等差数列（8大常考题型64题）解析版-2025-2026学年高二数学（人教A版高二选择性必修第二册）

等差数列（8大常考题型64题）

题型归纳

题型一：等差数列通项公式基本量计算

题型二：等差中项及其应用

题型三：等差数列中的最大（小〉项

题型四：递推关系证明等差数列

题型五：等差数列前〃项和的基本量计算

题型六：等差数列片段和性质

题型七：比值问题（含同角标和不同角标）

题型八：有关等差数列奇偶问题

题型专练

题型一：等差数列通项公式基本量计算

1.设｛《,｝为等差数列，且。1+%+为=3,42+%+。4=9,则%+%=（）

A.16B.18C.20D.22

【答案】C

【分析】由等差数列的通项公式求解出基本量，计算求解即可.

【详解】设等差数列｛q｝的公差为d，

由于q+%+%=3,%+%+4=9.

3q+34=3,3q+6d=9,

解得q=T,d=2,

所以4+%=2q+1Id=-2+22=20.

故选:C

2.已知等差数列｛叫满足的+%=14,且%-生=8,则首项《=

【答案】1

【分析】根据等差数列通项公式计算基本量即可.

【详解】由己知数列｛4｝为等差数列，

a+%=2q+3d=14%=1

所以，2，解得《

a4-a2=2d=8d=4

故答案为：1•

1/30

3.已知正项等差数列S.｝,若。；+d=29,%+4=7,则为=()

A.1B.2C.〃D.2n-\

【答案】C

【分析】设正项等差数列｛%｝的公差为〃(d>。)，利用已知条件求出q,3可得答案.

【详解】设正项等差数列｛%｝的公差为“(，/>()),

由4=(«1+d)2+(4+4(/)2=29,%+〃4=2q+54=7,

得d=l,q=l,则/=l+(〃-l)=〃.

故选：C.

4.已知等差数列｛4｝的公差为-2,且以+%+%=39，则。5=()

A.9B.11C.13D.15

【答案】B

【分析】由等差数列的性质得到。$=13,再结合通项公式即可求解.

【详解】因为的+&+&=39,所以3%=39,解得％=13,

所以%=%+"=4-2=［1.

故选:B.

5.数列｛为｝是首项为1且公差不为0的等差数列，若〃24=%4,则%。=()

A.20B.39C.41D.58

【答案】B

【分析】设等差数列｛4｝的公差为〃，根据题意，列出方程，求得4=2,结合等差数列的通项公式，即可

求解.

【详解】由题意，设等差数列｛q｝的公差为d,其中dwO,

因为q=l,且生％=%%，可得(1+4)(1+74)=(1+24)(1+44),解得d=2,

所以的o=《+19"=l+19x2=39.

故选:B.

6.设等差数列｛q｝的前〃项和为S..若q+%=6,《+%=8,则4=()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

［分析］根据已知条件列出方程组求出4,d,再求久得解.

(2a,+2d=6

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d，则」jQ,解得q=l,d=2,

2。］+5(1=o

所以为=l+3x2=7.

2/30

故选:B

7.等差数列｛〃“｝的公差为2,且4+4+4=10,则。2+%+%=()

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【分析】根据等差数列通项公式，即可求解.

【详解】由条件可知，等差数列的公差4=2,

则/+%+%=(%+4)+(4+〃)+(4+，)=(q+%+%)+34=10+6=16.

故选：C

8.已知等差数列｛%｝满足：4-3a2=6,%=0,则生。”=()

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】A

【分析】根据题意求出首项和公差，进而可求出通项，即可得解.

【详解】等差数列｛凡｝的公差为d,由3%=6,仆=0,

%+d)=6,解得]a=-2

得]

q+2a=0d=l

所以数歹U｛可｝的通项公式/=-2+(〃-1)•1=〃-3,

所以嗫=2025-3=2022.

故选：A.

题型二：等差中项及其应用

9.在等差数列｛可｝中，%=-2,4=6,则4=()

A.4B.3C.2D.0

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质有2双=%+4,即可得.

