四川省绵阳市2025-2026学年高二年级上册期末数学试题

四川省绵阳市2025-2026学年高二上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在空间直角坐标系。为2中，04=(1,2,1),方则点8的坐标为()

A.(12-1)B.(1,3,2)C.(1,1,0)D.(-1,3,2)

2.打靶3次，事件4表示“共击中i发"，其中i=0』,2,3,那么4=4表示()

A.“全部击中”B.“至少击中1次”

C.“至多脱靶2次”D.“至少击中2次”

3.若直线4：x+y-l=0与直线l2:kx+2y=0(keR)垂直，则k=()

A.-1B.-2C.1D.2

4.在正三棱柱ABC-AiB。]中，。为的中点，设4B=a，AC=b»则AD=

()

A.-a+-b+cB.-a+-b-cC.a+b-cD.a-b+-c

22222

5.已知圆G：(x-1『+V=l与圆。2：(x-3『+(y+〃)2=4有且只有2条公切线，则实数〃的

取值范围为()

A.(-5,5)B.[-5,5]C.(-x/5,x/5)D.[-逐，石]

6.某中学高二年级开设了5门不同的通用技术课程，甲，乙两人各自从这五门课程中选择

•门参加学习，每人选择每•门课程的机会均等，则两人选择的课程不相同的概率为()

4

A.7B.—C.-D

5455

7.已知圆C|：x2+y2+6.r+5=0和圆G:丁+/-6工-91=0,若动圆P与圆C,外切,

同时与圆g内切，则该动圆圆心P的轨迹方程为()

A.—+^-=1B.—+^-=1C.—+^-=1D3=1

362736927963

8.在空间直角坐标系中，过点P(/Jo，Zo),且以ii=(m,n,p)(mnp^O)为方向向最的直

线可以用方程亍二号=宁来表示.已知-3=2(,-l)=z,点Mg点

试卷第1页，共4页

N（2,0,3）,则\MN\的最小值为（）

A.x/3B.V5c.2V2D.屈

二、多选题

9.以下能确定空间中四点P,M,A,B共面的条件是（）

A.MP=MA+MBB.OP=-OA+-OB+-OM

236

C.PA/L~ABD.PMIIAB

10.某商务局统计了一展销活动连续10天的Fl销售额（单位：万元），依次为：2.5,2.0,

2.3,2.1,2.9,2.5,2.1,2.3,2.8,2.5,贝4()

A.该组数据的极差为（）.8

B.该组数据的30%分位数为2.2

C.若该组数据去掉最大值和最小值，则这组数据的平均数变小

D.若该组数据去掉最大值和最小值，则这组数据的方差变大

11.已知双曲线。:5-£=1（力＞0）的左，右焦点分别为£（r\0）,入伍,0）,P为双曲线。右

支上且不同于顶点的一点，则（）

A.若巴到渐近线的距离为百，则c=2

B.过冗作的平分线的垂线，垂足为则|。W|=行

C.若用的面积为且1尸81=3|”|,则双曲线的高心率为平

D.过点尸作两渐近线的垂线，垂足分别为4夕，若|2川|9=2,则

三、填空题

12.已知直线〃x+y=。与圆/+3+2）'=2相切，则实数。=.

13.若事件A与事件B相互独立，P（/l）=0.4,0（彳c8）=0.36,则

P（8）=.

14.抛物线C:_/=4x的焦点为尸，过点，必（-1,0）的直线/交抛物线C于48（8在之

间）两点，若上”用的凭平分线为心，则|M41TM冏的值是.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.某次测试后，从全校成绩中抽取100名学生的成绩作为样本，成绩都在［40,100］内，将

(2)若落在［80,90)中的样本数据的平均数为84,方差为3；落在［90/00)中的样本数据的平

均数为92,方差为5,求这两组数据的总平均数歹和总方差S2.

16.已知4(0,1),8(2,0),且为圆C的直径.

⑴求圆C的方程；

(2)若直线/过点?(2,1),且斜率为2,求直线/被圆C截得的弦长.

