2026年高考数学一轮复习 圆与方程（有解析）

高考数学一轮复习圆与方程

一.选择题(共8小题)

1.(2025•贵州三模)“关于工,)，的方程：)+)，2+权+2>，+2=0表示圆”是“。>2”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.(2025春•周口期中)已知圆心在x轴上的圆过点(-1,百)且与)，轴相切，则该圆的标准方程为

()

A.(x+1)2+y2=4B.7+(y-2)2=4

C.(x+2)2+>(2=4D.(x-2)2+>-2=4

3.(2025•项城市三模)过圆。：?+/=1外的点P(3,2)作O的一条切线，切点为M,则|MP1

=()

A.2B.2V3C.V13D.4

4.(2025•廊坊校级模拟)已知。为坐标原点，圆E：(x-2)2+(y-3)2=25,则|。回=()

A.2B.3C.V13D.5

5.(2025•北京校级模拟)己知圆C：(x-1)2+()，-2)2=25,直线/：心-厂2〃?=0,则直线/

与圆C的公共点个数为()

A.0个B.1个

C.2个D.与机有关，不能确定

6.(2025春•静安区期末)圆心在抛物线)2=2A•上，且与上轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方

程是()

A.・x-2y+1=0B.x2+y2-x-2y-1=0

C.x^+y2+x-2y+l=0D.xz+yz-x-2y+=0

7.(2024秋•北京校级期末)以点C(・1,-5)为圆心，并与人•轴相切的圆的方程是()

A.(x+1)2+(>'+5)2=9B.(x+1)2+()叶5)2=16

C.(x-I)2+2=9D.(x+1)2+(y+5)2=25

8.(2024秋•自贡校级期末)直线/：)，=%与圆M：产+()，・1产=4交于4，8两点,则依凶=()

A.2B.V7C.2>/7D.V14

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2025•南宁模拟)己知点尸(4m+3,-3〃L4),点Q在圆C(x-1)2+y1=\±,

则()

A.点。在直线3.r+4y+7=0上

B.点P可能在圆C上

C.|尸。|的最小值为1

D.圆。上有2个点到点尸的距离为1

(多选)10.(2025•山海关区校级模拟)点。在圆G：/+y2=25上，点。在圆G：/+/一6%+

8y+24=0±,则()

A.圆。与圆C2相交

B.|PQ|的最大值为10

C.两圆的公共弦长为咚

D.当直线与圆Ci相切时，IPQI的最大值为m

(多选)11.(2025•白银三模)已知圆M：(X-1)2+()叶2)2=4与圆N：(x+m)?+()，-1)2

=病相切，则〃?的取值可以为()

A.-2R.-1C.3D.4

(多选)12.(2024秋•梅州期末)圆G：/+、2=1与圆。2：/+(y-。)2=9有且只有一个公共

点，则〃的值可能是（)

A.IB.2C.3D.4

三.填空题（共4小题）

13.（2025春•商丘期末）已知圆C的圆心在直线x+），=4上，且圆C经过点（-2,0）,（0,6）,

则圆C的标准方程是.

14.（2025春•闵行区校级期末）设实数。＞0,圆。：/+/-4工+-=0的面积为8丘，则〃=.

15.（2025•河南模拟）若圆C：/+,2+2计/鹿=0上恰有三个不同的点到直线无+百y+2=0的距

离为1,贝Im=.

16.（2025•武功县校级模拟）过点A（-2,-1）向圆C：（/-1）?+（），-2）2=4作切线，切点

为B,则尸.

四.解答题（共4小题）

17.（2025•龙凤区校级模拟）如图，由部分抛物线丁=〃吠+1（〃?＞（）,工20）和半圆一+/=/*2（xW

0）所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点（3,2）和（一I孚）.

（1）求“黄金抛物线C”的方程；

（2）设尸（0,1）和Q（0,-1）,过点尸作直线/与“黄金抛物线C”相交于4,P,B三点，

问是否存在这样的直线/，使得Q尸平分NAQB?若存在，求出直线/的方程，若不存在，请说明

理由.

18.（2024秋•杭州校级期末）已知圆C：（x-4）2+『=25,点P（1,4）,且直线/经过点P.

（1）若/与C相切，求/的方程;

n

(2)若/的倾斜角为二，求/被圆C截得的弦长.

