第19章 二次根式（章节复习检测基础卷）解析版-2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版数学八年级下册章节复习闯关自测卷（新教材）

第19章二次根式•基础通关

检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.48

一.选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目

要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）

1.（25-26八年级上-辽宁沈阳-期末）下列运算正确的是（）

A.V5+V5=3B.4V5-V5=4C.+&=4D.V3xV2=V6

【答案】D

【思路引导】本题考查二次根式的运算性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

根据二次根式的乘除和加减法则，需逐一验证各选项的正确性.

【规范解答】解：・・・6・百=1W3,・•・A错误；

V4V5-V5=3V54,:.B错混；

•・•相+我=V8T2="=2工4,工C错误；

V^xV2=V3V2=V6,JD正确；

故选:D.

2.（25-26九年级上-四川宜宾•月考）在下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.聆B.y/a2+b2C.\/m2nD.V48

【答案】B

【思路引导】本题考查了最简二次根式，根据被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根

式是最简二次根式，逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键.

【规范解答】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式；

B、被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式；

C、被开方数含开得尽方的因式〃J,不是最简一.次根式；

D、被开方数含开得尽力的因数16,不是最简二次根式；

故选：B.

3.（25-26八年级上•北京房山-期末）下列各组二次根式是同类二次根式的是（）

A.a与gB.够与V5C."与我D.遍与百

【答案】B

【思路引导】本题考查了同类二次根式.根据同类二次根式的定义进行判断即可.

【规范解答】解：A、V12=V4V3=2V3,g与&不是同类二次根式，故该选项不合题意；

入Jl=*够与遍是同类二次根式’故该选项符合题意；

C、V5=2,V8=V4x2=2^2,V5与我不是同类二次根式，故该选项不合题意；

I)、后与旧不是同类二次根式，故该选项不合题意.

故选:B.

4.(25-26八年级上•湖南常德•期末)若工<—5,化简：y/(x+5)2-y/(x+2)2=()

A.-3B.2%+7C.2%+3D.3

【答案】A

【思路引导】本题考查二次根式的化简，需利用后=间的性质，结合已知％<-5判断绝对值内式子的正

负，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号进行计算.

【规范解答】解：Vx<-5,

••・x+5<0,x+2<0,

:.、/(x+5尸=|x4-5|=-(x+5')=-x-5,y](x+2)2=|x+2|=-(%+2)=-x-2,

则原式=(-x-5)-(-%-2)

=-x-5+x+2

=-3.

故选：A.

5.(25-26八年级上-上海普陀・期末)下列二次根式中，与痴(a>0)是同类二次根式的是()

A..；B.鬲C.J|；1).舟.

【答案】C

【思路引导】本题主要考查同类二次根式的定义，根据同类二次根式需化简后根号内的被开方数相同，将

各选项化为最简二次根式后比较被开方数即可.

【规范解答】解:A、痴=2G，被开方数为Q,与伍的被开方数2a不同，不符合题意；

B、y/8a2=2aV2,被开方数为2,与2a不同，不符合题意；

C、电=亨，被开方数为2a,相同，符合题意；

。、耳=苧，被开方数为6Q,与2a不同，不符合题意；

故选：C.

->-

6.(24-25七年级上•广西桂林•期末)化简：(JfR+J(t-3)2的结果是()

A.5-2xB.5C.2%-5D.-2x-1

【答案】A

【思路引导】根据二次根式有意义的条件，二次根式的性质.根据二次根式有意义的条件可得％W2,从而

得到％-3V0,再根据二次根式的性质化简即可求解.

【规范解答】解：根据题意得：2-x>0,

••x<2,

x-3<0♦

2-

•**(V2—%)+4(x-34

=2—x+|x-3|

=2—x+3—x

=5-2x

故选：A

7.[25-26八年级下•全国•课后作业)设a=a,遮=%则再用含有a,b的式子可以表示为()

A.3ab2B.3a2bC.3a2b2D.3ab

【答案】D

【思路引导】本题考查了二次根式的化简，掌握将被开方数分解为含已知二次根式的因数，再用字母替换

对应二次根式是解题的关键.

将回分解为回行，简化后得到3灰，再代入Q和b表示加和6.

【规范解答】解：V54=V9x6=V9xV6=3遍，

♦:瓜=V2V3=V2xy/3=ab,

\^54=3ab.

