2026年高考数学模拟题汇编：导数与计数原理（附答案解析）

2026年高考数学模拟题汇编：导数与计数原理

一.选择题（共14小题）

1.从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是（）

A.70B.74C.84D.504

2.小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数

字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）

A.48B.32C.24D.16

x4x3x2xi

3.已知(2x—令)'=Q0Lr5+a]-p+碓一+”5F则“42=720"是"阳=3"的()

。y2yyy2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

或clclclclclcl

4-”一3+记一3一3+*=（）

6464i1

A，~729B.—C--729D，729

5.如图所示为（x）的图象，则下列判断正确的是（）

①/'（X）在（-8,1）上是增函数；②X=-1是/（x）的极小值点；

③/«）在（2,4）上是减函数，在（-1,2）上是增函数；④T=2是/（x）的极小值点.

A.①②③B.①③④C.③④D.②③

6.已知函数/（x）满足/（x）=/（1），-/（0）x+^x2,则/（x）的单调递增区间为（

A.(-0)B.(-8,1)C.(1,+8)D.(0,+8)

7.北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，

故命名北斗七星，北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点力，&C,D,E,

卜,。表示某季节的北斗七星，其中从D,E,b看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三个

点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（）

c.・G

B••••

DEF

A.

A.30B.31C.34D.35

8.若函数/'（%）=，心+**2一以在（4,3）上恰有2个极值点，则实数。的取值范围是（）

A.（2,M）B.（2,C.（擀，■^）D.（2,

第1页（共16页）

9.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a,b,m(W>0)为整数，若。和人被加

除得的余数相同，则称a和万对模ni同余，记为a=b(bmodm).若a=C%十C%x3十C%x3?十…十C养x320,

a=b=(bmod5),则b的值可以是()

A.2004B.2005C.2025D.2026

10.若(2%—3>2=劭+%(%—2)+。2(%—+…+为1(%—2)”+012(%—2>2,则()

A.ao=-1B.ao・ai+〃2-Q3+f・+aio・4ii+〃i2=-1

「工,L。121n"1i02i,«111«1212.

C.G[+。2+…+%2=3"+1D.彳+豆+…+/+亦=O2-1

11.设函数/(x)=配「4/在(1,+8)上单调递减，则实数a的取值范围是()

A.(0,1]B.+8)C.(0,1]D.[1,+8)

12.若函数/(x)=F+ax恰有两个零点，则Q的取值范围是()

A.(0,B.(-e,0)C.(一e,0)U(0,1)D.(--e)

13.若点P是曲线y=|/—2/〃x上任意一点，则点P到直线y=x-3的距离的最小值为()

7或38LL

A.-^―B.—^―C.V2D.V5

14.已知(2x—a)(x+|)6的展开式中/的系数为-240,则该二项展开式中的常数项为()

A.-640B.-320C.640D.320

二.多选题(共3小题)

(多选)15.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、

“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是()

A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法

B.课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法

C.课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法

D.课程“礼”不排在第一-周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法

(多选”6.已知函数N=/(x)在R上可导且/(0)=1,其导函数，⑴满足>0,对于函数g(x)=冬,

x+lC

下列结论正确的是()

A.函数g(x)在(-8,-1)上为增函数B.x=-1是函数g(x)的极小值点

C.函数g(x)必有2个零点D.々(e)>e7,(2)

(多选)17.定义：设/(x)是/G)的导函数，/(x)是函数/Cv)的导数，若方程/(x)=0有实数解刈,

则称点(xo,/(%o))为函数y=/(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就

是三次函数图像的对称中心.已知函数/㈤=。/+叱+擀(如表0)的对称中心为(],1),则下列说法中正确

的有()

第2页(共16页)

A.a=Lh=-\B.函数/(x)既有极大值又有极小值

C.函数/(x)有三个零点D.过(一1,聂可以作三条直线与图像相切

三.填空题(共10小题)

18.函数/(、)的图象在点(2,/(2))处的切线方程为.

19.若(X")(1+入)5的展开式中f的系数为5(),则实数。=.

52s

20.已知(1-2x)=a0+axx+a2xH--Fasx,则a(=.

21.甲、乙、丙、J、戊5名学生进仃某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次(没有同分或者并列的情况).甲、

乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，

从这个回答分析，5人的名次排列共可能有种不同的情况.(用数字作答)

22.用数字0,1,2,3,5组成个没有重复数字的五位偶数.

