角平分线（题型专练）解析版-2024北师大版八年级数学下册

1.5角平分线

即型一利用角平分甘的性病进行筒中计第

屯里二角平分线的列定定理

盘生三角平分由（尺观作图）

与角平分线有关的几何蛹助族作法

与角平分线有关的面枳i+lif同独

角平分期免费的实际应用

角平分线但后与判定的综合运用

基础达标题

题型一利用角平分线的性质进行简单计算

1.（24-25八年级下.陕西榆林•期末）如图，在乙4。8内作一条射线0C，在0C上取一点P,过点P分别

作PQ_LOB于点Q,PELOA于点E,若PQ=PE,Z4OB=50°,则/AOC的度数为（）

A.30°B.25°C.20°D,45°

【答案】B

【分析】本题考查了角平分线的判定定理，运用角平分线的判定定理，即角的内部到角的两边距离相等的

点在角的平分线上，进而求出40。的度数.

【详解】解：PE1AO,PQ=PE,

根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，

・•・0c是ZAOB的角平分线，

.•.NAOC,408=25°,

2

故选；B.

2.（25-26八年级上•吉林・期末）如图，ZAOC=NBOC,点尸在OC上，PD1O4于点。，PE10B于点匕若

【答案】7

【分析】本题主要考查角平分线的性质.此题由两角相等可以确定OC是角的平分线，利用隹平分线的性

质即可得解.

【详解】解：•・・/40C=NB0C，

・•・。。是NAOB的平分线，

：・PE=PD，

PD=7cm,

/.PE=7cm,

故答案为：7.

3.（25-26八年级上•吉林长春・期末）如图，在VABC中，ZAC8=90‘，比平分/A8C,交AC于点£DE1AB

于点。，加果4£=3,AC=5,那么DE的长是.

【答案】2

【分析】本题考查角平分线的性质.先根据线段的和差求出CE,再由角平分线的性质即可求解.

【详解】解：•・•AE=3,AC=5,

・•・CE=AC-A£=5-3=2,

•・,ZACB=90%

AACIBC,

•・•"£平分"ABC，DE上AB，

:.DE=CE=2.

故答案为：2.

4.（25-26八年级上•吉林长春・期天）如图，在一前。中，ZABC、ZACB的角平分线交于点尸，过点尸作

DEIBC.分别交那、AC于点。、E.若,ADE的周长为10cm,BC=6cm,则的周长是加.

【答案】16

【分析】本题考杳了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

由角平分线与平行线的性质，证出NDFB=NDBF，得BD=DF，同理可证历二FC,结合用长公式可得

出结果.

【详解】解：:配平分ZABC,

：・/DBF=NFBC,

,:DEBC,

・•・/FBC=NDFB,

：・3FB=NDBF，

；・BD=DF，

同理可证跖二FC,

・・・.ADE的周长为10cm，

/.AD+DF+EF+AE=lOcm,

AD+BD+AE+EC=AB+AC=\0cm,

丁BC-6cm»

・•・ABC的周长为AB+AC+BC=16cm,

故答案为：16.

题型二角平分线的判定定理

1.（25-26八年级上•贵州黔西•期末）将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与VA8C

的边AB，AC重合，它们的顶点重合于点M,则点M一定在（）

B

C.边BC的垂直平分线上D.边”的中线上

【答案】A

【分析】本题考查的是角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键.

作射线AM，根据角平分线的判定定理得到4区平分/B4C,得到答案.

【详解】解：作射线40,

由题意得，MG=MH,MGLAB,MHVAC,

“打平分"ZMC，

2.（25-26八年级上•河北石家庄•月考）已知，如图,在A8C中，D、£分别是边八8、2C延长线上的点,

AP平分NBAC,BP平分NCBD,求证：CP平分NBCE.

要求：在横线““上填证明步骤,在括号“（）”中填证明依据

证明：过点户分别作PF1AD，PG1AE,PHLBC.

•・FP平分NBAC（已知），且P/1加，PGLAE,

・•・（角平分线上的点到角的两边的距离相等）.

；BP平分NCBD,且______,

:・PF=PH，

・•・（等量代换）.

又•；PG1AE,PH1BC,

，点P在NBCE的平分线上（）

・・・CP平分NBCE.

【答案】答案见解析

【分析】本题考查角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解题关键.

根据角平分线的性质和判定方法，进行作答即可.

【详解】证明：过点P分别作P/UAD，PG1AE,PHLBC.