4

19.(2024秋•河南期末)已知圆E经过点P(-2,4),且与圆小：/+/一2%=。相切于点人

(2,0).

(1)求圆心Ci的坐标；

(2)求圆E的标准方程：

(3)过点4的直线/与圆C1和圆E分别交于x轴上方的从C两点，若18cl=3近，求直线/的

方程.

20.(2025•广安区校级开学)已知圆G：/+(y+5)2=5,直线/过点A(I,-3)且与圆Ci相

切.

(I)求直线/的方程；

(2)设圆C2与圆。关于直线/对称，求出圆C2的方程.

高考数学一轮复习圆与方程

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.(2025•贵州三模)“关于工，)，的方程：/+)2+or+2y+2=()表示圆”是“〃>2”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】二元二次方程表示圆的条件；充分条件必要条件的推断.

【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解.

【答案】B

【分析】依据已知条件，结合圆方程的性质，即可求解.

【解答】解：关于x,y的方程：，+)2+公+2”2=0表示圆，

则(％+今2+(y+1)2=土_1>0,解得a>2或aV-2,

故“关于达y的方程：/+/出计2>+2=0表示圆”是“。>2”的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题.

2.(2025春•周口期中)已知圆心在x轴上的圆过点(-1,仃)且与)，轴相切，则该圆的标准方程为

()

A.(x+1)2+>-2=4B..r+(y-2)2=4

C.(x+2)2+y2=4D.(x-2)2+J2=4

【考点】依据圆的几何属性求圆的标准方程.

【专题】计算题；方程思粒；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】C

【分析】设圆心坐标（〃，0）,得到（x-«）2+y2=«2,再由点（一1,百）在圆上，代入即可求解.

【解答】解：依据题意，要求圆的圆心在x轴上，且与y轴相切，

设圆心坐标为（小0）,则该圆的半径为同，

故要求圆的标准方程为（X-a）2+y^=a2,

又由圆过点（一1，V5）,则有（-1-«）2+3=«2,解得：a=-2,

所以圆的标准方程为（x+2）2+/=4.

故选：C.

【点评】本题考查圆的标准方程，涉及圆与坐标轴相切的性质，属于基础题.

3.（2025•项城市三模）过圆O：外的点P（3,2）作。的一条切线，切点为M,则|M*

=（）

A.2B.2V3C.V13D.4

【考点】过圆外一点的圆的切线方程.

【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解.

【答案】B

【分析】依据已知条件，结合勾股定理，即可求解.

【解答】解：圆。：/+），2=],

则圆心为O（0,0）,半径厂=1,

\MP\=yj/\OP\2-r2=V13-1=2V3.

故选：B.

【点评】本题主耍考直过圆外点的圆的切线方程，属丁基础题.

22

4.(2025•廊坊校级模拟)己如O为坐标原点，圆E；(A-2)+()，3)=25,则|。0=()

A.2B.3C.gD.5

【考点】圆的标准方程.

【专题】转化思想；转化法：直线与圆；运算求解.

【答案】C

【分析】利用两点间距离公式即可.

【解答】解：IwlE：(x-2)2+(y-3)2=25,

则E(2,3),

故|OE|=V(0-2)2+(0-3)2=V13.

故选：C.

【点评】本题主要考查两点之间的距离公式，属于基础题.

5.(2025•北京校级模拟)已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25,直线/:心-y-2加=0,则直线/

与圆C1的公共点个数为()

A.0个B.1个

C.2个D.与团有关，不能确定

【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；依据圆心到直线距离与圆的半径求

解直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】C

【分析】依据直线方程确定定点，再推断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共

点个数.

【解答】解：依据题意，直线/："a-y-2〃?=0,即)，=加(X-2),恒过定点A(2,0),

圆C：(x-1)2+(y-2)2=25,有(2-1)2+(0-2)2=5<25,

所以点A在圆C内，故直线/恒与圆C相交，故有两个交点.

故选：C.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题.

6.(2025春•静安区期末)圆心在抛物线)，2=2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方

程是()

A.-x-2y+1=0B.x2+y2-x-2y—^=0

C..v+y+x-2y+l=0D.x24-y2-x-2y+^=0

【考点】依据圆的几何属性求圆的一般式方程.

【专题】百线与圆.

【答案】。

【分析】所求圆圆心在抛物线)?=2J匕且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定

义知道，圆心、半径可得结果.

