直线和圆的位置关系二（分层提分练）-鲁教版（五四制）九年级数学下册【含答案】

5.6直线和圆的位置关系（2）（分层提分练）

A夯基础

一、单选题

（23-24九年级上•福建福州・期中）

1.下列说法正确的是（）

A.长度相等的弧是等弧B.过三点可以确定一个圆

C.经过半径外端的直线是圆的切线D.园内接四边形对角互补

（22-23九年级上•湖北武汉・期末）

2.如图，已知O。的半径为5,直线4B经过上一点P,下列条件不能判定直线AB与OO

B./APO=NBPOC.点O到直线彳4的距离是5

D.OPA.AB

（24-25九年级上•江苏泰州•期中）

3.如图，力8是。。的直径，力C是0。的弦，过点。的切线交力8的延长线于点。.若

)

C.34°D.58°

（22-23九年级上♦江苏盐城•期中）

4.如图，已知以、P8分别切。。于4、B,CO切。。于E,。。=13,A0=5,则VCQ

周长为（）

试卷第1页，共12页

A

D.

pVI

A.20B.22C.24D.26

（2025九年级下•全国•专题练习）

5.如图，在半径为5的中，将劣弧力8沿弦月5翻折，使折膏后的石恰好与04、OB

相切，则劣弧48的长为（）

555n5

AC.一45B.一4C.一乃D.一万

3246

（24-25九年级1：・江苏常州•期中）

6.如图，己知21切OO于点力，的半径为3,OP=5,则切线长尸/I为（）

A.734B.8C.4D.2

（2024九年级下•全国•专题练习）

7.如图，48是。。的直径，力C是OO的切线，连接OC交。。于点。，连接8D,

zlC=40o.则乙48。的度数是（）

B

aA。

A.30°B.25°C.20°D.15°

试卷第2页，共12页

（2025九年级下•全国•专题练习）

8.如图，已知8c是。。的直径，力。切。。于点力，若NC=4（T,则/D4c等于（）

A.50"B.40"C.25"D.20

（24-25九年级上•江苏无锡•期中）

9.如图，点力的坐标是（-3,0）,点C是以。力为直径的。4上的一动点，点X关于点C的对

称点为点P（XJ）,则工+了的最大值为（）

D.3五+3

（24-25九年级上•江苏无锡•期中）

10.如图，在平面直角坐标系中，。。的半径为1,点P在经过点4（-4,0）,8（0,4）的直线

上，夕。与。。相切于点0,则切线长尸。的最小值为（）

A.2&B.V?C.3D.V10

二、填空题

（24-25九年级上•江苏常州・期中）

11.如图，是的直径，C、。是。。上的点，NCOB=24。，过点C作。。的切线交力B

的延长线于点£,则NE=。.

试卷第3页，共12页

（24-25九年级上•北京•期中）

12.如图，P4P4分别切于点4民。是行上一点，〃是标上一点.若/尸=4D。,

（23-24九年级上•山西大同•期末）

13.如图，力8是。。的直径，弦力。平分/A4C,过点。的切线交力。于点E,连接0。,

若4E=4,DE=2,则0。的半径为.

14.如图，在。。中，43为直径，点"为48延长线上的一点，MC与。。相切于点C,

圆周上有另一点。与点C分居直径/<8两侧，且使得MC=MO=/C,连接40.现有下列

结论：①人仍与。。相切：②四边形NCW是菱形；③AB=M0；④N4W=120。.其

中正确的结论是（填序号）.

试卷第4页，共12页

（2024九年级下•浙江•专题练习）

15.如图，在矩形48CO中，BC=6,AB=3,是以为直径的圆，则直线力。与。。

的位置关系是.

AD

BC

三、解答题

（24-25九年级上•广东肇庆•期中）

16.如图，是。。的直径，点。是线段48的中点，AC=BC.

（1）求证：△ACD/ABCD：

（2）求证：是。。的切线.

（24-25九年级上•浙江台州•期中）

17.已知3c是。。的直径，点。是8c延长线上一点，AB=AD,4£是。。的弦,

ZJEC=30°.

（1）求证：直线月。是OO的切线；

⑵若力E_L8C,垂足为济。。的半径为2,求力E的长.

（21-22九年级上•江苏扬州•期中）

18.如图，在△48。中，。是边8C上一点，以8。为直径的。。经过点4,且

ACAD=AABC.

试卷第5页，共12页

A

BoC

(1)请判断直线4c是否是。。的切线，并说明理由.

⑵若。=2,CA=4,求。。的半径.