故选:D.

8.(25-26九年级上•四川宜宾•月考)已知a,b为实数，且满足而方+(b+3/=0,下列运算结果正确

的是()

A.2y[a+3Vb=Sy/aVbB,y/(b-a)2=±(b-a)

C.V8a4-V2a=2I).J(Q-4)(b-9)=xVFW

【答案】C

【思路引导】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，正确掌握非负性的性质得到反。的值是解

题的关键.

先根据++3）2=0,得出。=2/二一3,再逐项分析，即可作答.

【规范解答】解：•・•布=1+（6+3）2=0,且而方20,（6+3尸20,

G—2=0,b+3=0,

解得a=2,b=-3,

A.*.*/?=-3,.*.3Vb=3-7=^3,此时算式无意义，故不正确：

B.a=2,b=—3,.*./?—a=-3—2=-5<0,—a）2=一（b—a）,故不正确：

C.Va=2,/.V8a-e-V2a=V164-V5=44-2=2,故正确；

1）.a=2,b=—3,.*.a—4=-2<0,d—9=-12<0,—4x7b—9无意义,故不正确；

故选：C.

9.（25-26八年级下•全国•周测）实数a,b对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简Q-（师加了的

结果是（）

----1---------------1-----1------>

a0b

A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b

【答案】A

【思路引导】本题考杳了二次根式的性质与绝对值的化简，掌握二次根式化简，及根据数的符号化简绝对

值是解题的关键.

先从数轴确定a、b的符号及a+b的正负，再利用二次根式的性质化简（M国产，最后结合绝对值的化简

规则计算式子结果.

【规范解答】解：由数轴可知，aVO，b>0,且|a|>b,因此a+bVO,

故M+力|=—（a+b）,

,•Q|a+8|）2=\a+b\f

:.原式=a—\a+b\

=a—[—（a+b）]

=a+a+b

=2a+b.

故选：A.

10.（25-26八年级上•重庆・期末）估计（2百+&）的值应在（）

A.6和7之间B.7和8之间C.8和9之间D.9和10之间

【答案】C

【思路引导】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算.

先计算（2遥+或）x&,得到2国+2,然后通过估计"U的值确定范围

【规范解答】解：（2V5+V2）xV2=25/5xV2+V2xV2=2^/10+2,

V3.12=9.61<10,3.22=10.24>10,

A3.1<710<3.2,

A6.2<2/10<6.4,

A8.2<2710+2<8.4,

・,・值在8和9之间.

故选：C.

填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）

11.（25-26九年级上•内蒙古通辽«开学考试）已知y=-万V+3,则.

【答案】8

【思路引导】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大

于或等于0,据此可求出x的值，进而求出y的值，再代入求解即可.

【规范解答】解：•.•式子y=+3有意义，

•（X-2>0

eet2-x>0，

解得％=2,

・・・y=V2^2-V2^2+3=3,

=23=8,

故答案为：8.

12.（23-24八年级上•上海金山•月考）如果一个长方形的面积是同，它的长是2百，则它的宽

是.

【答案】平

【思路引导】本题考查二次根式的应用，根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，因此宽等于面积除以

长.

【规范解答】解：宽=痴+2遥=黑=得博=碧=乎=孚

故答案为：邛.

13.（25-26八年级上•湖南长沙•月考）实数a"在数轴上的位置如图所示，则化简后+\b-a\=.

W~0

【答案】b-2a

【思路引导】本题考查数轴的应用，二次根式的化简，绝对值的化简，根据数轴判断字母的符号是解题关

键.

根据数轴可知，。<0,匕>0,据此进行化简即可.

【规范解答】解：根据数轴可知，a<0,b>0,则b-Q>0,

+\b—a\=—a+b—a=b-2a.

故答案为：b-2a

14.（25-26八年级下・全国・周测）若V5xVT8=V3xa\[2=a\[B,则Q-2b=.

【答案】-9

【思路引导】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键.

通过简化根式乘法运算，比较等式两边系数和根号内值，求出。和b的值，再代入计算表达式.

【规范解答】解：x/3x=J3x18=V54=\/9x6=3几，

又vx/3xaV2=a瓜,

:.aV6=3瓜,

解得：a=3,

又va\[b=3A/6,

•••\/b=V6,

解得：b=6,

a-2b=3—2x6=3-12=—9,

故答案为：—9.