【解答】解：圆心在抛物线』=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及

抛物线的定义可知，

所求圆的圆心的横坐标x=即圆心(三，1),半径是1,

所以圆的方程是?+y2-X-2)，+1=0.

故选：O.

【点评】本题考查圆的方程，抛物线的定义，考查数形结合、转化的数学思想，是中档题.

7.(2024秋•北京校级期末)以点C(-1,-5)为圆心，并与x轴相切的圆的方程是()

A.(x+1)2+(>-+5)2=9B.(x+I)2+()叶5)2=16

C.(x-1)2+(),-5)2=9D.(x+1)2+(y+5)2=25

【考点】依据圆的几何属性求圆的标准方程.

【专题】方程思想；定义法；直线与圆；运算求解.

【答案】D

【分析】由已知可得圆心坐标与半径，再由圆的标准方程得答案.

【解答】解：由题意，圆心坐标为点C(-l,-5),半径为5,

则圆的方程为(x+1)2+(>4-5)2=25.

故选：。.

【点评】本题考查圆的标准方程，是基础题.

8.(2024秋•自贡校级期末)直线/：y=x与圆M：/+()，-I)2=4交于人，B两点,则依用=()

A.2B.V7C.2夕D.旧

【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】。

【分析】依据题意，分析圆的圆心和半径，结合直线与圆的位置关系，计算可得答案.

【解答】解：依据题意，圆M：/+(y-1)2=4,其圆心为(0,1),半径r=2,

圆心M到直线/的距离d=殍"=挈

V1+1，

故MB|=2x^4-1=V14.

故选：D.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题.

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2025♦南宁模拟)已知点P(4m+3,-3〃i-4),点Q在圆C：(x-1)2+>-2=1±,

则()

A.点。在直线3x+4y+7=0上

B.点〃可能在圆。上

C.|PQ|的最小值为1

D.圆。上有2个点到点P的距离为1

【考点】直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系.

【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解.

【答案】AC

【分析】依据已知条件，先求出点P的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解.

【解答】解：点P(4〃?+3,-3/H-4),

3(4〃?+3)+4(-3m-4)+7=0,

故P(45+3,-3m-4)在直线3入+4)y7=0上，故A正确：

圆心到直线3/4)，+7=0距离d=13+7|=2>1=r,

j32+42

故直线3x+4)叶7=0与圆相离，结合A选项可知，点户不行能在圆。上，故8错误；

结合B选项可知，\PQ\,nin=d-r=2-1=1,故。正确；

d=r+1,

则圆C上只有1个点到点P的距离为1,故。错误.

故选：AC.

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

(多选)10.(2025•山海关区校级模拟)点。在圆G：/+丫2=25上，点。在圆。2：/+,2一6%+

8y+24=0上，则()

A.圆Ci与圆C2相交

B.|PQ|的最大值为10

C.两圆的公共弦长为营

D.当直线PQ与圆。相切时，PQI的最大值为yn

【考点】直线与圆的位置关系：依据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】ACD

【分析】依据两圆的方程分别求出两圆的圆心和半径，再结合图象分析各个选项的正误.

【解答】解：依据题意，依次分析选项：

对于力，圆Cl；/+必=25,则圆心C(0,0),半径川=5；

圆。2：x2+y2—6%+8y+24=0.E,即(x-3)2+(yH-4)2=1,其圆心C2(3,-4),半径r2

=1.

由于两圆圆心距|GC21=J(3—0)2+(—4-0)2=5,且|门-r21Vle心卜门+⑵

所以圆。与圆C2相交，故A正确.

对于孙如图所示，

当线段PQ同时经过两圆圆心且分别在圆心两侧时.，IPQI取得最大值,

且「@,峭=|。C2|+ri+r2=5+5+1=11,故B错误.

对于C,如图所示,

2222

圆JX+y=25±,C2.«r+y-6.Y+8y+24=0,

将两圆方程作差，则有6x・8y・49=0,

即两圆公共弦所在直线方程为6.r-8y-49=0,

又圆心Ci到直线6x-8厂49=0的距离d==暮

10

所以两圆的公共弦长为2仟W=2肘一瑶)2=争,故c正确.

