1.4.1 群发展简史-伽罗瓦与阿贝尔的故事

背景与预备知识群发展简史-伽罗瓦与阿贝尔的故事群的来源2历史上伟大的数学家（部分）《数学恩仇录：数学家的十大论战》英年早逝的数学家（部分）Abel,1802-1829Riemann,1826-1866Galois,1811-1832群的来源3公元9世纪，阿拉伯数学家、代数之父阿尔·花剌子模发表专著《代数学》，给出二次方程的根文艺复兴时期，意大利数学家卡尔达诺、费拉里等解决了三次和四次方程的求解问题之后200多年来，多位知名数学家都致力于更高次方程根的求解问题拉格朗日在群论方面的工作是奠基性的，他仔细研究和总结了二次、三次和四次方程的解，试图寻找一种通用的多项式方程的解法《关于代数方程解的思考》欧拉、高斯等群的来源4群的来源5伽罗瓦（1811-1832），19世纪法国伟大的数学家群论的创立者通用的五次方程求解问题对于任何次数的方程，能否用幂根解该方程的判定方法？1828年，伽罗华进入巴黎高等师范学校的数学高级班，他遇到了一个非同寻常的数学教师里查德。在里查德的指导下，伽罗华写出了第一篇论文《论函数的连续性》，发表于法国数学期刊《纯粹与实用数学年鉴》上。个性怪僻，过分多嘴，好高骛远，不切实际1827年中学未毕业时，就报考了法国名牌大学巴黎综合技术学校，口试未通过。一年后的7月他重新报考，在口试中表现出逻辑上的跳跃时，又被主考官打断和奚落，伽罗华被激怒，将擦黑板的布扔向主考官……伽罗华是在研究一元五次方程的根式解时开始触及群的概念的。为了解决这个问题，他首次定义了群这种代数结构，仔细地研究了群的各种性质，以及它与更高级的一种代数结构——域——的关系，并以此发展了一套理论，完整地解决了这个问题。数学界最具浪漫主义色彩的人物之一法国数学家的四大天王柯西、傅里叶、伽罗华、庞加莱群的来源6伽罗瓦（1811-1832），19世纪法国伟大的数学家1831年1月17日再次给法国科学院提交了一篇《关于用根式解方程的可解性条件》的论文。不幸的是，伽罗华的论文中最先提出了近代数学的一个基本概念——“群”，以致像泊松那样赫赫有名的数学家也不能领会，结果，伽罗华的论文又被否定了1830年2月，伽罗华又取得了一些重要研究成果，他写好了3篇论文并亲自送到科学院。当时数学界的权威人物、科学院院士傅立叶欣喜地收下他的参赛论文，并要他静候“佳音”。可天有不测风云，原本应该成为伯乐的傅立叶在尚未举荐伽罗华之前突然病逝绝望的伽罗瓦投身革命，最终锒铛入狱。出狱后又与人决斗。过世前那个不眠之夜，写下了60页潦草手稿1870年，法国数学家约当根据伽罗华的思想，出版了一本题为《论置换与代数方程教程》的教科书，对伽罗华关于代数方程可否根式解的判别方法作了详尽的介绍，这才在数学界引起了轰动1828年夏，伽罗华写出了一篇关于五次方程代数解的论文，由里查德推荐送交法兰西科学院。科学院委托法国首屈一指的大数学家柯西审查伽罗华的论文，可是做事一向干脆公正的柯西却未能及时作出评价。8天之后，伽罗华提交的另一篇论文亦遭遇同样的命运，甚至连手稿也就此失落1846年，法国著名数学家刘维尔看到了伽罗瓦的手稿，最后将其发表在极具有影响力的《纯粹与应用数学杂志》上，并向数学界推荐群的来源7伽罗瓦（1811-1832），19世纪法国伟大的数学家伽罗瓦理论中的群论是近世抽象代数的基础，它是许多实际问题的数学模型，群论完全影响了后来数学、物理、化学等多门学科的发展群的来源8阿贝尔（1802-1829），19世纪挪威最伟大的数学家可交换群或交换群的提出者通用的五次方程求解问题逆向思维：一般五次方程是不是无（根式）解的？椭圆函数理论1825年，阿贝尔自费印刷了证明五次方程不可解的论文，并把它们寄给了自己心目中最敬佩的几位数学大家，这些人中高斯又是他最最仰慕的数学名家对于高斯来说，阿贝尔是一个年轻而又毫无名气的人，所以那个论文小册子，高斯一直都没有打开过1826年，去巴黎！因为那里有柯西、傅立叶、泊松等举世闻名的数学大家，他也坚信在那个富裕又重视科学的国度一定会遇到赏识并支持他的知己和同行者。论文提交给法国科学院，柯西把论文带回家后，因忙于自己的研究，竟将论文随手一放，事后却怎么也想不起来放在什么地方了。直到他去世两年后才被找到，并且12年后才得以正式发表1829年4月6日的清晨，年仅27岁的阿贝尔在贫困与疾病中停止了呼吸。就在阿贝尔逝世后第二天，收到柏林的来信，柏林大学已决定聘请他担任数学教授。去世一年后获得法国科学院大奖2003年，在阿贝尔200周年诞辰之际，挪威政府设立数学大奖——阿贝尔奖。9黎曼（1826-1866），19世纪德国伟大的数学家创立了黎曼（非欧）几何理论为广义相对论提供了数学基础。1854年复分析和数论领域从小就展现出了卓越的数学天赋和浓厚的兴趣1854年，黎曼成为哥廷根大学的讲师，1857年成为副教授，1859年晋升教授，1866年因肺结核逝世复变函数、（现代）微分几何接续了罗巴切夫斯基的非欧几何研究，创立了椭圆几何黎曼1854年的工作（《论作为几何学基础的假设》）赋予几何一种全新的观念，他想象的几何是非欧几何，但不是在罗巴切夫斯基和鲍耶意义上的非欧几何，而是在一种依赖于度量概念的更广泛意义上的非欧几何。欧氏几何是平直空间中的几何，罗氏几何则是负曲率空间中的几何，黎曼几何是正曲率空间中的几何