期末复习压轴题（38个考点）（北师大版）（解析版）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

期末复习压轴题(38个考点)(九年级全册)题型归纳题型归纳【选填压轴篇】 !【考点1利用一元二次方程求取值范围】 1【考点2利用一元二次方程解决儿何问题】 【考点3利用二次函数的性质比较大小】 9【考点4利用二次函数的性质求最值】 【考点5利用二次函数的性质求字母取值范围】 【考点6二次函数的交点问题】 【考点7利用圆的性质求角度】 【考点8利用圆的性质求线段长度】 【考点9正多边形与圆的综合】 34【考点10弧长与阴影部分的面积问题】 41【考点11反比例函数与几何图形的综合运用】 【考点12反比例函数的交点问题】 52【考点13由反比例函数的比例系数求特殊图形的面积】 【考点14判断组成相似二角形的点的个数】 65【考点15利用相似三角形的判定应性质求线段长度】 【考点16利用相似三角形的判定应性质求最值】 76【考点17利用相似三角形的判定应性质求面积】 82【考点18网格中的锐角三角函数】 89【考点19与函数有关的多结论问题】 94【考点20与儿何图形有关的多结论问题】 9 【考点21由一元二次方程的解求参数】 【考点22根的判别式与根与系数的关系的综合】 14【考点23一元二次方程的应用】 【考点24二次函数中的定值问题】 【考点25二次函数中的最值问题】 【考点26二次函数中的存在性问题】 【考点27二次函数的应用】 【考点28圆与三角形的综合】 【考点29圆与四边形的综台】 【考点30圆与平面直角坐标系的综合】 【考点31证明某直线是圆的切线】 200【考点32求不规则图形的面积】 208【考点33相似相关动点问题】 217【考点34反比例函数的比例系数与特殊图形的面积】 231 242 55 268 277举一反三举一反三【选填压轴篇】tu0.->0.A.解即可.再设方程cx²-bx+a=0的为m,n,根据跟与系数的关系得出ml从而得出得出结论.【详解】解：∵方程ax²+hx+c=0(a≠0)+而∴方程cx²-bx+a=0的较大根x3的范围【变式13】已知二次函数f(x)=3ax²+2bx+c(a+0),若a+b+c=0,f(0)·f(1)>0,若x₁,X₂是方程f(x)=0的两个实根，则x₁-X₂的范围足【分析】先求出的取值范围，再根据根与系数的关系即可求得x₁+X₂,X₁·X₂则可得d²=|x₁-x2l=(x₁+x₂)²-4x₁X₂,得到关丁的二次函数，又出(1)得,根据其增减性即可求得答案.f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-(b+从【点睛】此题主要考查了二次函数的性质、含有字母系数的一元二次方程的解法，注意根与系数的关系的【例2】(25-26九年级上：·湖北议阳·月考)在数学发展史上，一元二次方程的正根可以通过几何方法进行研先算出方程x²+2ax=b²的正根为√a2+b²-a,再根据题意用a、b表示出AF的长，即可解答.【详解】解：∵x²+2ax=b²,【变式2-1】如图，有一张矩形纸片ABCD,AB=7,AD=2√2,点E为边AB上一动点(不与点重【答案】股定理即可求解.【点晴】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键，【分析】设0A=2x,取0A的中点M.连接DM.利用垂直平分线性质、勾股定理构建方程求解.变形为-2(4—x²)-7√4-x2+4=0.解得，(不合题意，舍去),解得：(不合题意，含去),【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，垂直平分线的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的>6,则下列关于y1.y2,y₃的大小关系的结论正确的是()C.y₁>y2>y求解.则可知抛物线的对称轴为直线x=3,【点睛】本题综合考查了抛物线的性质、解不等式、平方差公式进行因式分解等知识，对y₁-y3及y₃-y2的值用平方差公式进行因式分解是解答本题的关键.=1,a₃(x+1)(x-2)=1.根，则x₁,xz,X₃的大小顺序为(用<“连接)【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的技巧性在于根据题意作出函数图象，由函数图象直接得到答案，“数形结合”的数学思想的使问题变得直观化.得到顶点坐标是,抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0),(2,0),据此作出函数图象，结合函数图象作出判断.均向上，开大小为：y1最小，y₂最大.若x₁,X₂,X₃分别是按上顺序对应三个方程的正根，故答案为：x₁<x₂<x₃.【变式3-2】已知点A(x1,y1),B(x₂,y₂)在抛物线y=-(x-3)²+m(m是常数)上，若x₁<3<x₂,X₁+x₂>6,则下列大小比较正确的是()A.yl>yz>mB.yz>y₁>mC.【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=-(x-3)²+m的开口向下，有最大值为m,对称轴为直线x=3,【详解】解：∵y=-(x-3)²+m,y=ax²-bx+c(a≠0)y=ax²-bx+c(a≠0)的图象为抛物线，则抛物抛物线开口向下；对称轴为直线在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，【变式3-3】(25-26九年级上·浙江杭州·期中)已知二次函数y=a(x-2)²+c,当x=期：时，函数值为y1;当x=x₂时，函数值为y₂,若|x₁-2|>|x₂-2|,则下列关系式正确的是()A.y₁+y₂>0B.y₁-y₂>0C.a(y₁-Y₂)>0【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意，得到y₁=a(x₁-2)²+c,y2=a(x2-2)²-c,进而得[(x₁-2)²—(x2-2)2].进行判断即可.y₁-y₂的符号由a的符号决定，∴a(y1-y2)=a×a×[(x₁-2)²—(x2∵a²>0(二次函数中a≠0),且[(x₁-2)²—(x₂-2)2]>无法判断y₁+y₂的符号：故A选项错误；故选C.【考点4利用二次函数的性质求最值】【例4】(25-26九年级上·河北保定·期中)已知二次函数y=ax²-2ax+a+2(a≠0),若-1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差不大于10,则满足条件的整数a共有个.