解三角形中的取值范围【7大常考题型归纳】原卷版-2025-2026学年高一数学下学期（人教A版必修第二册）

解三角形中的取值范围［7大常考题型】

r题型i：求周长的最值与范围

题型2：求面积的最值与范围

题型3:求角的最值与范围

解三角形中的取值范围题型4：求边长的最值与范围

题型5：求边长的比值的最值与范围

题型6:与不良结构有关的最值与范围

题型7:与角平分线中线有关的最值与

范围

题型分举

【题型1:求周长的最值与范围】

【练方法】

知识梳理

核心目标：在给定条件下（如已知一边及对角、两边和等），求三角形周长£=。+6+。的最值或取值范围

核心工具：正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角函数值域

约束条件：三角形三边关系Q+b>c、b+c>aa+c>b,内角和为不

解题方法

1.角化边：若已知一边及对角（如4）,用正弦定理b=2Rsin3,c=2RsinC,将周长表示为

L=a+2/?（sinB+sinC）

2.边化角：利用。=4-4-8消元，将周长转化为单一角的三侑函数（如8的函数）

3.基本不等式：若已知两边和或积，用6+cN2痴或已+c«J2（或+j）放缩求最值

4.三角函数值域：化简三角函数后，结合角的范围（0,乃一力）求值域

名师点睛

已知一边及对角时，周长最值常出现在等腰三角形（B=C）处

必须验证等号成立时是否满足三边关系，避免出现“退化三角形”

口诀：“已知一边对角，化角求值域；已知两边关系，用不等式放缩”

，经算例题7]（25-26高三下•重庆•开学考试）己知△48C的内角4&C的对边分别为a,b,c,且acos

B+bcosA=4.8sinAcosC=asinf.

⑴求c及G

（2）求△ABC周长的最大值.

（2026•浙江•膜拟预测）已知△48C的外接圆半径为2,△ABC的内角儿B,。的对边

分别为Q,瓦C,且Q<CCOSB.

（1）试判断△48C的形状；

⑵若acosB+bcosA=2百，求△A8。周长的最大值.

,.蠲牛乃7（2023•陕西西安•一模）在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满

足a+2bcosA-2c=0,若b=2乃，则△48。周长的取值范围为

►小斌牛力2（24-25高一下•辽宁丹东•期末）2X485的内角4B,C的对边分别为a,b,c,

Q=2,(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC周长的取值范围是,

►小铁牛力3（24-25高一下•广东广州•期末）已知△A8C是钝角三角形，内角儿B,C的对边

分别为a,b,c,且a=Lb=2,则△48C的周长的取值范围为,

2

【题型2：求面积的最值与范围】

【练方法】

知识梳理

核心公式:S=-absinC=—besinA=—acsinB,S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)(海伦公式)

核心工具：正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角函数值域

约束条件：同周长问题，需满足三角形存在条件

解题方法

1.角化边：若已知角C,则S=1a〃sinC,只需用余弦定理或基本不等式求。人的最值

2

2.边化角：若已知两边及夹角，直接代入面积公式：若己知一边及对角，用正弦定理将，力表示为角的函数,

再求值域

2

c

3.基本不等式：由余弦定理02=1+力2-2"cosC，结合/+从22"，得一玄，代入面

2(l-cosC)

积公式求最值

4.三角函数值域：将面积转化为sin8或cosB的函数，结合角的范围求值域

名师点睛

।22•J

已知一边及对角时，面积最大值为--------------sin4=-^网_,当b=c时取到

22(1-cos/I)4(1-cos/4)

面积问题本质是“求砧或仪;或比的最值"，再乘sin0

注意sin。为正，面枳符号恒为正，范围只需关注大小

经善钠做7(25-26高一下•广西贵港月考)△5BC中,sin24—sin25—sin2C=sinfisinC.

⑴求力；

(2)若Q=3,求△ABC周长的最大值;

(3)若Q=3,求△A8C面积的最大值.

(25-26高三上•河南信阳•期末)设△ABC的内角4B,。所对的边分别为a,b,c,

accsC+^c=b.

(1)求角A的大小：

⑵若△/18C边BC上的中线71。的长度为遥，求△ABC面积的最大值.

3

/小祺牛力1（2026・湖北省直辖县级单位•模拟预测）己知Q,瓦c分别是锐角△48。三个内角

的对边，且V^asinC=c(l+cosA),asinB=V3.

（1）求4力的值;

（2）求△48。面积的取值范围.

