）=0

故/（x）20,这不符合范围是（-00-］的子集的要求；

Ie

综上，。的取值范围是-8,-］

I4

故选：A.

5.已知等差数列｛氏｝的前〃项和为S〃，公差为"，若8《+S5=110,4d+S4=20,则S”

的最大值为()

12155

A.——B.30C.——D.18

42

【答案】B

【解析】已知等差数列｛qj的前〃项和为S.,公差为由所以S.=〃4+”〃T)d,

2

4x(4—1)5x(5-!)

所以S4二4“4---------d=4%+6d,S5=5a]+----——-d=5ax+1Od.

f8a+(5a+10t/)=110

又8q+Ss=110,4d+S4=20,即11；1/

15444+(44+61)=20

13q+1()4=11()4=10

亦即〈解得

4^+1Of/=20d=-2

112⑵

所以=+1b?=-n+——

2)4

根据二次函数的性质知当〃=5或6时，S”取得最大值30,

故选：B.

x2++3xW0

6.已知函数।-且。>。,。工1恰有2个零点，则〃的值为（）

1+k）g“x,x>0

A.2V2B.3C.25/3D.4

【答案】C

【解析】由题意得，当x>0时，/（X）=1+logMx,该函数是由log”x向上平移1个单位

得到，

令/(X)=l+logaX=0得X=且。

a

当x>0时，/(x)=l+log/有1个零点；

当xWO时，/("=£+依+3只有1个负零点,

由〃力二丁+公+3开口向上，且对称轴工=_£<0,/(0)=3>0,

所以要使/'(x)=f+奴+3只有1个负零点，则/=储一4又以3=0，

解得。=26或a=-26(舍去)，故a=26.

故选：C.

7.如图，10个半径为2cm的乒乓球放在一起，形成一个3层的乒乓球垛，其中每两个乒

乓球都是相切的，则该乒乓球垛的高度为()cm.

A,/+2B,还+4C,地+2D,还+4

3333

【答案】B

【解析】依题意连接顶层1个球和底层边缘3个球的球心得到一个正四面体，且该正四面体

的棱长为8,

设正四面体的高为人，则该“三角垛”的高度为〃+4,

如图正四面体S—A8C楂长为8,设底面ABC的中心为E，连接8E并延长交AC于点

D，则。为4C的中点，

连接SE,则SE为底面A3c上的高，BD=M-42=46，BE=|BQ=#,

所以“三角垛”的高度为辿+4.

3

故选：B.

8.已知点（一。,。）和得,0）是/（x）=Gtan（3x+。）0>0,-]<°V图象的两

个相邻的对称中心，如图，过原点的直线与y=/（幻的图象在第一象限的一对相邻的交点

分别为4.A（其中A在8的左侧），过点4A分别作'•轴的垂线，垂足分别为uD,若

ICD1=71,且乙BOD的面积是ZSAOC的面积的9倍，则（）

B.点人的坐标为W，1

（2

7（3%、

C.(0=—D.点B的坐标为—,3

3I4）

【答案】B

【解析】由题意得KU唔=亲「"1力3二百"吗"⑼’

因为」8OD的面枳是△AOC的面积的9倍,

所以因_因.因」.|如|」.「兀工_巫y-3y

以bo|(7c|+|cr)|\OC\+n3II2A2，82'果

777371

即由tan(—xB+(p)=34tan(—xA+°),即tan(—x—兀+夕)=3tan(—x—兀+夕)，

666262

7it7

化简得tan(—兀+0+—)=3tan(—兀+°),

12612

tana+

兀-^-=3tana,解得tan

则tan(cr+—)=3tana,化简得----广a=——G

6]丁

tana3

c兀13Kl,-■兀77c5

又一<a<,所以a=—即nrla=—it+(p=­、：.(p=----兀

1212612612

所以/Cr）=V3tan（-x一~—K）,所以=V3tan（-x-；r一~—7t）=l.

612-16212

所以点4的坐标为（"|■1｝又%=3%,所以点B的坐标为.