15.（25-26八年级上•河北邯郸•期末）已知a、氏c在数轴上的位置如图：化简后-|a+b|+J（c-b）2

的结果为.

।111A

ab0c

【答案】c

【思路引导】本题考查了根据点在数轴上的位置比较大小、绝对值的化简、二次根式的性质、整式的加减

运算，根据点在数轴.1:的位置，推出a+bVO,c-b>0,再化简绝对值，根据二次根式的性质进行化简，

最后根据整式加减运算法则计算即可.

【规范解答】解：•・•ab,C在数轴上的位置如图所示,

/.G<b<0<c,

*/G4-b<0»c-b>0,

:.-\a+b\+J（c-b）2=-a-（-a-b）+c-b=-a+a+b+c-b=c,

故答案为：c.

16.（24-25九年级上•江苏南通•自主招生）若正实数m满足而一白二？/，则相+工=

【答案】

V6

【思路引导】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，灵活应用完全平方公式是解题的关犍.结合已

知利用完全平方公式进行变形求得（血2++）1进而得到m2+白的值，然后再次利用完全平方公式进行变

形，求得（m+J，即可得解.

22

【规范解答】解：（血？++）=（7n2_壶）+4=（2V3）+4=16,m+-^>0,

:.M+*=4,

2

•••（m+A）=m?+++2=4+2=6,

•••m为正实数，

m+—>0,

m

A771+—=V6.

m

故答案为：V6.

17.（25-26八年级上•全国•期末）若a=3+2或，b=3-2&,则代数式M-3ab+炉的值为.

【答案】31

【思路引导】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的逆用及整体代入法，由已知条件，先计算a与8

的和与积，再利用代数恒等变形求值.

【规范解答】解：・・・a=3+2&,b=3-2^2,

・・・a+b=（3+2V2）4-（3-2V2）=6,泌=（3+2⑨（3-2夜）=32-（2可=9-8=1,

则G?-3ab+b2=（a2+b2）-3ab=[（a+d）2-2ab]-3ab=（a+b）2-Sab,

代人得：62-5x1=36-5=31.

故答案为：31.

18.（25-26八年级上•河南开封•期末）将式子（。为正整数）化为最简二次根式后，可以与我合

并.所有符合条件的a的值的和为

【答案】80

【思路引导】本题考查了二次根式的化简计算，同类二次根式的概念，二次根式有意义的条件，解决本题

的关键是对完全平方数以及同类二次根式的理解.

先化简我，令35-Q=2M,根据符合条件的〃的值，再求解出a的值即可.

【规范解答】解：•・•我=2近，

又1•式子V5-（Q为正整数）化为最简二次根式后，可以与遮合并.

则、“"化简后是攵鱼，其中k为整数，

即35-a可以转化为2乘以一个平方数，

令25—a=2/（九为正整数），UJiJa=35—2n2,

又35-2n2>0,解得M<17.5,

・•・满足条件的〃的值为1,2,3,4,

当他=1B寸，a=35—2x尸=33,

当八=2时，a=35-2x22=27,

当ri=3时，0=35-2x32=17,

当九=4时，a=35-2x42=3,

・••所有符合条件的Q的值的和为33+27+17+3=80.

故答案为：80.

三.解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）

19.（本题6分）（25-26八年级上•辽宁大连•期末）（1）计算：（6+1）（百一1）+旧一针；

（2）计算：x（x+2）+（x-l）2.

【答案】（1）1+2在；（2）2X2+1

【思路引导】本题主要考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，零指数辕，正确计算是解题的关键.

（1）先根据平方差公式去括号，然后化简二次根式和计算零指数哥，最后计算加减法即可得到答案；

（2）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案.

【规范解答】（1）解：原式=3-1+2在一1=1+2伤；

（2）解：原式=x2+2x+x2—2x+1=2x2+1.

20.（本题6分）（25-26八年级下•全国•课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较早与:的大小.解

法如下：

屈-22_旧-2-2_届T

解：~33-3_—3~.

v42=16<19,V19>4,...o,...

333

我门把这种比较大小的方法称为作差法.请根据以上材料，利用作差法比较实数工亘号-:的大小.

44

【答案】上/〉一:

【思路引导】本题考查了二次根式的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键.

