2026年人教版七年级数学上册期末复习：绝对值的化简（专项训练）

专题04绝对值的化简

1题型归纳•内容导航］

题型1根据数轴化简题型4新定义问题中的化简（难）

题型2根据字母的取值范围化简（重）题型5分类讨论化简（难）

题型3利用非负性化简（重）题型6利用绝对值的几何意义化简

I题型通关•靶向提分I

题型1根据数轴化简

1.已知有理数a〃在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的是()

------•1•------------►

b----------------0----------a

A.-b<-a<a<bB.-a<-b<a<b

C.b<-a<a<-hD.b<-b<a<-a

2.有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若例>同，则a"。中一定为负数的是一.

-1-----------------；----------1------------►

abc

3.如图，已知A、B、C、。在数轴上表示的数分别为〃、〃、c、d且满足

|1一4=|1一4，则a+/?+c+d的值为.

ABCD

।1।1111A

-101

4.有理数〃，b,。在数轴上的位置如图所示，则代数式|-4+2|。+4一2|。-q+20化简后的结果

为•

\a\ly|C|

5.有理数a、b、C在数轴上的位置如图所示，则代数式U+市+U的值等于_

a\b\c

।ill、

a0cb

6.有理数m仇c在数轴上的位置如图所示，则化简同-|。-。|-卜+。|的结果是

」ill»

ab0c

7.已知有理数4、b、c在数轴上的位置如图所示：

cIIIbIIaI'

--101~

(1)判断正负，用“>“、"V”或"=”填空：

a+b0»a-b0,a+c0；

2/29

(2)化简：+.

题型2根据字母的取值范围化简

8.若|a|=5,网=2,且avb,则a+力的值是()

A.一7或一3B.7或3C.一7或3D.7或一3

9.已知凶=3,3=5,则x+y=（）

A.8B.2C.-8或-2D.8或-2

10.若|乂=7,|乂=5,且x+y>0,那么x-y的值是（）

A.2或12B.2或—12C.—2或12D.一2或一12

11.若|《=7,科=3,且4+〃>0,则〃一〃的值为（）

A.-4或—10B.10C.4或一10D.-4或10

12.已知两个非零有理数x,1y满足百十4=。，则而的值为

13.已知4,是三角形的三边，化简|〃一。一。|+上一。+4=

14.若1cx<2,求代数式E二3LE刃+凶=________.

x-21-xx

题型3利用非负性化简

15.如果同=一%下列成立的是()

A.a>0B.a<0C.。>0或。=()D.avO或。=0

16.已知上一1|+|2)，+1|=0,贝ijx=,y=.

17.若14=5,网=7,且|.-4=力一〃，则a+〃的值是()

A.-12或2B.-2或12C.-2或-12D.12或2

18.代数式的最小值是()

3/29

A.0B.-1C.1D.2

19.如果x为有理数，式子2026-卜-4|存在最大值，那么这个最大值是（）

A.2026B.2025C.2024D.2023

20.已知x,y为有理数，且,一2|+|）=l|+k+y-4|二丁-1,则％-丁的值为.

题型4新定义问题中的化简

21.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一

种特殊的自然数——“绝对数”.定义：对于一个正整数小，若将其各个数位上的数字两两作差后取绝对

值，从大到小顺次排列后，得到一个新数〃，则称〃是〃，的“绝对数”.例如：〃7=534,将其各个数位上的

数字两两作差后取绝对值为2,1,1,那么加=534的“绝对数”〃为211.则178的“绝对数”为；若一

个三位正整数x的“绝对数”是321,则满足条件的所有大中最大为

22.对于数轴上的两点P,Q给由如下定义：P,Q两点到原点的距离之差的绝对值称为P,。两点的“绝

对距离“，记为||夕。。||.例如，P,Q两点表示的数如图1所示，则||POQ|F|PO-QO|=|2-1|=1.

POQOAB

—।_I_।_A_X_।~~I—►—।~।~~।_IX—।-I—►

-3-2-10123-3-2-10123

图1图2

（i）A,8两点表示的数如图2所示.