故选:B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.有关复数z,Z1,Z2和实数下列说法不正确的是（）

A.z'"=z"，则"2二〃B.z,2+£；=（）,则Z]=Z2=0

C.团士仁机工其中冈工（）

【答案】AB

【解析】对于A,取复数Z=i，则z2=z6=—1，所以A不正确：

对于B,取复数Z1=l,Z2=i,则z：+z；=l-l=O,所以B不正确;

对于C,设2=〃3。5。+15由夕）（1之0）,则目=〃，所以上「二/"

由zm=rm(cosmO+isinmO),贝i]z'"=rm-Vcos2/?7^+sin2m3=rm,

所以上”[=|2|"',阳£1<,所以C正确.

对于D,设Z]=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,deR),

z_ci+b\_(a+Z?i)(c-di)_(ac+bd)+(be-cid)i

可则}

22

z2c+d\(c+di)(c-Ji)c+d

(ac++(bc-ad)'\ac+bd)2+(bc-ad)2_la2+b2

1(^4

a2+b2

222

又由㈤=yja+/?,|z2|=Jc'2+d,所以TA--

c2+d2

—=J-^7»其中22]。。，所以D正确.

所以

Fil

Z2

故选：AB.

10.如图，在边长为1的正方体中，点、E,F,M,N分别是边

cc1,CD,GR的中点，则下列说法正确的是（）

A.斯〃平面B.NF1DB.

C.平面EFM〃平面DNA、D.三棱锥A—AB7的体积为:

【答案】ABD

【解析】对于A,因为CA/=AE,CM//AE,所以四边形AECA7为平行四边形，故

CE//AM,

乂“(Z平面AMN4，AA/u平面AMN4，故CE//平面AMN4,

因为M,N分别是边CD,G"的中点，所以CF//MN,

又C/（z平面AMN4，MNu平面AMV&,故CF//平面AMN4,

因为CE,C/u平面CEP,且CEnCbrC,所以平面CEF//平面4MNA,

因为所u平面CE尸，所以所〃平面AMNA,,正确;

对于BCD,以。为坐标原点，D4,OC,OA所在直线分别为x,），,z轴，建立空间直角坐

标系，

由题意知。(0,0,0),A。,0,0),3(1,1,0)((0,1,0),A(1,0,1),4(1,U)，

（0,别,

G（0」,l），A（0,0』）,M.0

则Og=(l,l,l),NF=(0；-g

/X(I1111---

故=0,-,--=0+---=0,所以DBi上NF,

[22)221

故NF上DB[,故B正确;

(iiA

设平面MM的一个法向量为“=(%,y,zj,EF=-1,—,EM=(-1,0,0),

Z1

/71.EF=(X,,)VI)-(-44|==0

则J\22722,

%•EM=(x1,y1,zl)(-l,0,0)=-xl=0

令4=1,则“=(0,-1,1),

设平面的一个法向量为%=(/,%，Z2)，DN=\°，3，1)，图=(1，0，1)，

n2-DN=(x2,y2,z2\0,-,1=-y2+z2=0

则，k2J2,

n2-DA1=(x2,y2,z2)(l,0,l)=x2+z2=0

令z2=1,则%=(-1,—2,1)»

因为不存在4,使得即〃1与%不平行，

所以平面ERW〃平面DNA不成立，故C错误；

设平面RA4的一个法向量为m=(〃/"•),AR=(-l,0,l)MB,=(0,1,1),

nvAD.•(-l,(),l)=-4+c=()/、

则；.；、)，令c=l,则加

m•AB1=(6/,Z?,c)-(0.1,l)=Z?+c=0

又所以点尸到平面"目的距离为|"M_-l-1+2_V3,

易知为等边三角形，所以S/储用=与义(可=今

所以三棱锥D「AB.F的体积为%_个=△速速，,故D正确.

故选：ABD.

11.已知幕函数/(x)=ln(〃+2)j"L则()

A.。=3

B.曲线丫=华关于)，轴对称

x

(2\

C.已知〃Z>0,对立¥>0,/(小)>/(〃优2)恒成立，则相£0,一

\4/

D.方程/(x)=e”无实根

【答案】CD

(解析】由暴函数/(x)=\n(a+2)-尸,

可知In(。+2)=1,即。+2=e，a=e—2,故A错误；

y=^=—=-,不是偶函数，故B错误；

fxcx

由/(工)=/-1,当X>0时，由e-l>0知塞函数单调递增，

所以由对Dx>0,/(e')〉/(/nP)恒成立，可得e'>mx2>0，

即0v〃z<二恒成立，

犷

人/\e'•(\e'(x-2)