小锹牛力2（25-26高一下•全国•课堂例题）如图，在扇形力OB中，圆心角等于60。，半径为2,

在瓠AB上有一动点P（不与点4B重合），过点P引平行于OB的直线和OA交于点C,设440。=8,求△POC

面枳的最大值及此时。的值.

B

小钦.牛丸3（23-24高三下•贵州贵阳月考）在△AEC中,a,b,c分别为内角4B,C的对边,

cos(5c--)=b—+c.

(1)求角4的大小;

（2）若是锐角三角形，c=2,求△ABC面积的取值范围.

【题型3:求角的最值与范围】

【练方法】

知识梳理

核心目标：求某内角（如4）的取值范围或最值

,222

核心工具：余弦定理（cost="一"）、正弦定理、基本不等式、三角函数单调性

2bc

约束条件：力£（0,不），且满足三角形内角和与三边关系

解题方法

1.余弦定理+基本不等式：将cos/1表示为边的函数，用〃+c2^2次放缩，得到cos力的范目，再由余弦

函数单调性求力的范围

2.正弦定理+三角函数值域：将角转化为边的关系，或用/=〃-消元，转化为单一角的三角函数求

值域

3.三边关系：由。+b>c等不等式，推导边的比例关系，进而得到角的范围

4

名师点睛

角的最值与cos4的最值相反：cos4越大，4越小；cos4越小，4越大

当b二c时，角力常取得最值(最大或最小)，这是高频考点

注意钝角的余弦值为负，范围要包含(1/)情况

(25・26高三下•山东•月考)在△力BC中,内角A&C的对边分别为a力,c,且2sinB=sinC

(sinA—cos/l).

(1)若c=10b,求tanA的值；

(2)若力，。均为锐角，求tan/1+tanC的最小值.

经翼料做(2026•安徽合肥•一模)记△48c的内角4B.C的对边分别为a,b,c,已知c-2bcos(B+C)

=0.

⑴证明：a2=b2+2c2；

(2)求内角C的最大值.

F-----------------------------------------------------------------------------------

,小钱牛力1(25・26高三上•浙江湖州,期末)在△ABC中,D是线段BC上一点,且

CD=2DB=2,^DAC=p设N/1OC=8.

⑴求线段的长度(用e表示);

(2)若cos。=返，求sinB的值;

4

(3)求tanB的最大值.

小锹牛力2(2025高三上•四川自贡•专题练习)在△力BC中,已知2cos(4—8)+cosC=0.

(1)证明:C为锐角;

⑵求高+高+高的最小傀

(25-26高三上•内蒙古•月考)的为角力，B,C的对边分别为处b,c,已知

sin25=sinAsinC.

⑴若匕=伉，cosB=求△ABC的周长;

(2)求8的最大值.

【题型4:求边长的最值与范围】

5

【练方法】

知识梳理

核心目标：求某边长（如。）的取值范围或最值

核心工具：正弦定理、余弦定理、基本不等式、三边关系、三角函数值域

约束条件：三角形三边关系、内角范围（0,1）

解题方法

1.正弦定理：若已知角4,则。=2Rsin4,将。表示为角的函数，求值域

2.余弦定理：将加、cos/看作函数，用基本不等式或二次函数求最值

3.三边关系：由|6-c|<a<6+c直接得到范围，或结合已知条件推导

4.参数化：设一边为变量，建立函数关系，求值域

名师点睛

已知两边及夹角时，边长范围可直接由余弦定理结合基本不等式得到

已知一边及对角时，边长范围常由三角函数值域得到，需注意角的范围

边长为正数，范围左端点大于0,右端点由三边关系或函数最值确定

♦我意例疆7（25-26高三上•福建福州•月考）记△力8C的内角儿B,C的对边分别为,7,b,c,已

知点。为线段8C上的一点，力。为/84C的平分线，AD=2.

⑴若ccosB=(3a-b)cosC,CD=1,求cos484c的值;

(2)当a=四时，求b+c的最小值.

经典例发（25-26高三上•湖北随州•期末）已知△4BC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且

=csinB.

⑴求G

⑵若的面积为百，求c的最小值.