【详解】由等差数列的性质有2%=%+牝=4=4=2.

故透:C

'c

10.已知数列｛〃“｝的前〃项和S.，且6=1,数列1才卜｛n｝均为等差数列，又数列｛4｝的前〃项和为

且2=(-1)”上一，贝1」4。25的值为.

­十】

【答案】一*I

405?

【分析】利用等差中项列出①式和②式，消元后求出。2=3,进而求出数列｛后｝的公差，利用的

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关系求得/=2〃-1,进而得到+丁二)，最后求心必即可.

2/7-12/7+1

【详解】因数列为等差数列，则§2=5+。，即3(1+生)=3+1+%+/,化简得：％=应一1①

又因数歹U｛病｝也为等差数列，贝IJ2底=6+店，即2护％=l+Jl+%+“3②

将①代入②：2/为=1+庖'，两边平方整理得：%+3=2匹，再两边平方，可得4-6%+9=0,

解得％=3,

故数列｛后｝的公差为〃=6-何=1，故£=l+(〃-l)xl=〃，解得S.二〃2,

2

当"22时，an-Sn-Sn_i=n~-(//-I)=2/?-1,显然〃=1时符合，

故数列｛q｝的通项公式为：％=2〃-1,

f/八〃4〃/4〃/n〃/11

则“=一。凡+i=(一)(2〃-1)(2〃+1)一(一)2»-1+2«+1

则％025=4+%+…+〃2025

I3)U5jb1)140474049J(40494051)

1_4052

4051~~4051

4052

故答案为:405?

11.已知｛%｝为等差数列，若生+%+/+…+/=24,则q+&+/+4+…+/6=()

A.36B.48C.60D.72

【答案】D

【分析】由等差中项可知等差数列连续三项的和。31+。3-1+%=3%2,由此找到所求数列的和与己知条

件的关系，即可得到答案.

【详解】已知｛q｝为等差数列，

q+生+%+&+…+436=3(%+a,H--i-iz35)=24x3=72.

故选；D.

12.等差数列｛4｝中，若%+6+%=30,则％+%的值为

【答案】20

【分析】应用等差数列项的性质计算求解.

【详解】因为数列为等差数列，又因为％+%+%=々4=30,即％=10,

则q+/=2%=20.

故答案为：20.

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13.已知数列｛《,｝是公差为2的等差数列，且%是可与9的等差中项.求｛%｝的通项公式：

【答案】an=2n-\

【分析】由等差中项的定义可得2%=%+牝，求得知="再由等差数列的通项公式代入计算，即可求解;

【详解】•.•2%=/+%=%+9,

:.a$=9,又4=2,

二.6=q+4x2=9,”1=1,

:.an=\+(n-\)x2=2n-\.

125

14.在1和7之间插入m个数，使得这机+2个数成等差数列.若这机个数中第1个为x,第m个为)，，则一+一

%y

的馒小值是()

99

A.-B.4C.3D.-

24

【答案】A

【分析】由题意可得x+V=8,利用基本不等式1的代换，可求,+”的最小值.

xy

【详解】由等差数列的性质得x+y=l+7=8,R\<x<y<lt

rII1251,JI25、25xy\1(“J25.rQ9

则—+—=-(x+jO—+—=-26+-----+—26+2-----=—,

xy8(x81》x)8^\yx)2

4

x=­

[x+y=8[时取等号，即，+空的最小值是g

当且仅当“，即

20Xy2

故选：A.

15.若四个正数"，b,C,4成等差数列，X是。和"的等差中项，y=麻,则X和V的大小关系为

()

A.x>yB.X>yC.x<yD.x<y

【答案】B

【分析】根据等差数列性质得到/=等，)，=痴，由基本不等式比较出大小.

【详解】由条件可知，a+d=b+c,(a,b,c,d>0),x=,y=\[bc,

因为歹=痴4警=萼=一当且仅当人=c时，等号成立，

又a,b,。，4成等差数列，故。=b=c=d时，等号成立，

所以xzy.

