天城院材料力学讲义第3章 剪切

第三章剪切§3−1剪切的概念及工程实例一、概念剪切变形是杆件的基本变形之一。如图3−1a所示，当杆件受到一对垂直于杆轴、大小相等、方向相反、作用线相距很近的力F作用时，力F作用线之间的各横截面都将发生相对错动，即剪切变形。若力F过大，杆件将在力F作用线之间的某一截面m−m处被剪断，m−m称为剪切面。如图3−1b所示，截面b−b相对于截面a−a发生错动。（a（a）图3−1ababFF（b）aaFFbbmmMe轮轴键（c）（d）（b）Me轮轴键（c）（d）（b）图3−2（a）焊缝销钉铆钉根据实验及理论分析，在外力作用下，螺栓、铆钉、键块等连接件在发生剪切变形的同时往往伴随着其它变形，在它们内部所引起的应力，不论其性质、分布规律及大小等都很复杂。因此，工程中为了便于计算，在实验的基础上，往往对它们作一些近似的假设，采用实用计算的方法。§3−2剪切的实用计算图3−3(c)铆钉（a）m-m(b)如图3−3a所示，用铆钉连接两块钢板，当钢板受到轴力F的作用时，铆钉受到与轴线垂直、大小相等、方向相反、彼此相距很近的两组力的作用（图3−3b），在这两组力的作用下，铆钉在图3−3(c)铆钉（a）m-m(b)用截面法可以计算铆钉在剪切面上的内力。如图3−4a所示，假想铆钉沿m−m面切断，取下部为脱离体来研究。设剪切面m−m上的内力为FS作用在剪切面上平行于截面的内力FS称为剪力，与F大小相等，方向相反。（a）FF（a）FFsmm图3−4τF（b）（3−1）式中Fs为剪切面上的剪力，As为剪切面面积。切应力τ的方向与剪力Fs一致，实质上就是截面上的平均切应力，称为计算切应力（又称名义切应力）。要判断构件是否会发生破坏，还需要建立剪切强度条件。材料的极限切应力是按计算切应力公式，根据剪切试验所得破坏荷载而得来的（a）选择适当的安全因数，得许用切应力（b）于是，剪切强度条件为（3−2）§3−3挤压的实用计算连接件在发生剪切变形的同时，还伴随着局部受压现象，这种现象称之为挤压。作用在承压面上的压力称为挤压力。在承压面上由于挤压作用而引起的应力称为挤压应力。挤压应力的实际分布情况比较复杂，在工程实际计算中，采用实用计算的方法。图3−5（a）（b）ABAB（c图3−5（a）（b）ABAB（c）B′dA′（3−3）其中Fbs为接触面上的挤压力；Abs为计算挤压面的面积。计算挤压应力与实际挤压应力的最大值是接近的。对于接触面是半圆柱面时，取直径平面面积，如图3−5d所示。为了确定连接件的许用挤压应力，可以通过连接件的破坏实验测定挤压极限荷载，然后按照计算挤压应力的实用计算公式可以算出挤压极限应力，再除以适当的安全系数就可以得到连接件的许用挤压应力。于是建立挤压强度条件如下：（3−4）其中[σbs]为许用挤压应力。试验表明，许用挤压应力[σbs]比许用应力[σ]要大，对于钢材，可取[σbs]=(1.7~2.0)[σ]。下面以图3−6所示的铆钉搭结两块钢板为例，讨论用铆钉连接的拉压构件的强度计算。铆钉连接的破坏有下列三种形式：（1）铆钉沿其剪切面被剪断；（2）铆钉与钢板之间的挤压破坏；（3）钢板沿被削弱了的横截面被拉断。为了保证铆钉连接的正常工作，就必须避免上述三种破坏的发生，根据强度条件分别对三种情况作实用强度计算。1.铆钉的剪切实用计算设铆钉个数为n，铆钉直径为d，接头所受的拉力为F，采用前面铆钉的剪切实用计算方法，假定铆钉只受剪切作用，切应力沿剪切面均匀分布，并且每个铆钉所受的剪力相等，即所有铆钉平均分担接头所承受的拉力F。图3图3−7（a）FF（b）FF图3−6（a）FF（b）FF（a）根据剪切的实用计算式（3−1），强度条件为（3−5）F/n图3−8F/2nF/2F/n图3−8F/2nF/2n必须指出，以上所述是对搭接方式连接的实用计算，每个铆钉只有一个剪切面。如果采用对接方式连接（如图3−7所示），则每个铆钉有两个剪切面（图3−8），每个剪切面上的剪力（c）其它计算与上类似。2.铆钉与钢板孔壁之间的挤压实用计算采用前面铆钉与钢板孔壁之间的挤压实用计算方法，假设挤压应力在计算挤压面上是均匀分布的。根据挤压应力的实用计算式（3−3），挤压强度条件为（3−6）对于搭接方式连接的情况（如图3−7所示），应分别校核中间钢板及上下钢板与铆钉之间的挤压强度。3.钢板的抗拉强度校核由于铆钉孔的存在，钢板在开孔处的横截面面积有所减小，必须对钢板被削弱的截面进行强度校核。例题3−1图示两块钢板搭接连接而成的铆接接头。钢板宽度b=200mm，厚度t=8mm。设接头拉力F=200kN，铆钉直径20mm，许用切应力[t]=160MPa，钢板许用拉应力[σ]=170MPa，挤压许用应力[σbs]=340解：为保证接头强度，需作出三方面的校核。(1)铆钉的剪切强度校核每个铆钉所受到的力等于F/4。根据剪切强度条件式（3−2）得=159.15×106Pa=159.15MPa<nmnmmn（a）FF（b）FF例题3−1图（d）3F/FF/4（c）F/4F/4FF/4F/4(2)铆钉的挤压强度校核上、下侧钢板与每个铆钉之间的挤压力均为Fbs＝F/4，由于上、下侧钢板厚度相同，所以只校核下侧钢板与每个铆钉之间的挤压强度，根据挤压强度条件式3−4得=312.5×106Pa=312.5MPa<满足挤压强度条件。(3)钢板的抗拉强度校核由于上、下侧钢板厚度相同，故验算下侧钢块即可，画出它的受力图及轴力图(图c，d)。对于截面m−m：满足抗拉强度条件。对于截面n−n：满足抗拉强度条件。综上所述，该接头是安全的。例题3−2图示为受拉力F=150kN作用的对接接头，其中主板宽度b=170mm、厚度t1=10mm，上下盖板的厚度t2=6mm。已知材料的许用拉应力为[s]=160MPa，许用切应力为[t]=100MPa，许用挤压应力为[sbs]=300MPa，试确定铆钉的直径。解：对接口一侧有3个铆钉，则每个铆钉受力如图7−8所示。(1)由剪切强度条件得(2)校核挤压强度选择铆钉的直径为18mm。（b）（b）FFnm(c)nmF/3F/3F/3F2F/F例题3−2图（a）FFt2t2t1两块盖板的厚度之和大于主板的厚度，故只要校核主板的抗拉强度即可，主板的受力和轴力图如图c。对于截面m−m：对于截面n−n：钢板满足抗拉强度条件。 最终选择铆钉直径为18mm。例题3−3图示齿轮用平键与轴连接。已知轴的直径d=70mm，键的尺寸为b×h×l=20×Meme（c）（