23.己知函数/(x)=ar-/m的最小值为0,则〃m及赳狂幺”=.

24.设(x-1)6=ao+〃|(%-2)+…+。6(x-2)6,则。2+。3+…+"6=.

25.(x-2y+l)6展开式中含x2/项的系数为.

26.计算器计算入/心sinx,cost等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”

是：如果函数/(x)在含有xo的某个开区间(。，6)内可以多次进行求导数运算，则当xW(a,b),且xNxo时，

23

有/Q)=(x-x0)°+(x-x0)+(x-x0)+(x-x0)+…-

其中，(x)是/(不)的导数，f'(x)是，(x)的导数，/是/'(x)的导数….

取回=0,贝代inx的“泰勒展开式”中第三个非零项为,sinl精确到0.01的近似值

为.

27.已知函数/(x)=*+2%2,g^x)=2m-lux,若关于x的不等式/(x)Wxg(x)有解，则〃？的最小值

是.

四.解答题(共9小题)

28.已知m>n,kwN+,小2左

(1)证明：僚僚5

(2)证明：C条以二喘|瑞君「

第3页(共16页)

29.从,4,B,。等7人中选5人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答）

（1）若力必须在内，有多少种排坛？

（2）若4B,。都在内，且4,6必须相邻，。与48都不相邻，有多少种排法?

30.把武+“+鬣+-+G：称为（。+〃）〃的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中〃是正整数.

（1）若。一女尸的所有项的二项式系数的和为64,求—展开式的常数项；

（2）若Q-9展开式中第2项系数为-12,求Q-9）（2XT）”的展开式中小的系数.

31.在①各项系数之和为-512；②常数项为-17；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选•个，补

充在下面的横线上，并解答问题.

在（1一弓）（1+工尸的展开式中，.

（1）求〃；

（2）证明：43"+5能被6整除.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

第4页（共16页）

32.已知在（后一弓）”的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是6：1.

（1）求展开式中工”的系数；

（2）求展开式中系数绝对值最大的项；

（3）求〃+9CZ+81C1+……+9〃］。；；的值.

33.用。，1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.

（1）在组成的五位数中,能被5整除的个数有多少？

（2）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？

（3）在组成的五位数中,数字1和3相邻的个数有多少？

（4）在组成的五位数中,若从小到大排列，30421排第几个？

1

34.己知/'（工）=耳工3_1_ax2_3x（.GR）在x=-3处取得极值.

（I）求实数。的值；

（II）求/（x）的单调区间：

（III）求/（x）在区间［-3,3］上的最大值和最小值.

第5页（共16页）

35.己知函数/(x)=lnx-mx2+(1-2m)x+1.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若对任意x>0,有/(x)W0恒成立，求整数加的最小值.

36.已知小，〃是正整数，fCx)=(l+x)w,+(1+x)〃的展开式中x的系数为7.

(1)对于使/«)的/的系数为最小的〃【，〃，求出此时x3的系数；

(2)利用上述结果，求/(0.003)的近似值；(精确到0.01)

(3)已知(l+Zv)8展开式的二项式系数的最大值为系数的最大值为从求2

a

第6页(共16页)

2026年高考数学模拟题汇编：导数与计数原理

参考答案与试题解析

一.选择题（共14小题）

1.从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是（）

A.70B.74C.84D.504

解：从所有的9名学生中选出3名，有反种选法，其中全为男生的有正种选法,

所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有制-髭=74种.故选：B.

2.小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数

字，且I与4相邻，则可以设置的密码种数为（）

A.48B.32C.24D.16

解：1与4相邻，共有度=2种排法，两个2之间插入1个数，共有用=2种排法,

再把组合好的数全排列，共有用=6种排法，则总共有2X2X6=24种密码.故选：C.

%4%]

3.己知（2人一器）十以1F十”2一十。3飞十“4”十。5飞（〃七R）,则“42=720”是“，〃=3”的（）

、y2yy2yy2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4324

解：（2x—&）5=aox5+«l—f+42—+43F+«4-2+^5-5（w6R）,则与=^23（—m）2,

、’yylyy2yy2

当S=720时,解得利=±3,故"42=720”是“m=3”的必要不充分条件.故选：B.

cl,cl心或扇/

4.毯1）

3°3尹不।/一至।3

646411

A.-729B-南Cr-729D-而

（7。霏霏clcl162664场诬D

解：由题意可得马-3+六F3^F=（1-3）「）=729-故龙：工

5.如图所示为y=/（X）的图象，则下列判断正确的是（）

①/«）在（-8,1）上是增函数；@x=-1是/（x）的极小值点;

③/（X）在（2,4）上是减函数，在（-1,2）上是增函数；④x=2是/（X）的极小值点.

