2027届新高考数学热点精准复习 函数单调性与最大(小)值

2027届新高考数学热点精准复习函数单调性与最大(小)值1.借助函数图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解其实际意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.课标要求1.函数的单调性(1)单调函数的定义f(x1)<f(x2)

增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I当x1<x2时,都有_________________,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数当x1<x2时,都有_______________,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数f(x1)>f(x2)

增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上____________或____________,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,_________叫做y＝f(x)的单调区间.单调递增单调递减区间I2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D,都有________________;(2)∃x0∈D,使得________________________________(1)∀x∈D,都有___________________;(2)∃x0∈D,使得___________________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M常用结论与微点提醒

诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×××(1)错误,应对任意的x1<x2,都有f(x1)<f(x2)成立才可以.(2)错误,反例:f(x)＝x在[1,＋∞)上为增函数,但f(x)＝x的单调递增区间是(－∞,＋∞).(3)错误,此单调区间不能用“∪”连接,故单调递减区间为(－∞,0)和(0,＋∞).2.(人教A必修一P86T7改编)函数f(x)＝x2－1的单调递增区间是____________.

函数f(x)＝x2－1是开口向上的二次函数,对称轴为x＝0,因此单调递增区间为[0,＋∞).[0,＋∞)

1

44.(苏教必修一P122T4改编)函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数,且f(a＋1)<f(2a),则实数a的取值范围是____________.

[－1,1)

B

考点一确定函数的单调性(区间)

ABD

作出函数y＝2|x＋1|的图象,如图所示,由图象可知,函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1],故B正确;由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(－∞,1],故C错误;因为y'＝2－2sinx≥0,所以y＝2x＋2cosx在(0,＋∞)上单调递增,故D正确.

感悟提升1.求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法.3.函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.易错警示函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”.

B

(－∞,－6]

D

考点二已知单调性求参数的取值范围感悟提升利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值.

D

1.复合函数单调性判定原则:同增异减.2.设复合函数y＝f[g(x)],A是y＝f[g(x)]定义域的某个区间,B是u＝g(x)的值域.(1)若u＝g(x)在A上是增(或减)函数,y＝f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y＝f[g(x)]在A上是增函数;(2)若u＝g(x)在A上是增(或减)函数,而y＝f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y＝f[g(x)]在A上是减函数.复合函数的单调性微点突破一、求复合函数的单调区间例1已知函数f(x)＝x2－2x－3,g(x)＝f(5－x2),试求g(x)的单调区间.令u(x)＝5－x2,则u(x)在(－∞,0]上单调递增,在[0,＋∞)上单调递减,且u(0)＝5.f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞,1]上单调递减,在[1,＋∞)上单调递增.即u(x)的单调性是以“0”为界来划分的,f(x)的单调性是以“1”为界来划分的,由此可确定g(x)的单调性.令5－x2＝1,则x＝±2.所以函数g(x)的单调递减区间是(－∞,－2],[0,2],单调递增区间是[－2,0],[2,＋∞).x(－∞,－2][－2,0][0,2][2,＋∞)u(x)＝5－x2增增减减u(－∞,1][1,5][1,5](－∞,1]f(u)减增增减f(5－x2)减增减增

A

(2)已知函数f(x)是R上的减函数,若f(ax2－2x)在(1,＋∞)上是增函数,则实数a的取值范围是____________.

(－∞,0]

C

B

3.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1在(2,6)上不单调,则a的取值范围是(

)A.(2,6) B.(－∞,2]∪[6,＋∞)C.(4,12) D.(－∞,4]∪[12,＋∞)C

B

A

6.(2026·苏州质检)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝3f(|x|)＋x2－2x,则f(x)的单调递增区间为(

)A.(－∞,－10]和[0,1] B.(－∞,－5]和[0,1]C.[－10,0]和[1,＋∞) D.[－5,0]和[1,＋∞)B

A

则m≥1或m＋1≤－1,解得m≥1或m≤－2,所以实数m的取值范围为(－∞,－2]∪[1,＋∞).故选A.

BCD

BD

三、填空题(－∞,0),(1,＋∞)该函数图象如图所示,由图象知,函数g(x)的单调递增区间(－∞,0),(1,＋∞).11.柯西(Cauchy,1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)称为柯西方程,满足该方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数______________________.

f(x)＝－x(答案不唯一)设f(x)＝－x,在R上单调递减.f(x＋y)＝－x－y,f(x)＝－x,f(y)＝－y,满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y).所以函数f(x)＝－x是在R上单调递减的加性函数.

[－1,0]因为函数f(x)在R上单调递增,且当x<0时,f(x)＝－x2－2ax－a,所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞,0)上单调递增,所以－a≥0,即a≤0;当x≥0时,f(x)＝ex＋ln(x＋1),所以函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增,则－a≤f(0)＝1,即a≥－1.综上,实数a的取值范围是[－1,0].

四、解答题f(x),g(x)的图象如图所示.由(1)及M(x)的定义得,M(x)在(－∞,0]上单调递减,在[0,2]上单调递增,在[2,＋∞)上单调递减,所以当a≤0时,M(x)在(－∞,a]上单调递减;当0<a≤2时,M(x)在(－∞,0]上单调递减,在[0,a]上单调递增;当a>2时,M(x)在(－∞,0]上单调递减,在[0,2]上单调递增,在[2,a]上单调递减.(2)∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的最大者,记为M(x)＝max{f(x),g(x)},