对于。，如图所示,

当直线尸。与圆。相切时，点。在圆。外，

由于|PQ|2=IGQ|2-r，所以当IGQ取得最大值时,|尸Q取得最大值.

由于|GC2|=5,所以点C2在圆。上，所以|。。|的最大值为〃十，-2=6,

所以IPQI的最大值为-62-52="I,故D正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，涉及圆的一般方程和标准方程，属于基础题.

(多选)11.(2025•白银三模)已知圆M：(x-1)2+(y+2)2=4与圆N：(x+w)2+(y-1)2

〃上相切，则〃?的取值可以为()

A.-2B.-1C.3D.4

【考点】圆方程的综合应用；圆与圆的位置关系及其判定.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】BC

【分析】依据两圆相外切和相内切两种状况，列式求解.

【解答】解：依据题意，圆M：(x-1)2+(y+2)2=4,圆心M为(I,-1),半径R=2,

圆N：(x+〃?)之+(y-1)2=nr相切，圆心N(・m,1)»半径r=\rn\,

分2种状况争辩：

若这两个圆外切，贝U|MN|=7(1+^)2+(-2-I)2=V44-y/m^=2+|m|,

两边平方后,解得〃?=-1或3；

若这两个圆内切，则|MN|=J(l+m)2+(—2-1尸二|办_行|=|2-|m||,无解；

综合可得：加=-1或3.

故选：BC.

【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题.

(多选)12.(2024秋•梅州期末)圆G：*2+丫2=1与圆©2：/+(),-4)2=9有且只有一个公共

点，则。的值可能是()

A.iB.2C.3D.4

【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数.

【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解.

【答案】BD

【分析】依据已知条件，结合两圆的位置关系，分类争辩，即可求解.

【解答】解：阅Q：x2+y2=1与圆C2：F十(y-a)2=9,

圆心Ci(0,0),半径门=1,圆心C2<0,a),半径72=3,

圆G：/+、2=1与圆。2：7+(厂。)2=9有且只有一个公共点,

当两圆外切时,|CiC2|=M=n+r2=4,解得。=±4,

当两圆内切时，|CiC2|=|a|=/3-门=2,解得。=±2.

故选：BD.

【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题.

三.填空题(共4小题)

13.(2025春•商丘期末)已知圆C的圆心在直线x+)，=4上，且圆C经过点(-2,0),10,6),

则圆C的标准方程是(工-2)2+()，-2)2=20.

【考点】圆的标准方程.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】(x・2)2+(),-2)2=20.

【分析】设圆C的标准方程为(x-«)2+(y-b)2=J，依据点在圆上、圆心在直线上列方程求

解即可.

【解答】解：依据题意，设圆。的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r,

圆心在直线x+y=4上，且经过点(-2,0),(0,6),

(—2—a)2+(0-b)2=r2(a=2

则卜0一a)2+仁一切2=r2,解得匕=2,

、Q+匕=4(r2=20

故圆C的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=20.

故答案为：(x-2)2+()，・2)三20.

【点评】本题考查圆的标准方程，留意圆的标准方程的形式，属于基础题.

14.(2025春•闵行区校级期末)设实数。>0,圆C：-4x+ay=0的面积为8TT,则a=4.

【考点】圆的一般式方程与标准方程的互化.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】4.

【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值.

【解答】解：由题可得圆C的方程即为：（%—2）2+0+今2=4+《，

故TT（4+B）=8九，故。=4（负解舍去）.

故答案为:4.

【点评】本题主要考查圆的方程，属于基础题.

（2025•河南模拟）若圆C：』+）2+2A,+/〃=（）上恰有三个不同的点到直线hx+V3y+2=。的距

离为1,贝打〃一_-1_.

【考点】圆上的点到直线的距离及其最值.

【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆：运算求解.

【答案】一宗

【分析】依据题意，分析圆C的圆心和半径，结合直线与圆的位置关系可得圆的半径，进而计算

可得答案.

【解答】解:依据题意，圆C：?+『+2计机=0,即（x+1）2+y2=1-必有加VI,

其圆心为（-1,0）,半径为二沆，

则圆心C到直线/的距离d=与辔=[

v1+34

若圆C：/+）2+2X+〃?=0上哈有三个不同的点到直线，.•x+V3y+2=0的距离为1,

135

+-=

则圆的半径/-yjl-m2解可得〃尸

2?4-

5

-

故答案为:4

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于基础题.

