福建厦门市某中学2025-2026学年八年级上学期1月综合性数学试题【含答案】

2025-2026学年八年级（上）1月综合性数学试题

一.选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分.每小题都有四个选项,

有且只有一个选项正确）

I.一个三角形的两边长分别为3和8,则它的第三边长可能是（）

A.5B.12C.9D.无法确定

2.计算（-2厂的结果是（）

A.——B.—C.8D.16

1616

3.下列计算，结果正确的是（）

A.a2-ai=a'B.（/）=a'C.(aZ>)3=abyD.a1-s-a3=a

4.将百角三角板和直尺按照如图位置摆放,若Nl=58。.则/2的度数是（)

D.58°

A.76B.不c.y/nD.V24

6.疫情防控期间，某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一•批口罩.随着

疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购

买了一批口罩，购买的数量与第一次购买的数量相等，设第一次每包口罩为x元，可列方程

为（）

16000「100006000

xx-10xx+10

c100006000n100006000

xx-10•x+10x

7.老师在黑板写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式,

形式如图：3x-l=--5x，则所捂的二次三项式为（）

2222

A.x-2x+\B.x--1C.x+2JT-1D.x+8.r+1

试卷第1页，共6页

8.如图，在等腰三角形月“中，=点。为4E右侧一点，连接4。，BD,DE,

点C是8。上一点，连接力C,AC=AD,若NBAE=NC4D,Zl+Z2+Z3=100°,则N3

的度数为()

A.60°B.55°C.50°D.45°

二.填空题(本大题有8小题，第9、14题每空2分，其余每小题4分，共32

分)

9.计算：

(1)(2x4y2Ix3/):x^y-=；

(2)(12/-8/+4力(-旬=.

1().在平面直角坐标系xOy中，点力(1,-3)关于y轴对称的点的坐标为.

11.如图，已知在中，ZC=90°,ZJ=30°,8C=1.5cm,则48=汕.

12.已知三个数mb,c,任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三

个结果q,b、,G，称为第一次操作；按照上述方法对4,4,。再进行一次操作，可得到

三个结果。2，4，C2,称为第二次操作；……，以此类推，第〃次操作后得到三个结果记

为〃"，”，c”.给出下列说法：

(1)若a=5,b=\,c=-2,则％,4，G三个数中最大的数是8；

24

②若a=3x,b=5,c=2,当外,4,。中最小值为1时工=-鼻或］或2；

③对于三个数。=3工-4,b=-x+2,c=-2x+3,第10次操作后的结果%°,狐，%,满

试卷第2页，共6页

足6o+%+Go=1:

④对于三个数〃=x,b=y,c=3（3<y<x,且x,y为整数），若丹,瓦,G三个数中最

大者与最小者差为10,则》的值共有4个.

其中正确的个数有一个.

13.在△力中，N8=120。，BC=6,CD=2BD,40为A/14C的角平分线，在力。上取

一点E,使得BD=DE,则。上的长为.

14.如图，已知NMON,在边ON上顺次取点，，4，E…，在边。W上顺次取点6，E，

R…,使得。A===得到等腰AOAE，4OP\PKAOPRR，

△。WG…

（2）若按照上述方式操作，得到的最后•个等腰三角形是△EEM，则/M0N的度数X的

取值范围是.

15.如图，把一张长方形纸片沿力8折叠，若Nl=60。，则N2的度数为

16.如图，把高度11cm的同种杯子叠在一起，2个的高度是13cm,3个的高度是

15cm,……呈现一定的规律.由此推断，〃个杯子叠在一起的高度是cm.

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(1)A/8+2(>/4-5/3j+|V3->/2|+A/27；

(2)(>/5+V2-V2j+yj(-3)2；

18.已知：如图，点8,F,C,E在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BF=EC.

求证：AB//DE.

证明：•••〃产二七。，

BF+_=EC+_,

EC

在6ABC和4上尸中,

AB=DE

"C=()，

8C=()

：sABCA_(_),

:.Z.B=_»

AB//DE.

(7v-9\r2-9

19.先化简，再求值卜+J——卜土「，其中x=-5.