17.在高中生物实验技能竞赛中，有“植物标本识别”的轮次考核，每轮活动由选手甲、选手

乙各识别-一份未知的植物标本(识别正确记为成功，识别错误记为失败).已知甲每轮正确

识别植物标本的概率为乙每轮正确识别植物标本的概率为甲、乙的识别结果相互

64

独立，各轮考核的结果也互不影响.

(1)求在一轮考核中，甲，乙两人中恰好有一人成功的概率；

(2)求在两轮考核中，“竞赛队”(由甲，乙组成)成功识别标本的总次数为3次的概率.

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AB上PD,平面ABCD.

试卷第3页，共4页

(1)证明：ABLADx

(2)若BD=PA=3,5C=1,BC1BD,且BM=^BD；

(i)当直线CM与平面PBD所成的角最小时，求AB的长；

(ii)设直线CW与平面PBD所成的角为a,平面PBD与平面PAB的夹角为B,

是否存在点4,使得。+尸=楙，若存在，求出三棱锥D-PAB的体积；若不存在，请

说明理由.

19.椭圆C:二+三=l(a>/)>0)的离心率为立，焦距为2,过点P(0,2)且斜率存在的直

a~b~2

线/交椭圆于48两点，。是直线，=x+l上一定点，记直线。4。8的斜率分别为配内，且

A人为定值.

(1)求椭圆。的方程;

(2)求定点。的坐标;

(3)如图，抛物线/=〃9(">0)与椭圆C在第二象限交于点。，过点。的直线(不过坐标原

点O)交抛物线于点E,交椭圆于另一点尸，若E恰好为。月的中点，求实数，〃的最大值.

试卷第4页，共4页

《四川省绵阳市2025-2026学年高二上学期期末数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CDBACDADABDBC

题号11

答案BCD

1.C

【分析】由空间向量线件运算的坐标表示可得丽=8+荏的坐标，进而可知点8的坐标.

【详解】因为砺=/+刀=（1,2』）+（0,-1,-1）=（1,1,0）,且。为坐标原点,

所以砺的坐标与点4的坐标相等，均为（1,1,0）.

故选：C.

2.D

【分析】由事件的运算即可求解.

【详解】aU4="击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确.

故选：D.

3.B

【分析】由两直线垂直的系数关系求解.

【详解】因为直线44互相垂直，所以lx〃+lx2=0,解得左=-2,

故选：B.

4.A

【分析】根据向量的线性运算及正三棱柱的结构特征逐步转化，将通用向量＞32表示即可.

【详解】如图，

因为。为8cl的中点，所以丽=；（丽+福），

根据正三棱柱的结构特征可知宿二五瓦祠二衣,

答案第1页，共13页

所以AD=AAi+AiD=AAi+—(4^+力£)

*+二_1就=1+1+),

12222

lipZD=-a+-^+c.

22

故选:A.

5.C

【分析】由题意可知圆C与圆G相交，根据两圆相交的条件列不等式，求解即可求出答案.

【详解】由题意可得圆G圆心坐标为G。⑼,半径4=1,圆a圆心坐标为G(3,-〃)，半

径4=2,

因为圆G与圆G有且只有2条公切线，

所以圆G与圆g相交，

所以1<，(1一3)+(0+〃)2<3,即1<4+〃2<9,解得〈石，

所以实数〃的取值范围为卜石，石).

故选：C.

6.D

【分析】计算总基本事件数，两人课程相同的事件数，得出两人课程不相同的事件数，得

出所求概率.

【详解】甲、乙两人各从5门课程选1门，每人的选择有5种可能，总事件数为5x5=25,

两人课程相同的事件数为5,

则两人课程不相同的事件数为20.

则喂斗

故选：D.

7.A

【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解

【详解】圆C：/+/+61+5=0的圆心为G(-3,0)/=2,

答案第2页，共13页

圆6：/+/-6》-91=0的圆心为6(3,0),弓二10,

设动圆的圆心为尸，半径为

由题意得|PG|=r+2,|PC』=10f,则|PCj+|PG|=12>|GG|=6,

所以动圆圆心夕的轨迹是以C，G为焦点，长轴长为12的椭圆，

设椭圆方程为］+4=l(aM>°)，则2〃=I2,2C=6,

得。=6,c=3,所以〃==36—9=27,

P的轨迹方程为《+乙=1,

3627

故选：A

8.D

【分析】根据条件得到直线上的点和直线的方向向量，再根据空间中点到直线的距离公式求

得点到直线的距离.