故选：B

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16.(多选)下列说法错误的有()

A.若“，b,c成等差数列，则从，，成等差数列

B.若a,b,。成等差数列，则log?。，log",log2c成等差数列

C.若a,b,c成等差数列，则a+2,b+2,c+2成等差数列

D.若。，b,c成等差数列，则2",232,成等差数列

【答案】ABD

【分析】ABD选项，举出反例：C选项，根据等差数列的定义和性质得到C正确.

【详解】A选项，1,2,3显然成等差数列，但是1,4,9显然不成等差数列，因此A不正确:

B选项，0,0,。显然成等差数列，但是log/,log",log2c这三个式子没有意义，

因此B项不正确：

C选项，因为b,c成等差数列，所以2/)=a+c,

因为2(b+2)-(a+2+c+2)=2b-4-c=0,

所以a+2,h+2,c+2成等差数列，因此C项正确；

D选项，1,2,3显然成等差数列，但是2“=2，2'=4，2。=8，

显然2",232c不成等差数列，因此D项不正确.

故选:ABD.

题型三：等差数列中的最大(小)项

3

17.已知等差数列｛〃〃｝的首项卬=11,公差1=-了，当最小时，〃=____.

4

【答案】16

【分析】根据题意求通项公式4,由通项公式得|%|的单调性，进而根据单调性判断最值.

【详解】由题意，(〃-1)"=-二〃+日，〃wN，

44

347472

令得_/十一<0,解得〃之一=15+3，

4433

所以当〃工15时，。“>0,此时|凡|单调递减；

当〃>15时，*<0,此时,』单调递增：

「3T4713471...................

乂=一：xl5+二=三，a=--xl6+—=--,贝，

4424i644

因此当最小时，〃=16,

故答案为：16

18.已知数列｛q-2〃2｝为等差数列，且《=4=8,则%的最小值为.

【答案】-4

【分析】先求得数列｛q-2/｝的公差，进而求得其通项公式，从而求得外，利用二次函数的知识求得最小

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值.

【详解】设数列｛q-2/｝的公差为d,则"=4-2\6~6-2匚M

6-1

故%_2/=(q_2)_14(〃T=_14〃+20,

7\a

故%=2〃2-14〃+20=2n--

"2)2

根据二次函数的性质可知：当〃=3或4时，凡取得最小值-4.

故答案为：-4

19.已知函数/(x)满足：对于任意正整数x,yJ(x+y)=f(x)+f(y)+2.若使得不等式/⑴>4047成立

的最小正整数是2023,则/⑴的取值范围是.

(35

S室］--------

12023'2022.

【分析】设/⑴=。，令y=l得到/(x+l)=/(x)+〃+2,通过等差数列的通项公式求出/(幻，再根据

/(2023)>4047

列不等式求解即可.

/(2022)<4047

【详解】设/⑴=。，

令「=1得/a+l)=/(x)+/(l)+2=/(x)+a+2,

所以当x为正整数时，由等差数列的通项公式，

得f(x)=a+(a+2)(x-\)=(a+2)x-2.

f(2023)=2023(a+2)-2>4047

山肺音七'7

修官|/(2022)=2022(。+2)-2<4047，

35

■得痂

2022

35

故答案为:

2023'2022

20.数列｛%｝满足q=-21,生=-12,afl+I+an,,=〃-2(〃之2),S”是｛《,｝的前〃项和，则下列说法正确的是

()

A.是等差数列

B.。“二一〃2+出?+32

C.&是数列｛为｝的最大项

D.对于两个正整数〃?、〃(〃>m),S“-Sm的最大值为10

【答案】CD

【分析】根据等差数列的定义及通项公式，利用累加法及二次函数的性质，结合％与S,的关系即可求解.