B.①③④C.③④D.②③

解：xV-1时，了Cr）<0,/./（X）是增函数，故①错误，②正确,

-14V2时，f（x）>0,f（x）是增函数，2VxV4时，f（x）<0,/（x）是减函数，故③正确,

x=2是极大值点,故④错误，故选：D.

第7页（共16页）

6.已知函数/(x)满足/(X)=/(1)/--/(())x+界，则/J)的单调递增区间为()

A.(-8,o)B.(-8,|)C.(1,+8)D.(0,+8)

解：f(x)=/(1)--7(0)升系，两边求导得，/(x)=/(l)，―/(0)+x,

令尸1,得/(1)=/(1)e°-/(0)+1,解得/(0)=1,所以/(0)=/(1)01-/(())・()+0=1,得

f(1)=e.所以，(x)=eK-\+x,因为y=e'递增，y=x-1递增，所以，(x))=ex-1+x递增，

又/(0)=0,所以由/'(x)>0,解得x>0,即/(x)的单调递增区间是(0,+8).故选：D.

7.北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，

故命名北斗七星，北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点力，&C,D,E,

F,G表示某季节的北斗七星，其中8,D,E,厂看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三个

点作三角形，则所作的不同三角形的个数为()

C・・G

B••••

DEF

A.

A.30B.31C.34D.35

解：从这七个点中任意三个点作三角形有©个，其中8,D,E,E共线，有霖个不能构成三角形，

则所作的不同三角形的个数为©-尊=31个.故选：B.

8.若函数/(%)=9+我一办在3)上恰有2个极值点，则实数。的取值范围是()

A.(2,.B.(2,C.(3，D.(2,

解：f<x)=5+x-a=l±g卫,若函数f(x)=m”+义/一次在G，3)上恰有2个极值点，则/(x)=0

人人乙乙

在(33)上有两个根，即工2-〃"1=0在(;，3)上有两个根，所以4=今工在(：，3)上有两个根，

即4=x+?在("3)上有两个根，令g(x)=j+i,XE(J,3),只需N=Q与y=g(x)在(=,3)上有两个交

ir2_i1

点，g'(x)=1-R=R-，令父(X)=0得x=1或-1(舍去)，所以在(31)上g'(X)VO，g(x)

单调递减，在(I,3)上g'(x)>0,g(x)单调递增，所以gG)筱小产g(1)=2,又g(1)=f,g(3)=孚

所以所以。的取值范围为(2,三).故选：A.

/2

9.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设。，b,m(W>0)为整数，若。和b被m

除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=bCbmodm).若a=C%+Cjox3+%X32H-1-。貂x320,

a=b=(hmodS),则的值可以是()

ABc2526

200)4200502D.20

解

若c13c232c2o

a=+2X+2X++2oX

凄5+c2o

由二项式定理得。=(1+3)20=42C=(5-1)20,则。=匹。"?。一心o・5i9+…2o

第8页(共16页)

因为C%•520-废0•519+…_C芸,5能被5整除,所以a除以5余嘲=1,

又因为。三。(bmod5),选项中2026除以5余1.故选：D.

1112

10.若(2x-3>2=—2)+02(%-2)2H—+an(x-2)4-a}2(x-2),则()

A.ao=~1B.ao-a\+a2-。3+r・+。10-au+ai2=-1

C.勺+。2+…+。12=312+1D.?+黄+…+箫+黄=212-1

解：令f=x-2,则x=r+2,2x-3=2(f+2)-3=2t+1,所以(2z+1),2=ao+aiH-a2Al-•+an/,1+ai2/l2»

选项力，令/=0,则40=1,即选项力错误；选项8,令/=-1,则ao-。|+。2-。3+…+。10-411+412=(-2+1)

12=1,即选项8错误：选项C,令/=1,贝I]40+。1+。2+。3+…+°10+〃11+。12=3%

所以〃|+。2+。3+…+mo+aii+〃i2=3i2-ao=3i2-],即选项C错误;

选项。，令仁摄则40+号+黄+•••+罪+器=(2X；+1)12=2%

所以§*+矍+…+祟+需=2"-。0=2口-1,即选项Q正确.故选：D.