【详解】由x-3=2(y-l)=z,得=F=

所以直线过定点P(3,1,0),且方向向量为江=(2,1,2).

由于点N(2,0,3),所以而=(1,1,-3).

所以点N到直线的距离为d=卜联A+M.

所以|MN|的最小值为风.

故选：D.

9.ABD

【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD.

【详解】对于A,由而=必+砺，得向量诉，而以诚共面，而它们有公共起点，因此四

点P,M,4,8共面,A是；

—I-1—I----111

对于B,在。0=三。4+；。4+:。河中，—+—+—=1»因此四点P,A/,48共面，B是；

236236

对于C,存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由丽1.刘不能确定四点

P,M,44共面，C不是；

对于D,由两//方，得直线PM与48平行或重合，因此四点48共面，D是.

答案第3页，共13页

故选：ABD

1().BC

【分析】把该组数据由小到大排列，求出极差、3()%分位数判断AB：求出变化前后的平均

数、方差判断CD.

【详解】连续10天的日销售额由小到大排列为：29,2.1,2.1,2.3,2.3,2.5,2.5,2.5,2.8,2.9,

对于A,该组数据的极差为2.9-2.0=0.9,A错误;

对于B,由IOx3O%=3,得该组数据的30%分位数为2中=2.2,B正确：

2

4十-gwa/nf出切2.0+2x2.1+2x2.3+3x2.5+2.8+2.9_.

对于C,原数据组平均数--------------------------------=2.4,

变化后的新数据组平均数2X2」+2X2.：+3x2.5+2.8=23875,C正确;

O

0.42+2x0J2+2x0.P+3x0.P+0.42+0.52八AC

对于D,原数据组方差--------------------------------------=0.08,

10

变化后的新数据组方差2x62875'+2x0.0875,+3x0.1125'+°4125'=。。4859375，D错误.

8

故选：BC

11.BCD

【分析】对于A,利用点到直线的距离公式判断；对于B,延长次，耳W,相交于点N,

则OM为△6的中位线，利用双曲线的定义判断；设4F、PF,二e,由三角形面积公式得

sin^=—,余弦定理得cos6="二生，再根据sin?6-cos?。=1得解C：利用点到直线的

99

距离公式判断D.

【详解】对于A,双曲线C：：-，=lS>0)的渐近线方程为歹=±£x,即限土石»=0,

由居到渐近线的距离为#，即:^=生=力=641=6,

yj3+h2c年+3

则c=灰，A错误；

对于B,延长尸鸟,丹加，相交与点N,

因为尸M为N"PK的平分线，且•耳V,所以M为中点，归用=|尸用,

则。历为△ZKN的中位线，

则|OM=；|KN|=；(|PN|-|PK|)=；(|P凰―归国)=；x2a=百，B正确；

乙乙乙乙

答案第4页，共13页

对于C,设于＜|=也|尸耳=3m,ZF,PF2=0,

则3m—m=2tn=2。=26，即加=J5,

则|P行|=石,|列箕=3后,

又“石鸟的面积为:x36x石sin"死得而。=4-,

由余弦定理内用2=|pG「+|p周2—2忸用归周cos。，

即4c2=27+3—18cos。，^cos^=——»

9

根据sir?J+cos?6=1,且从=（?一3，

,,]s

得41一3）-+（15-2。2）-=81,得°2=万或°2=3（舍）,

所以_c_V7_N/10,C正确:

c=-=—f=-=---

ay/32

对于D,设尸（x0/o）,则/考一3需=3尸

则叱/粤1,阳=片白,

A//T+37b~+3

则|P/1||P8|=回二/=3一=2,解得6=#，D正确.

力“+36,+3

故选：BCD

12.±1

【分析】根据直线与圆相切，列式解方程即可求出答案.