令g(x)=7，g(x)=­

人人

当0cx<2时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>2时，g'Cv)>0，g(x)单调递增，

一.ze2(e2>

所以X=2时，g(x)min=g(2)=—»故〃?£0,—,故C正确；

4I4,

e]r

由方程/(x)=e、，BPx~=e»因为e'>0，所以卜.尸=lne\(eT)lnx=Mx>0)

令〃(x)=x-(e—l)lnx,则“(x)=i_Ii__!1=__,

XX

当0<xve—1时，/zr(x)<0,当x>e-l时，”(x)>0,

所以函数在(0簿一1)上单调递减，在(e—l,+o。)上单调递增，

所以力(力劭=/?(e-l)=(e-l)[l-ln(e-l)]>0，故〃(x)=x_(e_l)hix>0,

所以x>(e—l)lnx,即(e—l)lnx=x无解，所以〃x)=e'无解，故D正确.

故选：CD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若—5x+6v0”是“x<。”的充分不必要条件，则实数。的取值范围是.

【答案】{a\a>3}

【解析】x2—5x+6<0=>(x—2)(x—3)<0=>2<x<3,

若“Y—5x+6v0”是“x<a”的充分不必要条件，

所以有。之3,

故答案为:{《心3}.

2〃

13.已知函数/(x)=sinx——+3,若/(〃?)=4,则/(-〃?)=.

【答案】2

2

【解析】令g(x)=/(x)-3,则g(x)=sinx-；,

函数g(x)的定义域为(F,。)、(0,”)，关于原点对称，

2(2、

因为g(一x)=sin(-x)-----=-sinx――=-^(x),

-X[X)

所以函数g(x)是定义在(-oo,0)l.(0,y)的奇函数，

因为g(")=/(")-3=l,

所以屋一根)=/(一⑼-3=-1,解得/(T〃)=2.

故答案为：2.

14.已知]</?va<?i,cos(2a-〃)=sin(2a+〃)，则tana二

【答案】—五一1

【解析】由cos(2a-/7)=sin(2a+/7),

得cos2acosp+sin2asinp=sin2acosp+cos2asinp,

/.sinP(sin2a-cos2a)-cos/7(sin2a-cos2a)=0,

(sin/?-cos/?)(sin2a-cos2a)=0,

又三<P<R,则sin/7>0,cos/?v0,即sin0-cos/7>0,

/.sin2«—cos2<z=0,即tan2a=1,

2tanct

--------—=1，即tan?a+2tana—1=0，解得tanez=-1±41，

1Taira

又/(兀，所以tana=—\—\[2.

故答案为：-1--\/2-

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/3=1。82(2、。)-3是偶函数.

(1)求〃的值；

(1A

(2)若g(x)=2"'),不等式〃z2X+--2mg*)+lN0对任意x£[2,4]恒成立，求

\2)

机的取值范围.

解；(1)因为/(x)=log?(2'+a)—5%,

所以/(t)=log?(2一'+4)+'x=log21+；；2+'x=log?(a2+1)_'x,

因为fM为偶函数，则f(-x)=f(x),即log2(a•2、+1)-gx=log2(2、+a)-,

所以a•2,+1=2,+a，解得4=1.

I(2、1)(l

(2)由(1)可得/(x)=log2(2‘+1)一彳X=log2~~一=log?22v、十22、，

22丁()

因为g(x)=2"*)=2?'+2齐，令2%+2'=1因为XC[2,4],所以2>W[2,4「

设〃=23，〃3)="+"]，由对勾函数的单调性可知〃①)在[2,4]上单调递增，

p(2)=|,P(4)=^,所以re1,y，

।/2_i,y

而2、+」-=2r+2V-2二一一2,

2rJ

所以加(2"+/)-2〃2g(x)+lNO可化为机(广一2)—为/+1之0,

即加/一2/川一2机+120对任意的/£—恒成立，

①当m=0时，mt2—2mi—2m+1>0恒成立.

②当机>0时，要使〃-2/加一2m+l20恒成立，只需将代入满足即可，

2

2544

所以一tn-7/??+1>0,所以加工一，即()<〃zW—.

433

17

③当机<0时，要使小/—2,加—2机+120恒成立，即/=二代入满足即可，

4

)父Q[7iA]A

所以——m一一m-2m+l>0,所以加之-----,即——</«<0；

162121121

「1641

综上所述，〃，的取值范围是一万•，5.

