初中数学专题《三角形内接矩形》含答案

初中专题08三角形内接矩形【小题热身】1．如图有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A． B． C． D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．83．有一块三角形的余料△ABC，它的高AH=40mm，边BC=80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点DG分别在AB，AC上，且DG=2DE，则矩形的面积为_____mm2．4．如图，矩形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE=2DG，那么DG=______厘米．【磨刀霍霍】5．如图，在中，是边上的高，点在上，过作的平行线分别与，交，两点，过点作于点，过点作于点，设，，当四边形为正方形时，试求此正方形的边长．6．如图，有一块斜料，，高，将它加工成一个矩形的零件，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成，此时这个矩形零件的两边长又分别是多少毫米？7．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）求证：△APQ∽△ABC；（2）若这个矩形的边PN：PQ＝2：1，则这个矩形的长、宽各是多少？8．有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．9．如图，在△ABC中，点PQ分别在AB，AC上，且PQ∥BC，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N．AD⊥BC于点D，交PQ于点E，且AD＝BC．（1）求AE：PQ的值；（2）请探究BM，CN．QN之间的等量关系，并说明理由；（3）连接MQ，若△ABC的面积等于8，求MQ的最小值．10．如图，△ABC是一块三角形余料，AB=AC=13cm，BC=10cm，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？11．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．12．问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上．初步思考：（1）试计算出正方形零件的边长；深入探究：（2）若可以按照图②加工成四个大小相同的正方形，且，求证：；（3）通过探究发现如果要把按照图③加工成三个相同大小的正方形零件，求的度数．初中专题08三角形内接矩形【小题热身】1．如图有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE＝x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．【详解】如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，∴BP＝＝＝．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝．设DE＝x，则有：＝，解得x＝，故选：D．【点睛】本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN，可得OE：PN=OM：PF，再利用正方形的性质把它们的直角边用含x的表达式表示出来，列方程，解方程即可得到x的值．【详解】解：如图，标注字母，∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，由正方形可得：同理：∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，结合正方形的性质可得：OE=x-3，PF=x-4，∴（x-3）：4=3：（x-4），∴（x-3）（x-4）=12，即，∴x=0（不符合题意，舍去）或x=7．故选：C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边．3．有一块三角形的余料△ABC，它的高AH=40mm，边BC=80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点DG分别在AB，AC上，且DG=2DE，则矩形的面积为_____mm2．【答案】800【分析】如图，设AH交DG于点K．设DE=x，则DG=2x，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，设AH交DG于点K．设DE=x，则DG=2x，∵DG∥BC，四边形为矩形，四边形为矩形，∴，∴，∴，∴x=20，∴DE=20，DG=40，∴矩形EFGD的面积为40×20=800mm2故答案为800．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程解决问题．4．如图，矩形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE=2DG，那么DG=______厘米．【答案】【分析】如图，记的交点为设再证明：利用相似三角形的性质可得：再列方程，解方程可得答案．【详解】解：如图，记的交点为设四边形为矩形，故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．【磨刀霍霍】5．如图，在中，是边上的高，点在上，过作的平行线分别与，交，两点，过点作于点，过点作于点，设，，当四边形为正方形时，试求此正方形的边长．【答案】【分析】根据正方形以及相似三角形的性质，对应边成比例，即可求解．【详解】∵四边形为正方形，且，∴设，则∴，∴，∴，即，解得：，即此正方形的边长为．【点睛】此题主要考查了正方形、相似三角形的有关性质，熟练掌握有关性质的应用是解题的关键．6．如图，有一块斜料，，高，将它加工成一个矩形的零件，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成，此时这个矩形零件的两边长又分别是多少毫米？【答案】，【分析】设PN=2x（mm），则PQ=x（mm），然后根据相似三角形对应高的比等于相似比，列出比例式求出即可．【详解】解：由题意，设，则，由题意，得∽，∴，∴，解得：．∴，∴矩形的两边长分别是和．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键．