【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.当x=-1时，二次函数的最大值为y=a(-1-1)²+2=4a+2.∵函数的最大值与最小值的差不大于10,故答案为：4.(1)写出该二次函数经过的定点坐标图象及性质是解题的关键.(1)把二次函数y=x²-(m+4)x+m+3变形为y=[x—(m+3)]·(x-1),-(m+4)x+m+3得y=-2m,从而有1求解即可得【详解】解：(1)y=x²-(m+4)x+m+3=[x—(m+3)]·(x-1),m≥0.故答案为：0≤m≤2.【分析】木题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键.先求出顶点坐标为(b,c-b²),可大值，即可求解.故选项A.B错误；故选项C正确，D错误.【考点5利用二次函数的性质求字母取值范围】【例5】(25-26九年级上·浙江杭州·期中)二次函数y=-x²+bx+c的图象经过(t-1,-3),(t-1,—3)两点，若-6≤y≤-2时，总有p≤x≤q,则q-p的取值范围是()A.I≤q-p≤3B.2≤q-p≤3C.2≤q-p≤4D.0≤q-p≤4元二次方程根与系数的关系是解题的关键.根据二次函数图象的开，对称轴可得b=2t,c=-t2-4,求出二次函数解析式为y=-x²+2tx-t²-2,令y=-6可得一元二次方程中两根的关系，可得两根之间的最大距离，根据p≤x≤q,可得当p=t【详解】解：根据题意可得，二次函数y=-x²+bx+c的对称轴y=-(x-t)²-2.即二次函数顶点坐时，y≤m-1,当x≥2时，y≤m,A.t>2B.1<t<2【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，理解题意，掌握二次函数最值的计算是关键.时y≤m,结合顶点坐标，推导出t必须小于2.∴该不等式恒成立t<2,【变式5-2】(25-26九年级上·福建福州·期中(x。,2m-3),则xo的取值范围为()【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.根据二次函数的性质可知对称轴是直线x=1,求出得抛物线开口向上，函数在x=1处取得最小值，且距离对称轴越远，函数值越大，通过比较x=xo和x=2时函数值的大小可知点(xo,2m-3)到对称轴的距离小于点(2,m²)到对称轴的距离，进而可求出x。的取值范围.【详解】解：抛物线y=ax²-2ax+(a≠0)的对称轴为直图象关于直线x=1对称，m²+4=a·32-2a-3+c=9a-6a+n²=∴函数在x=1处取得最小值，且距离对称轴越远，函数值越大，m²-(2m-3)=m²-2m+3=(m-1)²∵点(2,m²)到对称轴直线x=1的距离为1,【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质结合二次函数的对称轴找出不等式是关健.根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为x=-2,分两种情况讨论，根据图象上点的坐标特征，得到关于m的不等式，解不等式即可得出结论.【详解】解：∵抛物线y=ax²-4ax+3,【考点6二次函数的交点问题】【例6】(24-25九年级上·浙江金华·期中)如图，点A,B的坐标分别为(2,-3)和(5,-3),抛物线y=a(x-m)²+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为-1,则点D的横坐标最大值为()【分析】根据抛物线y=a(x-m)²+n的顶点在线段AB上运动可以确定抛物线为y=a(x-m)²-3.在抛物代入抛物线解析式即可求出从而得到抛物线解析式;当抛物线顶点在B(5.-3)时，点D的横坐标会取得最大值，令y=0,即可求出此时最靠右的点D的横坐标.【详解】解：∵抛物线y=a(x-m)²+n的顶点在线段AB上运动，点A.B的坐标分别为(2,-3)和(5,即此时抛物线y=a(x-2)²-3经过点C(-1,0).将点C(-1,0)代入抛物线解析式得：a(-1-2)²-3当抛物时，点D的横坐标会取得最大值，则此时抛物线解析式为(x-5)²-3.二点D的横坐标最大值为8.【点睛】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点坐标，理解题意分析出何种情况取得最值，以及根据题意正确求出二次函数的解析式是解题关键.【变式6-1】我们约定：(a,b,c)为函数y=ax²-bx+c的“关联数”,当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”.若关联数为(m,-m-3,3)的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数),则这个函数图象上整交点的坐标为【分析】根据题意令y=0,将关联数(m,-n-3,3)代入函数y=ax²+bx+c,则有mx²+(-m-3)x+3=0,利用求根公式可得m,将m代入可得函数图象与x轴的整交点坐标；令x=0,可得y=3,即得这个函数图象与y轴的整交点的坐标(0,3).【详解】解：根据题意，令y=0,将关联数(m,-m-3,3)代入函数y=ax²-bx+c,则有mx²+(-m-3)x-3=0,由求根公式可所以这个函数图象与x轴的整交点的坐标为(3,0),(1,0);令x=0,可得y=3,即得这个函数图象与y轴的整交点的坐标(0,3).综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为(1,0)、(3,0)、(0,3).【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，理解“关联数”的定义是解答此题的关键，【变式6-2】如果关于x的方有非负整数解，且关于x的二次函数y=(a-1)x²-(4a-1)x+4a与x轴有交点，那么满足条件的所有整数a的和为()【答案】B【分析】先解出分式方程，再根据非负整数解得出a取值范围，再依据关于x的二次函数y=(a-1)x²+(4a-1)x+4a与x轴有交点，求出a取值范围，最后求出a的值，再求和即可.【详解】解解②若a<0,函数图象如图2所示，【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与坐标轴的交点坐标，根据题意找到函数与坐标轴的交点坐标，并分情况画出图象足解题的关键.【考点7利用圆的性质求角度】【例7】(25-26九年级上·广东广州·期中)如图，△ABC的三个顶点都在一圆上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转后的二角形为△AB'C',AB'会落在同圆上，其中AB与A’的夹角为x.