四川省泸州市2025-2026学年高二年级上册期末质量检测数学试题（解析版）

四川省泸州市2025-2026学年高二上学期

期末质量检测数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.抛物线丁二2%的焦点到准线的距离为（）

A.1

【答案】B

【解析】由解析式可知2"=2,即〃=1,

焦点到准线的距离为

故选:B.

i2

2.——的虚部为（）

【答案】D

-l(l-i)_-l+i

【解析】因为币=所以虚部为二,

0+i)(Ji)

故选：D.

3.双曲线C：3一三二1的左、右焦点分别为《，F2,尸是。上一点，若

|「用=3归闾，则|P£|二（）

【答案】D

【解析】由题意双曲线C：三一22=1的/=4，.•.2。=4,

49

又P是C上一点，|「肉=3|尸用，.・./在双曲线的右支上,

根据双曲线的定义，得|”|一归周二%|P用-；|P用=4,解得归浦=6.

故选：D.

4.设4，。是一个随机试验中的两个事件，且A与8相互独立，若P（A）=0.5,尸（B）=0.4,

贝|JP（4U8）=<）

A.0.2B.0.5C.0.7D.0.9

【答案】C

【解析P(Au4)=尸(A)+P(3)—尸(Ac8)=P(A)+/>(4)—Q(A)P(3)=0.5+0.4-0.5x0.4=0.7,

故选：C.

5.三棱锥O-A3C中，点M，N分别为AB,OC的中点，记过=［，。月=/；，

OC=c，则MN=（）

A.丁1（不一万一/7）

(方+〃+不)

2-g

1

C.—^67—b+cjD.-IZrb+c-a

2、

【答案】A

【解析】因为点M是A3的中点，所以的=空3=©±

22

又因为点N是OC的中点，所以o内=区=£,

22

因此：MN=ON-OM=--^-=C~a~^

=-(c-a-b)

222

故选:A.

6.某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是2,3

一,假设在两

34

处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为（)

57

A.-B.—C7D.——

31212

【答案】B

23

【解析】在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是一，-

34

21135

则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为一x-+-x-=一

343412

故选：B.

7.圆柱的轴截面为正方形，一个圆锥的底面半径与该圆柱的底面半径相同，且侧面积相

等，则圆锥的高与圆柱的总之比为（）

A.正B.&C.叵D.7?5

22

【答案】C

【解析】设圆柱底面半径为，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为2-，

依题意圆锥的底面半径为，设圆锥的母线长为/,

因为圆锥与该圆柱的侧面积相等,所以2口・2厂=兀"，解得/=4/，

则圆锥的高为J/2一/二用人

所以圆锥的高与圆柱的高之比为巫.

2

故选：C.

8.M是圆C：f+y2=1上的动点，Q为直线/：x—y+2=。上的动点，定点N（2,-l）,

则|0M+|QN|的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】圆C：/+）2=1的圆心。（0,0）,半径〃=]

设点N（2,—1）关于x-y+2=0对称点为N'（〃?,〃），

/2+11

----=-1

“一:,,解得，m=—3,

则《…‘即MT©

山上+2=0

22

故加=卜3）2+42=5

由IQNRQMI，故|QM+|QN|=|QM+|QN[,

又|QM|>|OQ\-rt则\QM\+\QN\>|QN[+|O。一厂习。7[--=5-1=4,

当且仅当O,Q,N‘三点共线时取等号，故|QM|+|QN|的最小值为4.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知直线4：依一），+1=（）,4：x—@一3=（）,则（）

A.4恒过定点（0,1）B.若4〃4，则。=1

C.若41，2,则4=0D.，2的倾斜角可能为0

【答案】AC

【解析】4：or+(l-y)=0,直线4恒过定点(0,1),A选项正确;

若/|〃4，则。(一。)=Txl,，。=±1,

且当4=一1时，/i：K+y-l=0,/2:x+y-3=0,《〃4也成立,B选项错误；

若4_L，2,则axl+(-l)x(-a)=0,即加=0,则〃=0,C选项正确；

〃=0时，4斜率不存在，倾斜角为。工0时，4直线斜率为1工0,倾斜角不是0,

2a

于是无论〃如何取值，/?倾斜角不可能是0,D选项错误.

故选：AC.

10.如图，正方体4BCO-A与CR的棱长为2,点P在线段8c上运动，则()

B.三棱锥。-PAG的体积为定值

C.直线AP与co所成的最小角为?