7．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）求证：△APQ∽△ABC；（2）若这个矩形的边PN：PQ＝2：1，则这个矩形的长、宽各是多少？【答案】（1）见解析，（2）矩形的长为60mm，宽是30mm．【分析】（1）根据PQ∥BC证明即可．（2）设PQ为xmm，则PN为2xmm，同（1）列出比例关系求解即可．【详解】（1）证明：∵PQMN是矩形，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，（2）设边PQ为xmm，则PN为2xmm，∵PQMN是矩形，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∵AD是高，∴PN∥AD，∴△PBN∽△ABD，∴、，即，，∵AP+BP＝AB，∴＝1，解得x＝30，2x＝60．即长为60mm，宽为30mm．答：矩形的长为60mm，宽是30mm．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定，证明三角形相似，列出比例式求解．8．有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．【答案】甲同学【分析】对于甲图：设正方形的边长为x，则，证明，利用相似比可计算出；对于乙图：作BH⊥ACN，交DE于N，如图乙，先利用勾股定理计算出AC=2.5，再利用面积法计算出，设正方形的边长为y，则，可求出则，接着证明利用相似比可计算出，然后比较x和y的大小进行判断．【详解】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm，∵DE∥AB∴△CDE∽△CBA∴即∴x＝

图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P．由勾股定理得：AC＝∵∴设乙同学加工的桌面边长为ym，∵DE∥AC∴△BDE∽△BAC∴即∴y＝∵＞，即x＞y，x2＞y2∴甲同学的加工方法更好．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，然后利用三角形相似的性质计算相应线段的长，也考查了正方形的性质．9．如图，在△ABC中，点PQ分别在AB，AC上，且PQ∥BC，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N．AD⊥BC于点D，交PQ于点E，且AD＝BC．（1）求AE：PQ的值；（2）请探究BM，CN．QN之间的等量关系，并说明理由；（3）连接MQ，若△ABC的面积等于8，求MQ的最小值．【答案】（1）AE：PQ＝1；（2）QN＝BM+CN，理由见解析；（3）当x＝4时，MQ有最小值是4．【分析】（1）根据平行线的性质得到AE⊥PQ，根据相似三角形的性质得到，求得AE：PQ＝AD：BC，由于AD＝BC，于是得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠PMN＝∠MNQ＝∠MPQ＝90°，推出四边形PMNQ是矩形，得到PQ＝MN，PM＝ED，等量代换即可得到结论；（3）根据三角形的面积得到12BC•AD＝8，求得BC＝4，AD＝4，设MN＝x，则BM＋CN＝8−x，PM＝QN＝8−x，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）∵PQ∥BC，AD⊥BC，∴AE⊥PQ，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，，∴AE：PQ＝AD：BC，∵AD＝BC，∴AE：PQ＝AD：BC＝1；（2）QN＝BM+CN，理由是：∵PM⊥BC，QN⊥BC，∴∠PMN＝∠MNQ＝∠MPQ＝90°，∴四边形PMNQ是矩形，∴PQ＝MN，PM＝ED，∵AE＝PQ，AD＝BC，∴AE+ED＝BM+MN+CN，∴MN+QN＝BM+MN+CN，∴QN＝BM+CN；（3）∵△ABC的面积等于8，∴BC•AD＝8，∵AD＝BC，∴BC2＝8，∴BC＝4，AD＝4，设MN＝x，则BM+CN＝8﹣x，PM＝QN＝8﹣x，∵MQ＝,∴当x＝4时，MQ有最小值是．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理，解决问题的关键熟练掌握相似三角形的判定和性质定理．10．如图，△ABC是一块三角形余料，AB=AC=13cm，BC=10cm，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？【答案】这个正方形的边长为cm或cm【分析】分正方形的边在BC和AC上两种情形，结合相似三角形的判定和性质求解即可解决问题；【详解】解：①当正方形的边在BC上时，过点A作AN⊥BC∵△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，∴在Rt△ABN中，AN=12，∵四边形DEFG是正方形，∴ED∥BC，DE=GF，∴△AED∽△ACB，又∵AN⊥BC，∴AN⊥DE，DG=ED=EF，∴，设DE=x，则AM=12﹣x，∴，解得：x=．②当正方形的边在AC上时，作BK⊥AC于N交DG于M，设EF=x，则BK=，∵GD∥AC，∴，解得x=答：这个正方形的边长为cm或cm．【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．11．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【答案】（1）mm，mm；（2）PN=60mm，mm．【分析】(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC相似，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y与x的函数关系式，然后求出S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值.【详解】(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm）∵PN∥BC,∴=，△APN∽△ABC∴=∴=∴=解得y=∴2y=∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm(2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积