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【详解】A选项，由。川+，*=2%—2,整理得q「q,_(4_%)=_2,

故｛%一%/是公差为-2的等差数列，首项。2-卬=9，

故%一q1=13-2〃(〃之2),

由此可得。小一勺-2=15-2〃,…,%一生=7,生一％=9,

累加得，勺=-/+12〃-32=(〃-8乂4-〃),

由此可得，-^-二4一〃(〃。8),

〃-8')

•.・[々I不是等差数列，故A不正确：

("8J

BC选项，因为《,=_/+⑵7_32=(〃_8)(4_〃)=_(〃_6)2+4,

故当〃=6时，4=-(〃-6)2+4取得最大值，％是数列｛为｝的最大项，故B不正确，C正确；

D选项，对于两个正整数风〃(〃>"?),Sn-Sm=am+i+am+2+...+ant

由qV<。3<%=0<<4>%>/=0>49>a\0>411>..，

故S,「S„,=3+4+3=10时，邑-5小取得最大值，最大值为10,故D正确.

故选：CD.

21.已知在数列乩｝中，q=],^=2-—(«>2,ns^),数列也｝满足"=」76cN)

5a„-\a“T

⑴求证：数列｛"｝是等差数列；

⑵求数列｛《,｝中的最大项和最小项.并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

⑵最小值-1，最大值3,理由见解析

【分析】(1)求b「b-,化简后由等差数列定义证明

(2)先求｛"｝的通项公式后得出｛可｝的通项公式，结合单调性求解

【详解】(1)证明：因为。“=2-一^(〃22,〃6")，〃=_L^ieN,)，

b_b=_!______1_1_________

所以当〃N2时，"111%一1

Ian-\)

=_^_____!_=1

又4=」7=-5,所以数列｛4｝是以-■!为首项，1为公差的等差数列.

%—I幺2

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7,1,2

（2）由（1）知。二〃一7，则。”=1+二=1+^--.

242〃—7

设函数/。）=1+3三，/（切在区间18,£］和6,+8）上单调递减，

结合函数/（X）的图象可知，

当〃=3时，％取得最小值-1；

当〃=4时，4取得最大值3.

22.已知等差数列-4.2,-3.7,-3.2,...的前〃项和为S.,S”是否存在最大（小）值？如果存在，求出取

得最值时〃的值.

【答案】S”存在最小值，〃・9

【分析】由已知可求得数列的通项公式%=。5〃-4.7,令%>0,可知〃>9且〃cNZ可知数列的前9项

都是负数，第10项为正数，即值S”存在最小值.

【详解】由已知可知等差数列的首项《=-4.2,公差d=-3.7+4.2=0.5

则数列的通项公式为%=q+（〃-IW=-4.2+（〃-1）x0.5=0.5〃T7

令%>0,即0.5〃-4.7>0,又“eV,”>9且〃e。。

即数列的前9项都是负数，第10项为正数，

故当〃=9时，S”存在最小值.

23.已知等差数列｛q｝的首项是正数，记S”为数列的前〃项和，若q+出+%=52汹，则下列结论中正确的

有（）

A.J<0B.$2023=0

C.如｝是先增后减数列D.Eo”=s划2且为S.的最大值

【答案】ABD

【分析】先由题设得4+%020=%+出023=2q012=0,进而得到公差d<0,再逐个选项判断正误即可.

【详解】解：.•2+生+%=52020,.•./+为+…+嗫。=2017（"；+嗫。）=0,

••见+a2020=/+。2023=2。10|2=°•

。向2=0,•••数歹式可｝是递减数歹U，且公差［<（）,故选项A、D正确，选项C错误；

乂邑始=些耳皿）=0,二.选项B正确，

故选：ABD.

24.数列｛a”｝是等差数列，as=6a12>0,数列血｝满足“二勺+得.。=，〃wM，设邑为｛0｝的前〃项和,

则当S”取得最大值时，〃的值等于（）

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A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【解析】由6=6%2>0,得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断。.也的正负,

再利用通项与前n项和关系求解.