11.设函数/(x)=/〃x・aF在(1,+8)上单调递减，则实数a的取值范围是()

A.(0,1]B.+s)C.(0,1]D.[1,+8)

解：因为函数/(x)=加-ax2在(1,+8)上单调递减，所以当在(1,+8)时，f\x)=1-竽2<0,所以a>白

在在(1,+8)时恒成立，所以QE[4,+8).故选：B.

12.若函数/(x)=，+ax恰有两个零点，则。的取值范围是()

A.(0,1)B.(-e,0)C.(-e,0)U(0,1)D.(--e)

x1

解：当〃=()时，则/(x)=，无零点，不符合题意；当aKO时，令/(x)=ex+ax=0,则/=-7

故原题意等价于、=*与y=有两个交点，构建。。)二*，则八无)=衰，令g'(x)>0,解得xVl；令g

(x)<0,解得x>l；则g(x)在(-8,])上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

可得g(x)Wg(l)=9，且当X趋近于+8时，g(x)趋近于0,所以g(x)的图象如图所示,

由图象可得，若g(x)=冬与、=一:有两个交点，则0V-解得a〈-e，

vL4V4-v

故a的取值范围是(-8,-e).

故选：D.

第9页(共16页)

13.若点尸是曲线y=|%2-2历x上任意一点，则点尸到直线y=x-3的距离的最小值为（）

7V23V3,厂厂

A.---B.——C.v2D.V5

42

解：当点尸是曲线），=4》2一2/群的切线中与直线y=x-3平行的直线的切点时，点P到直线y=..3的距离•最小,

o223

由），=丁％2—2/,必得y'=3x--,由3%一；；=1，解得》=1，故点P的坐标为（1，-）>

xx2

3

|1一5-3|7企

点尸到直线y=x-3的距离的最小宜为一^―=—.故选：A.

V24

14.已知（2x-a）（x+《）6的展开式中小的系数为-240,则该二项展开式中的常数项为（）

A.-640B.-320C.640D.320

解：•・•（x+勺6=哈耳2盘/+22营+23以+24以”+25琮『4+26尊/6,

（2%-（1）。+（）6的展开式中/的系数为-240,・・・-。乂22四=一240,解得。=4.

・•・该二项展开式中的常数项为-4X23或=—4X8X20=-640.故选：A.

二.多选题（共3小题）

（多选”5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、

“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）

A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B.课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法

C.课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周,共有144种排法

D.课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法

解：对•于46门中选2门共有*=15种选法，故力正确：对于从课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这

两个看成一个整体，有鹿种排法，然后全排列有展=120种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排

法共有腐腐=240种，故8正确；对于C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，

先排剩下的三门课程有“=6种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有用=24种井法，

根据分步乘法计数原理，共有用用=144种排法，故C正确；

对于。：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有魔种排法，

若先把“礼”不排在最后一周,再徘“数”，有44川种排法,

所以共有唐+C；G*=504种排法,故。错误.故选：ABC.

（多选”6.已知函数歹=/（不）在R上可导且/（0）=1,其导函数，（x）满足‘>0,对于函数g（x）=要,

x+1c

下列结论正确的是（）

A.函数g（x）在（-8,-1）上为增函数B.x=-1是函数g（x）的极小值点

C.函数g（x）必有2个零点D.e2f（e）>«（2）

第10页（共16页）

解：因为9(%)=呈，所以9。)二毁答，因为导函数/S)满足

人IX

当x>-1时，/(x)-/(X)>0,则g'(x)>0,所以g(x)是增函数；

当x<-1时，f(A-)-/(x)V0,则g(x)<0,所以g(x)是减函数；故A错误，B正确;

又・八0)=1,则g(0)=曙=1,当g(7)>0时，g(x)没有零点；当g(7)=0时，g(x)有一个零点;

当g(-1)<0时，gCv)可能有1个或2个零点，故C错误；因为函数g(x)在(-1,+8)上为增函数，

所以g(2)<g(e)»即整理得>eef(2),故。正确.故选：BD.

eeK

(多选；17.定义：设/(x)是/(%)的导函数，/(x)是函数/(x)的导数，若方程/(x)=0有实数解刈,

则称点(xo,/(.ro))为函数y=/(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就

是三次函数图像的对称中心.已知函数/(乃=。炉+取：2+擀(08工())的对称中心为(1,1),则下列说法中正确

的有()