20.化简：5x2-2»-3«；》-5X)-6*2+(x-y)(x+2y)

21.先阅读下列材料，然后解题：

试卷第4页，共6页

材料：因为(工-2)"+3)=/+工一6,所以(J+x-6)+(x—2)=x+3,即/+》一6能被x-2

2

整除.所以x—2是/+x-6的一个因式，且当工=2时，X+A-6=0.

(1)类比思考(X+2)(X+3)=/+5X+6,所以(X，+5X+6)+(X+2)=X+3,即/+5^+6能被

整除，所以是/+5彳+6的一个因式，且当x=时，X2+5X+6=0;

(2)拓展探究：根据以上材料，已知多项式1+»-14能被x+2整除,试求加的值.

22.如图，已知点尸是“48C的平分线.匕一点，点M是射线8c上一点(异于点8),连结

MP.在射线84上用尺规作图的方法找一点N,使ABPN咨ABPM.卜面有两种作图方法：

小明说：“以4为圆心、外/长为半径作弧，交射线84于点N,连结.PN,则

△8PN也△8PM.”

小东说：“以尸为圆心、长为半径作弧，交射线B力于点N,连结PN,当/PA/8的大小

满足一定条件时，可得”

(1)请你按照小明的方法作出图形，并证明△8PNg:

(2)你认为小东提出的条件应该是(选出所有正确的序号)

①/PMB=9Q。@0°<ZPMB<90°③/尸MB>90。

©NPMB<2PBM⑤/PMB>ZPBM.

23.小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的部分信息做了调杳,

如下表(续航里程是指在满也或满油状态下最大行驶里程.)：

燃油车新能源车

油箱容积：40升电池电量：90千瓦时

油价：7.5元/升电价：0.6元/千瓦时

续航里程：。千米续航里程：。千米

每千米行驶费用：一元每千米行驶费用：一元

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(1)用含a的代数式表示表格中每千米行驶费用；

(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.41元，分别求出这两款车的每千米行驶费用.

24.如图1,将一副三角校按图中所示位置摆放，点尸在直线力C上，且〃/IC,DF与

力〃相交于点G,其中4c8=90。，乙48。=60。，ZBAC=30°,ZEFD=90°,

NDEF=NEDF=45。.

备用图备用图备用图

⑴求此时/OG4的度数：

(2)若三角板。底尸绕尸点按顺时针方向旋转，当时，求此时/。口的度数；

(3)在(2)的前提下，三角板绕尸点按逆时针方向以每秒3。的速度旋转，设旋转的时

间为，秒，当0</<65时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板OE厂的某一条边与48平

行的情况？若存在，请求出所有满足题意的，值；若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】此题主要考杳了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边之差，而

小于两边之和是解决问题的关键.

根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第

三边的取值范围.

【详解】解：•••此三角形的两边长分别为3和8,

・•.第三边长的取值范围是：8-3＜第三边＜8+3.

即:5〈第三边＜11,

观察选项，只有选项C符合题意.

故选：C.

2.B

【分析】本题考杳负整数指数幕的运算，需运用负整数指数幕的性质进行计算.

【详解】解：（一2）4=云广/

故选：B.

3.A

【分析】根据同底数鬲的乘法可判断A,根据幕的乘方可判断B,根据积的乘方可判断C,

根据整数指数幕的运算可■判断D,从而可得答案.

【详解】解：运算正确，故A符合题意；

（/）』,原运算错误，故B不符合题意;

（时=/1式原运算错误，故C不符合题意；

原运算错误，故D不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查的是同底数昂的乘法，哥的乘方，积的乘方，同底数累的除法运算，负整

数指数幕的含义，整数指数暴的运算，熟记运算法则是解本题的关键.

4.A

【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用.

由平行线的性质可得44。=/1=58。，再由三角形的外角性质即可求解.

【详解】解：如图，

答案第1页，共15页

ZJCD=Z1=58°,

•••ZACD是.CQE的外角，ZE=30°,

Z2=Z/fCD-ZE=28°.

故选：A.

5.B

【分析】本题考查了二次根式的性质、及同类二次根式，根据二次根式的性质及同类二次根

式的定义逐一判断即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

【详解】解：A、指与庭不能进行合并，故不符合题意；

B、瓜=2五,则能与0进行合并，故符合题意;

C、712=275,则不能与正进行合并，故不符合题意;

D、囱=2指，则不能与行进行合并，故不符合题意;

故选B.