【详解】设数列｛/｝的公差为4

因为牝=6%>。，

所以q+4d=6（4+1Id）>0,lipa=--d,

i5

因为外>%2，

所以dv0,

<67\

所以4=q+（〃-l）d=〃--—d,

当1OM13时,。”>0,当〃214时，氏<0,

所以6]>d>…>4o>0>&3>44>…，

乂因为3+42=（%+《5）=%须*>（）'

所以几〉，。，故S,中几最大,

故选:D

题型四：递推关系证明等差数列

25.己知数列｛《,｝前〃项和为S”，满足（5〃—8）S,.「（5〃+2）S”=4L8（〃eN,,力为常数）

（1）若彳=10,求生-5s2的值；

（2）若％=2,A=0,求数列｛%｝的通项公式；

⑶若4=-20,求证：数列｛%｝为等差数列的充要条件为《=1.

【答案】⑴6

2,〃=1

（2）a„=,

''"[-10xn+16,//>2

⑶证明见解析

【分析】（1）当4=10时，令〃=2可得问题答案.

（2）根据数列的前八项和与%的关系，探索｛%｝的特点，求数列的通项公式.

（3）从必要性和充分性两个方面证明.

【详解】（1）当力=10时.，（5〃-8）S”+「（5〃+2）S,=10〃—8,

令k=2,则2亿+$2）-12s2=12=>a3-5S2=6.

（2）当力=0时，（5/7—8）SW+1—（5w+2）5n=-8.

10/30

即（5〃-8）（，+仁）-（5〃+2电=-8nlOS”=（5〃-8”向+8

当”=1时，10q=-3%+8,又4=2,所以。2=-4.

又IOS”/,"-3）*+8,

所以10（S〃+「S.）=（5〃-3）qr+2-（5〃-8”T=>10。,川=（5/i-3）tzn+2-（5w-8）art+1,

即（5〃一3"2=（5〃+2"川=黑=黑

所以%+2

5〃+25〃一35〃一8

所以当刀22时,an=-10/?+16.

2,〃二1

所以见

-10/7+16,/?>2

（3）当4=一20时,（5〃一8）§加一（5〃+2）5。=一20〃—8.

先正必要性：数列｛4｝为等差数列，公差为”,

卜3（2%+-8=q=1

所以必要性成立;

[2（3q+3d）-l2（2q+d）=-48d=5

再证充分性：（5〃-8）S"|-（5〃+2），=-20/?-8=

⑸-8）（S.+，*）一（5〃+2）2=-20〃-8=>10S”=（5〃-8）%+|+2M+8①.

因为。1=1,当〃=1时，10q=-3%+28n%=6.

当k=2时，10x7=2%+48=%=11.

当"之2时，10S,i=（5〃-13）。〃+20〃-12②

①一②得：KK=（5〃-8）--（5〃-13）6+20n（5〃-8）--（5〃-3）《=一20③

当凡之3时,（5〃一13）%一（5〃—8）的=-20④

③一④得：（5〃一8”向一（10〃-16）为+（5〃-8）*=0="用+%=2见，

所以%+i-W4T=…%一％・

所以数列｛q｝从第2项开始是等差数列，且公差〃=%-q=11-6=5.

乂的-q=6-1=5,所以数列｛%｝为等差数列，所以充分性成立.

综上可知：当力=-20时，数列｛q｝为等差数列的充要条件为q=1.

26.对任意的正整数〃，数列｛6｝满足〃牝=5+2）勺+|+2,且%=6.

⑴求4，%；

（2）证明:｛9+1）可+叫是等差数列;

11/30

⑶设数列｛q｝的前〃项和为s.,求使s“42〃的最小正整数〃的值.

【答案】⑴4=41,a2=\3.

⑵证明见解析

⑶27.

【分析】(1)由%=6得%=13,再得q=4l；

(2)由%=。?+2)《川+2进行凑配即可证明.

(3)由(2)可得勺=84(上一一L)-l,再进行求和得豆=840--三]-〃，再解不等式可得.

nn+[Vn+\)

【详解】(1)由题意得2%=4a3+2,%=3%+2,算得%:13,《=41.