若∠BAC=27.【分析】本题主要考查了旋转的性质、圆心角、弧、弦的关系、三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系足解决问题的关键.旋转的性质得∠B'AC'=∠BAC=27°,∠AB'C′=∠ABC=31.AB=A【详解】解：如图：设圆的圆心为0,连接BB'、OA、OB、OC.AOB=∠BOC+∠AOC=116°,∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转后的二角形为△AB'C'.x的值为37.A.60°B.61°C.62°【分析】本题考查了圆周角，勾股定理，直角三角形，三角形外角性质等相关知识点，解题关键在于熟练∴选项中符合条件的为：A【变式7-2】(25-26九年级上·江苏无锡·期中)如图，在○0中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿CC【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定埋，折叠的性质，三角形的外角，熟练掌握相关知识点是解题上异于点A、B、C的一动点，若△BCP为等腰三角形，则∠ABP的度数为【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、二角形内角和定理，由等边∠CBP=∠P=72°,此时点P与点A重合，不符合题意；当点P在优弧BC上时，此时∠P=108°,再结合等腰三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键.【详解】解：∵△ABC内接于◎0,∠A=72°,CA=CB,如图，当点P在劣弧BC上时，连接CP,则此时∠P=∠A=72°,【考点8利用圆的性质求线段长度】 【分析】(1)连接BC,由圆周角定理得∠ACB=90°,进而得到∠B=90°-20°=70°,再根据得(2)过C作CG⊥AB于G,连接OC,BC,可得AB=AD+DB=8,即得⊙0的半径为4,出等腰三角形的本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键.【详解】解：(1)连接BC,∴◎0的半径为4,.最后由勾股定理解Rt△ACB即可.*利用勾股定理求出BE即可求解.【详解】如图，连接0F,∴圆0的半【变式8-3】(25-26九年级上·福建厦门·期中)如图，直线AB与⊙0相切于点A,弦CDIIAB,E,F为圆上弦、圆心角的关系，可证得EF=AC,继而求得答案.【详解】解：连接OA.并反向延长交CD于点H,连接OC,P,的值为()A【答案】D【分析】本题考查正多边形与圆，相似三角形的判定和性质，连接OJ,OC.首先证明JA=JP=0P,设JA=JP=0P=m,AP=y,利用相似三角形的性质求出y可得结论.解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题.【详解】解：如图，连接0J,0C.(负根已经舍去),**【变式9-2】(24-25九年级上·河北邯郸·期中)如图，00与正六边形ABCDEF的边CD,EF分别相切于点【答案】A【分析】本题主要考查正多边形和圆的综合，切线的性质定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和【详解】解：连接CF,OC,OF,过D作DG⊥CF于G,过E作EH⊥CF于H,∴⊙0的半径长为2;【变式9-3】(24-25九年级上·山东潍坊·期末)如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD,EH,AE,DH,AE与DII交于点0.则下列说法错误的是()A.BC²+AD²=AE²B.定定理得到四边形ADEH是平行四边形，求得OA=0E,得到点A与点E关于点O对称，根据圆周角定理得到AE.DH都是0的直径，求得∠DAE=∠DAH=90°,根据勾股定理得到BC²+AD²=AE2,故可判断A;AD=m+√2m,根据相似三角形的性质得到,推出点B关于AD的对称点在DH上，故可判断C;【详解】解：解：正八边形ABCDEFGH,AB=EF,AD=3AB.EH=3EF,AD=EH,∴0为正八边形ABCDEFGH的中心，即正八边形ABCDEFGH的外接圆的圆心，故B错误，符合题意：PQIIAH,'BC=CD=AH=AM=m,贴MD=√2m,S四边形ADEH=m(m-v2m)=(1+√2)m²,故D正确，不符合题意，【点睛】本题考查正多边形的性质，正多边形的内角、中心角，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，多边形的面积和梯形的面积等知识点，解题的关键是掌握正多边形的性质.【考点10弧长与阴影部分的面积问题】是△ABC的内切圆，连接OA,OB.则图中阴影部分的面积是()ZCAB,,求得∠OAB+∠OBA=45°,则∠AOB=135°,所以阴影部分扇形的圆心角为225°,再根据扇形的面积公式求解，即可解题.CE+CF=2CE=AC-AE+BC-BF=AC+BC-(AE∴阴影部分扇形的圆心角为360°-135°=225°,【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键.【变式10-1】(25-26九年级上·浙江衢州·期巾)己知点A,B,C在⊙0上，∠ABC=30°,把劣弧BC沿着直【答案】△ACD是等腰三角形，,进而求得BF,再通过勾股定理求得CF.AC.易证得△AOC是等边三角形，然后利用弧长公式求得即可.【点晴】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，等腰三角定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，作出辅助线，的运动路径，再利用弧长公式即可求解.∵点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B,且绕P转过的角度为180°,∴点F沿着圆弧从点F₁顺时针运动到点F₂,且绕D转过的角度为180°,∴点F的运动路径长是⊙D周长的一半，【点睛】本题考查了点的轨迹问题，勾股定理，三角形中位线定理，弧长公式，坐标与图形，正确找出点F的运动轨迹是解题的关键.【变式10-3】(24-25九年级上·重庆·期末)如图，0为矩形ABCD的中心，◎0与AD、BC相切于点E、F,以F为圆心、BC为直径的半圆交⊙0于点G、H,若AB=2,AD=2√3,则阴影部分的面积为()【答案】C【分析】连接OF、OH,过点0作OM⊥FH于点M.