••FP平分NBAC（已知），且P/iAD，PG1AE,

・•・PF=PG（角平分线上的点到角的两边的距离相等）.

BP平分NCBD,且M1BQ，PH1BC,

：・PF=PH，

：・PG=PH（等量代换）.

又「PGIAE，PH1BC,

・••点P在NBCE的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上）

：,CP^ABCE.

3.（25-26八年级上•吉林长春・期中）如图，VABC中，。/分别是边AB，AC延长线上的点，心平分/84C,

BP平分NCBD,求证：CP平分NBCE.

【答案】见解析

【分析】此题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质定理是解题的关键.过点P

作PG1BCr点G,过点。作用1AC「点尸，过点。作阳点〃，根据角平分线的性质得到

PF=PH,PG=PH,则PF=PG：再根据角平分线的判定进行证明即可.

【详解】解：过点。作PG1BC干点G,过点P作P/IAC于点F，过点P作PH1AB于点〃，

•・・,3平分NBAC,BP平分NCBD，

・•.PF=PH,PG=PH,

:・PF=PG,

•:PG1BC于点、G,P/IACF点尸

；・CP平分NBCE.

4.（25-26八年级上•河南三门峡•期中）如图，在VABC中，点。在BC边上，/BAD=100。,乙钻。的平

分线交AC于点E，过点E作即1AB，垂足为尸，且NAEF=50°,连接OE.

⑴求NC4O的度数；

（2）求证：QE平分/AQC.

【答案】（1）NC4D=4O。

（2）见解析

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的判定与性

质定理是解题关键.

（1）首先解得44E的值，结合/班。=100。，即可获得答案；

（2）过点E作EG1A0FG,EH1BC于〃，利用角平分线的性质定理证明EG=£77,然后证明结论即

可.

【详解】（1）解：・・・£F1AB，ZAEF=50°,

/.ZME=90o-Z4EF=40°>

•••NBA。=100°,

・•・ZCW=180°-/BAD-ZFAE=180°-100o-40o=40°：

(2)证明：过点E作EG1AD于G,EH/BC于〃，如下图,

F

A

BDHC

•・・/E4E=NC4D=40。，EF1,BF，EG1AZ），

：・EF;EG,

「的,I'分NABC，EF1BF，EHIBC，

,EF=EH,

:・EG=EH,

EGLAD,EHIBC,

・・・DE平分/ADC.

5.（25-26八年级上•江苏南京•期末）如图，在VABC和VADE中，AB=AD^AC=AE,ZBAD=ZCAE,

OE分别交BC,AC于点EG,连接心.

D

(1)求证：ZC=ZE；

(2)求证：A广平分4FE.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；

(1)证明△840/\。4后即可得到NC=NE；

过点从分别作于点于点根据得到

(2)AM1BCM，AN10EN,△BACg/XDAEBC=DE,S^AC=SA/Mt.,

利用三角形的面积公式得到=AN，仔利用角平分线的判定定理即可证明"•平分4咫.

【详解】(1)证明：・・・N84O=NC4E，

/.ABAD+ZDAC=ACAE+ZDAC,

即ZBACtZ/ME,

AB=AD,AC=AE,

BAC空DAE(SAS),

/.ZC=ZE.

（2）证明：过点A分别作AM1BC于点M，ANIDE于点、N,

由（1）得，△BX8XDAE、

仁=,

BC-DE，sdf1A

:.-BCAM=-DEAN

22f

:.AM=AN^

又.AMIBC,/WIDE,

平分ZBFE.

题型三角平分线（尺规作图）

1.（25-26八年级上•辽宁大连•期天）用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是

B.ON=OM

C.OC上任意一点到/4。8两边的距离相等

D.点M,N到0C的距离不相等

【答案】D

【分析】本题主要考查了角平分线的作图，角平分线性质的证明，三角形全等的判定和性质.根据作图可

得ON=OM、CN=CM,证明.OCNROC"（SSS）即可判断A；根据作图即可判断B：点E为OC上任意

•点,过点E作GE上0A于点、G,EH上0B于点、，，证明-OGE^OHE（AAS）即可判断C：过点N作NP上0C

于点P，过点M作M2LOC于点。，证明QAW9OQ"（AAS）,即可判断D.