(24-25九年级上•北京・期中)

19.如图，△48。中，AB=AC,以48为直径作。。交8C于点。，作。交ZC于

点、E,延长EO交48的延长线于点尸.

(1)求证：是圆O的切线：

(2)若△力月。为等边三角形，4E=3,求圆。半径的长.

(24-25九什级上•江苏南京•阶段练习)

20.如图，四边形ABCD内接于。。，ADAB=90°，点E在BC的延长线上，且/CED=NCAB.

(I)求证：OE是。。的切线；

(2)若力C〃QE,当48=4,。。=2时，求/1C的长.

(2024•广东•模拟预测)

21.如图，是。。的直径，点。是圆上的一点，于点。，/I。交。。于点R

连接AC,若4c平分ND4B,过点F作尸GJ.AB于点、G交4C于点、H.

试卷第6页，共12页

Dt

C

A\G、E

(1)求证：CQ是。。的切线;

FH

⑵延长力B和。。交于点E,若AE=4BE,求下的值.

AF

(24-25九年级上•湖南长沙♦阶段练习)

22.如图，4。是。。的直径，4是8。延长线上的一点，点£在。。上，BCLAE,交AE

的延长线于点c,AC交0。于点R且点£是6?的中点.

(1)求证：4C是。。的切线；

(2)若力。=5,AE=56，求。。的半径.

提能力

(2024•河北沧州•二模)

23.已知P是。。上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与。。相切于点P.以下

是甲、乙二人的作法.下列判断正确的是()

甲：如图1,①连接OP,以点P为圆心，OP长为半径画弧交。。于点儿连接。力并延长:

②在。月上截取x6=0尸，直线出即为所求.

图1

乙：如图2,①作射线0尸；②在直线。。外任取一点4以点4为圆心，力。长为半径作

。力，与射线。产交于另一点4：③连接4I并延长与。月交于点C，直线〃。即为所求.

试卷第7页，共12页

A.甲、乙都正确B.甲、乙都不正确

C.甲正确，乙不正确D.甲不正确，乙正确

（23-24九年级上•湖北武汉・期末）

24.如图，E4为。。的切线，力为切点，8为上的一点，连接尸8、P0交AB于点、C,

尸。的延长线交于点D.则下列条件不能判断尸8为。。的切线的是（)

A.PA=PBB.PD±AB

C.点力，4都在以P0为直径的圆上D.PD平分N4PB

（19-20九年级上•河北沧州•期末）

25.如图，点。是△34。中8c边的中点，DEJ.4c于E,以为直径的。。经过Z）,连

接4D,有下列结论：®ADlBCx②NEDA=NB；®OA=^AC；④。石是O。的切

C.②③D.①②③④

（2024九年级上•江苏•专题练习）

26.如图，矩形48CQ中，G是8C的中点，过/、。、G三点的圆。与边48、CQ分别

交于点E、点产，给出下列说法：（1）4C与8。的交点是圆。的圆心；（2）月产与的交

试卷第8页，共12页

点是圆。的圆心：（3）与圆。相切，其中正确说法的个数是（）

（2024•河北石家庄•模拟预测）

27.下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程.

已知：如图1,P为圆外一点.求作：经过P点的切线.

作法：如图2.

CD产⑴连接也

图1图2

（2）以OP为直径作圆，与。。交于C、。两点；

（3）作直线PC、PD,则直线尸C、尸。就是所求作经过2点的切线.

下列可作为以上作图依据的是.

甲：直径所对的圆周角为直角：

乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

丙：同弧所对圆周角相等.

（21-22九年级上•北京•期末）

28.在下图中，是。。的直径，要使得直线力T是。。的切线，需要添加的一个条件

是.（写一个条件即可）

试卷第9页，共12页

（21-22九年级下•全国•课后作业）

29.如图，/也是。0的直径，O。交8C于。，DE1AC,垂足为£,请你添加一个条件,

使DE是OO的切线，你所添加的条件是.

（20-21九年级上•辽宁葫芦岛•期末）

30.如图，v1BC=9O。，0为射线8c上点，以点。为圆心，g80长为半径作OO,当射

线BA绕点B按顺时针方向旋转度时与。。相切.

（2024九年级卜•・河南周口•专题练习）

31.如图，△48。是。。的内接三角形，力8边上的中线。。经过点O,过点。作。尸

交4。的延长线于点P.

（I）求证：。尸是。。的切线；

（2）若。。=10,C8=12,求OO的半径长.

（22-23九年级下•河南南阳•阶段练习）

32.如图，以半圆O的直径4?为边作△月以边月C,.分别与半圆O交于点£F,且

试卷第1（）页，共12页

EF=BF过点尸作尸D工力C于点D,连接力月.