6.C

【分析】根据两次购进口罩单价间的关系可得出第二次购进口罩时口罩的单价，再利用数量

=总价+单价，结合两次购买的数量相同，即可得出关于x的分式方程.

【详解】解：••・第二次购进口罩时每包口罩下降10元，且第一次购进口罩时每包口罩x元,

二第二次购进口罩时每包口罩（x-10）元.

，・»丸用100006000

依题意得：-----=--

xx+10

故选：C.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系、正确列出分式方程是解答本题的

关键.

7.A

【分析】本题主要考查了整式的加减，由题意可知：所的二次三项式是个加数，根据加数=

答案第2页，共15页

和一另一个加数，列出算式，进行化简即可；

【详解】由题意得：X2-5X-(-3X-\)

-x2-5x+3x+\

=jr2-2x+l,

•••所捂的多项式为:X2-2X+\;

故答案为：A

8.C

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质.证明△/CB丝△/QE(SAS),得到

Zl=AABC,进而可知/3=/1+/2,即可得到/3的度数.

【详解】解：=

NBAC=N2,

在△力。4和△?1£)£：中，

AB=AE

,ZBAC=Z2,

AC=AD

△力CBg△力QE(SAS),

Zl=Z.ABC,

•••Z3=/BAC+NABC,

Z3=Z1+Z2,

Zl+Z2+Z3=100°,

AZ3=50°,

故选：C.

9.2x+y-3储+2/_1

【分析】(1)根据多项式除以单项式的运算法则计算即可求解；

(2)根据多项式除以单项式的运算法则计算即可求解；

本题考查了多项式除以单项式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键.

【详解】解：(1)原式=2.//+//+//+//=2工+»,

故答案为：2x+y；

(2)原式-12a，+(-4a)-8a；(—4a)+4a4a)——+2a2—1,

答案第3页，共15页

故答案为：-3/+2/-1.

10.(-h-3)

【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键.根据

对称性质，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变即可求解•.

【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于卜轴对称时，其横坐标互为相反数，纵坐标不

变.点力(1,-3)关于y轴对称的点坐标为(-1,-3).

故答案为：(-L-3).

11.3

【分析】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对直角边等于斜

边的一半是解题的关键.

根据百角二角形的性质得力8=2BC,据此求解即可.

【详解】解：vZC=90°,ZA=30°,5C=1.5cm,

.•./8=28C=2xL5=3(cm)

故答案为：3.

12.3

【分析】根据定义，计算得4=5,b=l,c=-2,最大的数是，(5+1)-(-2)=8,可判断

①正确；

当3x+5-2=l时，当3x+2-5=l时,当5+2-3，=1时,解答即可判断②；

根据3<y<x,得到最大数是x+y-3；最小数是y+3-x,根据题意，得

(x+y-3)-(y+37)=10,得x=8,于是的得到了3<y<8,根据歹为整数，得到符合题

意的y值有4,5,6,7,有4个，可以判断④正确；

③对于三个数a=3x-4,b=-x+2,c=-2x+3,计算确定规律，可判定第10次操作后的

结果。10，b%,Go,满足。io+b[o+。]()=1的正误；

本题考查了新定义问题中的整式的加减计算，熟练掌握定义，正确列式解答是解题的关键.

【详解】根据定义，当。=5,b=T,c=-2t最大的数是，(5+1)-(-2)=8,

故①正确；

24

当3x+5-2=l时，解得工二-.；当3工+2-5=1时，解得工=可；当5+2-3x=l时，解得

答案第4页，共15页

22

x=2；当x=-§时，-2-2-5=-5*1,工=-彳不合适;

判断②错误;

•••3<y<x,

二最大数是x+y—3；最小数是y+3—x,根据题意，得(x+y—3)—(j，+3—x)=10,得x=8,

二3vyv8,

根据y为整数，得到符合题意的尸值有4,5,6,7,有4个，

故④正确；

对于三个数。=3x-4,b=-x+2,c=-2x+3,

得。+b+c=—x+2+3x—4—2x+3=1,

计算，得％+4+G=a+方+°=l,a2+b2+c2=a+b+c=\,%+&+q=a+Z)+c=1,由此

可得第10次操作后的结果，o，瓦0,cl0,满足।6Klicio=1，

故③正确；

故答案为：3.

