第16章 二次根式 复习教案-2024沪科版八年级下册

第16章二次根式

教学目标

1.使学生进•步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；

2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

教学重点和难点

重点：含二次根式的式子的混合运算.

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.

教学过程设计

一、复习

1.请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件.

指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次

根式.

2.二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.

指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的.把两个二次根式相除，

先写成分式形式，即、5+、后=宏，再运用二次根式的除法法则进行计算，计算,

计算结果要把分母有理化.

3.在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：

(l)a=(^/a)2(a>0);(2)|a|=V?.

4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子:

(l)(7a)2=a(a>O)-^a=(^)2(a>0)；

(2)^/ab=7a♦Vb(a^>0,b>0)与孤♦花=7^(a)0,b>0)；

^(a>0,1>>0)与窑=/缶>0,b>0).

例如，化简看，可以用3种方法:

⑴直接约分不噜二行

⑵分母有理化土黑=币,

(3)看作二次根式的除法，-・布.

5.而不一定能化成(、局L

当a》。时，如(石)2=五■=(62,(A/Q)J^而)2,此时，7?

=(、■)一当a<0时，正示二月=(/)'，但WN无意义，所以j(-2)z<(d，此

时卢(6)\

二、例题

例1x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义:

(1)73-x+、［x-2；(2)------=；

1--Vx

(3)、②F+J-2x；(4)—,

3x

分析：

(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；

(2)题中，式子的分母不能为零，即x不能取使1.必=。的值;

(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义;

(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有

意义，同时使分母的值不等于零.

解(1)要使尽有意义，必须3-x>0,即x<3；要使病”有意义，必须x-2》0,

即x》2.所以使式子*3-x+Jx-2有意义的演,为24K3.

(2)因为1-当〃=±1时，l-|x|=0,原式没有意义，所以当xK±l时，

式子任彳有意义.

(3)因为使J氏有意义的x值为x>0,使正石有意义的凛值为x<0,所以使'应

+J-2x有意义的xfi为x=0.

(4)因为使次较有意义的x取值为x+2)0,即x>-2,而分母3x^0,即玄声0,所

以使式子巨至有意义的x取值为

3x

x2-2且x#0.

例2己知m,n为实数，且满足m=+4,求$m-3n的值.

n-3

分析：先根据已知条件求出m与n的值，再求多项式6m・3n的值.二次根式而二？

与、匹百有意义的条件分别是1-9)0及9-r)0,从中求得n的值，从而确定m的值.

解因为9-920,9-/20,且n-3W0,所以「=9且nW3,所以

Jr?-9+j9-r?+442

n=-3,m=--------------------------=—=

n-3-63

6m-3n=6X(-|)-3(-3)=5.

指出：例1和例2主要复习二次根式的意义，即当a30时，二次根式、偌意义.

例3

-4a+4

-4a+3

分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式.把它们分别分解因

式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a20

和l-a>0.

解因为l-a>(),3-a^O,所以a<l,|a-2|=2-a.

(a-l)(a-3)=[-(l-a)][-(3-a)]=(l-a)(3-a)20.

|a-2|

./(a-l)(a-3)

2-a

-a♦V3-a

指出：由于二饮根式的基本性质后7=|a|要由a的取值范围确定，即

|a|=[faa(a><00)),.

而=7a>7b成立的条件是a30及b>0(a>0,b>0),因此在运用

这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足

这些条件的.

例4已知好后方'TIT'"/』"的值.

问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式?

问：如何确定a+」及a」的值是正值还是负值？

aa

答：可由己知条件a=,广:7^=--虎>0,—=+72,知a+—〉0.

a

4=(币・、0・标•

=(73-^)-(73+72)

=-2正<0.

11

a+-+«—-

aa

2a.

当片加天时’

原式=2a=2-'也）=2聒-2、3

分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算.

Jl+x1-X

例5计算

J1+x+V1-xVl-x12-H-X

解

-1+X1-X

—，~+——-----------

J1+X+71-X71+X2-1+X

J1+X1-X

='''+'''

J1+X+J1-X&+，-1+X

J1+X41-X

Jl+X(J1+X-Jl_X)+Jl-X(J1+X+J1―X)

(J1+X+J]-.)(/]+X~J1-♦)

Jl+xG/1-x)2

—，,•+'------------

71+x+71-xJ(i-乃(1+无)-(71-x)2

4^(71^7)2

J1+X+J1-XJ1-X(J1+X-A/1-x)

1+X-V1+X•V1-x+J1-X♦A/1+X+(1-x)

1+%-(1-x)

-2-=—1

2xx

注意、：

1.因为第二个式子中的分母QE-l+x卢0,因此X小1.

所以在化简过程中，分子与分母可以同除以Ji。.

2.例5中运用了二次根式的基本性质3蕨=6♦花(a)0,b》0和关系式a=(my

(a>0)进行二次根式的混合运算.

例6

n+2+7n2-4n+2-Jn，-4

ITW-/3-+/」：•

n+2一如2—4n+2+vnJ-4

分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种

方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元

法把式子变形，就可以使运算变为简捷.

解设a=n+2+7n2-4,b=n+2-Vn2-4,那么

a+b=2(n+2),ab=(n+2)2-(n2-4)=4(n+2),

22

h-aba+b(a+b)2-2ab(a+b)24(n+2)2

所以原式=寸+_=—―=

baababab4(n+2)

三、课堂练习

1.选择题：

(l)7(a-2)2=2-a,a的取值范围是[]

A.aW2B.a22

C.aK2D.a<2

(2)x<・2时，J(x+2)a等于[]

A.x+2B.-x-2

C.-x+2D.x-2

(3)化简J(x-软>+J(x+a)2(0〈x〈a)等于[]

A.2xB.2a

C.~2xD.-2a

(4)把根号外面的因式移入根号内，m行=[]

A.7mB.J-m

C.-J-mD•-

(5)若0cx<加+1,则|x+应h/(x-、/-1)2等于[]

A.-272-1B.2x-l

C.2、加+1D.272-1

2.填空题：

⑴若赵W有意义，则x的取值范围是；

x-5--------

(2)若妇=1贝1的取值范围是；

a------

(3)化简;

(4)若2%吟五与病是同类最简二次根式，则“=,

(5)化简J3a%'(a>0,b<0)=；

(6)若a>0,b<0,则同一后=;

(7)若|x-5|+j2x+y+6=0,则3x+y-l=；

(8)若l<x<2,则J(x-2)2=；

(9)化简J(X2-y2)(x4-y4)(x〉y>0)=；

(10)(m-n)J~~2---