①或4.8两点的“绝对距离”：

②若点C为数轴上一点（不与点。重合），且||AO3|=2||AOC||,求点C表示的数；

⑵点M，N为数轴上的两点.（点M在点N左侧）且MN=2,||MON||=1,请直接写出点M表示的数为

23.已知一组整数，共有〃个.从中任意选取两个整数，将这两个整数作差后取绝对值，记为第1次运

算.接下来，再从这组整数中选取•个整数，将这个整数与第I次运算的结果作差后取绝对值，记为第2

次运算.此后，每次从这组整数中选取的整数都与前次的运算结果作差后取绝对值（其中每个整数都要被

4/29

选取，且只被选取一次)，我们把第(〃-1)次运算的结果称为这组整数的一个“绝对“值

(1)已知一组整数：5,6,7.

①若第1次运算选取的整数是5,6,则可以得到这组整数的一个“绝对“值"为二

②若第I次运算选取的整数是6,7,则可以得到这组整数的一个“绝对d值“为「

(2)已知一组整数：-1,2,3,4,则这组整数的最大“绝对"值”为最小“绝对"值''为」

(3)已知一组三个互不相等的正整数：2,mb.这组整数的最大••绝对d值”为10,求这组整数的最小、、绝对

d值”.

24.数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题，比

如|西-司表示在数轴上数0占对应的点之间的距离.现定义一•种“F运算”，对于若干个数，先将每两个

数作差，再将这些差的绝对值进行求和.例如：对T,1,2进行“户运算”，得

|-1-1|+|-1-2|+|1-2|=6.下列说法：

①对1,-2,3进行"运算”的结果是8；

②若2vx<y,对于2,x,y进行“尸运算”的结果是8,则)，的值是8；

③对ma,Ac进行“产运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式.

其中正确的个数为().

A.0B.1C.2D.3

题型5分类讨论化简

abc

25.已知实数a,b,c、，满足必c=l,则时+同一同的值为()

A.1B.1或3C.1或-3D.T或-3

\a\bId

26.已知人”则式子：?()

A.3B.一3或1C.一1或3D.1

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27.已知abc<0,a+b+c^O,若工=也_t1+生_5一史,则x的最大值与最小值的乘积为（）

abc

A.-24B.-12C.0D.8

28.a,》为非零有理数，则@+也+囤的值为（）

abab

A.3B.-1C.3或—1D.-3

29.三个有理数a,4。，满足中=1,求9+1（+5[+喀=___.

abc同网|qabc

题型6利用绝对值的几何意义化简

3（）.在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：卜+2]的几何意义是数轴上表示数x的点与表

示数-2的点的距离，k-1|的几何意义是数轴上表示数％的点与表示数1的点的距离.当k+2|+|xT|取得

最小值时，K的取值范围是（）

A.x<-2B.-2<x<1C.x>1D.xW-2或xNl

31.如果两个有理数x,y满足x+y=3,则卜+3-卜-3|的最大值,卜-引+卜+4|的最小值

为•

32.已知|%|=2,|），|=3,|x-yl=y-x,则工+），等于.

33.已知，数轴上A,B,。三点对应的有理数分别为a,b,c.其中点A在点8左侧，A,8两点间的距

离为4,且mb,c•满足//十M十（c—2025）2=0,贝IJ：

（1）c的值为.

（2）数轴上任意一点P,点P对应的数为X,若存在x使卜-a|+k-〃|+k-d的值最小，则x的值

为一.

34.数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合.通过研究数轴，我仅发现了许多

重要的规律，我们知道14的几何意义是在数轴上表示数，的点与原点的距离，那么|。-目的几何意义又是

什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况.比如考虑|5-（-6）|的几何意义，在数轴上分别标出表示

-6和5的点，（如图所示），A、8两点间的距离是11,rffi|5-i-6）|=|5+6|=ll,因此不难看出|5-（-6）|就

是数轴上表示-6和5两点间的距离，所以|。-4的几何意义是数轴上小人两数对应点之间的距离，若点P

为数轴上一动点，点。对应的数记为小请解决以下问题：

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直接应用

(I)若点P到-2所表示的点之间的距离是3个单位长度，则。的值为：

⑵若点P在表示2和-5的两点之间运动，请写出代数式h-2卜|。+5］的儿何意义，并求卜-2昨+

值；

拓展应用

(3)代数式,+3|+|4-6|+|〃-1|的最小值为；

迁移应用

(4)若对于有理数—〃?，〃满足上一对+k-兄=1。，则我们称x是关于小，〃的“整十数如果有理数

是关于3,Y的“整十数”，请直接写出工的值.