(1)求证：是半圆。的切线：

(2)连接石尸，若AF=4下,所=2后，则。尸长为

(2024•广西南宁•模拟预测)

33.如图，己知力4经过。0上的点C,CA=CB.连接04。8分别交O。于点。，E,并

且04=08.延长力0交。。于点R连接正■并延长交48于点G.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若8E=2,AB=8,求)的长.

34.如图，为△/AC的外接圆，4c为的直径，AC-10,NC4O的平分线，仍与€)0

交于点尸，过点尸作尸。，48于点。，连接CP.

(I)尸。与8C的位置关系为

(2)求证：也为。。的切线.

(3)若片。+。。=4,求C尸的长.

(2024•山西朔州•模拟预测)

35.已知。。为RtZX/18C的外接圆，NB4c=90。,ZACD=Z.ACB,过点力作力OJLCO于

点。，力。的反向延长线交。8的延长线「点E.

试卷第11页，共12页

D

A

C

(1)求证：是。。的切线.

⑵若CO=9,DE=12,求OC的长.

试卷第12页，共12页

1.D

【分析】本题考查切线的判定，圆的相关概念，根据有关概念性质和性质进行判定即可.

【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故错误，不符合题意；

B、不在同一直线上得三点确定一个圆，故错误，不符合题意；

C、经过半径的外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线，故错误，不符合题意；

D、圆内接四边形对角互补，是圆内接四边形的性质，故正确，符合题意：

故选：D.

2.A

【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的

距离等于半径''进行判断即可.

【详解】解：A、0P=5,不能判定直线力〃与。。相切，符合题意；

B、由心iPO=NBPO,得到。0口点夕在G»O上，能判定直线与相切，不

符合题意；

C、点。到直线力8的距离是5,等于半径，能判定直线48与。。相切，不符合题意；

D、且点〃在。。上，能判定直线4〃与。。相切，不符合题意：

故选：A.

【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关健.

3.A

【分析】本题主要考查了圆切线的定义，直角三角形两锐角互余，一:角形外角的定义以及性

质，由切线的定义得出/。。。=90。，由直角三角形两锐角互余得出

ZCOZ)=90°-Z£>=58°,由三角形外角的定义以及等边对等角即可得出答案.

【详解】解：•••co为。。的切线，

.•.400=90。，

V乙D=32c,

.-.ZC(9Z)=90°-ZD=58°.

-ZCOD=ZA+ZACO,OA=OC,

：.^A=^ACO=-/COD=29°,

2

故选：A.

4.C

答案第1页，共31页

【分析】本题考查切线的性质、切线长定理，根据切线的性质得到4，根据勾股定理

求出4的长，根据切线长定理、三角形周长公式计算即可.

【详解】VPA.PB分别力。。于4、B,

PA=PB,OA1PAf

PA=ylPO2-OA1=12»

；PA、尸6分别切OO于.4、B,CD切OO于E,

DA=DE>EC=CB,

/.Cf,=PD+DC+PC=PD+DE+EC+PC

AfC1.4f，)

=PD+DA+CB+PC=PA+PB

=24,

故选：C.

5.B

【分析】如图画出折叠后获所在的OO',连O'B,O'A,根据题意可得O'B1OB、O'

A1OA,且OB=OA=O'B=O'A,得到四边形O'BOA是正方形，即々0=90。，最后根据弧

长公式计算即可.

【详解】解：如图：画出折叠后前所在的OO',连O'B,O'A

••・前恰好与04、相切

BJLOB、O'A10A

•••OB=OA=O'B=0'A,

••・四边形O'BOA是正方形

.*.zO=90°

•••劣弧AB的长为90GF=汨

3602

故答案为B.

【点睛】本题考查r折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式等知识点，其中掌握弧长

公式和折叠的性质是解答本题的关键.

答案第2页，共31页

6.C

【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理等知识点，掌握切线的性质成为解题的关键.

如图：连接。力，由切线的性质可得。4_L4P,然后运用勾股定理求解即可.

【详解】解：如图：连接04,

•••4切。。于点儿

：.0ALAP,

的半径为3,0P=5,

.，-0A=3.

'-AP=y]OP2-OA2=4.

故选C.

7.B

【详解】解：•MC为切线，

心90°,

・"=40。，

山OC=50。，

,：OB=OD,

:/ABD=cODB,

:乙ABD+乙ODB=UOC=54。,

:•乙ABD=cODB=250.

