2026年【中考数学】专题复习（河北）素养提升一 规律探究题 含答案

/素养提升一规律探究题类型一数式规律对于数式规律题,不循环类问题,找出前一个数字与后一个数字的关系及每个数字与对应序数的关系,从而得出第n个数式;对于循环类问题,先找出循环周期,然后用总循环次数除以周期,观察商和余数,即可得出结论.❶(2025·云南)按一定规律排列的代数式:a,3a,5a,7a,9a,…,第n个代数式是()A.(2n-1)a B.(2n+1)aC.(n+1)a D.2025a❷数学家斐波那契在《算盘书》中记载了一列数:1,1,2,3,5,…,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2027个数中,奇数的个数为()A.677 B.675C.1350 D.1352❸观察下列等式:(x-1)(x+1)=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;……根据以上规律计算42025+42024+42023+…+43+42+4的值是()A.42026-C.42026-❹将连续的正整数排成如图所示的数表.记a(i,j)为数表中第i行第j列位置的数字,如a(1,2)=4,a(3,2)=8,a(5,4)=22.若a(m,n)=2026,则m=,n=.

❺观察下列等式:S1=1+1+1S2=1+1+1S3=1+1+1……则S10的值为.

❻(2025·浙江)【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》,书中记载的二项和的乘方(a+b)n展开式的系数规律如图所示,其中“三乘”对应的展开式:(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.【应用体验】已知(x+2)4=x4+mx3+24x2+32x+16,则m的值为.

❼(2025·)对多项式A,B,定义新运算“”:AB=2A+B;对正整数k和多项式A,定义新运算“”:kA=A⊕A⊕A⊕…⊕Ak个A(按从左到右的顺序依次做“”运算).已知正整数m,n为常数,记M=m(x2+31xy),N=n(y2-14xy),若M类型二图形变化规律图形变化规律题的解题关键是通过图形寻找数量关系,观察并找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.❽(2025·乐山)醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物,如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图,其中代表碳原子,代表氧原子,代表氢原子.第1种如图1有4个氢原子,第2种如图2有6个氢原子,第3种如图3有8个氢原子,第4种如图4有10个氢原子……按照这一规律,第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是()A.18 B.20 C.22 D.24❾(2025·重庆)按如图所示的规律拼图案,其中第①个图中有4个圆点,第②个图中有8个圆点,第③个图中有12个圆点,第④个图中有16个圆点……按照这一规律,则第⑥个图中圆点的个数是()A.32 B.28 C.24 D.20❿如图,已知矩形ABCD的邻边长分别为a,b,进行如下操作:第一次,顺次连接矩形ABCD各边的中点,得到四边形A1B1C1D1;第二次,顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点,得到四边形A2B2C2D2……则第2025次操作后,得到四边形A2025B2025C2025D2025的面积是()A.ab22023 C.ab22024⓫如图,小好同学用计算机软件绘制函数y=x3-3x2+3x-1的图象,发现它关于点(1,0)中心对称.若点A1(0.1,y1),A2(0.2,y2),A3(0.3,y3),…,A19(1.9,y19),A20(2,y20)都在函数图象上,这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是()A.-1 B.-0.729 C.0 D.1⓬(2025·绥化)观察下图,图1有2个三角形,记作a1=2;图2有3个三角形,记作a2=3;图3有6个三角形,记作a3=6;图4有11个三角形,记作a4=11;按此方法继续下去,则an=(结果用含n的代数式表示).