由垂径定理和矩形的性质可根据切线的性质可得四边形ABCD是矩形，得到EF=AB=2,进而得到即可得OM=再根据锐角二角函数可得∠MOF=60°,得到∠CFH=60°,∠FOH=2∠MOF=120°,【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，扇形的面积，锐角三角函数，切线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关健.【考点11反比例函数与几何图形的综合运用】【例11】如图，△OA₁B₁,△A₁A₂B₂,△A₂A₃B₃,..是分别以A₁,A₂,A₃,...为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C₁(x₁,y1),Cz(xz,yz),C₃(x3,y3),.…..均在反比例【答案】A【分析】本题主要考查了反比例函数与儿何综合，等腰直角三角形的性质与判定，解一元二次方程，过C₁、,y解得a=2√2-2或-2√2-2(舍去),即yz=2√2-图象上且关于原点对称，连接AB交反比例函数图象于点D,且AD:DB=1:4,△OBD的面积为24,则k的值【答案】D可求解，正确作出辅助线是解题的关键.,【答案】【分析】木题考查反比例函数的性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质.过点A作AD⊥BC垂根据中点的坐标公式可得的坐标代入反比例函数解析式中可得b=3a,从而可知BE=a-b,OE=a,根据平行线分线段成比例可以求出结果.【详解】解：如下图所示，过点A作AD_BC垂足为点D,设点A的坐标点B的坐标是分解因式可得：(3a-b)(a-b)=0,可得：b=-3a或b=a(不符合题意，舍去),【变式11-3】(25-26九年级上·安徽阜阳·期中)如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且面积分反比例函的图象同时经过点D,F.【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数中k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识.(1)根据反比例函数中k的几何意义可得m+(-k)=45,根据两个正方形的面积可得两个正方形的边长分(2)根据正方形的性质和直角坐标系列方程求出m,进而求出k,即可求3m+k的值.【详解】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，且面积是45,∵两个正方形面积分别是45和5,【考点12反比例函数的交点问题】【答案】【分析】木题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，元二次方程的解法等知识，利用参数表示点B、D坐标是本题的关键.由三角形相似，可得BF:CF=0C:OA=2:1,设BF=a.则.可得点,进而求得D(a-1,2a),由反比例函数的性质可得可求a的值，即可求解.即解【点睛】本题考查了反比例与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正方解题的关键.【点睛】本题考查了旋转的性质，一次函数与反比例函数的综合运用，待定系数法求反比例函数解析式，全等二角形的性质与判定(AAS)综合，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解.【变式12-3】(24-25九年级上·四川成都·期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知一次函十的图象分别与x轴，y轴相交于A,B两点.在线段AB内部(不包含边界),则a的取值范围是【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的灵活应用，一元二次方程的解法，先得到2b+a=5,可得则Q在图象上，且在△ABC的内部，再进一步解答即可.令如图，记反比例函数与一次函数的交点为N,M,【考点13由反比例函数的比例系数求特殊图形的面积】【例13】(25-26九年级上·湖南怀化·期中)如图，D为矩形OABC(边0A,0C分别在x,y轴的正半轴上)对角线OB上的点，经过点D的反比例函数图象分别与AB,BC相交于点E,F,连接OE,OF,EF,若△OBF的面【变式13-1】(25-26九年级上·山东淄博·期中)如图，点A在反比例函点B在反比例函数,连接AB交x轴正半轴于点C.连接OA,OB,若则△OA【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，相似的判定和性质，理解反比例的数图象上点的坐标满足反比例函数的表达，熟练掌握相似的判定和性质，待定系数法求一次函数的表达式是解决问题的关键、过点B②-①得的面积，然后即可得出答案.故A正确.【点晴】本题主要考查了反比例函数的综合应用以及三角形面积求法，根据已知表示出E,F的点坐标并掌握反比例函数系数k的几何意义是解题关键，难度较大，要求同学们能将所学的知识融会贯通.【变式13-3】如图，一次函数与反比例函数(k>0)交于A、B两点，过A、B两点分别作【答案】B可得到△ADC的面积等于△BCD的面积，得到△ADC的面积与△AOD之比为4:6,从而得到CD:DE:OE=4:1:5,所以AC:AM=4:1,求出点P,Q坐标，然后通过CM:OM=2:1,【详解】解：连接MN交OCJE点.k=AMOM=BNON,。【点晴】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数特征上点的坐标特征，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，综合性较强，理解在同高的三角形中，面积比等于底的比是解题的关键.【考点14判断组成相似三角形的点的个数】【例14】定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这个四边形叫做“自相似四边形”。如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在【答案】D图5【点睛】此题是新定义题，主要考查了网格中的勾股定理、判定两个格点三角形相似，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答此题的关键.【变式14-1】如图，在平面直角坐标系中，A0,4).B(2.