【详解】解：A、由作图可知：ON=OM、CN=CM,

又oc=oc,

/..OCN^OCM(SSS),

^AOC=ABOC,故A正确，K符合题意；

B、由作图可得：ON=OM,故B正确，不符合题意;

C、点£为0。上任意一点，过点石作GE1Q4于点G,EH10B于点、H,

•••GE10A,EHLOB,

・•・NOGE=NOHE=90。,

丁Z.OGE=4OHE,ZAOC=ZBOC,OE=OE,

_OGKgO〃£(AAS),

：.EG=EH,

。。上任意一点到NAQB两边的距离相等，

故C正确，不符合题意；

D、过点N作NPJ.OC于点P,过点M作MQ_LOC于点Q,

LVP10C,M01OC,

NOPN=NOQM=90。,

•••ZAOC=/BOC，NOPN=/OQM=90°,ON=OM

：,OPN^OQM,

：・PN=QM,故D错误，符合题意；

故选：D.

2.（25-26八年级上•黑龙江哈尔滨,期末）如图，在RtZVIBC中，ZC=90°,以点A为圆心，任意长度为半

径画弧，交AB、AC于点。，E，再分别以点。，E为圆心，大于为半径画弧.两弧在/BAC内相

交于点尸，作射线人”交边8c于点G,若CG=4,则点G到AB的距离（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.先

根据尺规作图判断AG是/BAC的平分线，再利用角平分线的性质得出点G到AB的距离等于CG的长度.

【详解】解：设点G到AB的距离为人,

由题意可得AG平分NBAC，

VZC=90°,即GC1AC，点G到AB的距离为人

h-CG,

•・，CG=4，

A=4.

故选：B.

3.（25-26八年级上•黑龙江大兴安岭地•期末）如图，在长方形ABCD中，连接AC,以A为圆心适当长为半

径画弧，分别交40,AC于点£,F,分别以£,尸为圆心，大于;石尸的长为半径画弧，两弧在/D4C内

交千点H,画射线AH交0c于点M.若NAC3=72。，则4MM的大小为（）

A.72°B.54°C.36°D.22°

【答案】c

【分析】本题考查了矩形的性质和基本作图，熟练掌握5种基本作图是解题的关键.

先利用矩形的性质得到AB//CD，则利用平行线的性质川一计算出NC4Q=72。，再由作法得A"平分ZCAD,

所以NDAM=-NCAO=36°.

2

【详解】解：在长方形ABCD中，

VAB//CD,ZACB=72。，

・♦・^CAD=^ACB=12°,

由作法得：AH平分NC4。，

・•・ZD^A7=-ZCAD=36°.

2

故选:C.

4.（25-26八年级上•辽宁大连•期天）如图，在VABC中，AB=AC,ZBAC=90°,以点为圆心，适当长

为半径作弧，交BA于点M，交RC干点N.分别以点M，N为圆心，大干的长为半径作弧.两弧在

/A3C的内部相交于点乙作射线BP交4C于点O.以点。为圆心，适当长为半径作弧，交BC于点E和

点尸.分别以点£尸为圆心，大于^石尸的长为半径作弧，两弧相交于点G.连接QG交BC于点〃.若

BC=8,则二。"C的周长为（）

【答案】B

【分析】本题考杳了作图一角平分线和垂线、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和等腰直角三角

形的性质，理解题意是解决本题的关键.

由作图可得，BP是/A3C的角平分线，DH1BC,则根据角平分线的性质D4=M，证明..ABD空..HBD，

可得AB二BH，进而即可求解.

【详解】解：由作图可得，BP是/ABC的角平分线，DHLBC，

VZ4=90°,

:・DA=DH，

在△A3Q和中，

NABD=NHBD

,NBAO=N8"/）=90°,

BD=BD

：,ABf上会八HBD（AAS）,

；・AB=BH，

，一DHC的周长为DH+HC+CD

=DA+CD+HC

=AC+HC.

又,：AB二AC,且AB=BH，

：.AC=BH,

・•・AC+HC

=BH+HC

=BC

=8.

故选：B.

5.（25-26九年级上•重庆・月考）在学习了三角形和四边形的相关知识后，小明发现：在对角互补的四边形

ABCZ）中，4+ZADC=180°,若AC平分/840,则BC=CQ,请根据他的思路完成以下作图和推理填空：

⑴用尺规完成以下基本作图：过点C作AB的垂线，交A8于点£（不写作法，保留作图痕迹）;

（2）求证：BC=CD.

证明：过点。作CF1AZ）交A。延长线于点厂

•・•CE1AB,：,NCEB=ZCFD=90°.