⓭(2025·龙东地区)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-12x+3交x轴于点A,交y轴于点B.四边形OA1B1C1,A1A2B2C2,A2A3B3C3,A3A4B4C4,…都是正方形,顶点A1,A2,A3,A4,…都在x轴上,顶点B1,B2,B3,B4,…都在直线y=-12x+3上,连接BA1,B1A2,B2A3,B3A4,…分别交C1B1,C2B2,C3B3,C4B4,…于点D1,D2,D3,D4,….设△BB1D1,△B1B2D2,△B2B3D3,△B3B4D4,…的面积分别为S1,S2,S3,S4,…,则S2025=类型三周期变化规律解决周期变化规律问题的关键是通过图形寻找数量关系,观察图形运动的规律,从中总结图形变化所反映的规律.⓮如图,弹性小球从点D出发,沿图示方向运动,每当小球碰到长方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到长方形的边时,落脚点为I,第2次碰到长方形的边时,落脚点为E1……第2025次碰到长方形的边时,落脚点为()A.D B.I C.E1 D.V⓯(2025·威海)某广场计划用如图1所示的A,B两种瓷砖铺成如图2所示的图案.第一行第一列瓷砖的位置记为(1,1),其右边瓷砖的位置记为(2,1),其上面瓷砖的位置记为(1,2),按照这样的规律,下列说法正确的是()A.(2024,2025)位置是B种瓷砖B.(2025,2025)位置是B种瓷砖C.(2026,2026)位置是A种瓷砖D.(2025,2026)位置是B种瓷砖⓰如图,在平面直角坐标系内,动点P按照图中箭头所示的方向依次运动,第1次从点(-1,0)运动到点(0,1),第2次运动到点(1,0),第3次运动到点(2,-2)……按照这样的运动规律,动点P第2025次运动到的点的坐标为()A.(2024,0) B.(2024,1)C.(2025,0) D.(2024,-2)⓱一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示,AB=3,AD=2,若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点A所对应的数为1,则翻转2026次后,点B所对应的数是()A.5060 B.5062 C.5063 D.5064⓲(2025·武安二模)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,边AB=1,现将Rt△ABC以点A(1,1)为旋转中心,逆时针旋转,每次旋转60°,则经过2030次旋转后,点C的坐标为()A.-12,1C.32,1-3⓳(2025·德阳)如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,23),点C在直线m:y=33x-233上,且AC=3,连接AB,BC,将△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C1,点B的对应点B1落在直线m上,再将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转到△A2B2C2,点A1的对应点A2也落在直线m上.如此下去,…,则A1001的纵坐标是