(0),【答案】D【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟知有两组角对应相等的两个三角形相似.故答案为5.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似二角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似：③根据两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可：⑤三边对应成比例得两个三角形相似.【分析】利用相似二角形的性质，再根据直角的不同分情况讨论，分别求得点P的坐标即可.鲁鲁所所所以OP=0C-CP=3,所以这种情况不符合，综上所述，点P的坐标为(0,3)故答案为：(0,3)或【点睛】本题考查了相似三角形的性质，用勾股定理解三角形，矩形的性质，图形与坐标，解题关键足掌握上述知识点并能综合运用求解.【考点15利用相似三角形的判定应性质求线段长度】【例15】(25-26九年级上·河南开封·期中)如图，在菱形ABCD中，∠C=60°,BC=6、M为边CD上的一【答案】4或10-2√13【分析】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三们形的判定与性质以及分类讨论等知识，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键.分两种情况：①当点在菱形对角线AC上时，由折叠的性质得出相等的边和角，利用等角对等边及线段的和差即可求解；②当点在菱形对角线BD上时，设CN=x,由折叠的性质得相等边和角，证明【详解】解：①如图所示，当点P位于对角线AC上时，②如图所示，当点P位于对角线BD上时，解得x=10-2√13或x=10+2√13(不合题意，舍去)故答案为：4或10-2√13.【变式15-1】(25-26九年级上·陕西西安·期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AD)平分∠CAB交BC于点【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法和性质得到【详解】解：如图所示，连接CE,过点E作EF⊥BC丁点F,设BD=x,EF=m,解得，故答案为：DDNMEB-F【分析】连接AM,并延长交CD于点P,连接PF,先证出△PDM≌△AEM,根据全等三角形的性质可得PD=AE,AM=PM,证明△BAF一△ADE,根据相似三角形的性质求出BF=3,再利用勾股定理可得PF的长，然后利用三角形的中位线定理求解即可得.【详解】解：如图，连接AM,并延长交CD于点P,连接PF,印【点晴】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造三角形的中位线是解题关键.【变式15-3】(24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中)直线L₁12IL₃,且I₁与1₂的距离为1,l₂与1₃的距离为3,把一块含有15°角的直角三角形如图放置，顶点A,B,C恰好分别落在三条直线上，AC与直线1₂交于点D,则线段BD的长度为()【答案】A【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理：分别过点A、的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG一△CAF,故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长，BC=AC=5.【考点16利用相似三角形的判定应性质求最值】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、最短路径问题，明确问为直是解题关键.【详解】解：如图，设DC中点为0,连接OE. 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，首先过点C作CE⊥CD,使CD=2CE,连接AE、DE,利用勾股定理可求出利用两边成比例且夹角相等，可证【详解】解：如下图所示，过点C作CE⊥CD,使CD=2CE,连接AE、DE、又AC=BC=5√2,OE=2,连接BE,以BE为直角边，作(2)四边形ACBF面积的最大值为【分析】木题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，证明相似三角形是解题的关键.大值，即四边形ACBF面积有最大值，当点E,点0,点H三点共线时，△BCE的面积有最大值，即可求解.(2)如图，连接CE.过点0作OH⊥BCJH,【分析】如图，过点C作CH_BC,使CH=CB,连接BH,HD,利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的最小，接着利用含30°角的直角二角形的性质和勾股定理求得DH即可得出结论.∵△BDE为等腰直角三角形，故答案为：2.【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，恰当的添加辅助线构造直角三角形的是解题的关键.【考点17利用相似三角形的判定应性质求面积】垂可以求出△EFD的面积.【详解】解：如图，延长AE和BC交于点G,故答案为：期巾)二角形三条中线的交点叫三角形的重心.重心足个物埋名AD.BE,CF柑交丁点G,三角形被三条中线分成六个小三们形，这六个小三角形(△GBD,△GCD,△GAE,△GCE,△GAF,△GBF)的面积相等.已知在△ABC中，中线AD=6,BE=4,若AD⊥BE,则△ABC的面积为_【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形中线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的性质及二角形面积公式.先利用三角形中线性质和重心性质分析面积关系，再分析△ABD与△ACD、△ABE与△BCE的面积组成，紧接着利用中位线定理和相似三角形性质再计算四边形ABDE和△CDE的面积，最后根据BBA.一直减小B.不变C.先减小后增大D.先增大后减小【答案】C【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数综合，由勾股定理可得AB=5,设AB边上的高为h,出等面积法得出再出二次函数的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.