1

A.a=Lb=-\B.函数/(x)既有极大值又有极小值

C.函数/⑺有三个零点D.过(一1,3可以作三条直线与y=/5)图像相切

7夕1、_n6a+2Z?=0(_1

解：(x)=3ax2+2bx,r(x)=6"+2Zh.•・「-」「，即,，5/解得°=4，故/正确：

=1触+力+可=11匕=_1

•••/■。)=&3-7+东/(x)=『-2x,当xW(-8,0)时，/(x)X),f(x)单调递增；

当在(0,2)时，/(x)<0,/(x)单调递减；当(0,+8)时，/(x)>0,f(x)单调递增，

所以/.(X)既有极大值乂有极小值，故片正确；由选项8可知/J)在x=0与x=2处取得极大值与极小值,

乂/(0)=扛。，/(2)=1>0,即f(x)的极大值与极小值大于0,所以函数不会有3个零点，故C错误；

设切点为7(xo，yo),则切线方程为y-(义焉一郎+£)=(郎一2%o)(x-

[115

又切线过(—1,④)，PM--(-4-x^+-)=(x^-2x0)(-1-x0),

2

化简得就一3%-2=0,BP(x0+l)(x0-2)=0,解得xo=-1或xo=2,

即满足题意的切点只有两个，所以满足题意只有两条切线，故。错误.故选：AB.

三.填空题(共1。小题)

18.函数/(x)=/-2?的图象在点(2,/(2))处的切线方程为4x-p-8=0.

解：V/(x)=.？-2X2,.*./(x)=3.r2-4x,：,f(2)=0,f(2)=4,

，所求切线方程为：y=4(x-2),即4x・y・8=0.

19.若(x-q)(l+2x)5的展开式中f的系数为50,则实数〃=-1.

解：•・•(x・a)(l+2x)5的展开式中含?的项为x•C“2x)-a•f1(2x)2=(10-40a)x2,

由已知x2的系数为10・40。=50,・・・。=・1.

第11页(共16页)

525

20.已知（1—2x）=a。+aAx4-a2x+…+asx,则E；=[a,=-2.

解：令x=0可得：（l-2X0）』ao，所以a（）=l,令x=l可得：（1-2X1）5=£7o+«i+«2+"-+6r5»

即1+ai+a2T----卜。5=-1,所以ai+a2T卜as=-2.

21.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到笫5名的名次（没有同分或者并列的情况）.甲、

乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，

从这个回答分析，5人的名次排列共可能有54种不同的情况.（用数字作答）

解：由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3种情况，

再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，其他三名同学排在三位置全排列有用种，

由分步乘法计数原理可知共有3x3x=54种.

22.用数字0,1,2,3,5组成42个没有重复数字的五位偶数.

解:当个位数字为0时，这样的五位数共有：*=24个，当个位数字为2时，这样的五位数共有：用房=18个，

所以组成没有重复数字的五位偶数共有24+18=42个.

23.已知函数f（x）的最小值为0,贝Mim0.

解：因为/（x）=ax-Inx,定义域为（0,+°°）,所以/（%）=a-1,当“W0时，则/（工）在（0,+°°）

111

上单调递减，无最小值：当。>0时，令/（x）=0,得％=0,当0<rV方时，f（x）<0,当时，f（x）

>0,所以/（x在（0,j）上单调递减，在弓，+8）上单调递增，所以/（%）加，=/■（：）=1+仇Q=0，

解得Q=），则碗⑻=f（e）=0.

e4x-*oa%

24.设（x・1）6=Q（）+a]（x-2）+…+。6（x-2）6,则a?+a?+…+务=57.

解：（x-1）6=[（x-2）+1]6=£704-^]（x-2）+…+〃6（X-2）6,令工=3,得知+。1+・・・+。6=26=64：

令x=2,得“0=1;又ai=广=6,故。2+。3+…+。6=64-1-6=57.

25.G-2什1）6展开式中含中口项的系数为-480.

解：（X-2y+l）6展开式中含戈2艮的项为c"2或（一2y）3411=玛第（一2）3%2y3=-480%2y3,

26.计算器计算Ex,sinx,cosx等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的泰勒展开式”

是：如果函数/（x）在含有xo的某个开区间（处b）内可以多次进行求导数运算，则当xW（a,8），且xWxo时，

有/。）=（无-~）°+。一沏）+。-沏）2+^4^。-沏）3+••••

其中，（X）是/（X）的导数，f'（X）是，（X）的导数，r（X）是/'（X）的导数….