(2)由〃6=(〃+2)〃同+2,

得〃(〃+l)%=(〃+D(〃+2)4+i+2(〃+l),

++〃2=(〃+1)(〃+2”“+]-2(〃+1)+〃2

n(n+\)ait+/r=(n+l)(n+2)6r/I+]十(〃+1)“十1

记+则％=(〃+1)(〃+2)%+(〃+1『

得如3-1,伪=24+1=83,所以数列也｝是首项为83,公差为T的等差数列.

故｛〃(〃+1)%+〃2｝是等差数列.

(3)由(2)得"=83—(〃-1)=84—〃，即〃(〃+1)々“+〃2=84-〃

84—〃一〃28411

=­；---------=---------1=84(------------)-h

tr+ntr+nnn+l

所以q=84(；-：)-1,%=84(：-；)-1=8吐，「..4=84(9去).L

1。

所以工=8皈-；)+(；4+...+(：-9)〜，即5”84(1-=|-〃.

因此S”=84(l--

In+lj

解得〃227,故使S”<2〃的最小正整数〃的值为27.

27.已知数列｛可｝的前〃项和为S,，4=1,&>0,且2。£.「2%+£=%凡.一

⑴证明：数列1是等差数歹U.

(2)求｛为｝的通项公式.

【答案】⑴见解析

⑵心=〃

12/30

ss

【分析】(l)将加5厂2凡+5=华川两边同时除以2的…得到3--^=弓，根据等差教列性质得到

结果.

(2)由⑴得+1+(〃-1"；=等，利用a-I求出｛为｝的通项公式.

ss1

【详解】(1)证明：将=两边同时除以2。m“，得口吐一口=5,当〃=1时，

“"+1an2

sv

」q=1,所以l1/J是以1为首项，2;为公差的等差数列.

(2)由(1)得^■=1+(〃-1*3=彳，则2s“=(〃+1)%,①

当心2时，2sLi=nan-\，②

一②，得2%=(〃+1)a“一〃t*,整理得工=-贝।%=4•二•一……——=lx-x-x..x--=//,

'%n-\q433n-\

《=1也符合〃”=〃，所以%=〃.

28.已知正项数列｛〃”｝的前〃项之积为且

nn

⑴求证：数列｛[｝是等差数列:

(2)设"=(-1)"怖等2，求也｝的前2〃项和S4

44+1

【答案】(1)证明见解析;

⑵，--彘

T13

【分析】(1)根据题意得到片•=%，由一=1-〒，化简得到二-4T=3,求得彳=4,结合等差数列的

'"-Ianln

定义推理得证.

I

(2)由(1)可得北=3〃+1,得到々=(-1)”.(、3〃+1.3〃+4),结合裂项法，即可求解.

【详解】(1)依题意，北=4g…4，当〃之2时，得(_】=6%…4-1，贝

Jn-\

13T3

由：=r，得者=>7,则小==-3,即一"3,

当年=1时,…,于是"=1-擀,解得工=4,

所以数列｛4｝是以4为首项，3为公差的等差数列.

(2)由(1)得北=4+(〃-1>3=3〃+1,

13/30

6〃+5/r(3n+1)+(3/?+4)=(-iy-(—^+―

则4=（T）"，1V

^7(3/7+1)(3/7+4)3〃+13〃+4

所以邑「（卜；）+（1务（小自+.一（七+高）+（看+出）

=——1+---1--=-6〃I=一3n,

46〃+44(6/7+4)12〃+8

29.已知数列｛4｝的各项均为正数，q=J,且％=产七（〃？2）.

3^an-\+1

⑴求证：数列加是等差数列;

<、2,〃=1,,、

⑵若数列也｝满足％=\2求数列也｝中的最大项与最小项.

【答案】（1）证明见解析；

（2）最大项乙=2,最小项%=5.

【分析】（1）利用倒数法化简得到‘-一二=2,从而得证；

4a,,-\

2,〃=1,

（2）先计算得到q=备，从而“二〃心2分析也｝的的调性可得结果•

【详解】（1）证明：由《广卢曰小〃^）,两边取倒数，可得,=—+2,

2%+1%%

即^----!一=2,—=3,所以数列,1

是以3为首项，2为公差的等差数列.