故选B

8.A

【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质.首先连接04,可得

ZOAC=ZC=40°,根据切线的性质可得NO/1。=90。，从而可得ND4c=50。.

【详解】解：如下图所示，连接"，

答案第3页，共31页

AD

-OA=OC,

ZOJC=ZC=40°,

•.•月。是OO的切线，

/.ZOJD=90°,

ZDAC=ZOAD-ZOAC=90°-40°=50°,

故选：A.

9.B

【分析】根据题意得HlOP=。4=3,可得点P的运动轨迹为以。为圆心，3为半径的反，令

%+），=〃?,即y=-x+〃?,，所以当直线十相切时，〃，最大，进而求解即可.

【详解】解：连接oc,OP,

y=-x^nf\''

.二\

/、、X

TO/为直径的。8,

、A

/\j

.-.ZJCO=90°

.•.OC垂直力p,

点A关于点C的对称点为点P(xj).

:.AC=PC,

.•.oc垂直平分月P,

.-.OP=OA

v/l(-3,0),

.Q=3,

答案第4页，共31页

：.OP=O4=3,

・・•点尸在以。为圆心,3为半径的圆上运动,

令x+y

则尸r+加，

;要求冽值最大,

-1•〃?越往上越大，

・・・当直线与。。相切时，加最大，

设直线与y轴交于点。，切点为p,连接。p'，则。尸’=3,

由直线比例系数4=1可知，直线与坐标轴所夹锐角为45。，

•.AOP'。为等腰直角三角形，

OQ=42OP'=3>f2

H|jx+y=w=

3X/2

x+V的最大值为30

故选：B.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂直平分线的性质，切线的性质，一次函数,

勾股定理；根据题意得出点〃的运动轨迹是解题的关键.

10.B

【分析】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点.连接

OP.根据勾股定理知P。、。尸_00：因为。。是定值，所以当OPJL/8时，线段OP最短,

即线段最短.

【详解】连接OP、OQ.

•・・久？是OO的切线,

OQLPQ-

根据勾股定理知PQ-=OP2-OQ2,

•••当PO148时，线段尸。最短:

答案第5页，共31页

又力(-4,0),5(0,4),

04=OB=4,

:.AB=Ay[i

OP=AB=2y/2，

PQ的最小值=7<2>/2)2-12=近.

故选B.

II.42

【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，余角的性质，熟练掌握圆周角定理，切线性

质定理是解题的关键.连接OC,根据圆周角定理，切线的性质，余角的性质解答即可.

【详解】解：连接OC,

•••ACDB=24°,

:.Z.A-/CDB-24°,

.­.ZCOF=2ZJ=48°,

•••过点。作。。的切线交AB的延长线于点E,

NOCE=900,

ZE=900-ZCO£=42°,

故答案为:42.

12.度

【分析】本题考查切线性质、圆内切四边形对角互补、圆周角定理，连接04OB,根据切

线性质可得NO4P=/O8P=90。，再根据四边形的内角和为360。求得/力。8,然后利用圆

周角定理，圆内接四边形对角互补即可求解.

【详解】解：如图所示，连接。1、OB,

答案第6页，共31页

A

Q

VPA,尸8分别切。。于点4,B,

："OAP=NOBP=9M,

又•・•//=40°,

："AOB=360°-90°-90°-40°=l40°,

.♦.NQ=L/AOB=700,

2

••・四边形/HAQ是圆内接四边形，

.­.Z//=18O°-Z0=11O°

故答案为：110°.

13.^##2.5##2-

22

【详解】解：如图所示，连接。8,

••・。石为。。的切线，

：.OD1DE,

AO=DO,

/.ZOAD=NODA,

•••4。平分/H4C,

:.NBAD=NCAD,

："ODA=NCAD,

.­.OD//AC,

：.NAED=/ADE=90。,

•••48为直径，

答案第7页，共31页

.•.N4DB=900.

•••ZEAD=NDAB,

:•"DES"BD,

AEAD

•,布-布’

•••4£=4,DE=2,

-AD=4^+2T=2y[5，

4_2A/5

••亚一下‘

:.AB-5,

.•・。。的半径为g.

14.①②③④

【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、切线的判定及性质、菱形的判定及性质、含

30。角的直角三角形的特征，利用SSS得△CMOgAQMO,可得NOOW=NOCW,再根据切

线的判定及性质可判断①，利用三角形的判定及性质得4C=力。，再根据菱形的判定即可

判断②，利用含30。角的直角三角形的特征可判断③，利用菱形的性质可判断④，熟冻掌

握相关的判定及性质是解题的关键.