D.点。到直线AG距离的最小值为迈

3

【答案】ABD

【解析】对于A,以。为坐标原点建立空间直角坐标系。-❷立，如下图所示:

则4（2,2,2）,C（0,2,0）,则离=（2,0,2）,设万二丸璃=（24,0,2/1）

（问刈），

4（2,0,2）,B（2,2,0）,.••比=（-2,0,0）,丽二（2,0,2）,

/.BP=BC+CP=（22-2,0,22）,

则户=44-4+44=84-4,当AQJ.6尸时，户=84—4=0,

则a=；,即当尸为耳。的中点时，满足题意；A选项正确；

对于B.・・・4O//qc,・・・AQu平面4/）G，gca平面AZ）G，

・•・B.CU平面A%，即点尸到平面MG的距离不变，

••%-PAG=%-DAG不变，B选项正确；

对于C,4（2,0,0）,・•・A月=（0,2,0）,

则丽=而+而+而=（2丸一2,2,2/1）,国=（0,2,0）,

设直线A尸与CO所成角为aae

_______APCD41

则cosa=cosAP,CD=-=：~=/=——=.

APCD^(2/l-2)2+22+(2/l)2X2,2万-22+2

令/（4）=2zl2-2；l+2,/l£[01],函数对称轴为％二不,

•e-/(O)=/(l)=2,/(；)=2x6)一2xg+2=|,

/./(^)e巧,2—<cosa=「1」瓜•・・c°sa二"工亘

.2」2V2/l2-22+2332

兀

・••直线”与CD所成的最小角不为一，C选项错误;

6

对于D,G(O,2,2),^C=(-2,2,-2),^C；=(-2,2,0),

则解=而+而=（2几一2,2,2/1—2）,

|^q-4P|_|-42+4+4|_|4-22|

则A户在4。；上的投影长为

产德部小-2G+3—2)Y号J

・••尸到直线AG距离(/=46%2-82+4.

，当a=------次=2时，4取最小值」6—一8、2+4=3叵，D选项

v2e[0,l],

2x63丫⑶33

正确.

故选：ABD.

11.在平面直角坐标系资为中，过抛物线C：V=4x焦点/的直线/与C相交于A,8两

点，过尸作/的垂线交直线x=T于点。，则()

A.\AF\>\B.|AD|>|AB|

C.ZAOB>^D.S^DAF-S^DBF>4

【答案】ACD

【解析】如图所示，由题意得尸(1,0),准线方程为％=-1,

当直线/斜率为。时，直线/与抛物线只有一个交点，不符合题意,

故点A不与原点重合，由抛物线定义可知|A月=|4目>1,A选项正确;

当直线/斜率不存在时,/:x=l,则4(1,2),5(1,-2),\AB\=4f

此时。(TO),|4。|=2直，B选项错误；

当直线/斜率不存在时，/:x=l,则4(1,2),3(1,-2),

27r7Tit

tanZiAOF=—>1=tan—,,\Z.AOF>—,,\/.AOB>—

1442

,,y=kx-k

当直线/斜率存在时，设/:〉=依-攵，联立方程组得《一，

y-=4x

整理得〃2%2_(2攵2+4卜+攵2=(),设A(x，yJ,研W,必)，

mil2M+4।

则同+42-----5—，—I，

1244A

由抛物线定义可知|人用=%+/+〃=失上+2=4+3,

kk

I.I23216

ABD=16+—+—r

k2k

+x,2

|OA「+=x；+2+>2=x；+4+4X]+4X2=(Xj+x2)-2x[x2+4(玉+9),

Q4「+g(2+£|12+4x(2+£)=l°+1+关

22232161「

|AB|-(|OA|+|OB|)=16+^+-^--10-tF+F=6>n0*

kk1

|OA|2+|OB|2-|AB|2

即M肝>|O40+|O",.*.cosZAOB=<0,

2\OA\\OB\

：,/.AOB>-,C选项正确：

2

-5ADfiF=||AF||DF|X1|BF||DF|=^\AF\\BF\\DF^,

乙乙■

当直线/斜率不存在时,上上=1,则A(l,2),D(-l,0),

S"S.DBF=^\AF\\BF\\DF^=1X2X2X22=4,

当直线/斜率存在时，|AF|=X+K=X+I,忸目=毛+4=电+1，

22

直线£）尸：y=-：x+g,则O

・"听=(1+1)。("=44

1(4=(不巧+玉+%+1)(1+,

=V,

S^DAk.SADBF7V+l)(“2+1)4+77

4VK

•,$△£)"•S公DBF/4,D选项正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.椭圆?+上=1的一个焦点坐标是（退,0）,则，〃的值为

【答案】1

【解析】•・•焦点坐标是卜华,0）,・・・/=4,〃=〃2,C=JL

,**a2=+02,.・.4=+3,

=1.

故答案为：L

13.从小到大依次排列的四个数I,a,b,9,这四个数的中位数和平均数相等，则这四

个数的和是.

【答案】20

【解析】中位数为----，平均数为------------，

24

由题意得空l+o+b+9

则a+b=\O,

2丁

•••1+。+。+9=20,

故答案为：20.

