北师大版高中数学选择性必修第二册 数列在日常经济生活中的应用【作业原卷+答案】

01

§4数列在日常经济生活中的应用

A级必备知识基础练

1.［探究点一］某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1C00元,假设银行的月利率为0.5%(按单

利计算)，则到第二年的1月10日，此项存款一年的利息之和是()

A.5x(］+2+3+…+12)兀

B.5x(l+2+3+…+11)元

C.1000x(1+0.5%+(0.5%)2+...+(0.5%)”］元

D.l000X［1+0.5%+(0.5%)2+...+(0.5%),2］7C

2.［探究点二］某人从2024年1月I日起，且以后每年I月1日到银行存入〃元(一年定期)，若年利率广

保持不变，且每年到期后本金与利息均自动转为新一年定期的本金，则至2030年1月1日将所有本金

及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为()

A.a(l+r)7

B.；［(l+r)7-(l+r)］

C.a(l+r)8

D.；［(l+r)8-(l+r)］

3」探究点三］某工厂购买一台机器价格为。万元，实行分期付款，每期付款b万元,每期为一个月，共付

12次,如果月利率为0.5%,每月利息按复利计算，则也满足()

Af

B尻叫了

0,_a(l+0.5%)

c"二一五一

D=＜力＜a(l+0.5%严

12

4.［探究点二］某病毒研究所为了更好地研究某种病毒,计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分

为装修费和设备权,每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知

第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建贽用高112万元，并

要求每个实验室改建费用不能超过1100万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多为

()

A.2806万元B.2906万元

C.3106万元D.3206万元

5」探究点二］某煤矿从开始建设到出煤共需5年,每年国家投资100万元,如果年利率为10%,按复利

计算，那么到出煤时,国家实际投资总额是万元(精确到0.001).

6.［探究点二］有纯酒精〃3>1）汁，从中取出I升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进

行，则第九次和第十次共取出纯酒精升.

7」探究点三］用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房,购买当天首付300万元，以后每月

的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月

开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元?全部贷款付清后,买这批住房实

际支付多少万元？

B级关键能力提升练

8.据有关文献记载:我国古代一座9层塔挂了126盏灯，且相如两层中的下一层灯数比上一层灯数都

多d（d为常数）盏,底层的灯数是顶层的13倍，则塔的顶层共有灯（）

A.2盏B.3盏

C.4盏D.5盏

9.“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图

所示，以正方形A8CO的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形

的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且48=8,则这127

个正方形的周长之和为（）

A.480+224V2B.224+22472

C.60+28V2D.56+28V2

10.我们知道，当偿还银行贷款时，”等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分

配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期

数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘利率.自主创业的大学生小华向银行贷款的本

金为48万元，小华跟银行约定鼓照等额本金还款法，每个月还一次款,20年还清，贷款月利率为0.4%,

设小华第〃个月的还款金额为小元，则斯=（）

A.2192B.3912-8/?

C.3920-8/1D.3928-8〃

11.如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后作新三角形的内切圆……

如此下去，前〃个内切圆的面积和为.

12.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驾马发长安至齐，齐去长安四

百二十里,良马初日行九十七里，日增一十五里;鸳马初日行九十二里，日减一里;良马先至齐，复还迎鸳

马，二马相逢.两匹马在第日相逢.

13.某企业2022年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行

技术改造，预测从2023年起每年比上一年纯利润减少20万元,2023年初该企业一次性投入资金600

万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第〃年（2023年为第一年）的利润为500（

1玲）万元（〃为正整数）.

⑴设从2023年起的前〃年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A〃万元，进行技术改造后的累

计纯利润为&万元（须扣除技术改造资金），求4,4的表达式.

（2）依上述预测，从2023年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术

改造的累计纯利润？

C级学科素养创新练

14.某牧场今年年初牛的存栏数为120(),预计以后每年存栏数的增长率为8%,且每年年底卖出10()头

牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为。⑶2。3门...

参考数据:1.08%1.8509』.08%1.9990,1.08,M.l589.

(1)写出一个公式，表示a”包与孙之间的关系；

(2)将(1)中的关系表示成为+»=心”-4)的形式，其中切为常数；

⑶求S9=O]+S+a3+…+。9的值(结果精确到整数).

15.容器4内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先

将A内的盐水倒1升进入B内，再将B内的盐水倒1升进入X内，称为一次操作;这样反复操作n

次,A,B容器内的盐水的质量分数分别为alhbn.

⑴求并证明｛诙也｝是等比数列.

(2)至少操作多少次AB两容器内的盐水浓度之差小于1%?(取1g24).3010,1g3=0.4771)

(3)求金,4的表达式.

参考答案

§4数列在日常经济生活中的应用

1.A存款利息是以5为首项,5为公差的等差数列,12个月的存款利息之和为5x(l+2+3+...+12)

元.

2.B2029年1月1日,2028年1月1日，…2024年1月1日存入钱的本利和分别为

。(1+)。(1+r)2,…必(1+r)6,求和可得硝+?；£「)6]=；[(l+r)7-(l+/•)].

1"VT)7

3.D因为仇1+1.005+1.0052+…+1.005")=。(1+0.005)%所以12b<〃(1+0.005)三所以

,a(l+0.5%)12日从，加1.a(l+0.5%)12

JL414JL4

4.A设每个实脸室的装修费用为x万元，设备费从第一到第十实脸室构成的等比数列为

｛小｝(〃=1,2,…,10),公比为见喏=空即产储?=28解M=2...