将两数相减，差与。比较大小，从而得到原数的大小.

【规范解答】解.：匕咨一（一：）=二警=匕咨.

v42=16>13,

4>V13,

A4-V13>0,

.3>0,

4

.•3〉一

44

21.（本题8分）（25-26八年级上•江苏宿迁♦期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域ABCD（如图）,

该区域的长8。为6百米，宽48为、国米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长

为（28一1）米.

（1）求该长方形文化长廊区域4BCD的周长；（结果保留根号）

（2）除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元/平方米，则购买装

饰画需要花费多少元？（结果保留根号）

【答案】（1）该长方形的文化长廊区域A8CD的周长为2075米

⑵购买装饰画大约需要花费（590+40g）元

【思路引导】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键.

(1)利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可；

(2)长方形面积减去小正方形面枳求出装饰画面积，乘以单价即为所求.

【规范解答】(1)解：由题得，2(673+V48)

=2(673+4V3)

=20V3(米)，

答：该长方形的文化长廊区域ABC。的周长为20怖米；

2

(2)解：由题意得，其余区域的面积为6百x通-(2g-1)

=68x473-(12-4V3+1)

=24x3-(13-473)

=72-13+473

=(59+4W)平方米，

，总花费为10X(59+4V3)=(590+406)元，

答：购买装饰画大约需要花费(590+4075)元.

22.(本题8分)(25-26八年级下•全国•课后作业)如图，在Rt△ABC中，NC=90°,直线DE是线段48

的垂直平分线，连接8E.

(1)若=35°,则4BE的度数为_____.

(2)若4=30°,△8CE的周长为15+5百，求△48C的面积.

【答案】(1)20”

⑵.

2

【思路引导】(1)利用垂直平分线性质得出41=E8,从而得到等腰三角形力£氏推导出48/1=4再利

用直角三角形两个锐角互余求出4BC,最后通过角度的加减关系求得NCBE.

(2)利用垂直平分线性质和30°角的条件，推导出NC8E=30°,在RtaBCE中，利用30°角直角三角

形的性质，设未知数表示三边，根据周长列出方程求解未知数，进而求出A/IBC的两条直角边的长度，最后

计算其面积.

【规范解答】（1）解：•••DE是线段力B的垂直平分线

*'•EA=EB

:.ZEBA=4=35°

在RtA4BC中，4=90°,4=35°

•••/ABC=90°-〃=90°-35°=55°

•••/CBE=/ABC-ZEBA=55°-35°=20°.

（2）解：•••NC=90°,4=30°,

/ABC=60°.

•••OE是线段88的垂直平分线，

EB=EA,

ZARE=4=30°,

•••NCBE=30°,

BE=2CE.

设CE=x,贝ij8E=2x,

:.BC=y/BE2-CE2=Gx,

•••3x+V3x=15+5A/3,

x5»

ACE=5,BC=5百，EA=EB=10,

AC=CE+EA=15,

ABC的面积=-2AC-BC=—2.

【考点剖析】本题考查了直角三角形性质、线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、勾股定理和三角形面

积公式，掌握利用垂直平分线性质构造等腰三角形并结合特殊角度的直角三角形性质求解边长是解题的关

键.

23.（本题8分）（25-26八年级上•河北石家庄•期末）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为

48cm2和50cm2的两个小正方形木料..

（1）裁去的两块正方形木料的边长分别为________cm和________cm；

（2）求剩余木料（阴影部分）的面积；

（3）如果木工想从剩余的木料中裁出长为7cm,宽为1.5cm的长方形木条，最多可以裁出________块这样的

木条.

【答案】（1）4百，5企

⑵40后cm2

（3）8

【思路引导】（1）根据算术平方根的定义解答即可求解；

（2）求出大正方形的边长，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可；

（3）求出4次和5e的近似值，进而即可求解；

本题考查了算术平方根的应用，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键.

【规范解答】（1）解：•・•同=4百，V50=5V2,

・••裁去的两块正方形木料的边长分别为4^cm和5ecm,

故答案为：4v5,5V2；

（2）解：由（1）可得，大正方形的边长为（4VS+5®cm,

・••剩余木料（阴影部分）的面积=（4百+5或『-48-50=40Vsem2；

（3）解：V4V3y4X1.732«6.9,5&*5X1.414=7.1,

V4x1.5<6.9,7<7.1,

・•・最多可以裁出4+4=8块这样的木条，

故答案为：8.