〈AC平分/BAO,且CE1AB,CFLAD,

・•・①.

VZB+ZADC=180°,②,

・•・回NDCF.

在VBEC和△Q/T中，\NCEB=NCFD

CE=CF

・•・BECaDFC(④).

:・BC=CD.

【答案】(1)见解析

Q)CF=CE；ZADC+ZDCF=180°；/B=NDCF；AAS

【分析】本题考查了尺规作图之作高，角平分线的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，熟练学

握以上知识点是解题的关键.

(1)以点C为圆心，以超过。到期的距离为半径画弧，交A8「M.N,再分别以M,N为圆心，以人[[MV

为半径画弧，两弧相交于点。，连接C0交岫于点E，则CE为所求：

(2)根据角平分线的性质，可得CF=CE,结合平角NAOC+NZ)CF=180。，可知NB=NZ)CF,接着利用

AAS证明.BEgdDFC回S),从而得出结论.

【详解】(1)解：下图CE即为所求：

(2)证明：过点C作CVIAO交AO延长线于点凡

•：CE上AB,

・•・ZC£B=zero=90°.

•••AC平分且CE1AB,CF1AO,

：.CF=CE.

•・・4+NADC=180。，ZA£)C+Z/)CF=180%

・"B=NDCF.

NB=Z.DCF

在VBEC和△OW中，NC"=NCFO,

CE=CF

/.BEC^tDFC（AAS）,

BC-CD.

能力提升题

题型一与角平分线有关的几何辅助线作法

1.（24-25八年级下・河南信阳•开学考试）如图，在VABC中，NC=9（R/C4B的平分线交8c于点。.若

灰＞5,8。=3,则点。到48的距离为（）

【答案】A

【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及角平分线的性质，熟记角平分线性质是解决问题的关键.

先由题意求出。C,过点。作QE工「点E，如图所示，从而由角平分线的性质得到DE=DC=2即可确

定答案.

【详解】解：BC=5,BD=3,

:.DC=BC-BD=5-3=2,

过点。作于点E，如图所示：

•1■由角平分线的性质可知DE=DC=2,

则点。到A8的距离为2，

故选：A.

2.（25-26八年级匕四川内江•期天）如图，AQ是V4BC中/B4C的平分线，DEJ.AB交AB于点E,若

DE=3,AC=5,则四的长为（）

E,

BDC

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

过点。作工AC,由角平分线的性质可得，DF=DE=3,由题意知•。尸=18,计算求

22

解即可.

【详解】解：过点。作DF1AC,如图，

AD是N84C的平分线，且班工A8，DF1AC,

:.DF=DE=3,

/SABC=SABD+S,Ac。=18，

:.-ABDE+-ACDF=\S,

22

.」x3AB+，x3x5=18

22

315

-/B+—=18

22

3^+15=36

解得AB=7.

故选：B.

3.(25-26八年级上•北京海淀•期天)如图，在△OA8和一OCD口，OA=OB,OC=OD,OA>OC,

N4OB=NCOD=40。，连接AC,8D交于点M,连接。M,则NCMO=()

A.40°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理.

证明./OC经BOD,得到NCO=NODB,/OAC=/OBD♦A0c=SMCD,AC=BD,则

4MB=4408=40。，即NCMB=140。，作O/_LAC于点/,OLJL用)于点心可知0/二。心即点。在

/BMC的平分线上，即可求出/CM。的度数.

【详解】解：ZAOB=NCOD.

ZAOB+ZA0D=NC0D+ZA0D,

即笫=/80D，

在△AOC和一B0D中，

0A=0B

NAOC=NB0D,

OC=OD

.AOC^4Q/)(SAS),

:"0CA=N0DB,/0AC=/0BD，Sf0c=SABOD，AC=BD,

ZAMB+ZOAC=ZAOB+NOBD,

=ZAOB=40。，

.•.ZCA^=180°-Z4MB=140°,

作O/J_AC于点/,OLLBDF点、L,则SA比=；4C。/，SB()D=^DBOL,

:.0l=0L,

二点。在NCM8的平分线上，

:.M0平分NCMB，

，NCMO=70。，

故选:C.

4.（25-26八年级上•辽宁盘锦•期末）在四边形ABCD中，BD平分/ABC，/BCQ=90。，CD=2,且△ABQ

的面积为2,则A，_.