%

(2)由(1)—=3+(/?-l)x2=2/2+l,所以■二

a”2〃+1

::工则当2时,…,=

由”.2〃+1三2

n

所以也｝的最大项为々=2,

又当“22时，随着〃增大，L成小，故帆｝单调递增，故也｝的最小项为名=；

30.已知数列｛叫满足小“二52-3《m-1必吟，设数列｛为｝的前〃项和为S”，前〃项积为小则下列

说法错误的是（）

A.数列I，是等差数列B.数列｛《,｝的最大项为外

C.使得S,取得最小值的〃为7D.乙有最小值,无最大值

14/30

【答案】B

5a-41I1

【分析】根据题意，化简得到4+产=三，求得知+-1=三7，得到——7——7=7*可得判定A正

4+3%+J4+1-1%-14

确；由等差数列的通项公式，求得/=?三，结合%<0且修>0,可判定B错误；由通项公式，得到数

2/7-15

列｛〃“｝取值的正负，可判定C正确；求得7；的表达式，得到〃=4或〃=6时，]<0且7；=",当〃=1,2,3,5,7

或〃之8时，7；>0,进而可判定D正确.

5Q—14a—4

【详解】由数列｛《,｝满足4•4可得见”二言5,则“川一1二黄牙，

5,113

因为%二百，可得^一?二一五，

13q—1*8

所以数列」7是首项为-寻，公差为;的等差数列，所以A正确；

[%-lJ84

113,,、12/7-15

由等差数列的通项公式，可得--=--+(/7-l)X-=——,

Cln-1o4o

团”一"5

所以(=：；2―H-777，因为%=-7n，而q=>°A，

2/?-15137T

所以的不是数列｛%｝的最大项，所以B错误；

当时，%>0；当44〃47时，。”<0；当〃28时，4>0,

可得，在〃=7时取得最小值，所以C止确；

,e—5—3—12n—112,7—92/7—7

-3"-2〃T"_13-U-92〃-192〃-172//-15

」2〃-13)(2〃-11)(2〃-9)(2〃-7)

13x11x9x7

当〃=4或〃=6时，丁.<。且此时取得最小值：

当〃=1,2,3,5,7或〃28,时，7；>0,且无最大值，所以D正确.

故选：B.

31.已知数列｛《,｝的通项公式为q=/—&?,则()

A.%+。3=%+。7

B.｛4｝中的最小项为-16

C.从第三项起，｛《,｝的每一项都大于它的前一项

D.数列｛%,2-%｝为等差数列

15/30

【答案】ABD

【分析】根据q二，/-8〃=(〃-4斤16,写出相关项并确定最小项判断A、B、C,再应用等差数列的定义判

断D.

【详解】氏=〃2-8〃=(〃-4)2-16,

对于A,%=%=-7,%=%=T5,则q+%=6+%，故A正确；

对于B,当〃=4时，｛〃“｝中的最小项为4=-16,故B正确：

对于C,由上计算得%=%=-15,显然从第三项起，｛q｝的每一项不一定大于它的前一项，故C错误;

22

对于D,由an+2-an=(〃+2)-8(〃+2)-/z+8〃=4〃-12,

显然(％+3一％)-(q+2-4)=[4(〃+1)-12]—(4〃一⑵二4,

所以｛。.+2-。”｝是公差为4的等差数列，故D正确.

故选：ABD.

32.设｛%｝是各项都为正数的递增数列，己知q=1,且簿满足关系式(%+%-1)2=%+/，H€N*.

⑴正明：数歹1」｛几｝是等差数列；

B

(2)令b〃=(-l)匹;，求数列也｝的前2〃项的和T2n.

4凡-1

【答案】(1)证明见解析；

⑵一篇

【分析】(1)由已知条件，变形给定等式，再利用等差数列的定义推理得证.

(2)由(1)求出4及“，再利用裂项相消求和法及并项求和法求出心”.