16.(2025•武功县校级模拟)过点A(2,1)向圆C；(x1)2i(y2)2=4作切线，切点

为B,则|AB|=_V14_.

【考点】过圆外一点的圆的切线方程.

【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】V14.

【分析】由圆的方程，可得圆心。的坐标及半径，求出|4C1的值，由勾股定理可得|A8|的值.

【解答】解：由圆C：(x-1)2+(.y-2)2=4可得圆心C(1,2),半径，=2,

点A(・2,-1),则|AQ=/(-2-1)2+(-1-2)2=3V2,

所以切线长|AB|=y/\AC\2-r2==g.

故答案为：V14.

【点评】本题考查切线长的求法，属于基础题.

四.解答题(共4小题)

17.(2025•龙凤区校级模拟)如图，由部分抛物线/=〃a+1(小＞(),x20)和半圆(XC

0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和T，亨).

(1)求“黄金抛物线C”的方程；

(2)设P(0,1)和Q(0,-1),过点尸作直线/与“黄金抛物线C”相交于A,P,B三点,

问是否存在这样的直线/，使得Q尸平分NAQ8?若存在，求出直线/的方程，若不存在，请说明

理由.

【考点】直线和圆的方程的应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【答案】见试题解答内容

【分析】⑴）（3,2）代入抛物线『=小+1,可得4=3〃?+1,〃?=1,（斗空）代入/+）?

=/,可得，=1,即可求“黄金抛物线C”的方程：

（2）假设存在这样的直线1,使得QP平分NAQE,则乂Q=-姐0,求出A,8的坐标，即可得出

结论.

【解答】解：（1）（3,2〕代入抛物线）2=〃?x+l,可得4=3〃?+1,••・加=1,

（-1/苧）代入/+y2=J,可得「=].

，“黄金抛物线C”的方程为抛物线＞2=x+lUNO）和半圆7+.y2=iawo）；

（2）假设存在这样的直线!，使得。。平分NAQ&则以。=-如Q,

设直线A3的方程为y=Zr+l,与入2+『=1联立，可得4（一・击）'

y=k.x+1,与y2=工+1联立，可得8（f

KK

if2-k

.而十1苗十1

2ki-2k'

卞

:.k=-1±V2,

l-2k

:・k=-1+V2,

・•・直线48的方程为y=(-I+V2)x+1.

【点评】本题考查抛物线与圆的方程，考查直线与曲线的位置关系，考杳同学分析解决问题的力

量，属于中档题.

18.（2024秋•杭州校级期末）已知圆C：（x-4）2+『=25,点P（1,4）,且直线/经过点P.

（1）若/与C相切，求/的方程;

n

（2）若/的倾斜角为二，求/被圆C截得的弦长.

4

【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；依据圆心到直线距离与圆的半径求

解直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆.

【答案】（1）3X-4.y+13=0；

（2）V2.

【分析】（1）依据题意，分析可得P在圆C上，由圆切线的性质分析可得答案；

（2）写出直线/的方程，求出圆心到直线/的距离，即可求出弦长.

【解答】解：（1）依据题意，圆C：（x-4）2+/=25,

点尸（1,4）,有（1-4）2+42=25,点P在圆C上，

.4-04

3k=一于

故切线的斜率

313

此时直线/的方程为一%—>+—=0,即3x・4y+13=0,

故直线I的方程为3x-4y+13=0：

（2）依据题意，若/的倾斜角为孑则其斜率心加吟=1,

则其方程为厂4=x-l,即x-y+3=0,

圆心C到直线/的距离d=|4~04；31=孥，

故直线/被圆C截得的弦长为232-（学）2=V2.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于基础题.

19.（2024秋•河南期末）已知圆£经过点P（-2,4）,且与圆G：/十-2%=0相切于点A

（2,0）.

(1)求圆心。1的坐标；

(2)求圆£的标准方程；

(3)过点人的直线/与圆C1和圆石分别交于x轴上方的4,C两点，若|BC|=3&,求直线/的

方程.

【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；依据圆的几何属性求圆的标准方程；

直线与圆相交的性质.

【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】(1)Ci(1,0);

(2)(x+2)2+)2=16；

(3)x+y-2=0.

【分析】(1)由配方得到标准方程即可；

(2)由两圆位置关系及圆心后在x轴上