三元一次方程组及其解法（教案）-华东师大版七年级数学下册

第六章一次方程组

63三元一次方程组及其解法

一、教材分

本节课《三元一次方程组及其解法》是华师版初中数学七年级下册第六章第三节内容.本课在

学生学习了二元一次方程、二元一次方程组及二元一次方程组的解的基本概念后，进一步深入学习

三元一次方程、三元一次方程组及其解法组的解.通过本课的学习，加深学生对消元的认知，感受

“消元”的思想.

二、学情分

在本节课的学习中，学生己经具备了方程组的基础知识，对方程组的概念有了初步详细的了

解.然而，在面对多元题目还不能迅速的做出判断，找出应消去的未知数.因此，在教学过程中,

要采用学生多练，多思考，教师要主动引导学生总结归纳解题的方法和规律.

三、教学目

1.了解三元一次方程组的概念.

2.会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解

决.

3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.

4.让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为

难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.

四、教学重难

重点：三元一次方程组的解法及“消元”思想.

难点：根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元.

五、教学过

■情境导入

在6.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在“我们的小世界杯”足球赛第一轮比

赛中胜与平的场数.

在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分，已知勇士队在比

赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多

少？

这个问题可以通过列出一元一次方程或二元一次方程组来解决.

小明同学提出了一个新的思路：

问题中有三个未知数，如果设勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为X、），、Z,又将

怎样呢？

分别将已知条件直接“翻译”，列出方程，并将它们写成方程组的形式，得

（x+y+z=10①

\3x+y=18②

[x=y+z③

像这样的方程组称为三元一次方程组.

怎样解三元一次方程组呢？

I可忆一下二元一次方程组的解法，从中得到什么启示？

师生活动：学生独立思考，再小组交流，最后呈现答案.

设计意图：通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节:果要解决

的问题.

■复习回顾

解二元一次方程组的基本思想是什么？你会用几种方法解二元一次方程组？

答：我们知道，解二元一次方程组的基本思想是“消元”：消去一个未知数，将方程组转化为

一元一次方程求解.方法有代入消元法和加减消元法.

师生活动：采用教师问学生答.

设计意图：通过提前布置预习作业，培养学生建立清晰的知识体系，不仅回顾了知识点也为学

生接下来学习新课做铺垫.

■探究新知

活动一：三元转换为二元解决问题

问题1：如何解情境导入中的三元一次方程组？

对于三元一次方程组，同样可以先消去某一个（或两个）未知数，转化为二元一次方程组（或

一元一次方程）求解.

注意到方程③中，X是用含），和Z的代数式来表示的，把它分别代入方程①②，就可以消去X,

得到[2y+2z=l。④

（化归思想在这里进一步得到体现，你体会到了吗？）

这是一个关于y、z的二元一次方程组，解得

[y=3

lz=2

将｛；二:代入方程③中，可得％=5

%=5

所以这个三元一次方程组的解是y=3

z=2

什么叫三元一次方程？

在这个方程组中，％+丫+2=10和第='+2都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数

都是1,这样的方程叫做三元一次方程.

必备条件：

(1)是整式方程；

(2)含三个未知数；

(3)所含未知数的项的次数都是1.

什么叫三元一次方程组？

像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.

(1)是整式方程；

(2)含三个未知数：

(3)三个都是一次方程；

(4)联立在一起.

上面的三元一次方程组能否用加减消元法求解？或者能否利用方程③，直接代入方程①中的

y+z?比较一下，哪种方法更简便？由此你能总结事解三元一次方程组的步骤吗？

设计意图：引导学生观察方程组中相应方程之间的关系，从而培养学生爱探索的好习惯.

师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示.

概念归纳：

解三元一次方程组的步骤：

I.利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组.

2.解二元一次方程组.

3.将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数.

【教学说明】结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三

元一次方程组的整体思路.

活动二：选择适当的方法解方程组

3%—v+2z=3

问题2：解方程组2x+y-4z=ll,若要使运算简便，消元的方法应选取(B)

,7x+y-5z=1

A.先消去xB.先消去y

C.先消去zD.以上说法都不对

师生活动：学生先独立思考，再小组交流.