13.拒-］或后+1

【分析】分为两种情况：①如图，作QEKC于尸，£HJL.48交48的延长线于点〃，则

zero=Z/7=90°,证明RaD/E丝RtAO〃B(HL),所乂EF=8H,求出8Q=2,CD=4,

通过直角三角形性质可得以由勾股定理得

DF=DH=\lBD2-BH2=>/22-12=VJ，CF=ylCD2-DF2=^42-(7?)2=713,然后利用

CE=b-E/=JB-1即可求解；②如图，当位于用时，同①即可求解.

【详解】解：①如图，作。尸14C于此。交的延长线于点〃，则

ZCro=Z77=90n,

力力为△力8。的角平分线,

NCAD=NBAD、DF=DH,

答案第5页，共15页

在RtADFE和中，

{DE=DB

[DF=D1I'

Rt△。尸EgRsOHB(HL),

:.EF=BH,

BC=CD”D=6,CD=2BD,

2BD+BD=6,

/.BD=2,CD=4,

乙4BC=4BDH+/H,乙4BC=120°,ZH=90°,

/.NBDH=/ABC—/H=30°,

,\EF=BH=-BD=\,

2

：.DF=DH=ylBD2-BH2=A/22-12=73»

:.CFZCD?-DF2="_(百j=用，

；.CE=CF-EF=4^-T；

②如图，当位于其时，同理可得：CE、=CF+E\F=BT,

故答案为：拒-1或JT5+1.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股

定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键.

14.△62615°<x<18°

【分析】（1）由==得/4鸟鸟=60。，于是/。？6=90。，故乙不存在,

得解；

（2）如图，运用等腰三角形两底角相等，三角形外角知识，得N&巴E-NRAM—5x,

答案第6页，共15页

/NGE=NMON+N6EM=6x,最后一个等腰三角形是△巴，则乙*凡=6x290。且

/串环=5X<90。，解得，I5°<x<l8°.

【详解】ft?：(1)・：OP、=PR=PE，

/0恰=NO=30。，464=/鸟66=60。.

.•.“RA=60。

.♦.NO鸟A=90。.

.•.△44E不存在.

二得到的最后一个三角形为△464；

故答案为：△446；

(2)如图，4MON=MPmPFR=2x、

••,OP\=P\Pz=PF\=P3P4=P4Ps=…

:"PF0=4M0N+NgE/=3x;4A2="巴A=3x.

/乙乙乙=/用居=乙MON+/乙乙乙=4x.

:.=Z.MON+N名［A=5x.

；.NR9H£=5x

:.NNgR=4MON+/6利=6x

要得到的最后一个等腰三角形是△R6K，则

4NPa=6x>90°且NRP£=5x<90°

答案第7页，共15页

【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形外角知识，根据等腰三角形底角变化确定三角形

形状变形是解题的关键.

15.60

【分析】该题考查了翻折变换的性质及其应用问题.根据题意得出Z1=60°,

确定/3=/1=60。,/4=180。-/1=120。，得出/4=/3-/2,据此计算即可求解.

【详解】解：如图所示：

由题意知：AD〃BC,21=60°,

...Z3=Z1=60°,Z4=18O°-Z1=I20°.

由折叠可得/4=N3+N2,

.•.Z2=Z4-Z3=120°-60°=60°,

故答案为：60.

16.(9+2〃)

【分析】本题主要考查了图形类规律题.根据1个、2个、3个的高度，可得到规律，即可

解答.

【详解】解：1个的高度是11cm,

2个的高度是13cm=(ll+2)cm,

3个的高度是15cm=(1l+2x2)cm,

二〃个杯子叠在一起的高度是H+2(H-1)=(9+2〃)cm.

故答案为：(9+2〃).

17.⑴7-6+五

(2)6

【分析】此题主要考查实数与二次根式的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则.

(1)首先计算平方根、立方根、绝对值，后算加减即可；

答案第8页，共15页

（2）首先计算乘法、开平方，后算加减即可.

【详解】（I）解：&+2（4-百）+|石一加|+历

=2&+4-2肉6-收+3

=7—V3+5/2；

（2）解：（石+正）（石-正）+J（-3）2

=（扃一（可+|—3|

=5-2+3

=6.