【详解】解：连接OC,OD,

-OC=OD,CM=DM,OM^OM,

..△CMO也△OMO(SSS),

/./ODM=NOCW,

♦.•MC与。。相切于点C,

NOCM=90。，

/.NOD"=90。,

是€>O的直径，

.•.MO与。。相切：故①正确：

♦.•△CMO四△DHO,

/COM=/DOM,

ZAOC=ZAOD,

答案第8页，共31页

■：OA=OAt

:.^AOCg"OQ（SAS）,

:.AC=AD,

AC=AD=CM=DM,

•••四边形月CMD是菱形，故②正确；

,■AC=CM,

/.ACAM=ACMA,

/COM=2ZCAM,

/.NCOM=2ZCMO,

/.Z.CMO=30°,

/.OC=-OM,

2

•/OC=-AB,

2

:.AB=OM,故③正确；

•.•四边形力aim是菱形，

/DAM=Z.DMA=Z/l.WC=/CAM=30°,

：.^ADM=\20°,故④正确；

故答案为：①②③④.

15.相切

【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题

关键.

作OE_L/I。于则OE=48=3,由题意得出半径=3,由"=厂，即可得出结论.

【详解】解：如图所示：作O£_L4。于区

则0£=力5=3,

•••BC=6,

答案第9页，共31页

OB=、BC=3,

2

：.OE=OB,即圆心到直线的距离等于半径,

・•・直线4。与。。相切.

故答案为：相切.

AED

--------------3-------------

BOC

16.(1)证明见解析；

⑵证明见解析.

【分析】(1)利用等腰三角形的“三线合一”性质得。AD=BD,则

NADC=/BDC=90°,然后由SAS判定方法即可求证；

(2)利用等腰三角形的，三线合一”性质得CQ_L4B,又CO是。。的直径，从而求证；

本题考查了切线的判定，全等三角形的判定，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握知识点

的应用是解题的关键.

【详解】(1)证明：•••点。是线段"的中点，AC=BC,

：.CDLAB,AD=BD,

：.ZADC=ZBDC=90°,

在“CO和△4。。，

AD=BD

,4OC=/8Z)C=90。,

CD=CD

.•."CQ知8CQ(SAS)；

(2)证明：•.•点。是线段48的中点，AC=BC,

.-.CDLAB,

•••CO是€＞。的直径，

••.48是。。的切线.

17.(1)证明见解析

Q)2出

【分析】对于3),连接。4,根据同弧所对的圆周角相等得再根据等边对等角得

答案第10页，共31页

ND=NB,然后根据圆周角定理得/40C,最后根据三角形内角和定理得出答案；

对于（2）,先根据垂径定理得=再根据直角三角形的性质得ON=；。力，然后根

据勾股定理得4U,最后根据=24”得出答案.

【详解】（1）连接O/，

•.ZEC=30。，

:•4B=乙/iEC=30°,

vAB=AD,

.•.Z£）=Z5=30°.

・・•标•所对的圆周角是/力EC，圆心角是“力OC,

.-.ZJOC=2ZJEC=60°,

.♦.ZOJZ）=180o-ZJ（?C-ZZ）=180o-60o-30o=90o,

:.AD±0A.

••・。力是。。的半径，

•・•直线/。是的切线；

（2）•••8C是。。的宜径，AE1BC,垂足为忆。。的半径是2,

AM=EM,N4WO=90。，OA=2.

0

-,-ZAEC=3Of

ZAOM=2ZAEC=60°,

・・.Z.OAM=180°—90°-60°=30。，

OM=—OA=1.

2

根据勾股定理得AM=4AO,-OM2=A/22-12=G，

•••AE=24"=2石.

【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性

答案第11页，共31页

质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路.

18.(1)直线力C是。。的切线；理由见解析

(2)3

【分析】本题主要考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，证明直线4C是否

是。。的切线是本题的关键.

(1)如图，连接04,由圆周角定理可得/8月。=90。=/。力8+/。力。，由等腰三角形的性

质可得==可得/。4。=90。，可得结论；

(2)由勾股定理可求04=00=3即可得到答案.

【详解】(1)解：直线力。是。。的切线，理由如下：

如图所示，连接办，

•••4。为。。的直径，

；./B4D=90°,

：.NOAB+NOAD=90。

•：0A=0B,

NOAB=ZABC,

又•••ACAD=乙4BC,

ZOAB=/CAD=ZABC,

："OAD+NCAD=NOAB+NOAD=90°=^OAC,

:.AC_LOA,

又••・"是半径，

•••直线/。是。。的切线；

(2)解：在RSO4。中，由勾股定理得。。2=4。2+4。2,

•••8=2,CA=4,

.-.OC=OD+CD=OA+CD=OA+2t

.•.(。4I2『=16IOA2,

答案第12页，共31页

•，.OA=3,

.•・。0的半径长为3.