小徐牛刀1（2025高三•全国•专题练习）在△A3G卜，Z.A=60°,CM=2MB,AM=1,则

4C+248的最大值是一

小微牛力2（2025高三•全国•专题练习）在△/OB中，4108=45°,AB=2,若E为线段48的

中点，尸为线段。8的靠近点。的三等分点，则线段E尸长度的最大值为

〉小锹牛力3（25-26高三上•安徽合肥•月考）在锐角A/IBC中，内角力，B,。所对的边分别为

6

a,b,c,若企asinB=bcos（4_?/C=2,则4c边上的高的取值范围是

【题型5：求边长的比值的最值与范围】

【练方法】

知识梳理

核心目标：求边长比值（如2、-）的最值或范围

ac

核心工具：正弦定理（角化边）、余弦定理（边化角）、基本不等式、分式函数值域

约束条件：三角形存在条件，内角范围（0,乃）

解题方法

1.正弦定理角化边：将比值转化为？空或吧4土誓，再用三角恒等变换化简为单一三角函数求值域

sinJsinC

2.余弦定理边化角：将比值表示为边的函数，用基本不等式放缩求最值

3.分式函数值域：若为线性分式，可分离常数后求值域；若为二次分式，可判别式法或基本不等式

名师点睛

比值问题优先用正弦定理，将边的比值转化为角的正弦比值，简化计算

注意比值的定义域（边长为正，匕值＞0）,避免出现负数或0

高频模型：2常转化为吧0,结合8=不一/一。消元

asinA

♦经柒例发7（25-26高三上•广东东莞•期末）已知△ABC是锐角三角形，内角A、B、C所对应的边

分别为a、b、c.若b（l+2cos4）=c,则二1的最小值是

♦候典的题（25-26高三上•福建龙岩•期中）记△48C的内角4,B,C的对边分别为Q,b,c,已知

1-sinA_l-cos2B

cos/1sin2B-

（1）若C=4，则R=__________:

J

（2）生的取值范围是

A小微牛刃7（2025•浙江嘉兴•一模）记△ABC的内角48,。的对边分别为Q,瓦c,若△48。的面积

S，则平的取值范围是-----------

►小钦.牛力2（2026高一•全国•专题练习）设△48C的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,记

7

2

其面积为S、周长为L,^=aCOsB+abcosA,b=3,则沏最大值为------

►小钦.牛力5（23-24高一下•云南楚雄•月考）在△48。中，AB=2AC,点。在BC上且力。是乙4的

角平分线，且△相C的面积为I,当也最短时，靠=--------

【题型6：与不良结构有关的最值与范围】

【练方法】

知识梳理

核心定义：“不良结构”指条件不足（如缺少一边或一角）、条件冗余或条件模糊的解三角形问题

核心思路：先补全结构（如用正龙/余弦定理建立方程），再转化为常规最值问题

常见场景：已知两边及其中一边的对角（SSA）、己知一边及两角和、己知边角混合式等

解题方法

1.先定结构：用正弦定理或余弦定理建立方程，求出未知边或角，补全三角形结构

2.再求最值：将问题转化为周长、面积、角、边长等常规最值问题

3.分类讨论：若SSA类型，需讨论解的个数（一解、两解、无解），再分别求范围

4.参数化：设未知边或角为参数，建立函数关系，求值域

名师点睛

不良结构问题的关键是“先定结构，再求最值”，不要直接求最直

SSA类型必须先判断解的个数，否则范围会出错

此类问题是高考难点，需熟练掌握正弦定理的多解判断

♦俊再网发7（24-25高一下•山西太原•月考）已知△力BC为锐角三角形，内角ABC所对的边分别为

血，若喘1=喘，QsinC=L贝*+扛加取值范围为（）

A.（琦］B.（喝］C.（0,|］D.磕］

（2025・陕西安康•模拟预测）如图，由一个等腰三角形7180与一个直角三角形08C拼接

成一个平面四边形A8CD,且力B=AD=1,BC=2BD,BD18C,则当AC的长最大时,sin乙B/D的值为

8

小裁牛力1（24-25高一下•湖北武汉•期中）在锐角三角形48。中，角人氏C的时边分别为a、b、

C,且满足炉一M=QC，则高一熹的取值范围为

A小钱牛力2（25-26高三上♦山东东营♦期末）在锐角△力8C中，内角4B,C的对边分别为Q,

b,c,。为边BC上一点，b+c=5,△48。的面积为¥（25—十一2瓦）.

⑴求4

（2）若80=1,ABAD<求更产的最小值.

小孩，牛乃5（25-26高三上•黑龙江•月考）在△/BC中，角4,B,C是△ABC的内角，且2sia4cos

(6-—sinB=0.

(1)求4

（2）若。为边8C的中点，且力。二夕，AB=^3AC,求△力8c的面积;

（3）求华等的最大值.