14.斜三棱柱43。-43©中，NAA3=NAAC=6O。，ZBAC=90°,

AB=AC=2框,4A=4,动点p在侧面上，且A2=2,则尸的轨迹长度为

【答案】2兀

【解析】如图，以A为坐标原点，分别为XV轴，垂直于平面A3C的直线为z

轴，建立空间直角坐标系，

则4（0,0,0）,8（26,0,0）,C（0,2石,0）,

设A（2i，zJ,则丽=a，y,z）通H2Go,0）,而=（0,2百,0卜

X\-AB=4x2y[3x-=4y/3

由题意可知:，A4-XC=4x2^x-=45/3,

|祠=4

2岛=4百

x}=2

解得卜i=2

则〈2回=4百

Jx；+y；+z；=4人=26

即4（2,2,2夜），则与（2+26,2,2夜），C,（2,2+273,272）,

可得或=(2百,-2百,0),忑=仅,2,2夜)，

ULUUUL1_________

注意到3c-CG=46-4>万+0=0,则8CJ_CG，可知BCG片为矩形,

万=2岳-2。=0

设平面8CG4的法向量为万二(x,)，,z),则

.为=2x+2y+2缶=0

令x=],则y=l,z=_、5，可得开二E,

设点A在平面BCC&I的投影为。（七,％,Zo）,

则加=（%-2后加z（））,CD=（%）,y（）-2&z（J,

AO=（%）—2,>'0—2,z0—2^2）,

BD-n=0BD-n=x0-2\/3+y0-V2z0=0

/o

解得儿=2+—

因为《CDn=0,则CD-/?=x0+J，。-2>/3-&z°=0,

豌-2_%-2_z。-25/2

~\DHnz°=2五一堂

乙

即小+孝,2+.2牛雪则丽=惇，等

T]

S回=电邛-函=1,

又因为。。=2T

22

CB=(2>/3,-25/3,0),Cq=(2,2,2>/2),

则前二—而+1--M，K|cS|=2x/6,|cq|=4,

\/

可得点力到直线CG，CB,。蜴的距高分别为遥,6,4-6，石，均大于1,

所以点P的轨迹是以。为圆心，半径I=1的圆，

所以尸的轨迹长度为2口=2兀.

故答案为：2Tl.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆C的圆心在直线x—2)，+3=0上，且与直线y—5=0相切于点(1,5).

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线x+y+〃=0与圆C相交于E,产两点，且庐尸|=2,求实数。的值.

解：(1)令切点为A(l,5),

由题意可知AC过点A(L5)且垂直于直线)，-5=0,

，AC:x=1»

x=\

联立直线方程［x_2y+3=0，解得则半径〃=MC|=3,

・••圆C:(x-l)2+(y_2)2=9.

|1+2+4_|3+4

则圆心C到直线X+y+4=0的距离d=

又,：d俱3

'9+6；+。+]=9，即々2+60—7=0，(a+7)(。-1)=0

16.为了深入开展安全教育，普及安全文明知识，某中学随机抽取1000名学生进行安全文

明知识竞赛并记录得分（瞒分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记

为[50,60）,[60,70）"70,80）,[80,90）,[90,100],并绘制成如图所示的频率分布直

方图.

，频率/组距

0.040------1-

0.035

0.030--1—

0.025■

0.020•

0.015-............—।

0.010............—1

0.005..........................

05060708090100成绩/分

（1）请估计这1000名学生成绩平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）和.上

四分位数（结果保留整数）：

（2）现从[70,80）,[80.90）两组中采用按比例分层随巩抽样的方法抽取5人，再从这5

人中随机抽取2人，求2人来自不同两组的概率.

解：（I）频率分布直方图中，结合频率分布直方图，

设这1000名学生成绩的上四分位数为3在[50,60）的频率为03[60,70）的频率为

0.4,[70,80）的频率为0.15,则上四分位数落在[70,80）内，

则（f-70）x0.015=0.75—0.4—0.3,解得/=73：,即上四分位数约为73分,

这1000名学生成绩平均数为55x0.3+65x0.4+75x0.15+85x0.1+95x0.05=67分.

（2）按比例分配的分层随机抽样方法.[70,80）中抽取的人数为

0J5x5=-x5=3,[80,90)中抽取的人数为———x5=-x5=2.

0.15+0.15L)0.15+0.15

记来自[70,80）的3人和来自[80,90）的2人分别为2M3,々也,

则所有基本事件为q〃2,。口3，%瓦,他,a2a3t。2b2,她，a3b2,〃也，

共10个，满足题意2人来自不同两组的有6个，

3

由古典概型知，2人来自不同两组的概率为

17.如图，在四棱锥夕一43C。中，底面A3CD为梯形，AD//BC,AD=2BC,

NA£)C=90。，平面必。_1_平面A8CO,。为AO的中点，M是楂PC上的点.