A,i।1।।11।।i,Bi1A

-6-5-4-3-2-101234567

-6-5-4-3-2-10123456

35.材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如|3-1|表示3、1在数轴上对应的两点

之间的距离：|3+1|=|3-所以|3+1|表示3、-1在数轴上对应的两点之间的距离；|3|=|3-q,所以

|3|表示3在数轴上对应的点到原点的距离.综上，数轴上A、8两点对应的数分别为。、b,且4、3两

点之间的距离可以表示为八乩则八4=|。-4(或b-巾.

(1)数轴上表示Y和3的两点之间H勺距离是若卜+2|=3,则l=_；

(2)卜一1|+k+3|的最小值是」当人一时k+l|+|x—2|+,—4|的最小值是二

(3)求|x—2|+|x—4|+|x—6|+-«-+|x—2000|的最小值.

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专题04绝对值的化简

1题型归纳•内容导航］

题型1根据数轴化简题型4新定义问题中的化简（难）

题型2根据字母的取值范围化简（重）题型5分类讨论化简（难）

题型3利用非负性化简（重）题型6利用绝对值的几何意义化简

［题型通关•靶向提分

题型1根据数轴化简

1.已知有理数小人在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的是（）

-----•------------------1---------•---------►

b0a

A.-b<-a<a<bB.-a<-b<a<b

C.b<-a<a<-bD.b<-b<a<-a

【答案】C

【详解】解：由数轴可得，b<o<a,H>H，如图，

—•--------•---------1--------•---------*->

b-a0a-h

^b<-a<a<-b.

故选:C.

2.有理数。、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若网>同，则。，〃，。中一定为负数的是

=b__C

【答案】a,b/b,a

【详解】解：观察数轴得avbvc,

州〉M,

团数轴原点在有理数〃和C之间或者在有理数C的右边,

故人从C中一定为负数的是4方，

故答案为：4〃

8/29

3.如图，已知A、B、C、。在数轴上表示的数分别为。、。、。、d且满足8+1|,

|l-c|=|l-t/|,则4+匕+C+”的值为.

ABCD

।1।1111A

-101

【答案】o

【详解】解：由点八、8、C、。在数轴上表示的数。、b、c、d的位置，可得，

av-lvbvOvcvlvd,

0|a+l|=|Z>+l|,即数轴上表示数或。的点到表示数-1的点的距离相等，

团"+〃=-2,

同理c+d=2,

^ci+b+c+c/——2+2—0,

故答案为：0.

4.有理数“，b,c在数轴上的位置如图所示，则代数式卜4+2|a+d-2|。-4+2c化简后的结果

为•

【答案】-3b

【分析】

【详解】解：由数轴可知，a<b<O<c,

\-b+2\a+c\-2\a-l^+2c

=_〃+2[_(a+(?)]_2[-(〃_〃)]+2r

=-b—2a—2c+2a—2b+2c

=-3b

故答案为：-3b.

皿

5.有理数〃、b、。在数轴上的位置如图所示，则代数式MU+h而+IdU的值等于

a冏c

IIII、

a0cb

9/29

【答案】1

【分析】

【详解】解：由数轴可得，〃(()/)(),。>0,

：.\(^=-a,\b\=b]c]=c,

+—+—=—14-14-1=1.

bc

故答案为1.

6.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则化简|。|-|。-4—卜+。|的结果是

IIII»

a方0c

【答案】-b-2c

【分析】

【详解】解：根据数轴得：a<h<O<c,

团。一。<0,b+c>0,

团原式=+(a-c)-(Z?+c)

=-a+a—c—h—c

=-b-2c.

故答案为：-b-2c.

7.已知有理数。、b、。在数轴上的位置如图所示：

cba

1111」1.