18.FC,FC,EF,DF,EF,GEF,SSS,NDEF

【详解】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，由等量代换得4C=E产，证

明△48。丝△。£/"彳导NB=NDEF,再由平行线的判定求证即可.

证明：••♦8F=EC,

:.BF+FC=EC+FC,

:.BC=EF,

在AABC和4上尸中，

AB=DE

<AC=DF,

BC=EF

：."BC学ADEF（SSS）,

•••N8=NDEF,

AB//DE.

故答案为：FC,FC,EF,DF,EF,tDEF.SSS,NDEF.

【分析】本题考查分式的化简与求值，根据分式的运算法则正确地对分式进行化简是解题关

键.

首先根据分式的运算法则.进行化简，然后把x=-5代入化简后的算式计算即可得到解答.

【详解】解：...原式=>+x-7x+9x

xX2-9

答案第9页，共15页

_(工-3)、x

x(x+3)(x-3)

_x-3

x+3

•••当x=-5时，原式=:：=g=4.

-5+3-2

20.-3x2-2y2

【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键.先计算单项式乘多项

式和多项式乘多项式，再去括号、合并同类项计算即可.

【详解】解：5x2-2.^-3x|-6x2+(x-y)(x+2y)

=5x?-(2岁-孙+15--6x2^+(^x2-xy+2xy-2y~)

=5.r2-2xy+xv-15x2+6x2+x2-xy+2xy-2y2

=(5x2-\5x2+6x2+x2>j+(-2xy+xy-xy+2xy)-2y2

=-3x2-2y2.

21.(l)x+2或x+3；x+2或x+3；-2或-3；

(2>=-5.

【分析】(1)根据材料结合整式的乘除运算可直接得出答案；

(2)根据整式除法的运算法则结合材料可知，当x=-2时，/+〃~-14=0,即可求出机

的值.

【详解】(1)解:v(x+2)(x+3)=x2+5x+6,

.-.(x2+5x+6)+(x+2)=x+3,

•••/+5x+6能被x+2或x+3整除，

.•4+2或人+3是『十5x+6的一个囚式，且当尤二-2或一3时，x'+5工十6=0;

故答案为：x+2或x+3；x+2或x+3；-2或-3；

(2)•.・多项式/+〃江一|4能被工+2整除，

•••X+2是+rnx-14的一个因式，

当X二一2时，x2+zwx-14=0,BP4-2w-l4=0,

【点睛】本题主要考管:了整式的乘除运算，正确埋解材料中的方法并能灵活运用是解题的关

答案第10页，共15页

键.

22.⑴见解析

⑵①④

【分析】本题考查了用SAS证明三角形全等（SAS）,作角平分线（尺规作图）等知识，解题

关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解.

（1）根据题意作出，并用SAS证明△8/W丝△8PM；

（2）根据所给的条件，逐一画图作出说明，再作出判断.

【详解】（1）解：如图，

证明：•••4P平分//8C,

：.4NBP=ZMBP,

又BN=BM,BP=BP,

:.△BPNWABPM（SAS）；

（2）当NP"8:90。时，圆弧与—/8C的两边相切，

所以N为唯一的点，故①符合；

当0。</月08<90。时，如图，以尸为圆心、长为半径作弧，交射线84于两个点，故②

不符合；

当NP.M?>90。时，如图，以P为圆心、门”长为半径作弧，交射线历1于两个点,

故③不符合；

答案第11页，共15页

A

BMC

同样有N为唯一的点,

故④符合:

当时，都有如图，以尸为圆心、长为半径作弧，交射线历/

于两个点,

故⑤不符合;

故小东提出的条件应该是①④,

故答案为：①④.

—,30054

23.(1)---,—

aa

（2）燃油车每千米行驶费用为0.5元，新能源车每千米行驶费用为0.09元

【分析】本题主要考查了列代数式、分式方程的应用等知识点，审清题意、明确量之间的关

系是解题的关键.

（1）根据每千米行驶费用为：总费用除以续航里程列代数式即可:

（2）根据等量关系“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.41元”列分式方程求解即可.

答案第12页，共15页

【详解】(1)解：根据题意得：燃油车每千米行驶费用为至利=出元;

aa

新能源车每千米行驶费用为竺出二四元.

aa

.公30054

故答案为：一，—