设计意图：通过让学生操作，培养学生动手的能力，并引发学生的思考，加深对本节概念的印

■应用新知

2%-3y+4z=3①

3x-2y+z=7②

(x+2y-3z=1③

解.：由方程②，得

z=7-3%+2y④

把④分别代入方程①和③，得

2x—3y4-4(7—3x4-2y)=3

x+2y-3(7-3x4-2y)=1

i-2x+y=-5

整理，得

[5x-2y=ll

解这个二元一次方程组，得二二3

代入④，得

z=7—3—6=—2.

x=1

所以原方程组的解为y=-3

z=2

这里，我们用的是代入消元法：先由方程②，用含有4y的代数式表示z,再分别代入方程①

和③，消去未知数z,转化为只含有x的二元一次方程组求解。

能否先消去彳（或y）?怎么做？比较一下，哪个更简便？

例2：解方程组：

（3x+4y-3z=3①

<2x—3y—2z=2②

I5x-3y+4z=-22③

分析：

三个方程中未知数的系数都不是1或-1，用代入消元法比较麻烦，可考虑用加减消元法求解.

解：③一②，得

3x+6z=-24

即x+2z=-8

①X3+②X4,得

17x-17z=17

即X—Z=1

得方程组

(x+2z=-8

Ix—z=1

解得仔=

lz=-3

把代入方程②，得y=0

(x=-2

所以原方程组的解为y=0

(z=-3

上述例1和例2的解答分别应用了代入消元法和加减消元法，先消去某一个未知数，将三元一

次方程组转化为二元•次方程组，然后解所得的二元•次方程组，得到两个未知数的值，进而求出

第三个未知数的值，从而得到原方程组的解.

能否先消去z(或x)?怎么做？比较一下，哪个更简便？

师生活动：学生先独立思考

设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境,让学生

加深对知识点印象.激发学生的求知欲望，感受数学的魅力.

解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二

元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.

■课堂练习

【教材练习】

1、解下列方程组：

x+y+z=63x—2y=5

(1)3x—y+2z=12(2)y-5z=-11

,x—y—3z=-43z—4%=2

n

x+y—z=232

(3)4x-2y+3z+8=0(4)Z=三

,x+3y—2z—6=045

+y+z=60

(1)解：①+②得4x+3z=18

②一③得2%+5z=16

得方程组伊.z=投

t2x+5z=16

解得｛:=2

将｛；z:代入①

得y=l

(%=3

所以原方程组的解为y=l

(z=2

(2)解：①+2X②得3x-10z=-17

3x-10z=-17

3z—4x=2

解得产)

lz=2

将｛；二;代入①

得y=-1

(X=1

所以原方程组的解为y=—l

(z=2

⑶解：把原方程组整理，得

(x+y-z=2①

■j4x—2y+3z=-8②

(x+3y-2z=6③

③一①，得2y-z=4®

①X4—②，得6y-7z=16⑤

⑤一④义3,得一4z=4

即z=-1

把z=-l代入④得y=l

把y=£z=-l代入①得x=

所以原方程组的解为《v=3

(4)解：由①得露y=6:4④

由②得y：z=4:5⑤

由④和⑤得筋y：z=6:4:5

设％=6Z,则y=4k,z=5k

把％=6k,y=4k,z=5k代入③

得6k+4k+5k=60

k=4

fx=6fc=6x4=24

把k=4代入［y=4/c=4x4=16

(z=5/c=5x4=20

(x=24

所以原方程组的解为y=16

(z=20

2.已知y=ax2+bx+c.当x=-2时，y=9；当％=0时，y=3；当x=2时，y=5.求

a、b、c的值.

解：根据题意得

(4a—2b+c=9①

jc=3②

I4a+2b+c=5(3)

把②代入①、

解得这

所以Q=1,b——1,c—5

师生活动：学生先独立思考再作答.

分析：把“三元”转换为“二元”后解二元一次方程组

【限时训练】

1.若x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,则％+y+z的值为（）

A.2B.3C.4D.5

答：D

师生活动：老师提问学生举手回答问题.

解析：通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25,所以％+y+z=

2.下列方程是三元一次方程的是______.（填序号）

①义4-y-z=1；@4xy+3z=7；

@^+y-7z=0；④6%+4y-3=0.

答:①

3.解方程组：

X+y+z=23①

x-y=1②

（2x+y-z=20③

解：由方程②，得％=y+l④

将④分别代入①和③，得

+z=22

g-z=18

解得{::；

把y=8代入④，得

x=9

%=9

y=8

{z=6

4.在等式y=aX2+/）x+c中，当x=-1时，y=0；当％=2时，y=3；当x=5时，y=60

求a>b、c的值.

解：根据题意得

a—b+c=0①

4Q+2b+c=3②

（25a+5b+c=60