⑵若PA=PD=2,BC=1,CD=5且QM与平面A8CO所成角为60。，求平

面DQM与平面BQM夹角的余弦值.

(1)证明：VZADC=90°,即AO_LCO,

•・•平面平面A8CZ),且平面QAQc平面ABCD=AZ),

COu平面A3CD,且AO_LC£>,

・・・CD_L平面PAO,〈APu平面BAO,・・・CD_LAP.

(2)•・•4)=28。且。为AO的中点，

:・QD=BC,又•・・NO〃BC,・••四边形8co。为平行四边形，

•••ZJC7/4Q,又•・•ZADC=90。，/.BQ±ADt

(2)解：由(1)可知BQJL平面A3CO,且PQu平面A3C3,所以BQ_LPQ

♦：PA=PD，。为八。的中点，・・・PQ，A。，

・••如图以点。为顶点建立空间直角坐标系。-冷，z,

•••40,0,6),4(1,0,0),£)(-1,0,0),网0,6,0),C(-l,>/3,0),

则定二(一1,6,一6),设丽二丸方二(—ZGz—64),2G(0,1),

则西二行+两二卜，,6/1,百一Ga),

平面A8CO的一个法向量为同=（0,0,1）,

___阶两||^-^|_V3

则cos,QM=同|网=sin60°,即以“/一犷，+(/折厂).+(百一L石l町「二V2，

即/：।),A3224-22-1=0,即(3/1-1)(4+1)=。，

，72~—64+3，

•••几二’或丸=一1(舍去)，

3

：.QM=(444)

诙=(-1,0,0),GB=(O,AO),

?

设平面。QM与平面8QM的一个法向量分别为W=（/y,zJ,^=（^,32^2）*

一]□_6,2\/3八

QM.4=--^i+—>J1+—2,=o

则〈JJJ即I=(02-i)，

QD-n}=-Xj=0

--1(x/3(2>/3_n

QM•H=————y+----z,=0r-y,=0

则彳-32372?32，令9二2石，则«人_,即

QBn2=>/3y2=0々

瓦二(2万0,1),

设平面OQM与平面BQM所成二面角为Q,«efo,|

——1-11V65

!

则rfiiicosa=cosn,,?=-同----同-=-声-------厅-~/局7==--6-5-

18.已知双曲线C；《一/—［（a＞。,。）。）的离心率为手，焦点到。的渐近线的距离

为1.

（1）求。的方程：

（2）若垂直于x轴的直线与C的右支相交于A,B两点,已知点加（一1,0）,直线AM和

C的左支交于点N.

（i）若0AN=2叵,°是坐标原点，求直线AN的方程；

（ii）求证：直线8V过定点.

（1）解：易知C的渐近线方程为），=±21，设双曲线的一个焦点为b（c,0）,

CX

则02=/+/，

由双曲线对称性，不妨取C的一条渐近线y=—x,

|Z?c-O|

则F到该渐近线的距离d=、：=b=[f

y/a2+b2

又C的离心率为逝，即e=£=Jl+《,所以/=4,/.C:三-y2=[；

2a\a~4

（2）不妨设4在第一象限，由题意可设〃v：x=6'T（Z〉°），

4（%，乂）川（3必），8（和一乂），

x=ky—\

联立《

r-4^o

/二止+出/一勺〉。

2k,整理得Z>2,

x+灯门

3A

（i）解：易知％8=；|OM|E—刃=2人，

即E一切「=（Y+必/-4y%=32=（-^2]+VT|T，

解之得二=（（舍去）或％2=5,所以A=逐，即的：1=石）」1・

（ii）证明：直线3N：（）」%）（X|一工2）=（工一%）（—y—%），

整理得（不一毛））‘+（*+%）%=司为十%,，

又AN在双曲线上，且在直线x=b」l上，

y.2=1

x2=ky2-1

作差得(％%+wyJCva)=4(%+y)(%—y),

化简得百y?+wy=T%+x)，

立弘一)’2一(妙2乂一)'J=(

则(x-w)y+(y+必)%=%%+=TGI+%)，

即(西一人)。+(3+%)(』+4)=0,

显然x=-4时，y=0,即直线BN过定点(-4,0).

43

（1）已知?是W上的动点，求〃到直线x+2），+6=0电离的最大值；

（2）过点（一1,0）的直线［与W相交于“，C两点（均不与A点重合）.

（i）判断点A与以3C为直径的圆的位置关系，并说明理由；

（ii）求VA3C的外接圆圆心G的轨迹方程.

解：（1）椭圆W的参数方程为x=2cos8,），=6sin。，

点P到直线x+2），+6=0的距离为d」2cos，+2pin，+6|

令2cos9+2石sin。=4sin。+?），

|4sin^+―|+6|

则公【8