一 函数和函数的图象教学设计初中数学北京版八年级下册-北京版2013

一函数和函数的图象教学设计初中数学北京版八年级下册-北京版2013学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容一、教学内容本节课选自北京版2013年八年级下册第十九章“函数和函数的图象”，主要内容包括变量与常量的概念、函数的定义及表示方法（解析式法、列表法、图象法）、自变量取值范围的确定，以及函数图象的绘制（列表、描点、连线）。通过实例引导学生理解函数关系，掌握函数图象的基本画法，为后续学习一次函数、反比例函数等奠定基础。核心素养目标分析二、核心素养目标分析本节课通过实例抽象函数概念，培养学生数学抽象素养；引导学生经历函数表示方法的转换，发展逻辑推理能力；借助实际问题建立函数模型，提升数学建模意识；通过绘制函数图象，强化几何直观与空间想象能力，帮助学生形成用函数思想分析问题的数学眼光，为后续函数学习奠定核心素养基础。教学难点与重点1.教学重点，①函数概念的理解与函数关系的识别，②函数三种表示方法（解析式法、列表法、图象法）的灵活运用，③自变量取值范围的确定方法。

2.教学难点，①函数定义中“唯一确定”对应关系的抽象理解，②函数图象的准确绘制（如关键点选取、平滑连线），③结合实际问题分析函数关系并建立简单函数模型。教学方法与手段四、教学方法与手段

教学方法：1.讲授法，系统讲解函数概念及三种表示方法；2.讨论法，组织学生分析实例中的变量对应关系；3.实验法，指导学生通过列表、描点绘制函数图象。

教学手段：1.多媒体动态展示函数图象形成过程；2.几何画板演示函数变化规律；3.实物投影展示学生绘图成果，进行点评。教学实施过程五、教学实施过程

1.课前自主探索

教师活动：发布预习任务：推送北京版教材“变量与常量”“函数定义”相关图文资料，明确预习目标“理解变量关系，识别函数实例”。设计预习问题：“生活中哪些现象中存在‘一个量变化，另一个量随之变化’？函数与普通关系式有何本质区别？”监控预习进度：通过班级群收集学生预习笔记，标记共性问题（如“唯一对应关系”理解偏差）。

学生活动：自主阅读教材，用实例记录变量（如汽车行驶时间与路程）；思考预习问题，标注疑问（如“y=±x是否为函数？”）；提交预习成果（含生活实例和问题清单）。

教学方法/手段/资源：自主学习法；微信群+PPT预习包。

作用与目的：初步感知函数抽象概念，为重点“函数定义”突破铺垫，难点“唯一对应关系”前置暴露。

2.课中强化技能

教师活动：导入新课：播放“弹簧长度与挂重物”实验视频，提问“弹簧长度随重物如何变化？”讲解知识点：结合实例解析函数定义，强调“唯一对应”（如x=1时y只能有1个值）；组织课堂活动：小组合作绘制y=2x-1图象，要求列表、描点、连线，讨论“关键点选取”“平滑连线原因”；解答疑问：针对“自变量取值范围”（如分母不为0）和“图象与解析式对应关系”精讲。

学生活动：观察实验，分析变量关系；听讲并举例说明“唯一对应”；小组绘图，展示成果并互评；提问“x=0时y=-1是否在图象上？”

教学方法/手段/资源：讲授法+实验法；几何画板动态演示图象形成。

作用与目的：重点“三种表示方法”“自变量取值范围”落地，难点“函数抽象理解”“图象绘制”通过实践突破。

3.课后拓展应用

教师活动：布置作业：用三种表示法表示“购买笔记本数量与总价”函数，确定自变量取值范围；提供拓展资源：推送“函数在天气预报（气温变化图）中的应用”视频；反馈作业：批改时标注“图象平滑度”“取值范围完整性”，针对性指导。