【答案】2

【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积,利用角平分线的性质，得到0E=2是解题的关键.过

点。作班1班的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出0石=QC=2,冉利用二角形的面积公式求解

即可.

【详解】解：如图所示，过点。:乍庞JLBA的延长线广点E，

QBQ平分/ABC,/BCD=90°,

:.DE=DC=2,

,/ZiAB。的面积为2,

・・・；A8OE=2,即348x2=2,

Aff=2.

故答案为：2.

5.（25-26八年级上•辽宁本溪•期末）在直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,ED平分/ABC

交AC于点。，则8。的长为

【答案】3底

【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，过点。作裕于点E，利用勾股定理求出AB的

长，由角平分线的性质得到=根据5八K=5„+5。/）求出，。的长，再利用勾股定理即可求出BD

的长.

【详解】解；如图所示，过点作O£_ZAB于点E,

A

•・•在RtZXABC中，ZC=90°.4c=8,BC=6,

2

,AB=JAC2+BC=V82+62=10，

•・•BD平分/ABC交AC于点D，ZC=90°，DE上AB，

DC=DE>

•S,ABC=S.ABD+S(BD，

：.-CDBC+-DEAB=-BCAC,

222

.,.-x6C£>+-xl()C79=-x6x8,

222

:・CD=3,

BD=JS+BC?=6+6?=36，

故答案为：3H.

6.125-26八年级上•上海静安・期末)如图，VA8C中，/B平分线54和边AB的垂直平分线OE交于点E，

已知点E到BC边距离为2,A4=8,那么点£和点A之间的距离为.

【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，过点E作EG1BC，根据题意得到

乙4。£=90。,及7=2,AD=4,由角•『分线的性质可得OE=EG=2,利用勾股定埋即可求出AE.

【详解】解：过点E作EG1BC，

由题意得OE垂直平分AB，

AD=BD=-AB,ZADE=90°,

2

•・,AB=8，

,AD=BD=4,

•・•BH平分Z4BC,NEGB=90°,EG=2,

:・DE=EG=2,

；・AE=YDE?+AD，=2x/5，

，点£和点A之间的距离为20.

故答案为：26.

7.（25-26八年级上•全国・期末）如图，点M为8c的中点，DM平分/ADC.

（］）若4=NC=9O".

①求证：AM平分/BAD.

②猜想线段CD,48，AO之间的数量关系，并证明.

（2）若/3=75。，请你思考/C应该满足什么条件，能使得（1）②中结论依然成立，并说明理由.

【答案】（1）①见解析；②4）=CD+AB,见解析

⑵NC=105。，见解析

【分析［本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理及判定定理等；添加恰当的辅助线构

建全等三角形是解题的关键.

（1）①过点M作ME1AZ）交于E，由角平分线的性质得CM=EM，再由角平分线的判定定理即可得证；

②由HL可判定RL.DEM9RJQCM,由全等三角形的性质即可得证；

（2）在AO上截取OF=OC，连接M/7,过点M作MH_LA£＞交于〃，作MG1A8交于G,由SAS判定

-MDF-MDC,结合全等三角形的性质，再由AAS判定空MGB、A/阳空"W，由全等三角形

的性质即可得证.

【详解】（1）①证明：过点M作历E1A。交于E，

D

•••CM=BM,

,"二90。，MEJ.AD，

-1-AM平分/BAD:

②AD=CD+AB，

证明：・・,EM=CM,DM=DM，

/.RtADEM^RtADCA/（HL），

/.ED=CD.

同理可证AE=A3,

.\AD=AE+ED

=CD+AB.

（2）解:ZC=105°,

理由如下：在从。上截取DF=DC，连接Mb，过点M作交于〃，作MG_L前交于G,

DM平分/ADC,

ZMDF二/MDC,

DM=DM,

:$MDF迫一MDC（SAS）,

=FD=CD，

ZZ）™=ZC=105°,

.•.ZA™=180O-105°=75°,

ZAFM=NB，

・"点时为BC的中点，

；CM=MB.

MF=MB,

上MHFAMGB（AAS）,

;.MH=MG,

平分/BAD，

：.ZFAM=ABAM

:AM=AM，

：^AFM^..ABM（AAS）,

：.AF=AB^

:.AD=FD+AF

=CD+AB.

故NC=105。时，能使得（1）②中结论依然成立.