--101~

⑴判断正负，用"或"=〃填空：

a+b0,a-b0,a+c0；

(2)化简：\ci+c|-|t/+/?|+\a-b\.

【答案】⑴<;>：<

(2)…

【分析】

【详解】⑴解:由数轴得,c<-l<^<O<a<l,

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0fl4-Z?<O,a-b>0,a+c<0,

故答案为：<;>：<:

(2)解：由(1)得，a+b<0,a-b>0,a+c<0,

0|^+c|-|67+^|+|67-/j|

=Ya+c)+(a+〃)+(〃-/?)

=-a-c+a+b+a-b

=a-c.

题型2根据字母的取值范围化简

8.若|〃|=5,网=2,且。<〃，则々+力的值是()

A.-7或-3B.7或3C.-7或3D.7或一3

【答案】A

【详解】解：回4=5胴=2,

回a=±5,Z?=±2,

回〃</?,

团a=-5,Z?=±2,

故选:A.

9.已知kl=3,m=5,x>y,则x+y=()

A.8B.2C.-8或-2D.8或一2

【答案】C

【详解】解：・山=3,

二.x=3或x=-3.

・山二5,

"=5或)，=-5.

又

.•.当工=3,丁=-5时，3>—5成立，此时x+y=3+(-5)=-2；

11/29

当h=-3,y=-5时，-3>-5成立，此时x+y=-3+(-5)=-8.

其他组合不满足x>)’.

.“+)，=-2或-8.

故选：C.

10.若W=7,|y|=5,且x+)>0,那么X-V的值是()

A.2或12B.2或—12C.一2或12D.一2或一12

【答案】A

【分析】

【详解】解：•••凶=7,「.x=±7,

v|v|=5,.“=±5,

又・.・x+y>0,

.,.当x=7,y=5时，x+y=12>0,x-y=2,

当工=7,)，=-5时，x+y=2>0,x-y=\2,

当工=-7,)，=5时，x+y=-2<0,不符合题目要求，

当H=_7,y=_5时，x+y=-12<0,不符合题目要求，

的值为2或12.

故选:A.

11.若同=7,1=3,且.+〃>(),贝!)：一。的值为()

A.-4或-10B.10C.4或-10D.-4或10

【答案】A

【详解】解：回a|=7,回=3

回a=±7,/?=±3

+>0

回a=7,〃=±3,

团当a=7,〃=±3时

则力一。=3—7=7或b-a=-3-l=-\0

故选：A.

12/29

12.已知两个非零有理数x,1y满足弓+国二。，则吕的值为.

因y网

【答案】-1

【详解】解：团1r+£lyl=。,

嘀码互为相反数♦

当『x，叫lylj

即工>(),y<(),

团XXv0,

嘀谒i

当X甲7,ly鸣l江

即工v0,y>0,

(?)x)f<0,

=旦=-1

一孙

故答案为：—1

13.已知凡Ac是三角形的三边，化简|a-〃-c|十|c-〃+臼=

【答案】2c

【详解】解：团么"c是三角形的三边,

回0+c>〃，a+c>b,

^a-b-c<0fc-b+a=a+c-b>0,

^\a-b-c\=-(<a-b-c)=-a+b+c,\c-b+c^=a+c-b.

^\a-b-c\+\c-b+^=(-a+b+c)+(a+c-b)=2c.

故答案为2c.

14.若l<x<2,求代数式M_M+W=

x-21-xx

【答案】1

【详解】解：01<x<2,

13/29

0x-2<(),x-1>0,

n|x-2|\x-11\x\-(x-2)x-\x[/i]I1

团11-1t+i_i=_LL--------+-=-1-(-1)+I=-1+1+1=1

x-21-xxx-21-xx

故答案为：1.

题型3利用非负性化简

15.如果问=-“，下列成立的是1)

A.a>0B.a<()C.。>0或〃=。D.或〃=()

【答案】D

【详解】解:131al=F,

0-47>0,

0(7<0,

故选：D.

16.已知|x-l|+|2y+l|=。，则4=,y=.