学生活动：完成作业，用表格、解析式、图象表示函数；观看视频，思考“函数如何描述实际问题”；反思总结：梳理“函数概念—表示方法—应用”逻辑链，记录改进点（如“描点更密集”）。

教学方法/手段/资源：自主学习法+反思总结法；视频拓展资源。

作用与目的：巩固重点“函数应用”，难点“实际问题建模”通过拓展资源渗透，培养数学建模意识。知识点梳理六、知识点梳理

一、变量与常量

1.变量的定义：在某个变化过程中，可以取不同数值的量称为变量，通常用字母x、y等表示。例如，汽车行驶过程中，行驶时间t和路程s都是变量。

2.常量的定义：在某个变化过程中，数值保持不变的量称为常量。例如，正方形的面积公式S=a²中，a是变量，而数字2是常量。

3.变量与常量的关系：同一个量在不同问题中可能是变量或常量，需结合具体情境判断。例如，在圆的周长公式C=2πr中，r是变量，π是常量。

二、函数的定义

1.函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

2.函数的核心要素：两个变量、自变量的取值范围、对应关系（唯一确定）。例如，y=2x+1中，x取1时y只能为3，不能为其他值。

3.函数的判定方法：判断两个变量是否构成函数关系，关键看是否满足“一对一”或“多对一”，不能“一对多”。例如，y=x²是函数（x=2和x=-2都对应y=4），而y²=x不是函数（x=4时y=2或y=-2）。

三、函数的表示方法

1.解析式法：用含自变量的代数式表示函数关系，优点是简洁、便于计算，适用于精确表达。例如，路程s与速度v、时间t的关系式为s=vt（v恒定时）。

2.列表法：通过列出表格，给出自变量与因变量的对应数值，优点是直观、便于查找特定值，适用于离散数据。例如，某商店销售数量n与总价p的关系表（n=1时p=5，n=2时p=10等）。

3.图象法：用平面直角坐标系中的点、曲线等表示函数关系，优点是直观反映变化趋势，适用于分析变量间的关系。例如，气温随时间变化的折线图。

4.三种方法的转换：解析式可列表、列表可描点成图象，图象可反推列表和解析式（简单函数）。例如，y=2x-1可通过列表（x=0,y=-1；x=1,y=1）描点连线成直线。

四、自变量的取值范围

1.定义：使函数解析式有意义且符合实际问题的自变量的取值集合。

2.确定方法：

（1）整式函数：自变量取任意实数。例如，y=3x²+2x中，x∈R。

（2）分式函数：分母不为零。例如，y=1/x中，x≠0。

（3）根式函数：偶次根式下被开方数非负。例如，y=√x中，x≥0。

（4）实际问题：需符合实际意义。例如，购买笔记本数量n为正整数，n∈N*。

3.表示方法：用不等式、数轴或区间表示。例如，y=√(x-1)中，x≥1，表示为[1，+∞)。

五、函数的图象

1.图象的定义：平面直角坐标系中，所有满足函数关系y=f(x)的点(x,y)组成的图形。

2.图象的绘制步骤：

（1）列表：取自变量的若干值（通常包括0、1、-1等特殊值），计算对应的函数值。

（2）描点：在坐标系中描出表中的点(x,y)。

（3）连线：用平滑曲线（或直线）依次连接各点（注意端点是否包含）。

3.图象与解析式的关系：图象上的点的坐标(x,y)满足解析式；反之，满足解析式的点一定在图象上。例如，点(2,3)在y=x+1的图象上，因为3=2+1。

4.图象的应用：

（1）观察函数变化趋势：如y=2x+1的图象从左到右上升，说明y随x增大而增大。

（2）求特殊点：与坐标轴的交点（x=0时y为纵截距，y=0时x为横截距）。

（3）解决实际问题：如通过图象查找某自变量对应的因变量值。

六、函数概念的应用

1.实际问题建模：将实际问题中的变量关系抽象为函数。例如，手机通话费y与通话时间t的关系（前3分钟2元，之后每分钟0.5元），可表示为分段函数。

2.函数思想的渗透：用函数观点分析变化规律，如判断两个量是否相关、预测变化趋势。例如，通过某地近年降水量图象预测未来降水情况。

3.函数与方程、不等式的关系：函数图象与x轴的交点对应方程的解，图象在x轴上方（或下方）对应不等式的解集。例如，y=2x-1的图象与x轴交于(0.5,0)，则方程2x-1=0的解为x=0.5，不等式2x-1>0的解为x>0.5。