题型二与角平分线有关的面积计算问题

1.（山西省部分学校2025-2026学年上学期八年级综合素养评估（四）数学试卷）如图，BD是VABC的角平

分线，DE1BC于点E,DE=2,48=4,则△ABQ的面积为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本题主要考查了角平分线的性质.过点。作DF1MF点R根据角平分线的性质定理可得

DE=DF=2,再由三角形的面积公式计算即可.

【详解】解：如图，过点。作DF1AB于点片

丁即是VABC的角平分线，DELBC，DE=2,

:・DE=DF=2,

•・•AB=4，

：,S

n,nHlDJ=-2ABXDF=-2X4X2=4.

故选:B

2.（25-26八年级上•重庆・期中）如图，已知VABC中，BD平分/ABC,DEJ.AB于点、E，连接CD，若

DE=2.5,BC=6,则△BCQ的面积是（）

【答案】B

【分析】本题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，作DF1AC于点尸，由BD平分/ABC,

DEJ.AB于点、E,根据角平分线的性质得QF=DE=2.5,而BC=6,则Sa?）=；8c・Ob=；x6x2.5=7.5，

于是得到问题的答案.

【详解】解：作OF/AC于点凡

：.DF=DE=2.5,

•・•BC=6,

：.S88=；3cOF=；x6x2.5=7.5，

故选：B.

3.（25-26八年级上•全国・期末）如图，在锐角三角形ABC中，ZfiAC=60°,BE，CD分别为VABC的角平分

线.BE，CD相交于点F，FG平分/BFC,已知3。=3,CE=2,△BFC的面积=2.5,求△BCD的面

积二.

【答案】4

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、三

角形面积公式是解题的关键.

过点尸作FM1AB于点M，过点尸作RV1BC于点N,根据角平分线性质定理得FM=RV,结合三角形

内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出/BFG=600=NB"）,再通过ASA证明也△BGF,

..CEF^CGF,则BZ)=3G，CE=CG,BC=BG+CG=BD+CE=5,根据三角形面积公式求出/W=l=fM,

13

S皿=53。•FM=5，再根据△BCO的面积=S皿+SBFC求解即可.

【详解】解：如图，过点”作FM14B于点M，过点、F作FN上BC于点、N,

QZBAC=6O°,HECD分别为VABC的角平分线,

/.Z.EBC+Z.DCB=1ZLABC+；ZACB=|x(18O0-NBAC)=60。,

ZBFC=180°-(ZEBC+NDCB)=12伊，

昨1800-/BFC=60。，

NBFG=-NBFC=60°=NBFD,

2

在VBDF和_BGF中,

NBFD=NBFG

<BF=BF,

ZDBF=/GBF

，，BDFaBGF(ASA),

:.BD=BG,

同理可得,产/CGF(ASA),

:.CE=CG,

:.BC=BG+CG=BD+CE,

♦,BD=BG=3,CE=CG=2,

BC=BD+CE=5，

QVBFC的面积=2.5,

FN=2.5,

z

:.FN=\,

比为VABC的角平分线，FN1BC,FM工AB，

，FM=FN=I,

..nRDF=-BDFM=-x3x\=~,

222

3

:ABCD的面积=SBDF+S,C=;+2.5=4,

J

故答案为：4.

4.（25-26八年级上•重庆・月考）如图，VABC中，点E在AB边上，连接CE,/BEC的角平分线与48AC的

角平分线交于点/，连接CF.若AC=8,CE=6,5AACF=i6,则/皿.=—.

【答案】12

【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面枳公式，利用角平分线的性质，推导点尸到AC、CE的距

离相等是解题关键.

作尸到AB、AC、EC的垂线，可由角平分线性质得三条垂线段相等，然后通过AAC尸的面积求出垂线段

长度，用该长度计算△尸CE的面枳即

【详解】解：如图，过点”分别作AB、AC、EC的垂线，交即延长线于点G,交AC延长线于点M，

交EC于点N.

EF平分NBEC,",平分NBAC,

：FN=FG,FM=FG，

-■FN=FM,

已知AC=8，CE=6,S4ACF=16,

=-xACxFM=-x8xFA/=16,

22

解得KM=4，即FN=4,

=-x£CxF7V=-x6x4=i2.

22

故答案为：12.

5.（25-26八年级上♦陕西西安•月考）如图，已知在VABC中，ZA=90°,AB=9,AC=12,CD平分NACB,

班:平分/ABC,M与CD交于前0,若过点。的直线MN平分VABC面积，那么BN+AM的长为.