取xo=O,则sinx的“泰勒展开式”中第三个非零项为_石^/_,sinl精确到0.01的近似值为0.84.

解：取xo=（）时，可得/■（%）=喘％°+平无守2炉+...,

则/CO=sinx=0xx°+lxx+0xx2+（-l）x彳炉+ox%44-1x.x5…=+…，

第12页（共16页）

所以sinx的“泰勒展开式”中第三个非零项为七

11■乙U

令x=1,代入.上式可得/⑴=sinl=1-4++…=+•••«0.84.

O1乙UJ>4U

27.已知函数f(%)=击+2/,g(%)=2m-a入，若关于x的不等式/(x)Wxg(x)有解，则〃？的最小值是

1

2-

有解=

解:•・/(x)Wxg(X)1+2x2<x(2m—切%)有解=2m>+2x+Inx=e~2x~lnx—(-2x-Inx)

有解，.••令f=-2x-历不，则f在f£R上有解，令〃(f)=e'-f,则//(?)=el-l>0=>/>0.

h(r)在(・8,o)上是减函数，在(0,+8)上是增函数，当，=0时，等号成立,

11

：.2〃:》h(0)=Inm之亍的最小值是彳.

/2

四.解答题(共9小题)

28.已知m,〃，kEN+,m2k2明(1)证明：C^_k=C^C^_n；(2)证明：僚*=

-r,、，m'(m—kYmlm,(m—n)\.

证明：(1)CmC^_k=(m-ky.k\\m-k-ny.n1=k^m-n-k)\nl=g而•而启讼=邛1cm-“；

(2"S=加・-&-=_______________=汕.-(…)!-=Cnrk-n

mkmm-n

(m-/c)!/c!(fc-n)!n!(m-/c)!(/c-n)!n!(m-n)!n!(m-/c)!-(/c-n)!*

29.从,4,B,C等7人中选5人排成一排.(以下问题的结果均用数字作答)(1)若“必须在内，有多少种排法？

(2)若N,B,C都在内，且46必须相邻，C与44都不相邻，有多少种排法？

解：(1)根据题意，若/必须在内，在其余6人中选出4人，再与力全排列，共有以腌=1800种排法.

(2)根据题意，先在其他4人中选出2人，有第二6种选法，将4,8看成一个整体，与选出2人全排列,有用及=12

种选法，排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C,有2种情况，

所以，共有6X12X2=144种不同的排法.

30.把以+己+鬣+…+4称为(。+加〃的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中〃是正整数.

(1)若的所有项的二项式系数的和为64,求。一［>展开式的常数项；

(2)若。一£)”展开式中第2项系数为-12,求。一9)(2%-1)%勺展开式中x3的系数.

解：(1)二项式的展开式的所有二顷式系数和为2〃=64,则〃=6,

所以二项式a-56的展开式的通项公式为7升］=。"6T(一ayiY—zyd-zi’-o,］,…,6,

令6・2〃=0,解得，=3,所以展开式的常数项为优•(-2)3=-160：

(2)二项式(工一今”的展开式的第二项为72二以炉1一1・(一分1二-2加厂2,则-2〃=-12,解得〃=6,

所以多项式(x-9)(2.1)6的展开式中含/的项为"4(2%)2(-1)4一9x*(2;<)4(-1)2=-180.v3,

所以Q的系数为-18().

31.在①各项系数之和为・512：②常数项为-17；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补

第13页(共16页)

充在下面的横线上，并解答问题.

在(1-?)(1+工尸的展开式中，.(1)求〃；(2)证明：43"+5能被6整除.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

解：(1)条件①：令x=l,则展开式中各项系数和为(-1)+2〃=-512,解得〃=9：

条件②：因为(1一》•(1+乃川=(1+"尸一11+祝，则展开式的常数项为之—2或=-17,解得〃=9；

条件③：各项系数的绝对值之和与多项式(1+|)(1+x)”的展开式的各项系数和相等，

则令x=l,3・2"=1536,解得〃=9：

(2)439+5=(42+l)n+5=Cg•429+-428+…+-4214-1+5

=42(C§-428+...+C1)+6,因为42能被6整除,所以439+5能被6整除.

32.已知在(后一1)〃的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是6：1.(1)求展开式中x"的系数；

(2)求展开式中系数绝对值最大的项；(