【详解】由圆的方程可知圆心坐标为（0,-2）,半径「=力,

因为"+y=0与圆/+(y+2)2=2相切,

所以圆心到直线的距离1=7包二夜,

V«2+l

答案第5页，共13页

解得a=±l.

故答案为：±1.

13.0.6/-

5

【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可.

【详解】因为事件A与事件H相互独立，所以事件j与事件B相互独立，

P（可=1一尸（/）=0.6,P\Ar>B）=P（A）P（B）=0.36,

贝|JA3）=0.6,

故答案为：0.6.

14.也。

33

【分析】掰不必"J，8），直线彳8：x=my-\f与抛物线联立，得到乂必:4,设

’44

力（一"）,8（r,T，得出心/=-〃"，直线/尸1尸关于x=l对称，结合的角平分线为

4vt

所得出乙"M=2N8FA/=?,得出44坐标，即可求解|M4HM用=|力0=逆.

33

【详解】设力（匹，必），8瓦，为），直线48：x=my-\t

*

x=mv-1、

联立〈2A得y-4〃4+4=0,则乂）>2=4,

设4（L,/）,8（金*），/>0,抛物线C:y2=4x的焦点为尸（1,0）,

4vt

则左"•=-〃》，即直线力尸小厂关于x=l对称，乙4FM+4BFM=冗

由于乙必巨力的角平分线为尸8,则乙4EW=2/6RW,

则NAFM=1/LBFM=y

Af-

则""=产匕=百，解得，=2右，

则力切=随,

答案第6页，共13页

故答案为：勺区.

15.(1)。=0.03

(2)86,15.5

【分析】(1)根据每组小矩形的面积之和为I列式即可求解：

(2)利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解.

【详解】(1)由(0.004+0.010+0.014+0.032+a+0.010)xl0=l,

解得a=0.03；

(2)由题意可得，落在［80,90)的样本个数为：0.03x10x100=30,

样本平均成绩为亍=84,样本方差为0=3,

落在［90,100)的样本个数为:0.01x10x100=10,

样不平均成绩为7=92，样本方差为sj=5，

两组样本成绩合并后的平均数为：5=迎答乎丝=86,

方差为：‘2=哉乂［3+(84-86『卜焉［5+(92-86月=15.5.

16.(l)(x-—£)=1

⑵竽

【分析】(1)由题意得力月中点为圆心坐标，半径，・=；3川，求出圆心坐标及半径即可求出

答案；

(2)由题意得到直线的方程，求出圆心到直线的距离，利用几何法求弦长即可得解.

【详解】(1)因为为圜C的直径，

答案第7页，共13页

所以48中点即为圆心坐标，故圆心坐标为，

半径一=3481=1后不=更，

21122

所以圆C的方程为(x—l『+1-

(2)由题意得直线/的方程为)，-1=2。-2),即2.”)，-3=0,

2X1---3r

所以圆心。到直线/的距离-2_34

V22+(-l)210

17.⑴；

【分析】(1)根据独立事件概率的乘法公式求解；

(2)所求事件可分为甲正确识别2个乙正确识别1个，甲正确识别1个乙正确识别2个两

互斥事件的和求解.

【详解】(1)设“甲每轮识别成功''为事件"“乙每轮识别成功''为事件"

5-51

由题意：P(A)=-,P(A)=\--=-

6ooi

3一1

P⑻=%03)=:，

44

由甲，乙的识别结果相互独立，/与耳，4与彳都相互独立：

甲，乙两人中恰好有一人成功="力耳U14”，且/耳与互斥，

P(AB\JAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(方+P(A)P(B)=

(2)设4,4分别表示甲两轮考核中识别成功1个，2个植物标本，①，①分别表示乙两

轮识别成功1个，2个植物标本，

答案第8页，共13页

51I5525

尸(4)=—x—+-x—

6666w

339

P(%)=

,4444844\6

设。="在两轮考核中，“竞赛队”(由甲，乙组成)成功识别标本的总次数为3次”,

•・・C=4生U44,且4区与44互斥,4与斗，与耳分别相互独立,

.・.p(c)=p(4&「)=P(4用)+。(44)

p(4)尸(星)+尸(4)P4)=2xV+||x?=5

12

因此，在两轮考核中，“竞赛队''成功识别标本的总次数为3次概率为5.