【答案】9

【分析】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理；过点。作0771BG0G1AG0P1AB,垂足分别为

H、G、P,连接由角平分线的性质得到OH=OG=OP,利用勾股定理求出BC=15,进而利用等面积

法求出0H=0G=0P=3,再由过点0的直线MN平分VABC面积，得到《。历・。6+!。7・。4=27,则

22

CM+GV=18,再根据AM+BN=AC-CM+BC-CN可得答案.

【详解】解：如图所示，过点。作0H1BC,0G1AC,0P1AB,垂足分别为"、G、P,连接0A,

•「CD平分”AC8.的平分/AHC,OHIBC,OGIAC,OPLAB

：.OH=OG,OP=OH,

：.OH=OG=OP

•・•在VABC中，4=90。，AB=9,AC=12,

BC=JAB2+AC2=15，

,**S&ABC~S4AOB+S^BQC+S&A0C，

：.-ABAC=-ABOP+-BCOH+-ACOG.

2222

1915

：.-x9x\2=-OH+6OH+—OH,

222

：.OH=OG=OP=3,

•••过点0的直线MN平:分VABC面积,

,S△的=；S&BC=；x；x9xl2=27

S4coiv+S&8M=27，

：.-CM0G+-CN0H=21

22f

・・・CM+C7V=18,

...AM+BN=AC-CM+BC-CN=AC+BC-(CM+CN)=12+15-18=9,

故答案为：9.

6.(25-26八年级上•浙江杭州•期末)如图，VABC中，点。在EC边上，Z^D=100°,/ABC的平分线

交AC于点3过点E作印_L/W，垂足为尸，5.ZAEF=50%连接

⑴求NC4O的度数；

(2)求证：平分“ADC；

(3)若A8=9,AO=8,CD=10,且叉加=18,求二A处的面积.

【答案】(1)40。：

(2)证明见解析;

(3)9.

【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上

的点到角的两边的距离相等是解题关键.

(1)根据垂直得到44初二90。，利用三角形外角的性质得到？BAE140?,再根据Za4£=4W+NCW,

即可求出NC4O的度数；

(2)过点E作EGIA。，EH1BC,根据角平分线的性质得到EF=EG，EF=EH,进而得到EG二EH,

再根据角平分线的判定定理即可证明结论；

(3)根据三角形的面积公式求出£〃=2,再根据三角形的面积公式计算，即可求出..ABE的面积.

【详解】⑴解：*145,

.4:90。，

vzA£F=50°,

.•.zR4£=ZF+ZAEF=909+50°=14(F,

QZBAE=ZBAD+ZCAD,ZB/1P=1OO°,

.•.zC4D=Zfi4£-Z^W=140°-100>=40°,

(2)证明：过点E作EG1AD交AO于点G,EH_LBC交BC于点、H,

由(1)可知，ZE4F=ZC4D=40°.

.：AE平分NMD，

•••EF1AF，EGLAD^

:.EF=EG，

盛平分/ABC,EF1BF，EHIBC,

:.EF=EH.

:.EG=EH,

•.­EGIAD,EHIBC,

.•.DE平分/ADC：

F

A

（3）解：-5^=18,

•,£，图比+SVc=18

.\-ADEG+-CDEH=\S

22

"。=8,C£>=10，EG二EH、

.•.-x8xE/y4-1XI0XF/7=18,

22

/.EH=2

:.EF=2

AD-9

•••S〃8£=：ABEF=gx9x2=9・

题型三角平分线性质的实际应用

1.（25-26八年级上.全国.期末）如图，直线4,L%表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，

要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）.

7i卜

人

A.1处B.2处C.3处D.4处

【答案】D

【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键.根据角平分线上的点到角两边

的距离相等，作图分析即可求解.

【详解】解：如图所示，

/.；/：

八根据角平分线的性质定理”角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点

，公鸟到三条公路的距离相等,

・•・可供选择的地址有4个,

故选：D.

2.（25-26八年级上•上海•月考）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，VABC是一个正在修建的口袋公

园，要在公园里修建•座凉亭〃，使该凉亭到公路AB、AC、BC的距离都相等，则凉亭〃是丫48。的（）

A.三条中线的交点B.三条高的交点

C.三条角平分线的交点D.三条边的垂直平分线的交点

【答案】C

【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键.

根据角平分线的性质求解即可.

【详解】解：VVABC是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭〃，使该凉亭到公路岫、AC.

8c的距离都相等，

・••应建在三条角平分线的交点.