【题型7：与角平分线中线有关的最值与范围】

【练方法】

知识梳理

核心工具：角平分线长公式、中线长公式（阿波罗尼斯定理）、基本不等式、三角函数值域

角平分线长公式：,_2bccos日

中线长公式：%=/2〃+2。2一/

解懑方法

1.角平分线问题：将。表示为4。或角的函数，用基本不等式（b+cN2屈）或三角函数求最值

2.中线问题：将〃%表示为Ac的函数，用基本不等式（〃+。222A）或二次函数求最值

3.结合已知条件：若己知一边及对角，用正弦定理将4。表示为角的函数，再求最值

4.验证等号：确保等号成立时满足三角形存在条件

名师点睛

角平分线最值常出现在b=c（等腰三角形）时，中线最值也常出现在等腰三角形

中线长公式是核心，必须熟练记忆和应用

9

此类问题常结合基本不等式，注意“一正二定三相等”的条件

♦经柒例题7（25-26高三上•江苏淮安•月考）在中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,

^ABC=150°,的平分线交AC于点。，且8。=1,则4a+c的最小值为

（2025高三•全国•专题练习）已知在中，内角A,B,C的对边分别为a,4c,HacosC+

V3asinC-b-c=0,且△力8C外接圆半径为1,则边8。上的中线AM的最大值为.

►小钱牛JU1（24・25高一•全国•假期作业）在△ABC中,角4、B、C的对边分别为a、b、c,已

知6=4,c=6,点E在BC上，/E是Nb4c的平分线，贝小E的取值范围为.

►小企牛丸2（24-25高一下•重庆•月考）在△48C中，角力，B,C的对边分别是a,力，c,且2csin

Q+9）=a+b.设8c的中点为D,且AD=6,则a+2b的取值范围为.

►如被牛刃3（2025高三・全国•专题练习）在锐角.中，内角A、8、C的对边分另ij为a、b、

c,已知a=2,4=去点。是线段8c的中点，则线段4。长的取值范围为

一、多选题

1.（24-25高一下•湖北•期中）已知△MC三个内角AB,C的对边分别为a也c,且2c—b—2acosB=0,则下

列选项正确的是（）

A.若Q=3,则BC边上高的最大值为竽

B.若bcosC+ccosB=3,则△4BC周长的最小值为9

C.若△4BC的角平分线力。长为g,且SfHc=V^，则a=

D.若△48c是锐角三角形，且a=3,则b+c的取值范围是（3百,6]

2.（24-25高二下•福建漳州•期末）设锐角的内角4B,。的对边分别是a,b,c,若a=巡，且

（2力一c）cos/l=acosC,则下列结论正确的是（）

A.A=lB.△力4c的外接圆的面积27t

C.△/tC的面积的最大值是苧D.力+c的取值范围是（3,26]

3.（25-26高三上♦河北石家庄•月考）如图，在四边形O4C8中，△力8C为正三角形，设乙4。8=①

0V6<IT,。4=208=4,则下列说法正确的有（）.

10

A.当时，△04B的面积最大

B.48=V20-12cos。

C.若。4•4B=-12,则9=g

D.四边形04cB面积的最大值为8+5国

4.（2026•湖北随州•二模）在△ABC中，角4B,。所对的边分别为。，b,c,△力也的面积为S,若

S=去则（）

A.sinA=sinBsinCB.bsinC4-csinB=2（bcosC+ccos5）

C.捻的最大值为1D."+g的最大值为遥

5.（25-26高三上•山东济南•开学考试）已知a,4c分别为△48C内角的对边，下面四个结论正确的是

（）

A.若acosA=bcosB,则△ABC为等腰三角形

B.在锐角△A8C中，不等式sinA>cosB恒成立

C.若Q=2b，且△力有两解，贝必的取值范围是Q,2於）

D.若/<BC-120。，的平分线交/C于点D,BD—1,贝1J4a+c的最小值为9

6.（25-26高三上•山东•开学考试）在△ABC中,ccosB+bcosC=2,（a+c）（sinC—sin/l）=b

（sinC-sinF）,则（）

A.a=2B./I=?

o

C.△ABC周长的最大值为6D.△ABC面积的最大值为旧

7.（2026高一•全国•专题练习）（多选）在△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,见下列说法中

正确的有（）

A.若a=6,力=或则△ABC面积的最大值为3b

B.若Q=6,b+c=8,则△ABC面积的最大值为3V7

C.若角4的内角平分线交3c于点0,且篙=最"3,则△ABC面积的最大值为3

D.若AB=BC,M为3c的中点