设AB边上的高为h,的增大而增大，故阴影部分面积S₁+S₂的大小变化的情况是先减小后增大，【变式17-3】(24-25九年级上·浙江衢州·期末)如图，赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形ABCD,中问是一个小正方形EFGH.连结CE并延长，交BG于点M,交AB于点N.连结NF,HM,若要求出△ANF的面积，只需知道()A.△GHM的面积B.△MNF的面积C.△EMF的面积D.△GCM的面积【答案】D【分析】此题主要考查了相似二角形的判定和性质，全等二角形的性质，正方形的性质，理解全等二角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键.GF=FE=a-b,CHIIAF,BF_AF,证明△CGM和△EFM相似，利用相似二角形的性质求出GM=,则证明△APN和△AFB相似，利用相似三角形的性质求进而得S△ANF=S△GcM,据此即可得出答案.【详解】解：过点N作NP⊥AF于点P、如图所示：CQ=HQ=N【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键.【变式18-1】如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则shCC【答案】【详解】解：如图：连接格点MA,由图可知，∠MAC=90°,作MNIBC,垂足为N,连接BM,CC【点睛】本题考查了求锐角的三角函数值，勾股定理，解题关键是找到恰当的网格点，平分∠ACB,并且能够构建直角二角形，求二角函数值.【变式18-2】(25-26九年级上·山东淄博·月考)如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C,D均在【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.过点C作FG1IAB,连接GD,从而可得∠AEC=∠DCG,然后根据勾股定理的逆定理可证△CDG是等腰直角三角形，从而可得∠AEC=∠DCG=45°,即可解答.【详解】解：如图：过点C作FG11AB,连接GD,的值是【答案】【分析】设小正方形的边长为1,则AD=5,BC=4,根据平行线分线段成比例定理得出,求出CF,根据勾股定理求出EF,再解直角三角形求出答案即可.【详解】解：设小正方形的边长为1,则AD=5,BC=4,由勾股定理得：BD=V22+52=V29,过C作CF⊥BDJ-F,【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识点，能求都在该抛物线上，则y1=y2.其中正确结论的个数为()综上，②③正确，共有2个，【变式19-1】(24-25九年级上·福建福州·期中)约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称“黄金函数”,其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”.若点A(1,m),B(n,4)是关于【分析】本题属丁二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”,“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题.先根据题意求出m,n的取值，代入y=ax²+bx+c艮,③错误，不符合题意，综上所述，结论正确的是①②④.正确的是(将正确结论的序号填在横线上)小值为2;【答案】①③/③①的最小值为2;最小值为2;当2≤x时，,此时ax+b最小值为2;yeayea+tds+elc>0)综上所述，函数y=max{ax+b,cx²+dx+e}有最小值，无最大值.故答案为：①③.④四边形MPNQ一定是平行四边形.其中正确结论的个数是()【答案】B②利用两点坐标的距离公式表示出MN的长度，发现可以利用二次函数求最值；③利用抛物线解析式求出A.B,C,D的坐标，即可表示出AB.CD的长度，结合CD=AB,即可求出k的值，并判断正误；④判定是平行四边形，这里可以利用对角线互相平分这个判定定理会更简单，分别求出对角线PQ,MN的中点坐标，故四边形MPNQ一定是平行四边形.故④正确.综上所述，正确的结论有①③④,共3个.【答案】①③④⑤故④正确；如图，过C作CH⊥FD交FD延长线于H.故⑤正确；【点睛】本题考查旋转的性质，角平分线的性质，矩形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，中位线定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角函数的应用，掌握相关知识并能火活应用是解决问题的关键.【变式20-1】(25-26九年级上·山东临沂·期中)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AOTBC,连接CO并延长于点E,连接AE,下列结论①AB=AD,②AB=0E,③∠AOD=∠BAC,④四边形AOCE为菱形，其中一定正确的是_,(请将正确结论的序号填在横线上).【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质，根据全等三角形的判定定理证明∠0CA=∠ACE,证明0C=CE=OA即可证明四边形AOCE为菱形，再根据圆周角定理进行判定即可，熟练掌握性质定理是解题的关键.∴AB=AD.故①结论正确；AE=OC=0D.AEIICD综上所述：正确结论有①②④. 【答案】①③⑤故⑤的结论正确.综上，结论正确的有①③⑤,故答案为：①③⑤.角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键.AE并延长交BC的延长线于F,过点E作EM⊥AF交BC于点M,连接AM交BD于点N,现有下列结论：①AM=AD+MC;②AM=DE+BM;③点N为AM的中点；④DE²=ADCM.其中结论正确的是()熟练掌握判定和性质是解题的关键.延长ME交AD的延长线于点E,证明△CME≌△DGE(AAS),判断①②,假设点N为AM的中点，推出△ADN≌△MBN(AAS),判断③,证明△EAD一△MEC,判断④即【详解】解：延长ME交AD的延长线于点G,DE=EC,故④正确；综上所述，正确的是①④,【解答压轴篇】【例21】(25-26九年级上·江西南昌·期中)如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0{a≠0)有等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”,例如，方程x²-6x+8=0的两个根是2和4,则方程x²-6x+8=0就是“倍根方程”.