18.(1)证明见解析

(2)⑴|力用=孚；(ii)存在，1

【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明力8_L平面4。，进血证得

(2)以4为坐标原点，分别以8c,8。所在直线为x,y轴，建立空间直角坐标系，设点

1(〃?,〃,0),P(叽〃,3)的坐标，由线面角的向量求法，表示出直线CM与平面PBD所角

的正弦值，求得其最小值，及取最小值时参数机，〃的值，即打得到点力的坐标，求出的

TT

长；(ii)求出平面PAB的法向量，表示出cos/?,由«+/?=-,得cos/=sina,从而列

得方程，求出参数〃的值，从而求得*A的坐标，求出“BD的面积，获得三楂锥D-PAB

的体积.

【详解】(1):P4平面力8CZ),48u平面49CQ

,PA1AB,

又ABLPD,ADOPD=D,尸。u平面口。，且P<u平面尸4。，

，4?_L平面夕力。，又4)u平面产力。，

/.ABLAD\

(2)(i)以8为坐标原点，分别以8C,8。所在直线为二y轴，

建立如图所示空间直角坐标系，则5(O,O,O),C(l,O,O),M(O,hO),Z)(O,3,O),

设/(〃?,〃,0),则P(〃?,〃,3),07=(-1,1,0),丽=(0,3,0),而=(〃?,〃,3),

设平面尸8。的法向量为方=(x/,z),

答案第9页，共13页

BPn=Oxm+yn+3z=0

则所以

BDii=O3y=0

取x=3,则方=(3,0,-〃?)，

记CM与平面PH。所成线面角为。，

CMn3

/.sina=

CM\\ii\MIO'

又"_L/0,则/在以为直径的圆上.

因为4。的中点为0,讣忸*3,

1Q

所以/+(”/="又如图4。在⑶的异侧，且“不能与8。重合,

所以—与工机＜0,所以〃/+9＜苫+9=竽，所以/3

244，9+〃5・核5

所以当〃?=-5时，sina取最小值平，此时“=去所以|/8|2=加+〃2=1|

所以|力同=孚；

(ii)由(1)知：AD1AB,ADLPA,

因为平面P/B,且4BcP4=4,所以力。_1平面P/8.

所以平面214的法向量可取而=(f,3-〃,0),

n-AD13对

所以cos夕=.——,-------厂,,

时•|皿J9+/J.2+(〃-3y

又因为a+夕=g,所以a=g-夕，所以sina=sin吟一0=cos//,

乙乙乙

3

由⑴知：涧"标二正'

3[3引

2

2>即m~=(n-3).

+〃广

39

又〃/+(〃-=1，则"/+,/—3〃=0,

所以(〃-3尸+〃2一3〃=0,BP2/r-9/7+9=0»即(2〃一3)(〃-3)=0.

3

又力不能与8、。重合，故"3,故〃=]

答案第10页，共13页

此时加=,则S,w)=^\BD\\m\=5,

iiaa

所以％43=丫…=个"-M=----3=-.

19.⑴5+/=1

(2)(0/)

(3)半

【分析】(1)由题意求出Ac,即可得答案；

(2)设。(〃,〃+1),直线上y=Ax+2,4(X|,3+2),B(x2,kx2+2),表示出匕,，将直线方程

与椭圆方程联立，利用韦达定理求出再+/，%S，代入％由整理，观察式子形式即可求出答

案；

(3)设直线。尸方程2二公,十«"0),％),厂区,％),£(小,稣)，将直线方程与椭圆方程联

立，利用韦达定理求出与,再将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出阳，代入

抛物线方程求出必，将点。(内,必)代入椭圆方程求出〃?，利用基本不等式即可求出答奚.

【详解】(1)由题意得？=£=正，且2c=2,

a2

解得C=l，tf=>/2>贝=/-C