19.（1）见详解

（2）2

【分析】（I）连接0。，由等腰三角形的性质得到=ZABC=NODB,等量

代换得/ACB=/0DB,由平行线的判定得到OD//AC,进而得到ODIDE,即可证得DE

是。。的切线；

（2）由等边三角形的性质得//4C=N8/1C=NC=60。，再结合圆周角定理以及直角三角

形的性质得力。=2。£,杈据勾股定理列式计算，即可得到结论.

本题考杳了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是:

正确作出辅助线，证得OO〃/C.

【详解】（I）讦明：连接0。.

:.ZABC=/ACB,

•••08=00,

ZABC=N0DB,

：.AACB=NODB,

:.OD//AC,

'：DE±AC,

/.0DA.DE,

是€>o的半径，

Of是。。的切线：

(2)解：•.•△力BC为等边三角形,

ZJ5C=Z^C=ZC=60°,

•••48是。。的直径，

答案第13页，共31页

0

/.ZADB=ZADC=9Of

222

ZBAD=ZCAD=300fDE+AE=AD,

AD=2DE>

:.DE2+31=4DE2,

DE=£,

：.AD=2G

在Rt△力中，AB=2BD,BD2+AD2=AB2^

：.5D2+(2X/3)2=45D2,

BD=2,

：.AB=4.

/.0。半杼的长为2.

20.⑴见解析

⑵苧

【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质,

勾股定理，求出8C=4是解本题的关键.

(1)先判断出8。是圆。的直径，再判断出即可得出结论；

(2)先判断出力C/8。，进而求出8c=45=4,再用勾股定理求出4。，根据三角形的面

枳公式即可■得出结论.

【详解】(1)证明：如图，连接A。，

点。必在8。上，即：8。是直径,

/.N8CQ=90。，

/DEC+/CDE-

NDEC=NBAC,

Z/；JC'+ZCL>fc=90%

答案第14页，共31页

*；BC=BC，

ABAC=/BDC,

z.NBDC+NCDE=900,

:.NBDE=90。,即：BOLDE,

•・•点。在。。上，

/.是是0的切线;

(2)解：vDE\\ACt

•••ZBDE=90°,

NBFC=90°,

即BF1AC,

：.CB=AB=4,AF=CF=-AC

2f

在RtABCO中，BD=ylBC2+CD。=2后,

：.S=-BCCD=-BD-CF

"SDC22

•BCCD2x44>/5

CF=---------=-尸=,

BD2755

,今厂厂85/5

AACr=2CF=.

5

21.⑴见解析

eFH1

⑵酢=5

【分析】（1）如图1,连接OC,根据等腰三角形的性质得到NC4O=N4CO,由角平分线

的定义得到/D4C=NO4C，等量代换得到/D4C=4c。，根据平行线的判定定理得到

AD//OC,由平行线的性质即可得到结论；

（2）设8E=%，则力8=31，根据平行线的性质得NC0E=NQ/18,证明

根据相似三角形的性质即可得解.

【详解】（1）证明：如图，连接OC,

答案第15页，共31页

D,

-：OA=OC,

："CAO=/ACO,

•••4。平分/。力8,

ZDAC=ZOAC,

:.ADAC=NACO,

:.AD〃OC,

-CDLAD,

.-.OC1CD,

••・oc是。。的半径，

・•.CO是。。的切线；

(2)解：•••/(£1=48E,OA=OB,

设=则/8=3x,

.-.OC=OB=\.5x,

：.OE=2.5x,

vOClCD,

•••EC=y/OE2-OC2=J(2,5x『-(1.5x『=2x，

-：FG1AB,

・・.N4GF=90。,

.-.ZJFG+ZFJG=90°,

•••AD//OC,

："COE=ZDAB,

•••/COE+"=90°,

:.ZE=ZAFH,

又•；NFAH=NCAE,

答案第16页，共31页

"HFs“CE,

FHCE

------=------，

AFAE

1

v-C--E=——lx=—,

AE4x2

•F一H——:1—

**AF2'

【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定以及等

腰三角形的判定与性质等知识.掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键.

22.(1)见解析

(2)2.5

【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判

定.熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

(1)连接OE,根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出=根据等访对等角

得出=推得=根据内错角相等，两直线平行得出〃OE，根

据两直线平行，同位角相等得出。E_L4C,即可证明；

(2)设。。半径为〃，根据勾股定理可得力炉+0炉=4。2,据此列出方程,解方程求出厂

即可.