【答案】1一；/45

t详解]解：0|x-l|+|2y+l|=O,且卜-110,|2尹1|20,

0|x-l|=O,|2y4-l|=O,

解得x—l=0,2y+l=0,

解得x=Ly=_g,

故答案为：

17.若同=5,问=7,且fa,则a+A的值是()

A.一12或2B.-2或12C.一2或一12D.12或2

【答案】D

【详解】解：同时=5,H=7,

0a=±5,Z?=±7,

^\a-b\=b­a,

^b-a>0,即

0t/=±5目.Z?=7,

14/29

当4=5,〃=7时，4+力=5+7=12；

当。二一5,6=7时，。+〃=-5+7=2；

13综上,。+力的值是12或2.

故选：D.

18.代数式|。-1卜1的最小值是（）

A.0B.-1C.1D.2

【答案】B

【详解】解：ra|a-l|>0,

0|«-1|-1>-1,当〃=1时，等号成立，

团最小值为-1,

故选：B.

19.如果x为有理数，式子2026Tx-4|存在最大值，那么这个最大值是（

A.2026B.2025C.2024D.2023

【答案】A

【详解】解：0|x-4|>O,

团当W一4|=0时，即x=4时，2026Tx-4|取得最大值，最大值为2026；

故选A.

20.已知x,y为有理数,且卜-2|+|5-1|+k+丁-4|=yT,则"7的值为

【答案】0

【详解】解：0|x-2|+|j-l|+|x+y-4|=y-l,

□y-1>0,

回yT|=y_i，

同x-2|+y-l+|x+y-4]=y-\,

即W_2|+,+,―4|=0,

a|x-2|>0,|x+y-4|>0,

15/29

0|x-2|=O,|x+y-4|=O,

0x-2=O,x+y-4=O,

解得：x=2,），=2,

（?lx-y=2-2=0.

故答案为：0.

题型4新定义问题中的化简

21.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一

种特殊的自然数一一“绝对数〃.定义：而于一个正整数〃?，若将其各个数位上的数字两两作差后取绝对

值，从大到小顺次排列后，得到一个新数〃，则称〃是〃，的“绝对数〃.例如：〃7=534,将其各个数位上的

数字两两作差后取绝对值为2,1,1,那么〃z=534的“绝对数〃〃为211.则178的“绝对数”为；若一

个三位正整数”的"绝对数''是321,则满足条件的所有x中最大为

【答案】761986

【分析】

【详解】解:0|1-7|=6,|1-8|=7,|7-8|=1,

即78的“绝对数”为761.

（?）|9-8|=1,|9-6|=3,|8-6|=2,

取（I勺百位数字最大是9.十位数字最大是7,个位数字最大是6,

因满足条件的所有x中最大为986,

故答案为：761,986

【点睛】此题主要考查了新定义，弄清“绝对数〃的意义是解题的关键.

22.对于数轴上的两点P,。给由如下定义：P,Q两点到原点的距离之差的绝对值称为P,。两点的“绝

对距离"，记为||POQ||.例如，P,Q两点表示的数如图1所示,则||2。。|卜归。-。@=|2-1|=1.

POQOAB

—।­I~।_A_X_।-I—►—।~।~~।~II~।-I—►

-3-2-10I23-3-2-10123

图1图2

（1H，B两点表示的数如图2所示.

①求A,B两点的“绝对距离〃；

②若点C为数轴上一点（不与点。重合），且||AO8||=2||AOC||,求点C表示的数：

16/29

⑵点M,N为数轴上的两点.（点M在点N左侧）且MN=2,||MON||=1,请直接写出点M表示的数为

【答案】⑴①2；②一2或2

⑵一］或彳

【分析】

【详解】（1）①||八。8||=|。4-。同=|1一3|=2,

即A,8两点的友好距离为2.

故答案为：2；

②圳AOB\\=2,||AOB\\=21|AOC||,

0||AOC||=1,

又巴点A所表示的数是1，即。4=1,

a|O4-oc|=i,gp|i-oc|=i,

团X=0或0C=2,

乂叵点C不与点。重合，

团0C=2,

团点C表示的数为-2或2；

（2）由题可知||MQV||=|MO-NO|=1,

^MO-NO=\^NO-MO=\.

回点M在点N左侧，故可分类讨论：

①当M,N都在原点的左侧时，

团MO-NO=1.