上，求一元二次方程ax²+bx-c=0(a≠0)的根.【分析】(1)设方程的两个根为a,2a,根据一元二次方程根和系数的关系解答即可求解：(2)求出方程的解，再根据“倍根方程”的定义解答即可求解；(3)设方程的两个根为x₁、X₂,且x₁=2x₂,出抛物线的对称轴可得,即得x₁本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，一元二次方程根和系数的关系，二次函数的性质等，理解定义是解题的关键.【详解】(1)解：设方程的两个根为a.2a.(2)解：解方程(x-2)(mx-n)=0,n=m或n=4m,综上，代数式4m²-5mn+n²的值为0;个代数式的“x白反值”.例如，当x=0时，代数式x²-x的值为0;当x=-2时，代数式x²-x的值为2,所【答案】(1)-2,1X₁=-2,x₂=1.(1)关于x的一元二次方程x²-2mx+m²-m-1=0值码”相等，设t=m²+n²-4m+4n+25,求t的最小值.【答案】(1)①0;②-4.【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是(1)①根据“最值码”的定义计算，即可得到结果；②因为关于x的一元二次方程x²-2mx-m²-m-1=0是“全整根方程，可得：△=4m+4是完全平方数，【详解】(1)解：①当m=-1时，方程为x²+2x-1=0中，a=“最值故答案为：0;②∵关于x的一元二次方程x²-2mx+m²-m-1=0是“全整根其中4m+4是完全平方数，且m为整数，且1<m<8,综上所述：该方程的共“最值码”为-4.(2)解：∵一元二次方程x²-(m+2)x+m+1=0的判别式b²-4a(1)多项式9-4x²的“零值”为“对称值”为；“对称值”相同，且多项式x²+bx+c的两个“零值”之比是2:1,求a,b,c的值.关键.t²=9,可求得t=3或t(3)由x²-ax=x(x-a)得a=6,故“对称值”为3.由x²+bx+c的两个“零值”之比是2:1为3,设两个“零值”为21和t可求得t=2,x²+bx+c=(x-4)(x-2)=x²6x+8,即h=-6,c=8.【详解】(1)解：∵9-4x²=(3+2x)(3-2x),当“零值”为=3时，则m=-2t=6,综上，当m=-6,“对称值”为3;当m=6.“对称值”为-3;.∵x²1bxrc的两个“零值”之比是2:1,a=6.b=-6,c=8.【考点22根的判别式与根与系数的关系的综合】【例22】(25-26九年级上·福建泉州·期中)我们知道：如果一元二次方程x²+px+q=0的两个实数根是+px+q=0的两个实数根.请根据以上结论，解决下列问题：【答案】(1)-2【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式.由根的判别式得-4结合c是正数即可求解.【详解】(1)解：由题意知，x₁+x2=-2,故答案为：-2;【变式22-1】(25-26九年级上·江苏扬州·期中)定义：若关丁x的一元二次方程ax²+bx-c=0(a≠0)的两个实数根为x₁,x₂(x₁≤x₂),分别以x₁,X₂为横坐标和纵坐标得到点Q(x1,x₂),(x+1)-√2(k-1)+1的图像上?若有，请求出b、c的值；若没有，请说明理由.(2)0或【分析】本题考查根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论思想.定点(√2-1,√2+1),故方程x²+bx+c=0的“派生点”Q为(√2-1,√2+1),根据x₁<x₂,由根与系数的关系求解.【详解】(1)解：x²-3x=0,解得x₁=0,xz=3,代入得1=5m+1,y=k(x+1)-√2(k-1)+1=k(x+1-√2)+①x²—x=0;②x²-4x-5=0.两个实数根，求出这个差根方程.②(3)根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可；X₁=0,x₂=-3a.所以|0-(-3a)|=1,所以AC+BC=3,所以AC=2,BC=1,则这个差根方程为x²-3x+2=0.【变式223】(25-26九年级上·四川眉·期中)阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1:若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根为x₁,X₂,则x₁+材料2:已知实数m,n满足m²-m-1=0,n²-n-1=0,几m≠n,则m,n是方程x²—x-1-0的两个不相等的实数根.(1)材料理解：元二次方程3x²-6x+1=()两个根为x1,x₂,则x₁+x₂=_,X₁·X₂(2)应用探究：已知两实数m,n满足3m²-m-2=0,3n²-n-2=0,贝值为?(3)思维拓展：已知实数s,t分别满足7s²+29s+1-0,t²+29t+7=0,且st≠I,的值，【分析】本题主要考查分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握相关知识是解决问题的关键.(1)直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案；(2)山题意得出m、n可看作方程3x²—x-2=0的两根，据此将所求代数式变形(3)把t²+29t+7=0,两边同时除以t²得7据此可得实数s和可看作方程7x²+29x+1=0的根，代入计算可得.【详解】(1)解：∵一元二次方程3x²-6x+I=0两个根为x₁,X₂,故答案为：2,(3)解：把t²+29t+7=0,两边同时【考点23一元二次方程的应用】AB=40m、AD=22m,为了管理方便，现要在试验田中间开辟一区(图中阴影部分)总面积为720m².(2)实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益.去年作物总产量为1200千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出.今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低0.1元，总销量可增加20千克.①若今年义卖售价定为7.8元/千克，则作物的总销量为千克，义卖总收入为_元.②若今年义卖总收入预计为9750元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为元/千克.【答案】(1)2米【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及销售问题中的数量关系.