【详解】(1)证明：如图，连接。石，

,•,点E是才的中点,

-EF=DE^

Z.EBC=RDBE,

又OB=OE,

:.NDBE=ZBEO,

:.NEBC=NBEO,

BC//OE,

又BC工力C'于点C,

上人AC于点E,

答案第17页，共31页

•••。七是。。的半径，

.••/c为。。的切线

（2）解：设。。半径为八

在RtZ\40E中，AE2+OE2=AO\

•••（（5何+/=什+5）2,

解得：〃=2.5

即。。的半径为2.5.

23.A

【分析】此题考查了切线的判定、等边三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，熟练掌握

切线的判定是解题的关键,如图1中，连接21,证明NOP8=90。,即可证明甲正确；如图

2,证明/。尸。=90。，即可证明乙正确.

【详解】解：中止确，理由：如图1中，连接21,

根据题意可得4P=PO=，4O,

.•."02是等边三角形，

N0PA=N0AP=60°,

,:AB=OP=AP,

N4PB=NABP,

NOAP=NAPB+NABP,

N”B=/ABP=3G。,

NOPB=90。,

半径OP_LP8,

・•.PH是。。的切线；

乙正确，理由：如图2,

•••C8为直径，

答案第18页，共31页

ZCP5=90°,

ZCPO=180°-90°=90°

•••PC是。。的切线，

故选：A.

24.D

【详解】本题考查切线的性质和判定，全等三角形，连接08,OA,根据选项条件证明

△OP8g△021即可解题.

解：•••4为的切线，

.•.NCMP=90。，

连接08,OA,

PA=PB,04=OB,PO=PO,

nPBO处PAO,

；"OBP=NOAP=900,

.•.PA为。。的切线，故A正确，不符合题意;

•：OA=OB,PD1AB,

•••PO垂直平分力8,

•••PB=PA>

即△PBgEO,

.,20BP=/0AP=9U0,

J.尸4为的切线，故B正确，不符合题意;

•.•点/,4都在以P。为直径的圆上，

；.NPAO=NPBO=9。。,

又•.0=08,

・•.P8为。。的切线，故A正确，不符合题意;

,:PD平分/APB,

：,/BPD=/APD,

答案第19页，共31页

再根据CM=OB,PO=PO,不能判断AP8。空A4。，故D错误，符合题意;

故选：D

25.D

【分析】本题考查了圆的基本性质，切线的判定及性质，三角形中位线定理，线段垂直平分

线的判定及性质等；由圆的基本性质得//。8=90。，即可判断①；连接0。，由线段中位

线定理得。O〃/1C,由平行线的性质得/。。£=90。，即可判断④；由等腰三角形的性质

得NODB=NB,由圆的基本性质得44。〃=90。，由余角的性质，即可判断②；由线段垂

直平分线的判定及性质得力。二力8,即可判断③：掌握相关的判定方法及性质是解题的关

键.

【详解】解：-FB是。。直径，

/.ZADB=90°,

：.ADA.BC,

故①正确；

连接如图,

.•・。。为。的中位线,

?.0D//AC,

•••DE工AC,

N£>EC=9(r,

.•.NODE=90°,

OF为。。的切线,

故④正确；

•••OB=OD,

/.NODB=NB,

••・居为。。的直径,

答案第20页，共31页

N/iDB=90°,

Z.EDA+ZADO=90°,

ZBDO+ZADO=90°,

NED4=ZBDO,

NEDA=Z.B,

故②正确；

•.•。为8。中点，且力。工4C,

.•.力。垂直平分4C,

AC=AB,

•••OA=-AB

2t

:.OA=-ACt

2

故③正确；

则正确的结论为①②③④.

故选：D.

26.C

【分析】本题考查了矩形的性质和三角形外心，切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于

这条半径的直线是圆的切线，解题的关键是掌握以上知识点.

连接QG、4G,作GH14D于H,连接如图，先确定AG=OG,则G〃垂直平分

AD,则可判断点。在所匕再根据“G1BC可判定6C与圆。相切；接着利用OG=。。

可判断圆心。不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为。。的内接矩形可判断AF与

。月的交点是圆。的圆心.