团MV=2,

田M0—N0=\HMN=2,

团此情况不存在；

②当M,N都在原点的右侧时，

图MN=2,

0NO-MO="MN=2,

回此情况不存在;

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③当M点在原点的左侧，N点在原点的右恻时，

团MV=2,

I3MO+NO=2.

田朋。一NO=1或NO—MO=1,

0MO=—或MO=—,

22

31

0点M表示的数为-：或

22

31

故答案为：-；或-；.

【点睛】本题考查绝对值的实际应用，数轴上两点之间的距离.读懂题意，理解绝对距离的概念是解题关

键.

23.已知一组整数，共有〃个.从中任意选取两个整数，将这两个整数作差后取绝对值，记为第1次运

算.接下来，再从这组整数中选取一个整数，将这个整数与第1次运算的结果作差后取绝对值，记为第2

次运算.此后，每次从这组整数中选取的整数都与前次的运算结果作差后取绝对值(其中每个整数都要被

选取，且只被选取一次)，我们把第(〃-1)次运算的结果称为这组整数的一个“绝对d值〃.

(1)已知一组整数:5,6,7.

①若第1次运算选取的整数是5,6,则可以得到这组整数的一个"绝对"值"为二

②若第1次运算选取的整数是6,7,则可以得到这组整数的一个"绝对d值"为」

⑵已知一组整数：T,2,3,4,则这组整数的最大“绝对d值"为‘最小"绝对d值"为二

⑶已知一组三个互不相等的正整数：2,a,b.这组整数的最大"绝对〃值”为10,求这组整数的最小“绝对

〃值

【答案】(1)①6,②4

(2)4,0

(3)6

【分析】

【详解】(1)①根据题意得，回第1次运算选取的整数是5,6,

0|6-5|=1,

(?)|1-7|=6,

团这组整数的一个“绝对d值”为6；

18/29

②根据题意得，团第1次运算选取的整数是6,7,

0|6-7|=1,

E|l-5|=4,

回这组整数的一个“绝对，/值"为4；

（2）（3—组整数：—1,2,3,4,

团设选取的数为mb,c

伊心-耳小于等于a,b中最大的一个,

邮小于等于小力，。中最大的一个,

胪绝对d值“小于等于T,2,3,4中最大的一个

团这组整数的最大“绝对d值”为4,

时'绝对d值〃大于等于0

团最小"绝对d值"为0;

（3）设〃为最大正整数，

当〃=1时，|Z>-|a-2||=|^-l|=10,解得b=ll（负数舍去），

因此，得到最小“绝对d值”为|2-|11-4=8,

当〃>2,且a为整数时，|〃一|4一2||=2一。+2|=10，

则分一。+2=10,即人一。=8,则〃一人=一8,

因此，得到最小“绝对d值〃为卜一|力一胃=,一"2|=6.

综上所述，这组整数的最小“绝对d值〃为6.

24.数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题，比

如归-七|表示在数轴上数09对应的点之间的距离.现定义一•种“产运算〃，对于若干个数，先将每两个

数作差，再将这些差的绝对值进行求和.例如：对-1,1,2进行“「运算〃，得

|-1-1|+|-1-2|+|1-2|=6.下列说法：

①对1,-2,3进行“F运算〃的结果是8；

②若2<x<），，对于2,x,y进行“F运算〃的结果是8,则），的值是8；

③对a,a,b,。进行“下运算〃，化简的结果可能存在6种不同的表达式.

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其中正确的个数为（）.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】

【详解】解：由题意知，”（―2）|+|1—3|+卜2-3|=3+2+5=10,

团对1,-2,3进行“”运算”的结果是10不是8；①错误，故不符合要求；

由题意知，|2一目+|2_），|+,一），=_2+工_2+），-工+），=8,

解得，y=6,②错误，故不符合要求；

由睡意知，,一《十,一目+,一c|+4—耳+，/_<?|+|）一d=2|。一4+2|4-4+|〃一4'