理解题意列出正确的数量关系是解题关键.(1)通过设通道宽x,利用平移种植区的方法，得到种植区对应的矩形长和宽的代数式，再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解并检验得到通道宽度.(2)①先计算出售价降低的幅度，再根据“每降低0.1元，总销量增加20千克”求出销量增加量，进而得到总销量，最后根据“总收入=售价×销量”计算总收入即可②设售价为y元/千克，先表示出销量随售价的变化量，再根据“总收入=售价×销量”列出一元二次方程，求解后结合“让购买者得到实惠”的条件选择合适的售价即可.【详解】(1)解：设管理通道的宽为2米，根据题意得(40-2x)(22-x)=720,解得x₁=2,x₂=40(不合题意，舍去)答：管理通道的宽为2米.1240×7.8=9672元；②设义卖售价应定为y元/千克，售价降低了(8-y)元，总销量为[1200+200(8-y)]千克，饼厂接到一笔3200盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工10天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多300盒.(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；(2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了500盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单.经调研发现，若甲组平均舟天每多加工100盒月饼，则甲、乙两组就各白都提前1天完成任务，己知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单?【分析】本题考查列方程(组)解应用题，找到等量关系列出方程(组)是解决问题的关键.(1)设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加Ty盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程(2)设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可.(2)解：设甲组提高工作效率后，平、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得2×(200+150)+(200+100a)(10-2(不符合题意，舍去),答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单.【变式23-2】受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨.如图1,刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格y(元/kg)从第5周的6元/kg下降至第6周的5.6元/kg,y与周次x(5≤x≤7)的关系可近似用函画。②在前六周中，哪一周的销售额w(元)最大?最大销售额是多少?(3)若该蔬菜第7周的销售量是100kg,由丁受降雨的影响，此种蔬菜第8周的可销售量将比第7周减少n%(n>0).为此，公司又紧急从外地调运了5kg此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要销售价格比第7周仅上涨0.8n%.若在这一举措下，此种蔬菜在第8周的总销售额与第7周刚好持平，请通过计算估算出n的整数值.【答案】(1)4,0.7(2)①m=-25y+250;②第2周或第3周销售额最大，最大销售额是624元(2)①利用待定系数法即可求解；②分1≤x≤4和5≤x≤6两种情况讨论，利用销售额=销售量×销售价格，再运用二次函数的性质求解即(3)由题意列一元二次方程计算出n的值，再利用估算法即可求解.【详解】(1)把(1,4.4)代把(5,6)代5得：故答案为：4,把(4.4,140),(6,100)代入得：m-10x+150.综上所得：第2周或第3周销售额最大，最大销售额是624元；(3)由题意得：[100(1-n%)+5]×5(1+0.8n%)=5×100,通车道(1)求停车位的宽.(2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段(12小时)车位全满，平峰时段(12小时)使用率50%.现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低5%a(因涨价导致部分车主选择其他停车场),若调整后日均利润为9208元，求a的值.【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及矩形面积公式和利润的计算.分析边长的组成关系，根据价格调整后的使用率变化建立等量关系是解题关键.【详解】(1)解：设停车位的宽为xm.则停车位的长为(x+3)m,通车道宽为2xm,停车场的长为15xm,(2)解：∵价格上涨后，停车场收费(a-8)元/小时，平峰时段收费为56×(0.5-0.05a)×12×(a+8)元，a=2.答：a的值为2.【考点24二次函数中的定值问题】【例24】如图1,已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C,顶点为点(2)点E是点D关于x轴的对称点，经过点A的直线y=mx+1与该抛物线交于点F,点P是直线AF上的一个动点，连接AE、PE、PB,记△PAE的面积为S₁,△求出这个定值：如果不是，请说明理由.(3)如图2,设直线AC与直线BD交于点M,点N是直线AC上一点，若∠ONC=∠BMC,求点N的坐标.【分析】木题主要考查了二次函数与图形，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与图形的综合，相似三角形的判定和性质是解题的关键，的面积，再求比值即可：【详解】(1)解：由题意可得，(2)解：由(1)知抛物线的解析式为：y=x²-2x-3=(x-1)²-4,解得，曲联【变式24-1】(25-26九年级上·安徽芜湖·期中)已知抛物线y=ax²-2x(a为常数，且a≠0)的顶点纵坐标与抛物线y=-x²+2x的顶点纵坐标相等.且k≠0),是一个与x₂无关的定值，求该定值及k的值.【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，最值的计算，理解题意，掌握二次函数图象的性质是