(电-。4-(QiqJ(qS-l)=112,1%-乙、

99,0

«10=«I<7=2X2=2=1024,根据题意X+I024<1100,解得把76,

・•・该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多为1Ox+0+s+…+009760+24¥)=2806,即

该研究所改建这十个实脸室投入的总费用最多需要2806万元.故选A.

5.671.561第五年投资的本利和是©=100x(1+10%)万元，

第四年投资的本利和是S=】OOX(1+10%)2万元，

第一年投资的本利和是的二100x(1+10%)5万元，

所以数列｛m｝是以0=100x(1+10%)为首项,4=1+10%为公比的等比数列，

到出煤时，国家实际投资总额是55=100X1.1x沿=671.561(万元).

1.1-1

6.(1-1)«(2-1)由题意可知,取出的纯酒精数量是一个以1为首项,12为公比的等比数列,

aaa

即:第一次取出的纯酒精为1升，

第二次取出的纯酒精为(1升，

a

第三次取出的纯酒精为(1-并2升，

a

第n次取出的纯酒精为(12」升，

a

则第九次和第十次共取出的沌酒精数量为

〃9十410-(1」)，+(I」)。—(12)*(2」).

aaaa

7.解购买时付款300万元,则欠款2000万元，

依题意，分20次付清，

则每次交付欠款的数额依次均成数列｛①｝,

故⑶=100+2000x0.01=120(万元)，

42=100+(2000/00)X0.01=119(万元),

«3=100+(2000-100x2)x0.01=118(万元),

如=100+(2000-100x3)x0.01=117(^70),

a„=100+[2000-100(/2-l)]x0.01=(121-〃)万元(1<n<20,neN+).

因此数列｛m｝是首项为120,公差为-1的等差数列.

故00=⑵-10=111(万元),。20=121-20=101(万元)，

20次分期付款的总和为

金尸冲出=00+1°2=22]0(万元).

实际要付300+2210=2510(万元).

即分期付款第10个月应付111万元;全部贷款付清后,买这批住房实际支付2510万元.

8.A设顶层有x盏灯，则最下面有(x+8d)盏，

则x+8仁13x抑?二x,

由题意得x+(x+d)+(x+2d)+…+(x+Sd)=126,

整理得9x+36d=126,

所以9x?+36〃=l26,

解得d=3rX=2,

所以顶层有2盏灯.故选A.

9.A依题意可知，不同边长的正方形的个数，构成以1为首项,2为公比的等比数列，故令

1+2+2?+…+2"“=127,即1=127,解得〃=7,即有7种边长不同的正方形，又因为正方形的边长构

1-4

成以8为首项，4为公比的等比数列，故边长为8的正方形有1个,边长为4鱼的正方彩有2个，边

长为4的正方形有4个,边长为2班的正方形有8个,边长为2的正方形有16个,边长为的正

方形有32个,边长为1的正方形有64个，这127个正方形的周长之和为

1x4x8+2x4x4或+4x4x4+8x4x2&16x4x2+32x4x或+64x4xl=480+224式.故选A.

10.D由题意可知，每月还本金2()0()元,设张华第n个月的还款金额为an元，则a„=2000+(480

000-(/?-1)x2000]x0.4%=3928-8〃.故选D.

11.(14*根据题意知第一个内切圆的半径为率3=当面积为%,第二个内切圆的半径为冬而

积为也……这些内切圆的面积组成一个首项为，，公比为;的等比数列，故前〃个内切圆的面积

之和为呼=(用

1-4

12.4由题意，可知良马第〃31行程记为小,则数列｛斯｝是首项为97,公差为15的等差数列,

莺马第n日行程记为,则数列｛儿｝是首项为92,公差为-1的等差数列，则a尸97+15(〃-

1)=15〃+82也=92-(〃-1)=93-九

:数列｛“”｝的前〃项和为“97+125n+82)="(179J5?

数列｛儿｝的前〃项和为雁；93m=膂2

.n(179+15n)若巴=

-2+840,

整理得14n2+364n-l680=0,即w2+26w-120=0>^〃=4(〃=30舍去)，即两匹马在第4日相逢.

13.解⑴依题设，

A,=(500-20)+(500-40)+...+(500-20〃)=490〃-10n\

_(1+?+(1+*)+…+(1+表).

8,尸500-600=500〃-翳100.

⑵&-A”=(500/2-^-!00)-(490«-10/r)=l0n2+10n-\00=10L(〃+

1)翳10」,

因为数列1〃5+D-券10/为为增数列,

当1<«<3时方10S2管-10二q<0;

当n>4时,〃(〃+1)事-10220-》10二子>0,

Z1co

所以当定4时,&>4,所以至少经过4年,该企业进行技术改造后的累计纯利泗超过不进行技术

改造的累计纯利润.

14.解(1)因为某牧场今年年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且每年年

底卖出100头牛,所以勿=1200,且小+产1.08为-100.

(2)将。〃+1-左二44厂攵)化成a„+i=ratl-rk+k,

因为«,；+i=1.08«n-100.

所以比较上面两式的系数,可得匕=Jf8；

\K^VK--1UU,

解咪