当〃一〃20,a-c>(),〃一e之0时，2\a—t^+2\a—(^+\b—(^=2a-2b+2a—2c+b—c=4a-b—3c；

当〃一。20,a—c>0,。一cKO时,2\a-b\+2\a-c\+\b-c]=2ci-2b+2a-2c-b+c=4ci-3b-c；

当〃一。<0,a-c>0,〃一cNO时,2,一M+2,一c|+@-c]=-2a+2b+2a-2c+b-c=3b-3c；

当a-Z?NO,a-c<0,〃一cWO时,2\a-t\+2\a-c\+\b-c]=2a-2l7-2a+2c-b+c=-3b+3c；

当a-OWO,a-c<0rc20时,2\a-k\+2\a-(]+\b-c]=-2a^2l7-2ci+2c+b-c=-4u+3b^c；

当a-〃£O,a—c<0,O-cVO时，2\a-/^+2\a-c\-i-\b-c\=-2a+2/^—2a-t-2c—b-i-c=-4ci±b±3c；

团可能有6种不同的表达式，③正确，故符合要求;

故选:B.

题型5分类讨论化简

abc

25.已知实数小b,c,满足a/?c=l,则时+所一时的值为（)

A.1B.1或3C.1或一3D.一1或一3

【答案】C

【详解】解：^abc=\,

加、仇c的符号可能为：全正或两负一正,

a、b、c,

①全为正数时，则时曰，K=l,口=1,

0原式=1+1-1=1：

20/29

②两个负数一个正数：

a,b,c,

若〃、b为负,c为正，则讨=T,回"一，同=’

0原式=­=-3;

a,b.c,

若八c为负，b为正,则同二-1，网=’问=一，

团原式T+1-(-1)=।;

a,b,c.

若从c为负，a为正，则时=L同=一，，

团原式=17-(-1)=1，

综上，原式的值为1或-3,

故选：C.

\a\b忖

26.己知"c>0,则式子：U+i7|+—=()

a例c

A.3B.-3或1C.-1或3D.1

【答案】C

【分析】

【详解】13血>0,

函、b、c同为正或两负一正.

当4>0,/?>(),C>()时，

(2原式=1+1+1=3.

当a、b、c中有两个负数一个正数时，不妨设a>0、bv0,c<0,

则@二1，i7|=-n@=-1,

a例c

(3原式=1+(-1)+(—1)=-1.

其他两负一正情况同理，和均为-1.

回式子的值为3或T.

故选：C.

27.已知而c<0,a+b+c=0,若“处&+也4_兆±幺，则工的最大值与最小值的乘积为()

abc

A.-24B.-12C.0D.8

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【答案】A

【分析】

【详解】解：团且a+〃+c=O,

雷，/?,c中只有一个负数，

回a+Z?+c、=O,

团6+c=-a,a+c=-b,a+b=—c>

日J+c|।2|“+d3…1M2Ml3M,

abcabc

当〃vO,/?>().c>0时，x=-l+2xl-3xl=-2；

当力vO,a>0,c>0时，x=l+2x(-1)-3xl=-4；

当e<0,。>0，匕>0时，x=l+2xl-3x(-l)=6；

SA-的最大值为6,最小值为Y,

取的最大值与最小值的乘积为6X(T)=-24,

故选:A.

28.小。为非零有理数，则回+g+幽的值为()

abab

A.3B.-1C.3或一1D.-3

【答案】C

【详解】解：当。>()且b>0时，原式=1+1+1=3；

当〃>0口力<0时，原式=1+(-1)+(-1)=T；

当〃〈。且人>0时，原式=-1+1+(-1)=一1；

当〃v0且〃v0时，原式=-1+(—1)+1=-1.

回+也1+M的值为3或

abab

故选:C.

29.三个有理数〃4•,满足峥上1，求5[+右+后+""=___.

abc|«|\b\\c\abc

【答案】

4或0

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【详解】解：因为四=1,

abc

所以必c>0,即。也。均不为零，且它们的符号情况有两种：

若•全为正数，则$1,j7i=1,3=1，b㈣=1,故三+卷+1+也*=1+1+1+1=4；

\a\\b\冏abc同\c\abc

若〃力，。中有一个正数和两个负数，则正数对应的项为1，负数对应的项为-1,且网=1,

abc

故告+右+,+”"|+(­)+(-。+1=。；

abc\cibc\

因此，n+nj+n+Y的值为4或0・

\a\\b\|c|abc

故答案为：4或0.