24.（本题8分）（25-26八年级上•吉林长春•期末）在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母

含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：

_1_=_（V2-1）_=V2-1

V2+1（V2+1）（72-1）1

_J_=—星史——6一6二班近

g+企一(百+/)(百-鱼)-1

爱思考的小名在解决问题：己知。=战，求2a2-8Q+1的值.他是这样分析与解答的:

a=2+6=y(—2+⑸言户(2-⑸L、=2—73,

：.a-2=-x/3.

/.(a-2)2=3,即Q2-4Q+4=3.

AG2-4a=—1.

/.2a2-8Q+1=2(a2-4a)+1=2x(-1)4-1=-1.

请根据小名的分析过程，解决如下问题：

⑴计算：薪=一；

⑵计算：£I冉%•Q：祗1"1募+回=------；

(3)若。=露，求3若一12a-2的值.

【答案】(D加+1

(2)9

(3)1

【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，求代数式的值；

(1)通过分母有理化，将分母乘以(或+1)后化简.

(2)每个分式分母有理化后，形成望远镜求和，中间项相互抵消.

(3)先将Q分母有理化得到。=遥+2,然后通过变形。-2=而，平方后得到十一4。=1,再代入所求

表达式.仿照题的方法化简即可.

【规范解答】(1)解：/V2-二1(,V，2-l：)(：v"2+l)、=1+1，

故答案为：A/2+1；

(2)解.—i—+--—+—i——k...+---——

2腑.您+i十0+您十a+o十旃+国

V2-1V3-V2V100-V99

=---------------1-------------------F•••H--；-----------；---------

(V2+1)(5^-1)(V3+V2)(V3-V2)(/100+799)(7100-V99)

=、泛—1+V3—A/2+V4—y/3+…+V100—V99

=、丽-1

故答案为:9；

(3)解：Va=上—=—=V5+2，

V5-2(遍-2)(、行+2)

AG-2=V5,

/.(a-2)2=5,则Q2-4Q+4=5,即Q2-4Q=1,

.,.3a2-12a—2=3(az-4a)—2=3x1—2=1.

25.(本题10分)(24-25八年级上•山东济南•期中)材料阅读：在二次根式的运算中，经常会巴现诸如意，

士，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数,这就是“分母有理化”，例如：%=禹=孚，

V3-V2V2(72)2

春=(武名窑广舟瞪=等磐=2市+2夜.类似的,将分子转化为有理数,就称为"分子

有理化”,例如：氏外噂，,等=端需=第=*=篇

根据上述知识，请你完成下列问题：

(1)运用分母有理化，化简：七一%

v5-2V5

(2)运用分子有理化，比较加5西-同石与陋石-而乱的大小，并说明理由；

(3)计算：&+短+高+嬴+…+端嬴的值•

【答案】(1)2

⑵-V2023<V2023-V2022

(3)9

【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算、分母有理化、分子有理化，解决本题的关键是根据题干

中提供的思路，利用平方差公式把二次根式的分子或分母转化成有理数.

(1)根据题干中提供的分母有理化的方法，把二次根式的分母转化为有理数，再进行计算；

(2)根据题干中提供的分子有理化的方法，把两个二次根式转化为分子为1的形式，再根据分子相同，分

母越大的则分数的值越小比较两个无理数的大小；

(3)首先把算式中各部分的分母有理化，再合并同类二次根式.

【规范解答】⑴解：卷一定

（V5+2）5V5

（遥-2）（遥+2）V5xV5

=普-布

5—4

=V5+2—通

=2；

(2)解：5^024-72023

二1

(72024-V2023)(V2024+x/2023)

V2024+V2023

2024-2023

-+V2023

_]

-v2024+V2023，

72023-^022

二1

V2023+V2022

2023-2022

-A^2023+V2022

—v2023+>/2022，

vV2024+V2023>A/2023+V2022,

\/2024+V2023

:.V2024-V2023<V2023-V2022；

(3)解：f+总局+号苏+隽百十…+演

1-V2x/2-V3V3-V4V4-V5

=-----------------------------------4-----------------------------------------------1----------------------------------------------1----------------------------------------------F

(1+V2)(1-V2)(V2+^)[V2-V3