【详解答案】1.A2.D解析:这列数为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,可以发现每3个数为一组,每一组前2个数为奇数,第3个数为偶数.∵2027÷3=675……2,即前2027个数共有675组,且余2个数,∴奇数有675×2+2=1352(个).故选D.3.C解析:当x=4时,有(4-1)(42025+42024+42023+…+43+42+4+1)=42026-1,即3×(42025+42024+42023+…+43+42+4+1)=42026-1.因此42025+42024+42023+…+43+42+4+1=42026-13.因此42025+42024+42023+…+43+44.461解析:由题图中排布可知,当正整数为k2时,若k为奇数,则k2在第k行第1列,下一个数在下一行,上一个数在第2列;若k为偶数,则k2在第1行第k列,下一个数在下一列,上一个数在第2行.∵a(m,n)=2026=2025+1=452+1,452在第45行第1列,∴2026在第46行第1列,∴m=46,n=1.5.101011解析:∵1+1+14=94=32=1+1∴S1=1+11×2=1+1-12=2-12,S2=1+11×2+1+12×3=2+1-12+12−13=3-13,S3=1+11×2+1+12×36.8解析:∵(x+2)4=x4+4x3·2+6x2·22+4x·23+24=x4+8x3+24x2+32x+16=x4+mx3+24x2+32x+16,∴m=8.7.15解析:∵kA=A⊕∴当k=1时,1A=A=(21-1)A,当k=2时,2A=A⊕A=2A+A=3A=(22-1)A,当k=3时,3A=A⊕A⊕A=3A⊕A=2×3A+A=7A=(23-1)A.当k=4时,4A=A⊕A⊕A⊕A=7A⊕A=2×7A+A=15A=(24-1)A,……∴当k=m时,mA=(2m-1)A,当k=n时,nA=(2n-1)A.∴M=(2m-1)(x2+31xy),N=(2n-1)(y2-14xy),∴M⊕N=2M+N=2(2m-1)(x2+31xy)+(2n-1)(y2-14xy)=(2m+1-2)x2+(2n-1)y2+[62(2m-1)-14(2n-1)]xy,∵M⊕N不含xy项,∴62(2m-1)-14(2n-1)=0,∴31(2m-1)-7(2n-1)=0,设2m=a,2n=b,则31a-7b=24,∴b=31a-247,∵a,b均为2的正整数次幂,∴a=8,b=32,∴m=3,n=5,8.B解析:由题图可知,第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为4=1×2+2;第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为6=2×2+2;第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为8=3×2+2;…,所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为2n+2.当n=9时,2n+2=2×9+2=20,即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20.故选B.9.C解析:第①个图中有4个圆点,第②个图中有8个圆点,第③个图中有12个圆点,第④个图中有16个圆点……则第○n个图中有4n个圆点,所以第⑥个图中圆点的个数是4×6=24.故选C.10.B解析:因为矩形ABCD的邻边长分别为a,b,所以矩形ABCD的面积为ab.连接A1C1,B1D1相交于点O,如图.因为点A1,B1,C1,D1分别是矩形ABCD各边的中点,所以矩形ABCD被分割为四个相同的小矩形.因为A1D1,A1B1,B1C1,C1D1分别为这些小矩形的对角线,所以四边形A1B1C1D1的面积为ab2.同理可得,四边形A2B2C2D2的面积为ab4,四边形A3B3C3D3的面积为ab8……四边形AnBnCnDn的面积为ab2n.当n=2025时,四边形A2025B2025C202511.D解析:解法一:由题知,点A10的坐标为(1,0),则y10=0.因为函数图象关于点(1,0)中心对称,所以y9+y11=y8+y12=…=y1+y19=0,将x=2代入函数解析式得y=23-3×22+3×2-1=1,即y20=1,所以y1+y2+y3+…+y19+y20的值为1.故选D.解法二:将x=0代入函数解析式得y=-1,记此点为A0(0,-1),则y0=-1.因为函数图象关于点(1,0)中心对称,所以y9+y11=y8+y12=…=y1+y19=y0+y20=0,所以y0+y1+y2+…+y20=0,则y1+y2+…+y20=y0+y1+y2+…+y20-y0=0-(-1)=1.故选D.12.n2-2n+3解析:图1有2个三角形,记作a1=02+2=2;图2有3个三角形,记作a2=12+2=3;图3有6个三角形,记作a3=22+2=6;图4有11个三角形,记作a4=32+2=11;按此方法继续下去,则an=(n-1)2+2=n2-2n+3.13.234049解析:当x=0时,y=-12x+3=3,∴点B的坐标是(0,3).∵点B1在直线∴设点B1的坐标是x1,-12x1+3,则点A1的坐标是(x1,0),点C1的坐标是0,-12x1+3.∵四边形OA1B1C1是正方形,∴OA1=A1B1,OA1∥C1B1,∴x1=-12x1+3,解得x1=2,∴点B1的坐标是(2,2),∴OC1=OA1=A1B1=B1C1=2,∴BC1=BC-OC1=3-2=1.∵OA1∥C1B1∴△BC1D1∽△BOA1,∴BC∴13=C1D12,解得C1D1=23,∴B1D1=B1C1-C1D1=2-23=43,∴S1=S△BBx2,-12x2+3,则点A2的坐标是(x2,0),点C2的坐标是2,-12x2+3,∴A1A2=x2-x1=x2-2,∵四边形A1A2B2C2是正方形,∴A1A2=B2A2,A1A2∥C2B2,∴x2-2=-12x2+3,解得x2=103,∴A1A2=A2B2=B2C2=A1C2=103-2=43,∴B1C2=2-∵A1A2∥C2B2,∴△B1C2D2∽△B1A1A2,∴B1C2B1A1=C2D2A1A2,∴232=C2D243,解得∵点B1的坐标是(2,2),点B2的坐标是103,43,点B的坐标是(0,3),∴B1B2=103BB1=(2∵B1D1∴B1D1B2D2=BB1B1B2,又∵四边形OA1B1C1和四边形A1A2B2C2均为正方形,∴B1C1∥B2C2,∴∠BB1C1=∠B1B2C2,∴△BB1D1∽△B1B2D2,且相似比为32,∴S∴当S1=S△BB1D1=23时,S2=S△B1B2D2=23×23∴S2025=S△2314.B解析:如图,小球第1次碰到长方形的边时,落脚点为I,第2次碰到长方形的边时,落脚点为E1,第3次碰到长方形的边时,落脚点为Q,第4次碰到长方形的边时,落脚点为V,第5次碰到长方形的边时,落脚点为A1,第6次碰到长方形的边时,落脚点为M,第7次碰到长方形的边时,落脚点为I1,第8次碰到长方形的边时,落脚点为D,…,∴每8次为一个循环,∵2025÷8=253……1,∴第2025次碰到长方形的边时,落脚点为I.故选B.15.B解析:A种瓷砖的位置:(1,2),(1,4),(1,6),…,(2,1),(2,3),(2,5),…,B种瓷砖的位置:(1,1),(1,3),(1,5),…,(2,2),(2,4),(2,6),…,由此可得,A种瓷砖的位置规律为(奇数,偶数),(偶数,奇数),B种瓷砖的位置规律为(奇数,奇数),(偶数,偶数),(2024,2025)位置是A种瓷砖,故A不符合题意;(2025,2025)位置是B种瓷砖,故B符合题意;(2026,2026)位置是B种瓷砖,故C不符合题意;(2025,2026)位置是A种瓷砖,故D不符合题意.故选B.16.B解析:∵四个点为一个周期,2025÷4=506……1,∴点P第2025次运动到点(2