【详解】解：连接OG、.4G,作G〃_L力。于，，连接。。，OA,如图，

AG=DG,

:.GH垂直平分力。，

答案第21页，共31页

;OD=OA,

ZODH=NOAH,

♦;OH=OH,

:.^ODH=L.OAH,

；20HD=N0HA=9G,AH=DH,

二.点。位于力。的垂直平分线上，

.•.点O,H,G三点共线，

•/AD//BC,

HG工BC,

「•"C与圆0相切；

•••OG=OD,

点。不是的中点，

二.圆心。不是4C与8。的交点；

•・•ZADF=Z.DAE=90。,

Z.AEF=90°,

••・四边形AEFD为。。的内接矩形，

AF与DE的交点是圆。的圆心：

(1)错误，(2)(3)正确.

故选：C.

27.甲乙

【分析】本题考查作图一复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质.连接OC,OD,根

据百径所对的圆周角为直侑以及切线的判定可知PC'、户。是所求作经过P点的切线，进而

可得答案.

【详解】解：如图2,连接OC,OD,

图2

NOCP=NODP=90°,

vOC,。。为。。的半径,

答案第22页，共31页

・•.PC、尸。是所求作经过尸点的切线.

・••可作为以上作图依据的是甲乙.

故答案为：甲乙.

28.乙4BT=HTB=45。（答案不唯一）

【分析】根据切线的判定条件，只需要得到4BAT=90。即可求解，因此只需要添加条件:

乙4mz"8=45。即可.

【详解】解：添加条件：乙IBT=4TB=45。,

•：^ABT=Z.ATB=45°,

.""=90。，

又•••48是圆。的直径，

17是圆。的切线,

故答案为：乙44代乙478=45。（答案不唯一）.

B

【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题

的关键.

29.BD=CD或AB=AC

【分析［结合。石工4C,只需OD〃4C,根据O是44的中点，只需〃。=。。即可•：要使

BD=CD,则连接力。，只需力8=/C,根据等腰三角形的三线合一即可.

【详解】解：若添加理由如下：

如图，连接0。，

答案第23页，共31页

'.ODUC,

•••DE1AC,

：.DELOD,

•••00交8C于。，

••・。£是。。的切线；

若添加力8=力。，理由如下：

如图，连接力。，

•••48是。。的直径，

山08=90。，

•••点。是8。的中点，

•：OA=OB,

：,ODUC,

•:DEJ.AC,

'-DELOD,

•••。0交3c于。，

是。。的切线.

故答案为：8。=。。或48=力。

【点暗】本题主要考查了切线的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定定理，三

角形的中位线定理是解题的关键.

30.60或120㈱120或6()

【分析】由于半径是;8。，因此只需要过。作旋转后的直线的垂线，只要保证旋转后的射

线与8c的夹角是30度，则O与垂足的连线就是80长的一半，即为圆的切线，由此即可

得到答案.

【详解】解：射线8力绕点8顺时针旋转60度时，记为射线8E,作OQ18E于。，

•••在直角三角形BOD中，乙DBO=，4BD-乙4BE=3。。,

.•.OD=；BO,即O。为圆。的半径，

•••8E与圆O相切，

同理将射线BA绕点8顺时针旋转120度时，记为射线8,同理可证8〃是圆O的切线，

故答案为：60或120.

答案第24页，共31页

【点睛】本题主:要考查了含30度角的直角三角形的性质，切线的判定，解题的关键在于能

够熟练掌握切线的判定条件.

31.⑴见解析

15

(2)T

【分析】本题考查了圆的切线证明、相似三角形的判定于性质、勾股定理等知识点，掌握相

关几何结论是解题关键.

(1)连接08,可得。结合。夕〃力4即可求证；

(2)由题意可证△POOs△/。。得空=空，设。力=0。=5工，则0C=3x.根据

OCAC

AO2=OC2+AC2即可求解.

【详解】(1)证明：如图，连接04,

•:OB=OA,点C为力B的中点、,

.-.OClAfi,HPDCLAB.

-DP//AB,

:.DPA.DC,

•••o。是。。的半径，

•••OP是。。的切线.

(2)解：•••点C为的中点,

答案第25页，共31页

-.AC=-AB=6.

2

-DP//AB,

：2P=NOAC,NPDO=£ACO.

△尸。Os△4CO.

ODDPOD105

...——=——，即nil——=——=-.

OCACOC63

设。4=。。=5%，则OC=3x.

在Rl"C'O中，

"AO2=OC2+AC2,

.♦.(5x)2=(3x>+62,

33

解得x1=5,X1=~2(舍去)，

则5x吟.

即的半径为三.

32.⑴见详解

(2)£)F=4

【分析】本题考查了切线的判定定理，勾股定理，圆周角定理，角平分线的判定与性质，正

确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先由圆周角定理得NR98=NC48,证明〃彳C