故选：C.

3.（22-23八年级下•河南郑州・月考）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭

到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（）

A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点

C.三角形三条高所在直线的交点D.三角形三条中线的交点

【答案】B

【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到

三边的距离相等.

【详解】解：・・,凉亭到草坪三边的距离相等,

・•・该点应是三角形三条角平分线的交点，

故选：B.

4.（25-26八年级上•河北廊坊•期口）如图，点八在点。的北偏西30°的方向上，且AO=5km,A810A,

BH1OH.根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法不正确的是（）

北

A.点〃在点0北偏东300方向上

B.点0在点8南偏西60。方向上

C.BA=BH

D.OB=10km

【答案】B

【分析】本题考查方向角，作图一角平分线基本作图，角平分线的性质，含30。角的直角三角形，能根据作

图得出0B是/4。”的角平分线是解决此题的关键.

先得到0B是NAO”的角平分线，求出/BOD=NAOB-NAOD=60。-30。=30°,ZHBO=90°-Z.HOB=30°,

即可推导出必点〃在点0北偏东30。方向上；点0在点，南偏西30。方向上；/朋。二90。，

/4BO=90°-/4O8=30。，则OB=2AO=10（km）,即可解答.

【详解】解：如图，由题意，及图得

一北

22

AZBOD=Z4OB-ZAOD=60°-30°=30°,

即点B在点0北偏东30°方向.匕

故A正确；

,：ABLOA,BH1OH,OB是NA。/7的角平分线，

/.M=B“，Z.BHO=90°,

・•・NHBO=90°-Z.HOB=30°,

工点。在点8南偏西30。方向上，

故B错误，C正确；

*•*ABLOA,AO=5km，

・•・ZBAO=90°,

・•・ZABO=90°-Z4OB=30°,

/.OB-2AO-10（km）.

故D正确.

综上所述，只有B错误.

故选B.

5.（25・26八年级上•山东滨州•月考）如图1,这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电

脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长A3=12cm,支撑板顶端的。恰好是托板A8的

中点，托板AB可绕点。转动，支撑板CD可绕点。转动.当CD1AB,且射线DB恰好是/CQE的平分线时，

此时点B到直线DE的距离是（）

图1图2

A.4cmB.6cmC.8cmD.12cm

【答案】B

【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.

如图:过点B作BFLDE，垂足为点尸,根据，是仙的中点可求BC的长度,再根据角平分线的性质求解即

可.

【详解】解：如图：过点，，作BF上DE，垂足为点F，

A

C

B.

D^—----E

F

•••C是AB的中点，AB=12cm.

BC=—AB=6cm,

2

\'CDLAB,BFLDE，射线DB是NCOE的平分线,

:.BF=BC=6cm.

故选:B.

6.（25-26八年级上•河北衡水・期口）为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，

我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域ABC.为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形

区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等.

（1）请你用尺规作图选定位置〃：（架留作图痕迹，不写作法）

⑵若已知三角形区域ABC周长是2000米，面积是100000平方米，请你计算这个服务站〃到三条公路的距离.

【答案】（1）见解析；

⑵这个服务站〃到三条公路的距离均为100米.

【分析】本题考查了尺规作图一作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键.

（1）分别作N'ABC和/ACB严分线即可;

（2）连接A尸，设点尸到三边的距离均为〃，则有S△枷=s^8+s△川c+s—然后代入即可求解.

【详解】（1）解：作/ABC和NACB平分线，交于点尸，则点尸即为所求，如图所小,

ft

（2）解：连接Q,设点尸到三边的距离均为力,

=S+S^BPC+S△八pu

=4x(A8+BC+AC)

2

A10000()=-x2000,解得力二100,

2

即这个服务站P到三条公路的距离均为100米.

7.（19-20九年级上.山东•课后作业）如图，直线a、Kc表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转

站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】4处，作图见解析

【分析】本题主要考杳了角平分线的性质定理的应用，尺规作角平分线,

作三角形内角的平分线，两条平分线交于点《，点4到这个三角形三边的距离相等；再作两个外角的平分线,

交千点U，点鸟到这三条公路的距离相等；同理还有点乙，乙，则此题可解.

【详解】解：如图所示，一共有乙处，即点A，8，8,

b

8.(25-26八年级上.江苏南通・月考)如图，聪明好学的小海同学看到课本第60页第14题:

拓广探索＞---―-.......---........-............-.........-

14.如图，在△/3C中，