七、易错点与注意事项

1.函数定义中“唯一对应”的理解：避免将“一对一”与“函数”混淆，如y²=x不是函数，但y=|x|是函数。

2.自变量取值范围的完整性：需同时考虑解析式有意义和实际情境，如圆的面积S=πr²中，r>0（实际意义），而不仅是r∈R（解析式）。

3.图象绘制的准确性：列表时自变量取值要合理（如对称取点），连线要平滑（直线用直尺，曲线避免折线）。

4.三种表示方法的适用情境：解析式便于计算，列表法便于查找具体值，图象法便于观察趋势，需根据问题选择合适方法。反思改进措施（一）教学特色创新

1.生活情境贯穿始终，用弹簧实验、手机话费等实例抽象函数概念，降低抽象难度。

2.几何画板动态演示函数图象生成过程，突破“平滑连线”难点，直观展示变量关系。

（二）存在主要问题

1.学生预习暴露的“唯一对应关系”理解偏差，课堂精讲后仍有少数学生混淆“函数与普通关系式”。

2.图象绘制环节，部分学生描点后连线时出现折线或遗漏关键点，操作规范性不足。

3.分层教学落实不够，学困生在自变量取值范围（如分式、根式）的确定上仍有困难。

（三）改进措施

1.针对“唯一对应”难点，设计阶梯式例题：先判断y=2x+1是否为函数，再辨析y²=x，强化“一对一/多对一”的判定逻辑。

2.增加图象绘制互评环节，要求学生用不同颜色标注关键点，小组互评后二次修正，提升操作严谨性。

3.设计弹性作业：基础层完成教材基础题，提升层解决分段函数建模问题，课后推送“取值范围”微课供学困生反复观看。典型例题讲解八、典型例题讲解

1.**函数概念判定**：下列关系式中，y是x的函数的是（）

A.y²=x

B.y=|x|

C.y=±√x

D.x=y²

**答案**：B。解析：B中x取任意实数，y有唯一非负值；A、C、D均存在一个x对应多个y值，不符合函数定义。

2.**自变量取值范围**：求函数y=1/(x-2)+√x+3中自变量x的取值范围。

**答案**：x≥-3且x≠2。解析：分母x-2≠0得x≠2；根式x+3≥0得x≥-3。

3.**表示法转换**：用列表法表示函数y=2x-1（x取-1,0,1,2），并描点绘制图象。

**答案**：

x|-1|0|1|2

y|-3|-1|1|3

图象为过点(-1,-3)、(0,-1)、(1,1)、(2,3)的直线。

4.**图象与解析式关系**：点(3,5)是否在函数y=x+2的图象上？

**答案**：是。解析：当x=3时，y=3+2=5，点(3,5)满足解析式。

5.**实际问题建模**：某公园门票30元/人，超过10人团体票25元/人。设人数为x，总价为y，写出y与x的函数关系式。

**答案**：y={30x(x≤10)

{25x(x>10)板书设计九、板书设计

①函数的基本概念

变量与常量：在变化过程中可取不同数值的量（如时间t、路程s）；数值保持不变的量（如π、2）。

函数定义：两个变量x、y，x的每个确定值对应y的唯一确定值（y是x的函数）。

核心要素：自变量、因变量、唯一对应关系（如y=2x+1中x=1时y=3）。

②函数的表示方法与自变量取值范围

表示方法：解析式法（y=2x-