16.如图，在四棱锥P—A5C。中，PZ)_L平面48CD,四边形48C。是正方形，PD=

AD=1-

(1)若平面243c平面PCO=/，证明：1//CD；

(2)求AC与平面/入8所成角的大小.

(I)证明：因为四边形人8C。是正方形，所以。〃43,

因为ABu平面以8,。£)仁平面以8,所以CD〃平面RW,

因为平面B48C平面PCO=/,COu平面PCQ,所以/〃CD；

(2)解：如图，以。为原点，D4,DC,。尸分别为x,y,zMb建立坐标系.

则£)(0,0,0),尸(0,0,1),A(l,0,0),B(l,1,0)。0,1,0),

UUUULWIKU

所以AC=(—1/,0),AB=(0,l,0),AP=(-1,0,1),

设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),

/iAP=(x,y,z)(-l,O,l)=O一x+z=0

则即《

〃•AB=(x,•((),1,())=()y=0

令x=l,则z=I,可得"(1,0,1),

设AC与平面办B所成角的大小为a,ae0,y

LLU1

ACn1_1

则sina=4**F-F

AC-n72x72~2

7T7T

所以a=一，故AC与平面以3所成角的大小为一.

66

17.已知数列｛%｝是等差数列，公差d=l,若。3，%，小成等比数列，数列出｝的前〃项

3"—1

和为Sn=

2

（1）求〃”及4；

（2）求数列｛4"｝的前〃项和

解：（1）由题意4，。5，。9成等比数列，得

即（q+4）2=（4+2）（4+8）,解得q=0,

所以数列｛为｝的通项公式为=；

当〃=1时，/?1=S]=1,

当〃之2时，bn=Sn_S,_、=3：3”=3，i,(〃>2),

验证当〃=1时，4=1满足上式,

所以数列｛hn｝的通项公式为2=3"T；

(2)由(1)知。也=(〃―1)・3"T.

7；,=0x30+lx3'+2x32+L+(〃-1)31,

则37；=0x3+1x32+2x33+.+

两式相减得一24=3'+32-4-33++3'1—(〃一1)・3"；__)_(„_1).3^

13

所以看=—n——3，,

24-4-

18.在VA3c中，内角4,4，。所对的边分别为。，仇c,已知向量〃z,〃满足〃z=（g,co$3）,

r

n=cosC,^,且方z}=acos3.

2

(1)求B的值；

(2)若力=M，VA8C的面积是半，NA8C的角平分线8。交AC于点。.

①求a+c；

②求80的值.

解：(1)Arn=—cosC+—cosB=acosB,

22

由正弦定理得sinBcosC+sinCcos13=2sinAcosB，

sin8cosC+sinCcosB=sin(8+C)=sinA,则sinA=2sinAcosB，

因为sinA/O,所以cos4=1,乂Be(0,2,所以3=巴.

23

(2)①由,acsinB=•得ac=10,

22

由余弦定理b2=a2+c2-laccosB得，

19=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-30,

所以a+c=7.

②由S.ABC=SABD+S.OU)得，

-xBDxcxsin-+—xBDxd-xsin-=—xBDx(a+c)=-BD，

2262644

所以，。二u巫.

7

19.已知函数/(x)=f一以]nx-l(a€R,a>0),当xNl时，/(幻之。恒成立.

(1)求实数a的取值范围；

(2)若函数gQ)=三土里土二23,当实数〃取最大值时，是否存在整数3使得关

X

于X的不等式g(x)之/恒成立，若存在，请求出，的最大值，若不存在，请说明理由；

(3)已知〃wN"，证明：Inn+^-l1+-+++-.

2VnJ23n

(1)解：由题设/(x)=——诉mx—120在xNl时恒成立，等价于x——alnx2()在

x

[1,+8)上恒成立，

令/OOnx-'-Qln/,x>\,则b'(X)=]+与一@=X一,丫+1,

XJTX

令〃(x)=d-公+1,且a>0,

当』=/一4<0，即0vaW2时，/?(x)>0,即尸(幻20,

此时产。)在口,口)上单调递增，则尸。)之尸(1)=0,满足题设；

当』=/一4>0，即“〉2时，W)=2-a<0,对称轴工=幺>1,