【详解】(1)由｛〃“｝是各项都为正数的递增数列，得知+1>%2%=1,

而(%+1+/一1)2=4%+化，则4+|+4-1=2*”+q,整理得(石:一疯)2=1,

因此口=1，所以数歹心曰｝是等差数列•

2

(2)由(1)知=7^+(〃-1)乂1=〃，an=n,

则4=(-ir岩=(-ir告=(一1)"4(4+月),

4a/t-14〃-122/7-12“+1

LL1/11、1/11,1/11、

E2”24〃一34,2-124/7-14〃+124/7+14〃-3

所以％=他+4)+他+娱+…+饱1+%)=；&-1)+(:-3+-+(白-717)〕

25954〃+14〃-3

2〃

4,7+1

题型五：等差数列前〃项和的基本量计算

16/30

33.已知等差数列｛叫中,%+生=4+7吗0=19,则数列｛/8s加｝的前10项和为_____,

【答案】10

【分析】先根据条件求出首项与公差，再根据等差数列通项公式得见，最后利用分组求和法得结果.

【详解】设等差数列｛〃“｝的公差为d.

+%=4+7,=19,

a,+2d+a,+4d=4+3d+76=1

,+9公；9-解得

d=2'

an=1+2(〃-1)=2〃-1,则cos〃兀=(2〃-1)(一1)”,

所以数歹1J｛%cos〃乃｝的前10项的和为一卬+%一%+4----为+"io

=(-％+a,)+(-%+%)+•，，++/o)=2+2+…+2=2x=10.

故答案为：10

34.记等差数列｛q｝的前〃项和为S,,.若S2=4.£=20,则S”()

A.28B.48C.64D.84

【答案】B

【分析】设出首项和公差，再利川公式法求和即可.

【详解】设首项为外，公差为"，由题意得色=4,S4=20,

2「U/=4

12解得q=J,d=3.

4(4-1)

4q+-^——^7=20

12

可得S6=6x；+gDx3=48,故B正确.

故选:B

35.设等差数列｛q｝的前〃项和为利，%=3,S5=35.

⑴求｛4｝的通项公式；

(2)发数列的前〃项和为/“，求之.

【答案】⑴4=13-2〃

(2)52

【分析】(D设公差为d，然后由等差数列的通项公式与前〃项和公式求解;

(2)由(1)判断出｛%｝前6项为正,然后由前〃项和公式计算.

【详解】(1)设等差数列｛为｝的公差为d,

17/30

…+4"=3rH

则c<5x4,”，解得：)，

=5%+—^―d=35[d=-2

所以%=q+(〃-l)d=13-2〃：

(2)由(1)知%=-2〃+13,4=-2,所以4=1,%=一1，

4o=11+9+7+5+3+1+1+3+5+7=36+16=52.

36.设等差数列｛4｝的前〃项和为S.,若q=2,53=12,则％等于()

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】根据等差数列的求和公式结合题设灯求得d=2,进而求解即可.

【详解】设等差数列几｝的公差为"，

3x2

则$3=3q+〒4=12,即6+34=12,解得d=2,

月〒以“6=+5</=2+5x2=12.

故选：C

37.《算法统宗》是我国占代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到

了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如"九儿问甲歌〃：一个公公九个儿,

若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中,

这位公公的长儿的年龄为()

A.23岁B.32岁C.35岁D.38岁

【答案】C

【分析】根据题意设第〃个儿子的年龄为%岁，易知｛%｝是等差数列，d=-3,利用等差数列前〃项和公

式求出力即可.

【详解】设第〃个儿了•的年龄为例岁，由题可知｛可｝是等差数列，设其公差为d,前〃项和为反，

易得d=-3,贝恪=9%+^。(-3)=207,

解得6=35,

即这位公公的长儿的年龄为35岁.

故选：C.

38.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：“把100个面包分给5个

人，使每个人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的;是较小的两份之和，求最小的一份的数量

此题中，若要使得每个人获得的面包数都是整数个，则题中的面包总数"100〃可以修改为()

A.122B.121