题型6利用绝对值的几何意义化简

30.在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：卜+2|的几何意义是数轴上表示数X的点与表

示数-2的点的距离，|A-1|的几何意义是数轴上表示数工的点与表示数1的点的距离.当卜+2|+卜-1|取得

最小值时，工的取值范围是()

A.x<-2B.-2<x<\C.x>\D.x<-2^x>\

【答案】B

【分析】

【详解】解：如图，

.I.1...।»

-4-3-2-101234

当“<-2时，x+2<0,x-l<0,

k+N+H

=Tx+2)-(x-l)

=-x-2—x+\

=-l¥-l>3；

当X>1时，x+2>0,x-1>0,

|x+2|+|x-1|

=x+2+x-i

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=2x+l>3：

当时，x+2>0,x-l<0,

|x+2|+|x—1|

=x+2-（x-l）

=x+2—x+l=3；

综上所述，当时，|x+2|+B-l|取得最小值，

所以当卜+2|+k-1|取得最小值时，x的取值范围是-2WXW1.

故选:B.

31.如果两个有理数x,y满足x+y=3,则卜+），|一打一3|的最大值________，,-3|+|），+4］的最小值

为.

【答案】34

【分析】

【详解】解：因为x+y=3,则k+）J=3,

所以,+乂-卜-3|=3-卜-3|；

因为绝对值是非负数，即卜-3|20,

所以当卜一3最小时，整个式子3-卜-3|的值最大.

当工=3时，|x-3|=0,此时3—0=3,

所以卜+丁|一次一3|的最大值是3.

由x+y=3得，y=3-x,

所以,_3|+卜，+4|=卜―3|+|（3一1）+4|=卜―3|+|7一闻,止匕式表示.v至U3的£巨离力口上x至U7的£巨离，

根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为7-3=4.

所以卜-引+卜+4|的最小值为4.

故答案为：3；4.

32.已知|x|=2,|>'|=3,|x-y|=y-x,则x+y等于.

【答案】5或1

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【详解】解：回忖=2,|)，|二3,

0x=±2,y=±3.

E|x-j|=y-x=-(x-y),

0y-x>O,即yNx.

当y=-3,x=±2时，)Yx,不符合题意，舍去，

当？=3时，x=2或x=-2.

当h=2,y=3时，%+)，=5；

当了=-2,，=3时，x+y=\.

因x+)'的值为5或1.

故答案为：5或1.

33.已知，数轴上A,B,。三点对应的有理数分别为〃，b,c.其中点A在点8左侧，A,B两点间的距

离为4,且mb,c满足k+U+(c—2025『=0,则：

(1)c的值为.

(2)数轴上任意一点P,点P对应的数为-若存在x使|x-a|+|x-《+|x-d的值最小，则x的值

为•

【答案】20252

【详解】(1)叫。+4+(。-2025『=0,\a+l^>0,(c-2025)2>0,

团a+〃=0,-2025=0,

即a=-。，c=2025,

故答案为:2025；

(2)回点4在点3左侧，A,3两点间的距离为4,

团a=-2,b=2,

回1-4+,—/?|+,一4=卜+2|+,-2|+,一2025］表示x与—2,2和2025三个数的距离之和，

因当x取中间值2时，和为最小值.

故答案为:2.

34.数轴是初中数学的•个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合.通过研究数轴，我仅发现了许多

重要的规律，我们知道|。|的几何意义是在数轴上表示数。的点与原点的距离，那么-目的几何意义又是

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什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况.比如考虑|5-卜6）1的几何意义，在数轴上分别标出表示

-6和5的点，（如图所示），4、3两点间的距离是11,而|5-（-6）|=|5+6|=11,因此不难看出|5-（-6）|

就是数轴上表示-6和5两点间的距离，所以|。-目的儿何意义是数轴上m人两数对应点之间的距离，若点

。为数轴上一动点，点。对应的数记为〃，请解决以下问题：

直接应用

（1）若点尸到-2所表示的点之间的距离是3个单位长度，则